专题02 二项式定理与杨辉三角（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册

专题02 二项式定理与杨辉三角 常考题型·精准突破 题型01二项式定理的正用及逆用 题型02求二项展开式的特定项（高频） 题型03 求展开式指定项的系数（重） 题型04二项式系数和及其最值的应用 题型05二项展开式的有理项问题 题型06二项展开式系数最大（小）问题（难） 题型07两个多项式积的特定项（重） 题型08三项式的特定项 题型09二项展开式各项系数 题型10奇次项与偶次项的系数和 题型11近似计算问题 题型12余数和整除的问题 题型13杨辉三角形问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01二项式定理的正用及逆用 1．的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 【答案】C 【详解】的展开式共有项. 2．（25-26高二下·河北雄安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理化简求值即可. 【详解】由二项式定理可知：， 所以. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式展开式对应项系数相等计算求和，最后结合组合数对称性得到正确选项. 【详解】因为， 则的展开式中项的系数为 ， 的展开式中项的系数为， 所以. 4．（25-26高二下·重庆·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 5．（25-26高二下·上海长宁·期中）已知的展开式共有9项，则_____． 【答案】8 【详解】因为的展开式共有项， 所以，解得. 6．（25-26高二下·山东青岛·期中）若，其中，则_________． 【答案】 【分析】令，利用二项式定理求和并确定即可计算得解. 【详解】令，由，得， 当时，， ， 因此，由是正整数，得是正偶数， 则是正偶数，又是正整数，于是是整数， 由，得，则，， 所以. 7．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知，则______． 【答案】124 【分析】通过观察可以看出其系数符合二项式展开，将其化简代入即可. 【详解】， 代入，所以. 题型02求二项展开式的特定项 1．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 2．（25-26高二下·广东江门·期末）的展开式中的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理将原式展开后即可求解. 【详解】由题意得，则第项时，即. 3．（25-26高二下·山东淄博·期末）展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式的通项公式为 所以第4项为. 4．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知的展开式中的常数项为24，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用二项式展开的通项公式求出常数项的表达式，结合已知常数项为24代入选项验证求解得到的值. 【详解】对于，展开式的第项为： ， 常数项要求的指数为0，即，得，说明为偶数. 常数项的值为：，代入选项验证： 对于A：当时，，A错误； 对于B：当时，，B正确； 对于C：当时，，C错误； 对于D：当时，，D错误. 5．（25-26高二下·湖北武汉·期中）二项式展开式中含的项是（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 令，可得，故含的项是第8项. 6．（25-26高二下·广西贵港·期末）在的展开式中，的系数是________.（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项． 令，得， 则， 所以的系数是. 7．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的常数项为_____． 【答案】60 【详解】因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以的展开式有7项，， 的通项公式为， 令，得，故展开式的常数项为. 题型03 求展开式指定项的系数 1．（25-26高二下·河北承德·期末）二项式展开式的中间一项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为. 2．（25-26高二下·四川泸州·期末）二项式展开式的第3项的二项式系数是（   ） A．15 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】由 二项式定理得展开式的通项为，其中称为二项式系数. 令，则第3项的二项式系数为. 3．（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【详解】由题意可知：第四项的二项式系数为. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中的系数为（   ） A． B．20 C．60 D．96 【答案】C 【详解】要得到，需从6个因子中选2个取，其余4个取， 所以的系数为． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）在的展开式中，的系数为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项为，， 令，可得，所以的系数为． 6．（25-26高二下·北京丰台·期末）在的展开式中，若的系数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理求出的展开式的通项，再求出含的项的系数，即可得出的值. 【详解】设的展开式的通项为， 那么， 令，得 ，所以，故. 7．（25-26高二下·福建南平·期末）若，的展开式中的系数为55，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二项式通项，结合组合数的性质进行求解即可. 【详解】二项式的通项为， 因为的展开式中的系数为55， 所以， ， 因为， 所以， 所以由. 题型04二项式系数和及其最值的应用 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（    ） A．1 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】先写出二项展开式的通项公式，根据第项是常数项，建立关于的方程求解，利用二项式系数和的性质，计算结果. 【详解】二项式的展开式的第项， 因为第项为常数项， 所以，解得， 所以二项展开式的所有二项式系数和为. 2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（     ） A．8 B．16 C．64 D．32 【答案】D 【详解】 因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得， 的展开式的通项为，， 令，可得常数项为32． 3．（25-26高二下·天津武清·期中）在展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【详解】因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得， 所以的二项式系数和为． 4．（25-26高二下·北京通州·期中）已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 5．（25-26高二下·河北邯郸·期中）的展开式中，奇数项的二项式系数和为（   ） A．210 B．29 C． D． 【答案】B 【详解】的展开式中，奇数项的二项式系数和为． 6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若的展开式中各二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 7．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 8．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质可判断A；求得通项公式，令，计算可判断B；根据为有理数计算可判断C；根据二项式系数和计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为第五项，故B错误； 对于C，在中，当时，代数式为整数， 所以有理项共有4项，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 题型05二项展开式的有理项问题 1．（25-26高二下·四川宜宾·期末）的展开式中所有的有理项有（   ）项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项，由为整数且，求出的值，再代入通项求出有理项，即可得到其系数和. 【详解】由题意得的展开式的通项公式如下， 为， 由题意可知，为整数且， 所以或或，所以， ，， 所以的展开式中所有的有理项有3项. 2．（25-26高二下·湖南永州·期中）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 【答案】B 【分析】先求得二项展开式的通项，结合通项，得到展开式中系数为有理数的项，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当和时，可得展开式中系数为有理数的项为， 其系数之和为. 3．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 4．（2026高二·全国·专题练习）在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据指数的特点求解结论． 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 【答案】2 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 题型06二项展开式系数最大（小）问题 1．（2026·湖南郴州·模拟预测）的二项展开式中所有项的系数的最大值为（    ） A．84 B．128 C．240 D．560 【答案】C 【分析】利用二项式通项公式，结合题意进行求解即可. 【详解】的通项公式为， 当该二项展开式中所有项的系数有最大值时，为偶数， 因为，，，， 所以的二项展开式中所有项的系数的最大值为. 2．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 4．二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 5．（25-26高二下·上海·期末）在的展开式中系数最小的是第________项. 【答案】8 【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 6．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 7．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 题型07两个多项式积的特定项 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的第3、4、5项分别为、、， 所以的展开式中的系数为. 2．（25-26高二下·河北·期末）的展开式中的系数为（     ） A．15 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【详解】， 展开式的通项为. 令，得； 令，得，. 所以的展开式中的系数为. 3．（25-26高二下·山东聊城·期末）已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由多项式的乘法及组合数的性质，分两类计算展开式中总系数为，再结合题中条件可得的值. 【详解】分两类计算的系数： 第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选， 则该项次数为，其中且. 令，得，解得可行解或. 当：系数为； 当：系数为，故第一类对应的系数为. 第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选， 则该项次数为，其中且. 令，解得可行解或. ：系数为； ：系数为，故第二类对应的系数为. 综上可得的展开式中的系数为. 根据题意列方程：，解得. 因此实数的值为. 4．（25-26高二下·湖北鄂州·期末）的展开式中，的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项展开通项求解计算即可求的系数. 【详解】的二项展开通项且， 含的项为， 所以的系数为. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）（1）的展开式的常数项是______． （2）的展开式中含x的项的系数为______． 【答案】 3 【详解】（1）常数项由分别来自，的项组成，的展开式的通项为， 则第一个因式取，第二个因式取，得； 第一个因式取，第二个因式取，得， 所以的展开式的常数项是． （2）方法一：． 于是的展开式中含x的项的系数为． 方法二（双通项法）：的展开式的通项为， 的展开式的通项为，则的展开式的通项为，其中，． 令，得，于是的展开式中含x的项的系数等于． 6．（25-26高二下·河北承德·期末）“算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从而解决问题．请你结合二项式定理，利用等式，计算 ________．（结果用组合数表示） 【答案】（或） 【详解】当时，， 等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， （或）. 7．（25-26高二下·黑龙江·期末）在的展开式中，含的项的系数为______________ 【答案】 17 【分析】根据二项式定理进行求解即可. 【详解】， 二项式的通项公式为， 因此含的项的系数为. 题型08三项式的特定项 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 【答案】D 【分析】将原式转化为，再利用两个二项展开式求含项的系数． 【详解】， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 所以展开式中含有项的系数为． 2．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 3．（25-26高二下·天津武清·期中）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 【答案】B 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 4．（25-26高二下·天津·阶段检测）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【分析】根据多项式定理求解即可. 【详解】的展开式的通项为. 令，则 的展开式的通项为， 令，则系数为. 因此含项的总系数为. 5．（23-24高二下·广东深圳·期中）当时，将三项式展开，可得到下列等式： 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数，则在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知的展开式的系数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 故的展开式中的系数为30，的系数为45， 所以的展开式中的系数为，解得. 6．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 7．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是20. 8．（25-26高二下·上海闵行·期中），则______. 【答案】6 【分析】结合组合数的运算，即可得到结果. 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的指数和为2， 故两次选，两次选1，对应的组合数为， 又， 因此. 题型09二项展开式各项系数和 1．（25-26高二下·四川资阳·期末）在的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】A 【详解】令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16. 2．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得，令，，所以. 3．（25-26高二下·天津津南·期末）在的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为只有第3项的二项式系数最大， 所以展开式有5项，故， 令，可得展开式中各项系数的和为. 4．（25-26高二下·江苏泰州·期末）若，其中，，，，，，均为实数，则（     ） A．31 B．32 C．63 D．64 【答案】C 【详解】当时，可得，解得， 当时，可得， 所以. 5．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 6．（25-26高二下·天津西青·期中）设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开，再分别令和即可求解. 【详解】已知， 令，得， 令，得， 所以，故B正确. 7．（25-26高二下·北京·期中）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】令，得：， 所以， 令，得：，所以，则. 题型10奇次项与偶次项的系数和 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令可得， 令可得，， 令可得，， 所以，所以. 2．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 【答案】B 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 3．（25-26高二下·北京平谷·期中）若，则（   ） A．90 B．270 C．496 D．1024 【答案】C 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 相加得，解得. 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 5．（25-26高二下·吉林·期中）若，则_________． 【答案】32 【详解】根据题意得， 令，得， 令，得， 两式相加得：， 所以. 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知，则___________． 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 7．（25-26高二下·河北保定·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】令，则， 令，则， 所以，则. 题型11近似计算问题 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 3．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 4．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 5．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 题型12余数和整除的问题 1．（25-26高二下·吉林·期末）除以7的余数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为 ， 所以除以7的余数为1. 2．（25-26高二下·山东菏泽·期末）今天是星期六，若（，且）天后仍是星期六，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】化简的表达式，利用二项式定理展开求余数再根据 为 7 的整数倍求解符合范围的值. 【详解】一周共有 7 天，若 天后仍是星期六，则 是 7 的正整数倍， 将变形为：， 又，因此， 根据二项式定理展开：， 展开式中前33项均含有因数7，均为7的倍数，除以7的余数为0， 仅最后一项不含因数7，因此除以7的余数为1. 由此可得除以7的余数为. 要使除以7的余数为0，需满足是7的倍数， 已知且，则，因此，解得. 3．（25-26高二下·贵州安顺·期末）对于整数，若和被除所得的余数相同，则称和对模同余，记为.已知，且，则的值可以是（    ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的特征可得，即可求解除以5所得的余数为1，即可求解. 【详解】已知 ，即除以5所得的余数为1， 显然2021除以5所得的余数为1，即b的值可以是2021. 4．（25-26高二下·山东滨州·期末）设整数，，，若和除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为. 若，，则的值可以是（   ） A．15 B．50 C．201 D．354 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形并求出除以17的余数，进而逐项计算判断. 【详解】依题意得， 因此除以17的余数为16，而除以17的余数分别为， 所以的值可以是50，故B正确. 5．（25-26高二下·湖北鄂州·期末）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（     ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日 【答案】D 【分析】先求出2的幂对7取模的周期，进而求出结果. 【详解】2的幂对7取模： ；；；；；. 周期为3，即. ，即. 因此，，即天相当于往后推2天，所以是星期日. 6．（25-26高二下·浙江台州·期末）在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】二项式定理结合组合数的性质进行求解. 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 题型13杨辉三角形问题 1．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】杨辉三角的第行对应二项式展开 的系数，即 ，这些系数的和为 ，因此第2025行所有数的和为 . 2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.“杨辉三角”如图所示，则 （    ）    A．160 B．165 C．168 D．170 【答案】B 【详解】由，有. 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】D 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误. 4．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 5．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 6．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2023层，底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果. 【详解】由杨辉三角中观察得可得， 即； 由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为： . 故选：B 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意奇数n，a都是偶数 B．对于任意偶数n，a与的奇偶性相同 C．对于任意偶数，都有 D．对于任意偶数，都有 【答案】D 【分析】根据二项式展开式，分析可得，据此求出a、b的表达式，对于AB，可取某些特殊的n值进行分析，由此进行判断；对于CD，根据分析即可求得具体的值． 【详解】， 同理， 两者对比可知为奇数时，， 又为偶数时，为有理数，且， 即两者展开式中k为偶数的部分，为相等的有理数， 所以可知， 因此可解得， 对于A，取（奇数），可得（奇数），矛盾，故A错误； 对于B，取（偶数），可得（奇数），（偶数），奇偶性不同，故B错误； 对于CD，对于任意大于0的偶数， 因为， 也即，故C错误，D正确． 2．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 所以 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除，，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以，所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项. 故选：A 3．（2025·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解AC，根据排列数和组合数的计算公式求解BD. 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中取出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 5．（多选）（25-26高二下·山东菏泽·期末）规定，其中，，且，这是组合数（，，且）的一种推广．于是广义二项式定理可写成：，其中，等式右端有无穷项．下列说法正确的有（    ） A．展开式中的系数为 B． C．当为正整数时， D．当为正奇数时， 【答案】BCD 【分析】根据广义的二项式定理展开式以及组合数的推广计算公式即可求解AB，根据组合数的推广计算公式，化简即可求解CD. 【详解】对于A , 展开式中的系数为,A错误， 对于B，由于，故B正确， 对于C，当为正整数时，，C正确， 对于D, 由于 ，故， 故当为正奇数时，, 故，D正确. 6．（多选）（25-26高二下·福建南平·期末）将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（     ） A．第行的第个数是 B．当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C．第行中，第个数等于第个数 D． 【答案】ACD 【分析】A.归纳出莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ，代入计算验证 A；B.根据分母中组合数的大小判断分数大小，推出 B 中间是最小值，排除 B；C.利用组合数对称性质，证明 C 中的两个数相等；D.借助组合数公式化简等式，证明 D 中的恒等式成立. 【详解】莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ， 选项 A，第 8 行第 2 个数，即，所以第 8 行第 2 个数是，A 正确； 选项 B，因为，所以， 所以每一行的数关于中间对称，当为奇数时，杨辉三角的中间两个数和相等且是该行组合数的最大值， 因为的分母越大，分数值越小，所以当取最大值时，取最小值， 所以对应的莱布尼茨数是最小值，不是最大值，B 错误； 选项 C，第 100 行，，第 46 个数对应，第 56 个数对应， 由组合数性质得，所以，C 正确； 选项 D，左边， 因为，， 所以， 所以左边， 因为右边， 所以左边=右边，即(，1) ，  D 正确. 7．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知，则_____． 【答案】 【分析】应用赋值法结合二项式展开式及组合数计算求解. 【详解】令， 令． 所以． 故答案为： 8．（25-26高二下·全国·期末）的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的系数为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二项式定理与杨辉三角 题型01二项式定理的正用及逆用 1． 【答案】C 【详解】的展开式共有项. 2． 【答案】A 【分析】根据二项式定理化简求值即可. 【详解】由二项式定理可知：， 所以. 3． 【答案】B 【分析】利用二项式展开式对应项系数相等计算求和，最后结合组合数对称性得到正确选项. 【详解】因为， 则的展开式中项的系数为 ， 的展开式中项的系数为， 所以. 4． 【答案】D 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 5． 【答案】8 【详解】因为的展开式共有项， 所以，解得. 6． 【答案】 【分析】令，利用二项式定理求和并确定即可计算得解. 【详解】令，由，得， 当时，， ， 因此，由是正整数，得是正偶数， 则是正偶数，又是正整数，于是是整数， 由，得，则，， 所以. 7． 【答案】124 【分析】通过观察可以看出其系数符合二项式展开，将其化简代入即可. 【详解】， 代入，所以. 题型02求二项展开式的特定项 1． 【答案】A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 2． 【答案】B 【分析】由二项式定理将原式展开后即可求解. 【详解】由题意得，则第项时，即. 3． 【答案】A 【详解】展开式的通项公式为 所以第4项为. 4． 【答案】B 【分析】利用二项式展开的通项公式求出常数项的表达式，结合已知常数项为24代入选项验证求解得到的值. 【详解】对于，展开式的第项为： ， 常数项要求的指数为0，即，得，说明为偶数. 常数项的值为：，代入选项验证： 对于A：当时，，A错误； 对于B：当时，，B正确； 对于C：当时，，C错误； 对于D：当时，，D错误. 5． 【答案】B 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 令，可得，故含的项是第8项. 6． 【答案】 【详解】展开式的通项． 令，得， 则， 所以的系数是. 7． 【答案】60 【详解】因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以的展开式有7项，， 的通项公式为， 令，得，故展开式的常数项为. 题型03 求展开式指定项的系数 1． 【答案】B 【详解】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为. 2． 【答案】A 【详解】由 二项式定理得展开式的通项为，其中称为二项式系数. 令，则第3项的二项式系数为. 3． 【答案】C 【详解】由题意可知：第四项的二项式系数为. 4． 【答案】C 【详解】要得到，需从6个因子中选2个取，其余4个取， 所以的系数为． 5． 【答案】B 【详解】的展开式的通项为，， 令，可得，所以的系数为． 6． 【答案】A 【分析】利用二项式定理求出的展开式的通项，再求出含的项的系数，即可得出的值. 【详解】设的展开式的通项为， 那么， 令，得 ，所以，故. 7． 【答案】B 【分析】根据二项式通项，结合组合数的性质进行求解即可. 【详解】二项式的通项为， 因为的展开式中的系数为55， 所以， ， 因为， 所以， 所以由. 题型04二项式系数和及其最值的应用 1． 【答案】C 【分析】先写出二项展开式的通项公式，根据第项是常数项，建立关于的方程求解，利用二项式系数和的性质，计算结果. 【详解】二项式的展开式的第项， 因为第项为常数项， 所以，解得， 所以二项展开式的所有二项式系数和为. 2． 【答案】D 【详解】 因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得， 的展开式的通项为，， 令，可得常数项为32． 3． 【答案】B 【详解】因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得， 所以的二项式系数和为． 4． 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 5． 【答案】B 【详解】的展开式中，奇数项的二项式系数和为． 6． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 7． 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 8． 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质可判断A；求得通项公式，令，计算可判断B；根据为有理数计算可判断C；根据二项式系数和计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为第五项，故B错误； 对于C，在中，当时，代数式为整数， 所以有理项共有4项，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 题型05二项展开式的有理项问题 1． 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项，由为整数且，求出的值，再代入通项求出有理项，即可得到其系数和. 【详解】由题意得的展开式的通项公式如下， 为， 由题意可知，为整数且， 所以或或，所以， ，， 所以的展开式中所有的有理项有3项. 2． 【答案】B 【分析】先求得二项展开式的通项，结合通项，得到展开式中系数为有理数的项，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当和时，可得展开式中系数为有理数的项为， 其系数之和为. 3． 【答案】A 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 4． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据指数的特点求解结论． 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 5． 【答案】2 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 题型06二项展开式系数最大（小）问题 1． 【答案】C 【分析】利用二项式通项公式，结合题意进行求解即可. 【详解】的通项公式为， 当该二项展开式中所有项的系数有最大值时，为偶数， 因为，，，， 所以的二项展开式中所有项的系数的最大值为. 2． 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 3． 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 4． 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 5． 【答案】8 【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 6． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 7． 【答案】210 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 题型07两个多项式积的特定项 1． 【答案】A 【详解】的第3、4、5项分别为、、， 所以的展开式中的系数为. 2． 【答案】B 【详解】， 展开式的通项为. 令，得； 令，得，. 所以的展开式中的系数为. 3． 【答案】B 【分析】直接由多项式的乘法及组合数的性质，分两类计算展开式中总系数为，再结合题中条件可得的值. 【详解】分两类计算的系数： 第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选， 则该项次数为，其中且. 令，得，解得可行解或. 当：系数为； 当：系数为，故第一类对应的系数为. 第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选， 则该项次数为，其中且. 令，解得可行解或. ：系数为； ：系数为，故第二类对应的系数为. 综上可得的展开式中的系数为. 根据题意列方程：，解得. 因此实数的值为. 4． 【答案】C 【分析】利用二项展开通项求解计算即可求的系数. 【详解】的二项展开通项且， 含的项为， 所以的系数为. 5． 【答案】 3 【详解】（1）常数项由分别来自，的项组成，的展开式的通项为， 则第一个因式取，第二个因式取，得； 第一个因式取，第二个因式取，得， 所以的展开式的常数项是． （2）方法一：． 于是的展开式中含x的项的系数为． 方法二（双通项法）：的展开式的通项为， 的展开式的通项为，则的展开式的通项为，其中，． 令，得，于是的展开式中含x的项的系数等于． 6． 【答案】（或） 【详解】当时，， 等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， （或）. 7． 【答案】 17 【分析】根据二项式定理进行求解即可. 【详解】， 二项式的通项公式为， 因此含的项的系数为. 题型08三项式的特定项 1． 【答案】D 【分析】将原式转化为，再利用两个二项展开式求含项的系数． 【详解】， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 所以展开式中含有项的系数为． 2． 【答案】A 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 3． 【答案】B 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 4． 【答案】C 【分析】根据多项式定理求解即可. 【详解】的展开式的通项为. 令，则 的展开式的通项为， 令，则系数为. 因此含项的总系数为. 5． 【答案】A 【详解】由题意可知的展开式的系数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 故的展开式中的系数为30，的系数为45， 所以的展开式中的系数为，解得. 6． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 7． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是20. 8． 【答案】6 【分析】结合组合数的运算，即可得到结果. 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的指数和为2， 故两次选，两次选1，对应的组合数为， 又， 因此. 题型09二项展开式各项系数和 1． 【答案】A 【详解】令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16. 2． 【答案】B 【详解】令，可得，令，，所以. 3． 【答案】B 【详解】因为只有第3项的二项式系数最大， 所以展开式有5项，故， 令，可得展开式中各项系数的和为. 4． 【答案】C 【详解】当时，可得，解得， 当时，可得， 所以. 5． 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 6． 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开，再分别令和即可求解. 【详解】已知， 令，得， 令，得， 所以，故B正确. 7． 【答案】B 【详解】令，得：， 所以， 令，得：，所以，则. 题型10奇次项与偶次项的系数和 1． 【答案】C 【详解】令可得， 令可得，， 令可得，， 所以，所以. 2． 【答案】B 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 3． 【答案】C 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 相加得，解得. 4． 【答案】B 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 5． 【答案】32 【详解】根据题意得， 令，得， 令，得， 两式相加得：， 所以. 6． 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 7． 【答案】 【详解】令，则， 令，则， 所以，则. 题型11近似计算问题 1． 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 2． 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 3． 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 4． 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 5． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 题型12余数和整除的问题 1． 【答案】A 【详解】因为 ， 所以除以7的余数为1. 2． 【答案】C 【分析】化简的表达式，利用二项式定理展开求余数再根据 为 7 的整数倍求解符合范围的值. 【详解】一周共有 7 天，若 天后仍是星期六，则 是 7 的正整数倍， 将变形为：， 又，因此， 根据二项式定理展开：， 展开式中前33项均含有因数7，均为7的倍数，除以7的余数为0， 仅最后一项不含因数7，因此除以7的余数为1. 由此可得除以7的余数为. 要使除以7的余数为0，需满足是7的倍数， 已知且，则，因此，解得. 3． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的特征可得，即可求解除以5所得的余数为1，即可求解. 【详解】已知 ，即除以5所得的余数为1， 显然2021除以5所得的余数为1，即b的值可以是2021. 4． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形并求出除以17的余数，进而逐项计算判断. 【详解】依题意得， 因此除以17的余数为16，而除以17的余数分别为， 所以的值可以是50，故B正确. 5． 【答案】D 【分析】先求出2的幂对7取模的周期，进而求出结果. 【详解】2的幂对7取模： ；；；；；. 周期为3，即. ，即. 因此，，即天相当于往后推2天，所以是星期日. 6． 【答案】D 【分析】二项式定理结合组合数的性质进行求解. 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 题型13杨辉三角形问题 1． 【答案】B 【详解】杨辉三角的第行对应二项式展开 的系数，即 ，这些系数的和为 ，因此第2025行所有数的和为 . 2． 【答案】B 【详解】由，有. 3． 【答案】D 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误. 4． 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 5． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 6． 【答案】B 【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果. 【详解】由杨辉三角中观察得可得， 即； 由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为： . 故选：B 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式，分析可得，据此求出a、b的表达式，对于AB，可取某些特殊的n值进行分析，由此进行判断；对于CD，根据分析即可求得具体的值． 【详解】， 同理， 两者对比可知为奇数时，， 又为偶数时，为有理数，且， 即两者展开式中k为偶数的部分，为相等的有理数， 所以可知， 因此可解得， 对于A，取（奇数），可得（奇数），矛盾，故A错误； 对于B，取（偶数），可得（奇数），（偶数），奇偶性不同，故B错误； 对于CD，对于任意大于0的偶数， 因为， 也即，故C错误，D正确． 2． 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 所以 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除，，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以，所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项. 故选：A 3． 【答案】D 【分析】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 4． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解AC，根据排列数和组合数的计算公式求解BD. 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中取出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 5． 【答案】BCD 【分析】根据广义的二项式定理展开式以及组合数的推广计算公式即可求解AB，根据组合数的推广计算公式，化简即可求解CD. 【详解】对于A , 展开式中的系数为,A错误， 对于B，由于，故B正确， 对于C，当为正整数时，，C正确， 对于D, 由于 ，故， 故当为正奇数时，, 故，D正确. 6． 【答案】ACD 【分析】A.归纳出莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ，代入计算验证 A；B.根据分母中组合数的大小判断分数大小，推出 B 中间是最小值，排除 B；C.利用组合数对称性质，证明 C 中的两个数相等；D.借助组合数公式化简等式，证明 D 中的恒等式成立. 【详解】莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ， 选项 A，第 8 行第 2 个数，即，所以第 8 行第 2 个数是，A 正确； 选项 B，因为，所以， 所以每一行的数关于中间对称，当为奇数时，杨辉三角的中间两个数和相等且是该行组合数的最大值， 因为的分母越大，分数值越小，所以当取最大值时，取最小值， 所以对应的莱布尼茨数是最小值，不是最大值，B 错误； 选项 C，第 100 行，，第 46 个数对应，第 56 个数对应， 由组合数性质得，所以，C 正确； 选项 D，左边， 因为，， 所以， 所以左边， 因为右边， 所以左边=右边，即(，1) ，  D 正确. 7． 【答案】 【分析】应用赋值法结合二项式展开式及组合数计算求解. 【详解】令， 令． 所以． 故答案为： 8． 【答案】 【详解】， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的系数为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二项式定理与杨辉三角 内容概览 目常考题型精准突破 题型01二项式定理的正用及逆用 题型02求二项展开式的特定项（高频） 题型03求展开式指定项的系数（重） 题型04二项式系数和及其最值的应用 题型05二项展开式的有理项问题 题型06二项展开式系数最大（小）问题（难） 题型07两个多项式积的特定项（重） 题型08三项式的特定项 题型09二项展开式各项系数 题型10奇次项与偶次项的系数和 题型11近似计算问题 题型12余数和整除的问题 题型13杨辉三角形问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 题型01二项式定理的正用及逆用 1.(5-y)的展开式共有() A.54项 B.55项 C.56项 D.57项 2.(25-26高二下河北雄安期末)已知8(x)=C2x°+Cg2x++C28x+…+C2°x,则(-3)= () A.1 B.-1 C.38 D.-38 3.(25-26高二下江苏镇江期末)化简C6C8+C,C30+C3,Cm++C8C9=（) A.C208 B.C208 c.C205 D.C202 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二下重庆期中)C.+2C%+4C%+8C+…+2C=（) ” A.2 8.- C.3"-1 .r- 5.(25-26高二下上海长宁期中)已知(a+b)”的展开式共有9项，则n= 6.(25-26高二下山东青岛期中)若(5+)26=a+b,其中aeN,b∈(0，)，则(a+b1-b)= 7.(25-26高二下山东泰安期末)已知x=V5+1,则x6-6x3+15x4-20x3+15x2-6x= 题型02求二项展开式的特定项 1.(25-26高二下·天津西青·阶段检测) 二项式 证+ 的展开式的常数项是() A.28 B.56 C.36 D.40 2.(25-26高二下广东江门期末)(（1+x)的展开式中的第3项是() A 6x B.15x2 C.20x3 D.15x4 3.(25-26高二下山东淄博期末)1+2x)°展开式中的第4项为() A.C(2x)3 B.Clo(2x)7 C.C%(2x)4 D.Clo(2x) 2 4.(26-27高三上云南昆明阶段检测)已知二+x 的展开式中的常数项为24，则n=（） A.2 B.4 C.8 D.12 25 5.(25-26高二下湖北武汉期中) 二项式 展开式中含二的项是() A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 6.(25-26高二下广西贵港·期末)在 x-) 的展开式中，的系数是 ·(用数字作答) 7.(25-26高二下·天津滨海新区·期末)在(1+x)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则 的常数项为 题型03求展开式指定项的系数 1,(25-26高二下河北承德期末)二项式1-2x°展开式的中间一项的二项式系数为() A.15 B.20 C.160 D.-160 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下四川泸州期末)二项式(2x-)°展开式的第3项的二项式系数是() A.15 B.15x2 C.20 D.20x3 3.(25-26高二下山东聊城期中)(x+)°的展开式中，第四项的二项式系数为() A.1 B.5 C.10 D.20 4.(25-26高二下全国课后作业) x+2y 的展开式中xy的系数为（) 15 A.4 B.20 C.60 D.96 5,(25-26高二下·全国课后作业)在(x-√)的展开式中，x的系数为() A.4 B.6 C.-4 D.-6 6.(25-26高二下北京丰台期末) 在 的展开式中，若：的系数为-14则。的值为（） a A.2 B.1 c.-1 D.-2 7.(25-26高二下福建南平期未)若nN,(+x°+(1+x+(1+x°++(1+x”的展开式中x2的系数 为55，则n=() A.6 B.7 C.8 D.9 题型04二项式系数和及其最值的应用 1 1.(2026四川绵阳·模拟预测) 2x- 的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数 的和为() A.1 B.32 C.64 D.128 2.(25-26高二下·云南昭通阶段检测)在(2-x)“的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数 项为() A.8 B.16 C.64 D.32 3.(25-26高二下·天津武清期中)在(1-2x)展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和 为() A.128 B.256 C.512 D.1024 4.(25-26高二下·北京通州期中)已知二项式(x+2)展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中 所有项的系数和为() 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.16 C.1 D.81 5.(25-26高二下河北邯郸期中)(2x-3)”的展开式中，奇数项的二项式系数和为（) A.210 B.29 50-1 -1-510 D 2 6.(25-26高二下河北石家庄·期中) 2 的展开式中各二项式系数和为64，则n=（） A.4 B.6 C,8 D.10 (25-26高二下河北沧州阶段检测)若二项式x+ 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024， 则二项式系数最大的项是() A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 6 8.(25-26高二下·福建厦门阶段检测)在二项式 2x+ 展开式中，下列说法不正确的是() A.第四项二项式系数最大 B.常数项为第四项 C.有理项共有4项 D.所有项的二项式系数之和为64 题型05二项展开式的有理项问题 8 1.(25-26高二下四川宜宾期末) 的展开式中所有的有理项有()项 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二下湖南永州期中)(x-3)°的展开式中系数为有理数的各项系数之和为() A.-30 B.-29 C.1 D.31 3.(25-26高三上山西晋城阶段检测) 在 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则 的展开式中有理项的项数是() A.5 B.4 C.3 D.2 4.(2026高二·全国专题练习）在(2-2)”的展开式中有理项的个数为() A.10个 B.11个 C.12个 D.13个 5.(25-26高二下·江苏连云港期中)在 + 的展开式中，有理项的个数共有 个 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06二项展开式系数最大（小）问题 1.(2026湖南郴州模拟预测)(x-2)°的二项展开式中所有项的系数的最大值为() A.84 B.128 C.240 D.560 2.(25-26高二下山东泰安·期中) 的展开式中，系数最大的项为() A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 10 3.(25-26高二下全国课后作业) 的展开式中，系数最大的项是() A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 4.二项式(-x)n"(n∈N)的展开式中系数最大的项是()· A.第2n+2项 B.第2n+l项 C.第2n项 D.第2n-l项 5.(25-26高二下上海期末)在(-x”的展开式中系数最小的是第」 项 2026安微准有二模)已知-》 的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系 数为 7.(25-26高二上·上海期末)已知 x+ 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项 题型07两个多项式积的特定项 1.(25-26高二下河南郑州期末)(+2x+3x2)0-x)的展开式中，x4的系数为() A.42 B.70 C.-126 D.266 2.(25-26高二下河北期末)(1+2x2)1+x°的展开式中x的系数为() A.15 B.25 C.30 D.35 3.(25-26高二下山东聊城期未)已知在(x+a(x2+x+1)°的展开式中，x0的系数为29，则实数a的值 为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(25-26高二下湖北鄂州期末)(2x+x-2y)的展开式中，xy'的系数为() 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-80 B.120 C.-120 D.40 5.(25-26高二下·全国课后作业) a+2- 的展开式的常数项是 (2)1-√x)(I+√x)的展开式中含x的项的系数为 6.(25-26高二下河北承德期末)“算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核 心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从 而解决问题.请你结合二项式定理，利用等式(x+1)”(x+1)”=(x+1)”，,计算 C2n2C06+C202C206+C3oC206++C208C926= (结果用组合数表示) 7.(25-26高二下黑龙江期末)在(x-(x+(x+2的展开式中，含x4的项的系数为 题型08三项式的特定项 1.(25-26高二下重庆阶段检测)在(x2-x-2°的展开式中x2项的系数是() A.-48 B.-24 C.24 D.48 2.(25-26高二下福建阶段检测) +2 x 的展开式中的常数项为() A.-20 B.20 C.-15 D.15 3.(25-26高二下·天津武清期中)，已知1+2x)”的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则 的展开式中的常数项是() A.20 B.70 C.84 D.864 4.(25-26高二下天津阶段检测)在(x-x-y)的展开式中，含x4y2的项的系数为() A.10 B.20 C.30 D.60 5.(23-24高二下广东深圳期中)当n∈N时，将三项式(x2+x+1)”展开，可得到下列等式： 广义杨辉三角 (x2+x+1)°=1 第0行 1 (x2+x+1)'=x2+x+1 第1行 111 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 第2行 12321 (x2+x+1)3=x6+3x3+6x2+7x3+6x2+3x+1 第3行1367631 (x2+x+1)4=x8+4x+10x6+16r3+19x4+16x3+10x2+4x+1第4行14101619161041 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行 共有2k+1个数，则在(1+)(x2+x+l)的展开式中，x的系数为75，则实数a的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.(25-26高二下河北衡水阶段检测)(2x+y-2'展开式中含xy项的系数为 7.(2526高二下山东枣庄期中)(x2+x+y)的展开式中xy的系数是 (用数字作答)， 8.(25-26高二下-上海闵行期中)(x2+x+1)=a+ax+a,r2+a4,r2++a2r2,则a,=一 题型09二项展开式各项系数和 1.(25-26高二下四川资阳期末)在(3-x的展开式中，各项系数的和等于() A.16 B.32 C.36 D.64 2.(25-26高二下福建泉州期末)已知1-2x)=a+ax+ar2+a,x+a4x4,则a+a+a+a4=() A.-1 B.0 C.1 D.2 1 3.(25-26高二下·天津津南期末)在 的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式 中各项系数的和为() 1 1 1 A.8 B.16 C.32 D.64 4.(25-26高二下江苏泰州期末)若 x=a。+a(x-1)+a,(x-1+a(x-l)3+a4(x-l)°+a(x-l°+a(x-l),其中a,a,42,a,a4,a, a6均为实数，则4+a+a+a,+a,+a6=() A.31 B.32 C.63 D.64 5.(25-26高二下贵州黔西南期中)已知(1-x°=a+ax+ar2+a,r+a,x+a,x,则a。-a+42-4,+a 的值是() A.30 B.31 C.32 D.33 6.(25-26高二下天津西青期中)设V2x+2=a+ax+4x2+ax3+a,x,则 (a-a+a2-a+a4)(a+a+a2+a+a4)的值为() A.-16 B.16 c.1 D.-1 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.（25-26高二下北京期中)）已知(2x-1)26-a+ax+a,2+…+a%x206,则4+a,+a,++a6= () A.1 B.0 C.32026 D.-1 题型10奇次项与偶次项的系数和 1.(25-26高二下河南洛阳期末)若(1-x=4+ax+ax2+4x3+a,x+ax+a,x+a,x+ax,则 a42+a4+a6+ag=() A.-129 B.-128 C.127 D.128 2.(2026北京三模)己知(1-2x)'(1+x)=a+ax+ax2+a,r3++a,,则a,+a+a4+a,=（) A.1 B.-1 C.-122 D.122 3.(25-26高二下北京平谷期中)若3x+)=ax+a4x++ar+ax+a,则4，+4+a4=（) A.90 B.270 C.496 D.1024 4.(25-26高二下江苏南通期中)设(2x+V5)=a,+ax+a,r+a,x2+a,x,则 (a。+a,+a)2-(a+a)=() A.-1 B.1 c.(2+5° D.(2-3 5.(25-26高二下吉林期中)若(x2+2x+1°=a+ax+a,x2+axr3+a,x+a,x+a,x,则 a0+a2+a4+a6= 6.(2026山东聊城模拟预测)已知 (2+x°+(2+x)+…+(2+x”=a+a(3+x)+a(3+x}+…+a3+x),则a+a+a,+…+a2= 7.(25-26高二下河北保定期中)己知(1+2x)°+(1-2x)°=a+ax++a,r,则a,+a+a+a,= 题型11近似计算问题 1.(25-26高二下·江苏南京阶段检测)下列选项中与1.02最接近的数为() A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 2.(25-26高三下·浙江杭州·阶段检测)实数1.996的近似值（精确到0.001）是() A.31.680 B.31.681 C.31.682 D.31.683 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026江苏镇江二模)计算0.99°保留到小数点后3位的结果是() A.0.945 B.0.905 C.0.904 D.0.903 4.(2026安徽滁州二模)试估计1.01°≈()（精确到0.0001） A.1.1462 B.1.1463 C.1.1045 D.1.1046 5.0.99°的小数点后第三位数字为（ A.4 B.0 C.2 D.3 题型12余数和整除的问题 1.(25-26高二下·吉林期末)82”除以7的余数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二下山东菏泽期末)今天是星期六，若2+m(m∈N,且0≤m≤6)天后仍是星期六， 则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26高二下贵州安顺期末)对于整数a,b,m(m>0),若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b 对模m同余，记为a三b(modm).已知a=60,且a≡b(mod5),则b的值可以是() A.2019 B.2021 C.2023 D.2025 4.(25-26高二下~山东滨州期未)设整数a,b,m(m>),若a和b除以m所得的余数相同，则称a和 b对模m同余，记为a=b(modm),如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9=21(m0d6). 若a=52C2-521Cn+520C2-…+52C”-5'C2+C2,a=b(mod17),则b的值可以是() A.15 B.50 C.201 D.354 5.(25-26高二下湖北鄂州期末)如果今天是星期五，那么2226天后是星期几？() A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期日 6.(25-26高二下-浙江台州期末)在(+x°+(1+x++(+x)'的展开式中，设含x项的系数为k,则 K25除以8的余数为() A.1 B.3 C.5 D.7 题型13杨辉三角形问题 1.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右·则第2025行所有数的和为() 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行14641 … A.22024 B.22025 C.22026 D.22027 2.(25-26高二下河北石家庄期中)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批 数学爱好者的探究欲望“杨辉三角”如图所示，则C?+C+C号++C。=() 第0行 第1行 1 第2行 1 2 1 第3行 133 第4行 146.41 第5行 15101051 第6行 1615201561 第n-1行 1CC21·CnC-Cn}1 第n行1CC…C1CC.…C11 A.160 B.165 C.168 D.170 3.(25-26高二下·天津阶段检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的 杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的 是() 第0行 第1行 第2行 1 第3行 1 3 3 第4行 1 4 6 4 第5行15101051 A.由“第n行所有数之和为2"”猜想：C+C,+C++C%=2” B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：C1=C+C% C.C2+C+C+…+C。=165 D.第29行中从左到右第14与第15个数相等 4.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》一书中就有出现.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其 “肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题正确的是()· 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 。ee。004000 第n行 A.在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B.第9行所有数字之和为256 a10 C.记第20,21行数字的最大值分别为4，b,则6=2i D.在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 5.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一 种几何排列规律，用a,)代表第i行，第j个数，ieN,j=l,i+l,例如a(4,3)=6,如图所示，则下 列关于“杨辉三角”的结论正确的是() 杨辉三角 第0行(a+b) 1 第1行(a+b) 11 第2行(a+b)2 121 第3行(a+b)3 1331 第4行(a+b) 14641 第5行(a+b) 15101051 第6行(a+b)° 1615201561 第7行(a+b) 172135352171 第8行(a+b)818285670562881 A.a(10,3)=36 B.在第100行中，a(100,50)最大 c.a(2025,1013)=a(2025,1014) D.a(3,3)+a(4,3)+a(5,3)+…+a(20,3)=1330 6.在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式： C+C+C++C,=C1.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2023层， 底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此 “刍童垛”中圆球的总数为() 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 2024 第4行 14641 8068 第5行 15101051 第n行1CC2…Cl.C%-2C-11 2025 图1杨辉三角 图2刍童垛 图3刍童垛底层 A.2C302s-2 B.2C20m6-2 C.Co26-2 D.C202s-2 综合攻坚知能拔高 1.(25-26高二下浙江期中)已知a,=(1+V2),(neN),且a,=a+bN2,(a,b∈Z),则下列结论正确的 是() A.对于任意奇数n,a都是偶数 B.对于任意偶数n,a与b的奇偶性相同 C.对于任意偶数n,都有a2=2b2-1 D.对于任意偶数n,都有a2=2b2+1 2.(25-26高二上甘肃武威期末)已知m为满足S=n+C+Cm+C+…+C8(n≥3)能被9整除的正 1）% 整数的最小值， 则x一》 的展开式中，系数最小的项为() A.第6项 B.第7项 C.第11项 D,第6项和第7项 3.(2025上海校拟预测)直二项式定理可知1+)-2(Cr） 用赋值法，令x=1得到 艺c。-2”,行以计生2c等T《) A.238-2198 B.2398+2198 C.238-219 D.2398+299 4.(25-26高三全国二轮复习)这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果 相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从 不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以 用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式(+x)”=(1+x”(x+)°可知，其左 边的x”项的系数和右边的x”项的系数相等，得到如下恒等式为() A.(C+(C2+(C)++(C=C2。 B.Am+mAm=Am 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.CC+CC+C2C+CCO=C D.nC =kC 5。（多选)(25-26高二下山东菏泽期末)规定C:=x-x-2斗-x-m+ m! 2, 其中x∈R'm∈N 且C=l,这是组合数C(n,mEN,且m≤n)的一种推广.于是广义二项式定理可写成：(1+x°= C。+Cx+C2x2+Cx+…+Cx+…,其中<1，等式右端有无穷项.下列说法正确的有() A.(1+x)展开式中x2的系数为-10 B.(1+x)=1-x+x2-x2+x4-x5+ C.当n为正整数时，Cn=(-l)Cam D.当m为正奇数时，C(-少P'C 6.(多选)(25-26高二下·福建南平·期未)将杨辉三角中的每一个数值C都换成(+)C,得到的三角形 称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个 数之和.如果n≥2(n∈N),以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有() 杨辉三角 莱布尼茨三角形 第0行 1 1 第0行 第1行 11 11 第1行 22 第2行 121 11 36 3 第2行 第3行1331 111 41212 第3行 4 A.第8行的第2个数是72 B.当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C.第100行中，第46个数等于第56个数 1 D.(n+1)C(n+)C:=nC(FEN,Isrsm) 7.(2526高二下福建泉州阶段检测)已知(x+3(x-)°=a+ax+a,r2+4x3+a4x+a,x,则 43+44+a5= 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高二下全国期末)(2y+4x-y-2)的展开式中xy的系数为一· (用数字作答) 14/14