专题03 二项式定理（8大题型专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题03 二项式定理（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求二项展开式 1 题型二、求展开式的特定项或特定项的系数（重点） 2 题型三、用赋值法求系数和问题 4 题型四、多项式积的展开式中的特定项问题（重点） 6 题型五、求展开式中系数最大（小）的项 7 题型六、三项展开式的系数问题（重点） 10 题型七、利用二项式定理解决整除和余数问题 12 题型八、证明组合恒等式（难点） 15 B综合攻坚·能力跃升 16 题型一、求二项展开式 1．化简：________． 【答案】 【详解】． 故答案为： 2．求的二项展开式． 【答案】 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． 3．求多项式的展开式． 【答案】 【详解】， ． 4．计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 题型二、求展开式的特定项或特定项的系数 5．在的展开式中常数项为6，则（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】B 【详解】的通项公式为，， 令，则，所以，解得. 又，所以. 6．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．126 D．63 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，因此的系数为. 7．在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】B 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为第五项，故B错误； 对于C，在中，当时，代数式为整数， 所以有理项共有4项，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 8．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______． 【答案】（只需满足，） 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 因为，，由，故， 从而可知. 故答案为：（只需满足，）. 9．若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是______． 【答案】2 【详解】， 令，得，则． 令，得，则． 由，即，因为，解得． 故答案为：2. 题型三、用赋值法求系数和问题 10．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 【答案】C 【详解】令，则； 令，则，故. 11．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，可得，故A错误； 而其展开式的通项公式为， 令，解得，所以,故B正确； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得，故C正确； 两式相减可得，故D正确； 12．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 13．若，则________． 【答案】3124 【详解】由题设，含的项中，当为奇数，系数为负，而当为偶数，系数为正， 所以， 令，则； 令，得， 所以． 14．已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1），. （2）令，得， 令，得， . 题型四、多项式积的展开式中的特定项问题 15．在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 【答案】D 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 16．的展开式中的系数为（    ） A．18 B．21 C．22 D．28 【答案】C 【详解】的展开式通项公式为：， 当时， 当时，， 所以的展开式中的系数为, 故选：C 17．在的展开式中，的系数为____. 【答案】 【详解】依题意可知，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. 18．若展开式中的系数为，则_________. 【答案】 【详解】由题意可得，，展开式的通项公式为，所以含的项的系数为，则，即，解得. 故答案为：. 19．若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是_________. 【答案】 【详解】， 其中展开式的通项为， 令，可得， 所以的常数项为， 令，可得，的的系数为， 令，可得，的的系数为， 所以的的系数为. 故答案为：. 题型五、求展开式中系数最大（小）的项 20．的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 21．（多选）记，其二项展开式为，，则下列说法正确的是（    ） A．若的二项展开式中存在常数项，则一定是7的倍数 B．若的二项展开式中存在常数项，则一定是6的倍数 C．若是奇数，则的二项展开式中第项为系数最大的项 D．若是偶数，则的二项展开式中第项为二项式系数最大的项 【答案】AD 【详解】若存在常数项，设第项为常数项，即为常数项， 所以是常数，即，即， 又因为为正整数，故一定是7的倍数，故A正确，B错误； 对于C，设，则， 二项展开式的第项为，其系数为，不能确定正负，故C错误； 对于D，设，则， 二项展开式的第项为，其二项式系数是最大的，故D正确． 故选：AD． 22．在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 【答案】 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 易知时对应项系数为正，时对应项系数为负， 又，，， 所以系数最大的一项为. 故答案为：. 23．已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256. (1)求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）. 【答案】(1)，展开式中第5项的二项式系数为； (2)，，，，； (3)1792. 【分析】 【详解】（1）二项式系数和为，所以 展开式中第5项的二项式系数为 （2） 当，时，展开项为有理项 因为且，所以展开项为有理项时 （3）设第项的系数为，则 所以 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，，，即； 综上，当取最大值时，或 所以展开式中各项系数的最大值为1792. 24．已知的展开式的二项式系数之和为256． (1)求； (2)若展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】 【详解】（1）由二项式系数之和为，可得． （2）易知，设第项系数最大， 则，解得， 由于只有第6项和第7项系数最大，所以满足条件的或6， 因此，即，故m的值为2． 题型六、三项展开式的系数问题 25．展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 26．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 27．多项式的展开式中，常数项为_____． 【答案】76 【详解】的通项为，. 的通项为，. 令，则，所以必须是3的倍数，故可能的取值为. 当时，，对应项的系数为1； 当时，，对应项的系数为； 当时，，对应项的系数为； 所以常数项为：. 28．的展开式中的系数为_____．（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得或， 因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 29．多项式的展开式中项的系数为______． 【答案】 【详解】根据二项式定理可得： ， 由上可得含只能是这一项展开得到， 所以含项的系数为：， 即展开式中项的系数为. 故答案为： 题型七、利用二项式定理解决整除和余数问题 30．求除以19的余数． 【答案】5 【详解】因为 ， 所以除以19的余数为5． 31．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 32．如果今天是星期一，那么对于任意自然数，经过天后的那一天是星期几？ 【答案】星期日 【详解】由于 ， 则除以7所得余数为6． 所以对于任意自然数，经过天后的一天是星期日． 33．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 【答案】(1), 或 . (2),. (3)1 【分析】 【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . 代入 ,,, 整理得 ,解得 或 . 故 , 或 ； （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 展开式通项为 ,系数为 ,. 设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 . 故 ,解得. 综上 ,即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:,； （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 又 ,则     故 被5除的余数为 . 34．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)设，则当时，求除以15所得余数． 【答案】(1)； (2)，，； (3)0 【分析】 【详解】（1）根据题意，，即，又，故； （2）由题意得， 其展开式的通项公式， 要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故， 当时，， 当时，， 当时，；当为其他值时，均为无理项， 故有理项为，，； （3）而， 当时， ， 而能够被15整除， 故除以15所得余数为0． 题型八、证明组合恒等式 35．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . 36． 【答案】证明见解析 【详解】记，则， 所以 由于， 所以 所以中的系数为：， 而展开式中的系数为， 所以成立 37．求证： 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以，所以 38．求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 2．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】D 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 3．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 【答案】C 【详解】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 4．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 【答案】C 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 6．（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项, 令得, 所以的系数为. 7．（2025·26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则__________. 【答案】2 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以当时，展开式中的系数为. 故答案为：2 8．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为__________． 【答案】 【详解】第一步， 中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项， 即； 第二步， 中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项， 即； 则的展开式中的项为，系数为. 故答案为：. 9．（2026·陕西咸阳·二模）在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 【答案】 【详解】的展开式前三项为， 的展开式前三项为， 所以的系数为，. 即， 令，得． 10．（2025·26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若存在使得，则的最大值为__________． 【答案】39 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ，， 若，则为奇数， 此时， 得， ，又为奇数，的最大值为39. 故答案为：39. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求二项展开式 1 题型二、求展开式的特定项或特定项的系数（重点） 2 题型三、用赋值法求系数和问题 2 题型四、多项式积的展开式中的特定项问题（重点） 3 题型五、求展开式中系数最大（小）的项 3 题型六、三项展开式的系数问题（重点） 4 题型七、利用二项式定理解决整除和余数问题 4 题型八、证明组合恒等式（难点） 5 B综合攻坚·能力跃升 6 题型一、求二项展开式 1．化简：________． 2．求的二项展开式． 3．求多项式的展开式． 4．计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 题型二、求展开式的特定项或特定项的系数 5．在的展开式中常数项为6，则（    ） A． B．1 C． D．6 6．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．126 D．63 7．在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 8．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______． 9．若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是______． 题型三、用赋值法求系数和问题 10．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 11．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 13．若，则________． 14．已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 题型四、多项式积的展开式中的特定项问题 15．在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 16．的展开式中的系数为（    ） A．18 B．21 C．22 D．28 17．在的展开式中，的系数为____. 18．若展开式中的系数为，则_________. 19．若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是_________. 题型五、求展开式中系数最大（小）的项 20．的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 21．（多选）记，其二项展开式为，，则下列说法正确的是（    ） A．若的二项展开式中存在常数项，则一定是7的倍数 B．若的二项展开式中存在常数项，则一定是6的倍数 C．若是奇数，则的二项展开式中第项为系数最大的项 D．若是偶数，则的二项展开式中第项为二项式系数最大的项 22．在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 23．已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256. (1)求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）. 24．已知的展开式的二项式系数之和为256． (1)求； (2)若展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求的值． 题型六、三项展开式的系数问题 25．展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 26．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 27．多项式的展开式中，常数项为_____． 28．的展开式中的系数为_____．（用数字作答） 29．多项式的展开式中项的系数为______． 题型七、利用二项式定理解决整除和余数问题 30．求除以19的余数． 31．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 32．如果今天是星期一，那么对于任意自然数，经过天后的那一天是星期几？ 33．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 34．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)设，则当时，求除以15所得余数． 题型八、证明组合恒等式 35．求证：. 36． 37．求证： 38．求证： 1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 2．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 3．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 4．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 6．（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 7．（2025·26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则__________. 8．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为__________． 9．（2026·陕西咸阳·二模）在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 10．（2025·26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若存在使得，则的最大值为__________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $