精品解析：福建泉州市永春汤城中学2026-2027学年九年级上学期第一次综合素养数学试题

2026秋汤城中学九年数学10月月考试卷 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义．解题的关键是掌握形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可得． 【详解】解：A． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； B．为负数，则无意义，故本选项不符合题意； C．是二次根式，故本选项符合题意； D． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 4. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，则，然后代入数值进行求出，即可作答． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 6. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 7. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 8. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将x=1代入求得m的值，然后解一元二次方程即可求出另一根． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1 ∴1+m+3=0，即m=-4 ∴ （x-1）（x-3）=0 x-1=0，x-3=0 ∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x的一元二次方程的一个根为1求得m的值成为解答本题的关键． 12. 计算的值是　 　． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式运算顺序直接运算得出即可 【详解】解：． 故答案为：2. 13. 若，则ab=________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴a−2=0，a+b=0， 解得a=2，b=-2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知m，n是方程的两实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 即， 由根与系数的关系可得，，， ∴， 代入，，得 原式． 15. 要使，实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别判断等式两边二次根式成立的条件，右边要求被开方数非负，验证该条件下等式成立，即可得到的取值范围． 【详解】解：等式左边，对任意实数都有意义． 要使原等式成立，需先使等式右边有意义． ∵ 二次根式的被开方数必须为非负数， ∴ ， 解得． 当时，左边，右边， 左边等于右边，原等式成立． 因此的取值范围是． 16. 如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点，则面积的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，得到，推出，，得到，，当最大时，最大，最大，，过点作于，当最大时，最大，由，得到当时，，根据三角形面积公式求出面积的最大值． 【详解】解：连接， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当最大时，最大，最大， 过点作于， ， 当最大时，最大， ， 当时， ，此时， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，相似与动点问题，正确掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 三、计算题：每小题共6小题，共36分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第三项利用了平方根定义化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果. 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19. 用配方法解方程：； 【答案】 ，. 【解析】 【分析】核心步骤为先把常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，构造完全平方式，最后利用直接开平方法求解． 【详解】解：移项，得： 配方，两边同时加上： 直接开平方，得 ，． 20. 用适当方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ，； （2） ，； （3） ，． 【解析】 【小问1详解】 解： ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： ， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解： ∴或， 解得，． 四、解答题：本题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知：x＝，y＝ （1）求x2+y2﹣2xy的值 （2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求5m2+（x﹣n）2﹣y的值． 【答案】（1）12；（2）19﹣13． 【解析】 【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可； （2）求出m、n的值，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵x＝＝2﹣，y＝＝2+， ∴x+y＝4，xy＝1， ∴x2+y2﹣2xy ＝（x+y）2﹣4xy ＝42﹣4×1 ＝12； （2）∵1＜＜2， ∴0＜2﹣＜1，3＜2+＜4， ∵x的整数部分为m，y的小数部分为n， ∴m＝0，n＝2+﹣3＝﹣1， ∴5m2+（x﹣n）2﹣y＝5×02+[（2﹣）﹣（﹣1）]2﹣（2+）＝19﹣13． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，能灵活运用知识点进行计算是解题的关键. 22. 解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法： （1）已知关于的方程的两个根是和，求和的值； （2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和p的值． 【答案】（1），； （2）方程的另一个根为，或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根，继而得到， 解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得，； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， ， 解得； ， ， 解得或． 23. 如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可得再代入数据即可得到结论； （2）由，可得可得 结合，从而可得答案. 【详解】解（1）， AB＝3，BC＝6，DE＝4， 经检验：符合题意； （2）， 而DE：EF＝2：3， 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键. 24. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求 （2）从购买草莓客户的角度应该降价元 （3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 25. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋汤城中学九年数学10月月考试卷 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 5. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 6. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 7. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为________． 12. 计算的值是　 　． 13. 若，则ab=________． 14. 已知m，n是方程的两实数根，则的值为______． 15. 要使，实数x的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点，则面积的最大值是________． 三、计算题：每小题共6小题，共36分． 17. 计算：． 18. 计算： 19. 用配方法解方程：； 20. 用适当方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 四、解答题：本题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知：x＝，y＝ （1）求x2+y2﹣2xy的值 （2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求5m2+（x﹣n）2﹣y的值． 22. 解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法： （1）已知关于的方程的两个根是和，求和的值； （2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和p的值． 23. 如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 24. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 25. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $