模拟试卷（02）-【领航中考】2027年中考数学模拟卷（深圳专版）

2027年深圳市中考数学模拟试卷（02） （本卷满分 100 分，共 20 小题，考试时间 90 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2．（3分）已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 4．（3分）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 5．（3分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 6．（3分）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7．（3分）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 8．（3分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 10．（3分）如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是______． 11．（3分）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 12．（3分）对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 13．（3分）化简：＝__________． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．（6分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 15．（7分）某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 16．（8分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 17．（8分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 18．（10分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 19．（10分）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 20．（12分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 学科网（北京）股份有限公司 $2027年深圳市中考数学模拟试卷(02) (本卷满分100分，共20小题，考试时间90分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个 是正确的) 1.(3分)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧 妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列 关于“赵爽弦图”说法正确的是() A. 轴对称图形 B.是中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2.(3分)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(3分)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线 会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板 电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量 Q与I的函数图象（如图2）·下列结论中错误的是（) 超负荷了！ I/A个 Q/J小 2---- 440 P/W A 图1 图2 A.当P=440W时，I=2A B.2随I的增大而增大 C.I每增加1A,Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 4.(3分)若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x-5≤0的正整数解.则 等腰三角形的周长为() A.3 B.4 C.5 D.4或5 5.(3分)某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发， 甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比 甲晚出发30mi,跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示 甲、乙两人之间的距离(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.() Ay/m 3600 50 86 x/min 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min; ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m; ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m 其中正确的结论有： A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.②③④ 6.(3分)近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有 “敬”字列车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为( A.(a-9)元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元 7.(3分)葫芦在我国古代被看作吉祥之物.下图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三 视图说法正确的是() 正面 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.主视图、左视图与俯视图都相同 8.(3分)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征 值”.如图，矩形BCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中 “特征值”最小的是() D B A.点A B.点B C.点C D.点D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.3分)若a、久、c是三个不为零的实数，且a=bc,则的最小值为 I0.(3分)如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD,CD于点 F、M,过点F作NP⊥AE,分别交AD、BC于点N、P,连接MP.下列四个结论：① AM=PN;②DM+DN=V2DF;③若P是BC中点，AB=3,则EM=210;④ BF·NF=AF·BP;⑤若PM∥BD,则CE=V2BC.其中正确的结论是 N D M B 11.(3分)如图，一次函数y=+b的图象经过A(3,6),B(0,3)两点，交x轴于点C,则 △MOC的面积为 B 12.(3分)对于一次函数y=(k+)x-k(k是常数，且k≠-1)，下列结论： ①点山，)在此函数图象上： 1 ②当k=1且y<0时，x<2 ③当k<0时，'随x的增大而减小 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 13.(3分)化简： V(-3)月 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14.(6分)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加 工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售 25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元， (1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品 展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1OO0盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种 柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、 B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 15.(7分)某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动.受时间限制，每位学生只 能参加一类社团活动.为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机 选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图· ↑人数（人） P 16 16 14 舞蹈 12 40% 10H 人a智能 6 6 声乐 42 45% 0 舞蹈声乐人工社团活动 智能 根据图中信息，回答下列问题： (I)①此次调查一共随机抽取了名学生，扇形统计图中圆心角“=度； ②补全条形统计图； (2)若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数 16.(8分)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧 智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机 中能提炼出的白银比黄金多760克，已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨 废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 少克 17.(8分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动· 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）·在点F处竖立标杆EF,直立在点 P处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上·已知旗杆底端N与F、2在 同一条直线上，EF=2.8m,P2=1.4m,QF=2m,FN=16m B777777T7777771777771I/77 FO (图2) N (图1) (I)求旗杆MN的高度. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该 小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发 现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）·在 地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点O处的小军从点P处看到标杆顶E、 塔顶A在同一条直线上.小军沿F⑨的方向走到点Q处，此时标杆E'F'竖立于F处，从点 P处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB、EF、P四E'F和P'在同一平面 内，点BRQF八O在同一条直线上，EF=EF=2.8m,PO=P'O=l.4m, F0=1.2m,F'Q'-2.2m,QQ'=30m (2)求妙光塔AB的高度. 18.(10分)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=m+br+4(a<0)与x轴交于点A(-2,0）,B(4,0) 与y轴交于点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD1x 轴，垂足为D,PD交直线BC于点E. B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； (3)如图2，若将抛物线y=ar+bx+4沿射线AC方向平移5个单位长度，得到新抛物线】 点P为新抛物线上一点，且∠CBO=∠ACB,则点巴的坐标为； (4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM 绕点O顺时针旋转90°得到OM',取OM'的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接 AN,PF,则AN+PF的最小值为 19.(10分)某校九年级开展了“手工文创作品制作模拟营销”的项目式学习活动 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）. 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B 品的件数相等. 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售 价固定为16元/件 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件. 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本， 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为W元，A品售价为x元/件，求w关于x的函数解析式（不 要求写自变量x的取值范围) 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过14O0元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量 分配方案 20.(12分)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设 施，其运营效益成为关注重点，某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分 析，并进一步研究成本与收支平衡问题 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系 如下表： 1 2 3 4 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本”（单位：元)与充电汽车数量x之间满足： 1 0=x2+20x+500 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求'与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x 的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为 y=x，成本关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入一成本）取 得最大值，请写出符合条件的m值，并说明理由 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用 户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策2027年深圳市中考数学模拟试卷(02) （参考答案与解析) (本卷满分100分，共20小题，考试时间90分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个 是正确的) 1.(3分)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧 妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列 关于“赵爽弦图”说法正确的是() A. 轴对称图形 B.是中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直 线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把 一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，即可作答， 【详解】解： 是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 2.(3分)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可. 【详解】解：x=2是关于x的方程x+m=7的解， .2+m=7 ∴.m=7-2=5 故选C 3.(3分)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线 会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板 电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量 Q与I的函数图象（如图2）·下列结论中错误的是（) 超负荷了！ I/A个 Q/J小 440 P/W A 图1 图2 A.当P=440W时，I=2A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1A,2的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量O越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可 【详解】解：根据图1知：当P=440W时，I=2A,故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：随的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项 C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生 的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C 4.(3分)若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x-5≤0的正整数解.则 等腰三角形的周长为() A.3 B.4 C.5 D.4或5 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情 况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案. 【详解】解：解不等式2x-5≤0，移项得2x≤5. 5 ∴.X≤ 2·不等式的正整数解为1和2· ·等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为1和2， 分两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为2，三边长为，1,2， :1+1=2,不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 ②若腰长为2，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系， 此时周长为2+2+1=5」 因此等腰三角形的周长为5， 故选C 5.(3分)某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼。两人都从A地匀速出发， 甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流l0mi后，继续以原速步行前进；乙因故比 甲晚出发30mi血，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示 甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(mi血)之间的函数关系.() Ay/m 3600 50 86 x/min 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min; ②甲出发86mi时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m; ⑧甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后l00min； ④A，B两地之间的距离是11200m 其中正确的结论有： A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当 x=50时'第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；② 观察函数图象，可得出当x=86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确： ③设甲的速度为xm/min,乙的速度为m/min,利用路程=速度×时间，可列出关于x, ,的二元一次方程组，解之可得出x,y的之，将其代入86+360 x+y中，可得出甲、乙两人第 二次相遇的时间是在甲出发后98min,进而可得出结论③错误；④利用路程=速度×时间， 即可求出A,B两地之间的距离是11200m. 【详解】解：①：乙比甲晚出发30min，且当x=50时，y=0 ·乙出发50-30=20(min)时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min,结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x=86时，'取得最大值，最大值为3600， ∴.甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确； ③设甲的速度为m/min,乙的速度为m/min, [(50-10)x=(50-30)y 根据题意得： (86-30)y-(86-10)x=3600, [x=100 解得： y=200, .:86+ 3600 3600 =86+ =98 x+y 100+200 ∴.甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误； ④200×(86-30)=11200(m) ∴.A,B两地之间的距离是11200m,结论④正确 综上所述，正确的结论有①②④ 故选：B 6.(3分)近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有 “敬”字列车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为( A.(a-9)元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元 【答案】C 【解析】 【详解】解：原票价为a元， ∴优惠后的票价为a×0.9=0.9a元. 7.(3分)葫芦在我国古代被看作吉祥之物.下图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三 视图说法正确的是（) 正面 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得 到答案 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大 的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段， 故选：A. 8.(3分)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征 值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中 “特征值”最小的是() A A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设A(a,) AB=m,AD=n,可得D(a,b+m）,B(a+mb),C(a+m,b+m）,再结合新定义与分式的 值的大小比较即可得到答案， 【详解】解：设A(a,),AB=m,AD=m, .矩形ABCD .AD=BC=n,AB=CD=m D(a.b+n)B(a+m.b)C(a+m.+n) 6<2<6+n bb+n a+maa,而a+ma+m, .该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B; 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.3分)若a、6、c是三个不为零的实数.且d-c,则巴的最小值为 【答案】- m.025 【解析】 【分析】利用已知条件a=bc对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再 用配方法最小值即可 【详解】解：a=bc,且a,b,c都不为0， bc≠0， 设-后则>0，原式t-t号 -日子当时原式取得技小值子 即口的最小值为子 I0.(3分)如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD,CD于点 F、M,过点F作NP⊥AE,分别交AD、BC于点N、P,连接MP.下列四个结论：① AM=PV;②DM+DN=V2DF;③若P是BC中点，AB=3,则EM=2N10;④ BF·NF=AF·BP;⑤若PM∥BD,则CE=V2BC.其中正确的结论是 N D E 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】如图1，作PG⊥AD于G,则四边形ABPG是矩形，证明△PGN≌△MDM(ASA), 则AM=PN,可判断①的正误；如图2，作HF⊥DF交AD于H,连接CF,证明 △MBF≌△CBF(SAS),则AF=CF,LBAF=LBCF,由 LBPF+∠BAF=360°-LABP-∠AFP=180°，LBPF+LFPC=180°，可得LBAF=LFPC PF=CF=AF,FN=FM,证明△HFN≌△DFM(SAS),则HN=DM,由勾股定理得， DH=VDF2+HF2=V2DF,由DH=HN+DN=DM+DN,可得DM+DN=√2DF,可 判断2的正误：如图3，连接p由勾股定理得，AP=VAB+BP_35 2 AP-VPF+4F-PF-315 ,可求PF=3 4,设EM-r则PE= 2+x,8E=3+x 由勾股定理得.E=AB+BE=V+B+,由n∠E=F4 PEAE,可得 3V10 一= 3 整理得， ，可求满足要求的解为 ,则 2+x V32+(3+x2 x2-2x-24=0 x=6 AE=310 BE=9,由cosLE=CE=BE 69 EMAE,可得EM3√1而，可求EM=210,可判断③的正误；由 题意知，LBPF>90°，△BPF△VFA不相似，BF·NF≠AF·BP,可判断④的正误；由设 PC=CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,DM=b-a,BE=b+c,PE=a+c, PM=PC cos45=V2a,证明△FN≌PFM(SAS),则MAN-PM.a,证明AMDAEDC, AD DM b b-a bc AN FN 则CECM,即c=a，可求ab+c,同理，△ANFNEPF,则PEPF,即 √2aFN .DM FM FN b-a FN a+cPF,同理，△DMFABAF,则ABAFPF,即b=PF,可得 b-bc be b-a.2a,将，bc代入b-a=2a得，b b+c=b+c bc 整理得， a= -+C b a+c b+c b a+c b+c V2b+c-26+e可得，合5.则CE-N2C,可判断⑤的正误 【详解】解：正方形ABCD, .∠ABC=LBCD=LCDA=LDAB=9O°，AB=BC=CD=AD. ∠ADB=LABD=∠CBD=LCDB=45°， 如图1，作PG⊥AD于G,则四边形ABPG是矩形， A G ND M C .PG=AB=AD ,·∠GPN+∠GNP=90°=LGNP+∠DAM, ..LGPN LDAM 又：PG=AD,LPGN=90°=LADM, ·.△PGN≌△4DM(ASA) .AM=PN,①正确，故符合要求； 如图2，作HF⊥DF交AD于H,连接CF, A H N D 、F E C 图2 .∠DHF=45°=∠ADB ..DF=HF AB=BC,LABF=LCBF=45°，BF=BF, ·.△MBF≌△CBF(SAS) .AF=CF,LBAF=∠BCF, ·.:∠BPF+LBAF=360°-∠ABP-∠AFP=180°、∠BPF+∠FPC=180° .∠BAF=∠FPC .LBCF=∠FPC .PF=CF=AF .PN-PF AM-AF,FN FM, ·,·∠HFN+∠NFD=90°=∠DFM+∠NFD .∠HFN=LDFM, ·.HF=DF,∠HFN=∠DFM,FN=FM, :.△HFN≌△DFM(SAS) .HN DM 由勾股定理得，DH=VDF2+HF2=√2DF, ·.DH=HN+DN=DM+DN, .DM+DN=V2DF,②正确，故符合要求； :P是BC中点，AB=3, 3 :.BP-CP-2, 如图3，连接AP, N D C 图3 由勾股定理得AP=NAB+BP=)，AP=VPF2+AF2=V2PF=3V5 2 解得，PF=310 4 设EM=r,则PE= 2+x,BE=3+x 由勾股定理得，AE=VAB+BE2=V32+(3+x)}, .sin∠E= PF AB PE AE 310 4一 3 .3 V32+(3+x)2 整理得， 2+r x2-2x-24=0 解得，x=6或x=-4(舍去)， .AE=3V10,BE=9, ..COs LE=CE BE EM AE 69 .EM3V10, 解得，EM=2W10,③正确，故符合要求： 由题意知，LBPF>90°， ∴.△BPF△WFA不相似，BF·NF≠AF·BP,④错误，故不符合要求； .PM∥BD, ∴.LCPM=LCBD=45°，LCMP=LCDB=45°， PC=CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,DM=b-a,BE=b+c,PE=a+c PM=PC c0s450=V2a ·.·AF=PF,LAFN=90°=∠PFM,FN=FM .△MFN≌PFM(SAS). .AN PM=2a, .LADM =90=LECM,LAMD=LEDC, .△MMDn△EDC, AD DM b b-a “CECM,即ea, 解得，a= b+c, 同理，△4NF∽△EPF AN FN √2aFW ·PEPF, 即a+ePF' 同理，△DMF∽△BAF, DM FM FN b-a FN ∴AB=AF=PF,即b=PF, b-a 2a .ba+c’ b-bc v2 be 将bc代入b-a√2a得， btc=b+c b bc ， 整理得， a= +c b+c b a+c b+c V2b+√2c=2b+c 解得.分2 .CE=V2BC,⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正 弦，余弦，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质， 等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键 11.(3分)如图，一次函数y=x+b的图象经过A3,6),B(0,3)两点，交x轴于点C,则 △MOC的面积为 B 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角 形的面积.根据点A,B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，得出点C的坐 标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△4OC的面积. [3k+b=6 【详解】解：将A3,6),B(0,3)代入y=:+b,得： 1b=3 k=1 解得： b=3 ·直线AB的解析式为y=x+3 当y=0时，x+3=0,解得：x=-3, ∴点C的坐标为-3,0)，0C=3, :Sse-OC-ly-x3x6-9 故答案为：9 12.(3分)对于一次函数y=(k+)x-k(k是常数，且k≠-1)，下列结论： ①点（山，）在此函数图象上； ②当k=1且y<0时，x<) 2 ③当k<0时，y随x的增大而减小. 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 【答案】①②#②① 【解析】 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，② 代入k的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的 符号关系判断结论 【详解】解：对于①，将x=1代入y=(k+)x-k,得y=(k+)×1-k=k+1-k=1,所以点 (1,)在此函数图象上，故①正确。 对于②，当k=1时，函数解析式为y=(1+x-1=2x-1,当y<0时，得不等式2x-1<0, 移项得2x<1,系数化为1得x<2,故②正确 对于③，一次函数y=(k+)x-k的增减性由一次项系数k+1决定，当k<0时，若-1<k<0, 则k+1>0,此时y随x的增大而增大，只有当k+1<0即k<-1时，'才随x的增大而减小， 故③错误， 故正确的结论是：①②. 13.(3分)化简：V-3= 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质y匠-4“进行计算即可得。 【详解】解：V-3}=-3到=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质。 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14.(6分)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加 工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售 25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元. (1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品 展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共10O0盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种 柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、 B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒， 最大收益为34050元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； (1)设A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意列出二元一次方程组， 即可求解； (2)设售出A种柑橘礼盒盒，则售出B种柑橘礼盒(1000-)盒，根据题意列出不等式组， 得出595≤x≤600，设收益为y元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质， 即可求解。 【小问1详解】 解：设A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意得， 「a+20=b 125a+15b=3500 [a=80 解得： b=100 答：A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元： 【小问2详解】 解：设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒1000-x)盒， 根据题意得， [x≤1.5(1000-x 50x+60(1000-x)≤54050 解得：595≤x≤600 设收益为y元，根据题意得，y=(80-50)x+(100-60)1000-x)=-10x+40000 .·-10<0 .y随x的增大而减小， .当x=595时，y取得最大值，最大值为-10×595+40000=34050（元） .售出B种柑橘礼盒1000-595=405（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒， 最大收益为34050元. 15.(7分)某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动.受时间限制，每位学生只 能参加一类社团活动.为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机 选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图· ↑人数（人） 18 16 6 14 舞蹈 12 40% 10 人 8 人a智能 6 6 声乐 4 45% 0 舞蹈声乐人工社团活动 智能 根据图中信息，回答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了 名学生，扇形统计图中圆心角= 度； ②补全条形统计图； (2)若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数。 【答案】(1)①40；54；②见解析(2)160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识.由条形统计图 和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键， (1)①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数 得出其所占比例，再乘以360°即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； (2)用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可. 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了16÷40%=40名学生， 6 扇形统计图中圆心角α= -×360°=54° 4 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为40×45%=18名， 故补全条形统计图如下： 个人数（人） 18 18 16 16 14 舞蹈 12 40% 10 人工 人“智能 6 【小问2详解】 6 声乐 45% 2 09 舞蹈声乐人工社团活动 智能 16 解： ×400=160名， 40 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人： 16.(8分)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧 智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机 中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨 废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 少克 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键.设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银'克，根据从每吨废旧智 能手机中能提炼出的白银比黄金多760克，从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6 吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.列出二元一次方程组，解方程组即可· 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银'克， [y=x+760 根据题意得： 2.5x=0.6y [x=240 解得： y=1000, 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克 17.(8分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动。 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）·在点F处竖立标杆E℉，直立在点 卫处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F、卫在 同一条直线上，EF=2.8m,P2=1.4m,QF-2m,FN=16m B7T777777777TTT777T7TT FO (图2) (图1) (1)求旗杆MN的高度. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该 小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发 现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）·在 地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点P处的小军从点P处看到标杆顶E、 塔顶A在同一条直线上，小军沿FO的方向走到点Q处，此时标杆EF'竖立于F处，从点 P处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上·已知AB、EF、PO、EF和PQ在同一平面 内，点B、RQF在同一条直线上，EF=EF'=2.8m,PQ=PQ=1.4m FQ=1.2m,F'Q'=2.2m,QQ'=30m (2)求妙光塔AB的高度. 【答案】(1)14m;(2)43.4m 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键， (I)PH⊥MN于点H,交EF于点G,得矩形POFC,PONH,证明△MHPAEGP,根 MH HP 据对应边成比例得EGGP，代入数据求解即可； (2)P'H⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F'于点M',同(I)证明△HAP△MEP,推出 AH HP AH HP' HP HP' ME=MP,同理可得ME=MP,推出MP=MP,代入数值计算出HP=36m,再代入 AH HP ME-MP,求出AH=42m’ 进而即可求解， 【详解】解：(I)如图，PH⊥MN于点H,交EF于点G, (图1) 则四边形POFG,PONH均为矩形， .HIN=GF=PO=1.4m,GP=OF-2m,HP=NO=NF+FO=16+2=18(m) EG=EF-GF=2.8-1.4=1.4(m）, 由题意知EF∥MN, ∴.∠M=∠E，LMHP=∠EGP、 .△MHP∽△EGP, MH HP MH 18 EGGP,即1.4=2， 解得MH=12.6, .MN=MH+HN=12.6+1.4=14(m） 即旗杆MN的高度为l4m. (2)如图，PH⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F'于点M', B7m花P药 FO (图2) P2=P'Q'-=1.4m ∴点P在线段PH上，四边形PQFM,POBH,P'QFM',P'OBH均为矩形， .HIP=BO MP=FO=1.2m M'P'=F'O'=2.2m HB=MF M'F'=PO=P'O'=1.4m .∴.EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m、 由题意知EF∥AB, ∴.LHAP=∠MEP,LAHP=LEMP, ∴.△HAPP△MEP、 AH HP .ME MP AH HP' 同理可得ME=MP, EM=E'M' HP HP' .MP M'P', .HP=BO HP'=BO'=BO+20'=BO+30 BOBO+30 .1.2 2.2 解得B0=36m .HP=36m, AH HP AH 36 代入MEMP,得：1.412， 解得AH=42m, AB=AH+BH=42+1.4=43.4m) 即妙光塔AB的高度为43.4m. 18.(10分)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=w+br+4(a<0)与x轴交于点A(-2,0）,B(4,0）) 与y轴交于点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x 轴，垂足为D,PD交直线BC于点E. 0 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； (3)如图2，若将抛物线y=ax+br+4沿射线AC方向平移V5个单位长度， 得到新抛物线 点P为新抛物线上一点，且∠CBO=∠ACB,则点P的坐标为 (4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM 绕点O顺时针旋转90得到OM',取OM'的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接 AN,PF,则AN+PF的最小值为 答案】()y=2x+x+4 (2)PE的最大值为2，此时点P的坐标为(2,4) 3-√615+V61 3)(5,2)或2，-4 (4)5V2 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (②)设点Pp-P+n+4,求得直线BC的解析式为y=-x+4,则E(,-p+4)可得 PE=-)(p-2+2(0<p<4),利用二次函数的性质求解即可： (3)先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点Q位置：当9在x轴上方时，由 ∠CB0=∠ACB得BQ‖AC,联立直线与抛物线求交点得(5,2)；当Q在x轴下方时，由角 度关系得am∠D8Q=am∠4C0-方，列方程解得 3-V615+V61 2 4 (4)由(2)知，P(2,4),E(2,2),直线BC的解析式为y=-x+4,设M(m,-m+4),则 求得直线OE的解析式为y=x,设F(,),易得NF与x 轴所形成的锐角为45°，进而得到N(+1,1-1),则AN=V:+3+(t-1,设G(-3,1), AN+PF=FG+PF=Vt+3)}+(t-1+V(t-2)+(t-4,问题转化为求直线OE上的点F 到点G(-3,1和点P(2,4)的距离和的最小值，求出点G关于直线y=x的对称点G(1,-3),则 AW+PF的最小值为GP的长度，利用两点间距离公式求得GP即可求解。 【小问1详解】 解：将A-2,0),B(4,0)代入抛物线的解析式y=a+bx+4,得 1 a=- T4a-2b+4=0 ，解得 2 16a+4b+4=0 b=1 槌物线的解析式为少=+x+4 【小问2详解】 解：设点PB2D+n+4 当x=0时，y=-)x2+x+4=4 ∴.C(0,4) 设直线BC的解析式为y=ax+4, B(4,0 .4k+4=0,则k=-1, ∴直线BC的解析式为y=-x+4, :PD1x轴，.E(p,-p+4) PE=-3p2+p+4-(p+4)=3p2+2p =-n-2+20<p<4), 1 <0 2 当P=2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为2,4： 【小问3详解】 解：对于y=-2+x+4,当x=0时.y=4,则C(0,4) ·A-2,0）,√5=V2+22, 将抛物线y=了+x+4沿射线AC方向平移5个单位长度，相当于将抛物线 2 y=2+x+4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， 新抛物线的解折式为=-+(x-)4+2=+2x+ 9 分两种情况： 当点2在x轴上方时，如图， 设直线AC的解析式为y=kx+4 将A(-2,0)代入，得0=-2k+4,解得k=2, .直线AC的解析式为y=2x+4, .·∠CBQ=∠ACB .BQ∥AC ,设直线BO的解析式为y=2x+b, 将B(4,0)代入，得0=8+b,解得=-8， ∴直线B0的解析式为y=2x-8, y=2x-8 联立方程组 ,9,解得x=5或x=-5(舍去)， y=21y=-18 .05,2)； 当点9在x轴下方时，如图，过作QD上x轴， 设g9+2g+ 9 则D(g,0) 0B=0C=4,0A=2, ∴.LOCB=LOBC,又∠CBQ=∠ACB ·.LDBQ=LACO .tanLDBo-tanLACo-041 0C2, 六tanLDBO= 2.+2 9 2.1, 整理得 BD 4-q 2 2-3g-13=01 解得g3v6 2 ·(舍去) 1 ,23-6,95+V6 +2× 2+2-4 4 (3-V615+√61 综上，满足条件的的坐标为(5,2)或2，-4 【小问4详解】 解：如图，作MH1y轴，MG⊥x轴 M 由(2)知，P(2,4),E(2,2),直线BC的解析式为y=-x+4, QMOM90, ∴.LMOH+LMOG=90°，且LMOH+LOMH=90°， .∴.∠OMH=∠MOG 「LOHM=∠MGO=90° 在 和 中， ∠OMH=∠M'OG △OMH△M'OG OM =OM :.△OMH≌△MOG(AAS)」 .∴.OH=MG,MH=OG 设M(m,-m+4),则M'(-m+4,-m). :N是OM'的中点， :个】 .E(2,2),0(0,0） ∴.△ODE为等腰直角三角形， .LE0D=45° 设直线OE的解析式为y=kx，代入E(2,2),得k,=1, ∴直线OE的解析式为y=x, ·NF⊥OE于F, 二设F(,),且NF与x轴所形成的锐角为45°， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K, ) V 则∠FNK=45°，LNFK=∠45° ∴△WKF是等腰直角三角形， -m+4-=f-m NK=FK,即xw-t=t-yw,可得2 2 .m=2-2t,则N(+l,t-1). .AN=vt+1+2}+t-1-0=V+3}+t-, 如图，设G(-3,1) .AN=FG .AW+PF=FG+PF=t+32+(t-1)2+Vt-2}+(t-42 问题转化为求直线0E上的点F到点G(-3,刂和点P(2,4)的距离和的最小值， 设点G关于直线y=x的对称点为G,则G(1,-3) 则AN+PF的最小值为GP的长度， GP=V2-1}+(4+3}2=50=52, .AN+PF的最小值为5V2. 19.(10分)某校九年级开展了“手工文创作品制作模拟营销”的项目式学习活动 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品） 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B 品的件数相等. 信息2：当A品售价为18元件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售 价固定为16元/件 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件 成本核算： (I)分别求制作一件A品和一件B品的成本 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求w关于x的函数解析式（不 要求写自变量x的取值范围) 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量 分配方案 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2)w=-10x2+580x-3600 (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【解析】 【分析】(1)设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为(a+2)元，根据“用 120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； (2)根据“当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件”求出 A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于x的函数 解析式； (3)先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可. 【小问1详解】 解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为(a+2)元， 12080 由题意可知： a+2a, 解得：a=4」 经检验：α=4是原方程的根，符合题意， 故a+2=6 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小问2详解】 解：：当A品售价为18元件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件， ∴A品的销量为：220-10(x-18)=400-10x(件)， B品的销量为：300-(400-10x)=10x-100(件)， .w=(x-6)(400-10x)+(16-4)10x-100)=-10x2+580x-3600 答："关于x的函数解析式为：w=-10x2+580x-3600: 【小问3详解】 解：：制作A品和B品的总成本不超过1400元， .6(400-10x)+4(10x-100)s1400 解得：x30 又400-10x0且10x-1000,即10≤x≤40， .30≤x≤40 w=-10x2+580x-3600=-10(x-29+4810,-10<0, .当30≤x≤40时，w随着x的增大而减小， .当x=30时，Wmax=-10(30-29)}+4810=4800 此时400-10x=100,10x-100=200,总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大. 20.(12分)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设 施，其运营效益成为关注重点，某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分 析，并进一步研究成本与收支平衡问题。 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系 如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本0（单位：元）与充电汽车数量x之间满足： 0=2x2+20x+500 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x 的新关系式； 【模型应用】 (③)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为 y=，成本关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取 得最大值，请写出符合条件的m值，并说明理由 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用 户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=50x,当x=40时，该充电站的收入为2000元 ②)的值为20或10：收入y与，的新关系式为-子+20x+50 (3)m=60,理由如下： 设净收益为W, .W-mx- r+20x+0）=-r+m-20x-50, 1 <0 4 ∴.二次函数图象开口向下， m-20 x=- =2m-40 .当 2× 时取得最大值， 4 W 由题意得，x=80时净收益最大， .2m-40=80 解得m=60 【解析】 【分析】(1)观察表格数据可判断'是x的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入 x=40计算即可； (2)根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新 关系式； (3)设净收益为W,再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处 取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出m的值. 【小问1详解】 解：由表格数据可知y与x成正比例关系，设y=c, 将x=1,y=50代入得k=50, .y与x的函数关系式为y=50x, 当x=40时，y=50×40=2000(元)； 【小问2详解】 解：收支平衡满足少=0， 50x-2x+20r+500 4 x2-120x+2000=0 (x-20)(x-100)=0 解得=20，名=100，此时收支平衡时收入等于成本， :收入y与，的新关系式为号+20+50 【小问3详解】 略 2027年深圳市中考数学模拟试卷（02）（参考答案与解析） （本卷满分 100 分，共 20 小题，考试时间 90 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 2．（3分）已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 3．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 4．（3分）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和 ． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和 ， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为 ，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为 ，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为 ， 故选C． 5．（3分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 6．（3分）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 7．（3分）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案． 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段， 故选：A． 8．（3分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解： ，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 10．（3分）如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图2，作交于，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是中点，， ∴， 如图3，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，， ∴不相似，，④错误，故不符合要求； ∵， ∴，， 设，，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 同理，， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（3分）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 12．（3分）对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论． 【详解】解：对于①，将代入，得，所以点在此函数图象上，故①正确． 对于②，当时，函数解析式为，当时，得不等式，移项得，系数化为得，故②正确． 对于③，一次函数的增减性由一次项系数决定，当时，若，则，此时随的增大而增大，只有当即时，才随的增大而减小，故③错误． 故正确的结论是：①②． 13．（3分）化简：＝__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质“”进行计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．（6分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 15．（7分）某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 【答案】（1）①40；54；②见解析 （2）160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； （2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了名学生． 扇形统计图中圆心角． 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为名， 故补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：名， 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人． 16．（8分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 17．（8分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 18．（10分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 【答案】（1） （2）的最大值为2，此时点的坐标为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 19．（10分）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 （2） （3）制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【解析】 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小问2详解】 解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 20．（12分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1）与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 （2）的值为或，收入与的新关系式为 （3），理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； 【小问2详解】 解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； 【小问3详解】 略 学科网（北京）股份有限公司 $