模拟试卷（03）-【领航中考】2027年中考数学模拟卷（广州专版）

2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（03） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 2．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 3．下列各事件是，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为 4．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 5．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 6．掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 7．已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若， ，则的长为______． 12．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 13．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 14．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 15．如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 16．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图 已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） （1）求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） （2）求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） （3）求凤舟最后10秒的平均速度． 18．（6分）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 19．（8分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 20．（8分）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 21．（10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 10 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由． 22．（10分）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 23．（12分）工厂对新员工进行某种工艺品制作培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 24．（12分）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： （1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； （2）乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； （3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 25．（14分）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： （1）求图1中的长； （2）求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 学科网（北京）股份有限公司 $2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(03) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟)》 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的· 甲种 乙种 丙种 丁种 种类 类 类 类 类 平均 2.3 2.3 2.8 3.1 数 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策 即可，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越 大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳 定性越好 【详解】解：由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴.乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B 2.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼 顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度 为（人的身高忽略不计）（) D 30° 60° B A.253米 B.25米 C.25V2米 D.50米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用~仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三 角形并解直角三角形 设DC=r米，在Rt△MCD中，利用锐角三角函数定义表示出AC,在Rt△BCD中，利用锐角 三角函数定义表示出BC,再由AC-BC=AB=50列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值即可 【详解】解：设DC=r米， 在Rt△4CD中，LA=30°， tan A=DC 4C, 即tan30°=x.V3 AC=3, 整理得：AC=V3x米， 在Rt△BCD中，LDBC=60° tan∠DBC= DC BC,即tan60°= BC=3 整理得： BC= 3米， :AB=50米， AC-BC-50,即V6r- 3x=50 解得：x=25V3 侧这栋楼的高度为25V3米 故选：A. 3.下列各事件是，是必然事件的是() A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B.某同学投篮球，一定投不中 C.经过红绿灯路口时，一定是红灯 D.画一个三角形，其内角和为180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有 可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意； 故选：D 4.某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的.其中一个几何体的三视图（主视图也 称正视图，左视图也称侧视图)如图所示，这个几何体是（) 主视图 左视图 俯视图 A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.长方体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键、根据长 方体三视图的特点确定结果 【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体 故选：D 5.校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200 元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方 案有（) A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为 七，y个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解 【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为x,y个， 依题意，8r+10y=200 .x= 5y+25 4 x,y为正整数， 当y=4时，x=20 当y=8时，x=15 当y=12时，x=10 当y=16时，x=5 购买方案有4种， 故选：B 6.掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是 必然事件的是() A.向上两面的数字和为5 B.向上两面的数字和大于1 C.向上两面的数字和大于12 D.向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件分类，熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的 关键.必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件. 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立 【详解】选项A：和为5的可能组合有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种，概率 41 为369，非必然事件。 选项B:两骰子最小点数为1，最小和为1+1=2，因此和必定大于1，概率为1，是必然事 件 选项C:两骰子最大和为6+6=12，无法超过12，概率为0，为不可能事件 181 选项D：和为偶数的概率为362，可能发生但不必然 故选：B. 2 7.已知关于x的一元二次方程x+2x+1-k=0无实数根，则函数y=:与函数y=的图象 交点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象.首先根据一元二次方程无 实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置 【详解】解：方程x2+2x+1-k=0无实数根， .△=4-41-k)<0 解得：k<0,则函数少=的图象过二，四象限， 2 而函数'=的图象过一，三象限， 2 ∴函数y=:与函数y=的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A 8.若点，2)在反比例函数y=元(k为常数，且0)的图象上，则k-（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键， 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值 【详解】解：：点（山，2）在反比例函数少=x(k为常数，且k≠0)的图象上， 将x=1y=2代入y= ,得：2=《 1 解得：k=2, 故选：B. 9.已知整式M:4,+ax+a,+…+a,r,其中a为自然数，n,4,4,,a,为正整数， 且a+4+…+a,=4.下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x+4x2+4x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个 其中正确的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解」 理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键. 【详解】解：当n=1时，a+4=4, 当4=0,4=4时，整式M为4x, 当a,>0时，整式M不可能为单项式， 当n>1时， :a,a2,…,an为正整数， ∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当n=3时，a+a+a+a=4」 当a=0时，4+a2+a=4) 则4，a2,a中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x,x+2x2+x3, ,2x+x2+x3 当a=1时，4+a,+a3=3 则4=a,=a=1故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x 当4>1时，4+a,+a<3,与a,a,…,0为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1,故②错误； 多项式为二次三项式， n=2, ∴.a0+a+a2=4 因为多项式为三项式，故4，≠0 当a=1时，4+a2=3 则有l+x+2x,1+2x+x两种， 42r-2++号0.12+-+0 .1+x+2x2,1+2x+x两种都满足条件， 当a=2时，4+a2=2, 则有2+x+x2一种， .2+x+x满足条件 当4>2时，4+0，<2，与4,4，…，a,为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是2个 故选：C 10.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象不经过的象限为（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据，b的符号正确判断一次函数图象经过的象 限是解题的关键，根据k,b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可 【详解】解：由已知，得：k=1>0,b=1>0, 图象经过第一、二、三象限， .图象不经过第四象限. 故选：D 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 11.如图，△ABC内接于⊙0，点O在AB上，AD平分∠BAC交O0于D,连接BD.若 AB=10 BD=25,则BC的长为— 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相 似三角形的判定和性质，延长AC，BD交于E,由圆周角定理可得∠ADB=∠ADE=9O°， ∠ACB=∠BCB=90°，进而可证明△ABD2△ABD(AsA),得到BD=DB=5,即得 BE BC 弧=4N5,利用勾股定理得AD=4N5,再证明△ABD∽△BCB,得到ABAD,据此即可 求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：延长AC,BD交于E, :AB是⊙O的直径， :∠ADB=∠ADE=90°.∠ACB=∠BCE=90° :AD平分∠BAC, ∠BAD=∠DAE 又，·AD=AD .△ABD2△AED(ASA) :BD=DE=25 :BE=45 AB=10,BD=2v5 AD=V102-(5°=4v5 :∠DAC=∠CBD 又∠BAD=∠DAE, .∠BAD=∠CBD '∠ADB=∠BCE=90° :△ABD∽△BEC, BE BC AB AD 45 BC 1045 BC=8, 故答案为：8. 12.四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O,且满足AO=CO,请添加一个适当的条 件： 使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可） 【答案】 OB=OD (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且AO=C0,只 需证明四边形ABCD是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形. 【详解】解：添加条件OB=OD即可， A0=CO OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴.平行四边形ABCD是菱形 故可添加为OB=OD(答案不唯一)· 13.如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一 顶点C在地面上滑动，O,A,B，C在同一平面内，若AB=3,BC=4,则木块顶点A到 墙角O的距离的最大值为. 77777777777777 【答案】2+V3#V3+2 【解析】 【分析】取BC中点D,连接OD,AD,OA,根据直角三角形的性质求出OD=2,利用勾股 定理求出AD=V3,由OA≤AD+OD即可得出结果. 【详解】解：取BC中点D,连接OD,AD,OA 7777777777 ·BC=4 :BD-BC-2 2 由题意得LABC=LBOC=90° ..OD-1BC-2 2 AB=3, .AD=AB2+BD2=13. ·OA≤AD+OD .OA的最大值为AD+OD=2+V13 即木块顶点A到墙角O的距离的最大值为2+V3 14.如图，在VABC中，∠B=50°，LC=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧， 交AC于点E,再分别以B、E为圆心，大于2BE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交 于点F,作射线AF,则∠DAF=」 B D 米 【答案】10°#10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF平分LBAC, 然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：因为LB=50°，LC=30° 所以LBAC=180°-50°-30°=100°， 根据题意得：AF平分∠BAC, 所以LBAF=∠BAC=50° 因为AD为高， 所以LBDA=90°， 所以LBAD=180°-50°-90°=40°， 所以LDAF=LBAF-∠BAD=50°-40°=10°， 故答案为：10°. 15.如图，Rt△ABC中，LABC=90°，LBAC=60°，AB=2.在AB和AC上分别截取AM AN,使4M=AN·分别以M,V为圆心、以大于2MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内 交于点F.作射线AF交BC于点D,则点D到AC的距离为 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点·由作图可 知，AD平分∠BMC,求得DG=DB,∠B1D-B4C=-30,解直0三角形即可求解 【详解】解：作DG1AC于点G,则点D到AC的距离为DG的长， 由作图可知，AD平分∠BAC, ·LABC=90°， .DG DB Rt△ABC中，LABC=90°，LBAC=60°， ∠BAD=)∠BMC=30 AB=2, DB=4B.tan∠BAD=23 3 DG-DB-23 3· 23 故答案为：3· 16.如图所示，是用图形“O”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去， 第 个“小屋子”中图形“O”个数是图形“●”个数的3倍. O oo oO oO oO 0O 00O oo O00 oooo 00000 oO 000 OOOO 00000 oo oo O○ 00 0 0000 0OO00 (1) (2) (3) (4) (5)… 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形 发现“○”和“●”的个数变化规律是解题的关键 根据所给图形，依次求出“○”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解 即可 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“O”的个数为：1=1，“●”的个数为：4=1×2+2； 第2个“小屋子”中图形“O”的个数为：3=1+2，“●”的个数为：6=2×2+2； 第3个“小屋子”中图形O”的个数为：6=1+2+3，“●”的个数为：8=3×2+2 第4个“小屋子”中图形O”的个数为：10=1+2+3+4，“●”的个数为：10=4×2+2； 所以第n个“小屋子”中图形O”的个数为：1+2+3+…+n= n(n+1) 2，“。”的个数为：2m+2 n(n+=3(2n+2),解得m=-1,n=12, 由题知2 又n为正整数，则n=12，即第12个“小屋子”中图形“O”个数是图形“●”个数的3倍. 故答案为：12 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目.为 筹备风舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任 任务二：测量“冲刺速度” 务 任务一：测量“初始速度” B D 示意图 6529° 40° 63° P N M G 已知条 凤舟AB长度约为14米，训练过程中凤舟AB始终与河岸MN平行。 件 凤舟出发前，河岸观测点P与舟头B的 当舟头B行进到与观测点G的连线 连线PB⊥MN,同时测得P与舟尾A的 BG⊥MN时开始计时，舟头B到达终 实施过 连线PA与河岸MN的夹角∠APM=65 点D时，用时10秒，同时测得GD与 程 ，当凤舟出发20秒时，舟头到达点C并 MN夹角LDGN=40°，在距离G点 测得PC与河岸MN的夹角LCPN=29 20米的H点处测得DH与MN的夹角 ∠DHN=63° 解决对应的问题 任务一：（参考数据：tan29°≈0.55，tan65°≈2.14） (1)求凤舟与河岸的距离BP；(结果保留整数) (2)求凤舟前20秒的平均速度.（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：tan40°≈0.84，tan63°≈1.96） (3)求凤舟最后10秒的平均速度 【答案】(1)30米： (2)2.72米/秒 (3)3.5米/秒. 【解析】 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠PAB=∠APM=65°，PB⊥AB,进而可知 ∠ABP=90°，根据三角函数计算即可； (2)同(1)计算即可； (3)设凤舟10秒内航行的路程BD=x米，过D作DE⊥MN交MN于点E,根据三角函数 求出DE的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度， 【小问1详解】 解：由题意知：AB∥MN,PB⊥MN, .∠PAB=∠APM=65°，PB⊥AB, 因此△4BP是直角三角形，LABP=90°， .'tan /PAB= PB AB 即PB=AB.tan65°≈14×2.14=29.96≈30米； 【小问2详解】 解：凤舟20秒内航行的路程等于BC的长度， 由题意知：AB∥MN,PB⊥MN, .LC=LCPN=29°，PB⊥BC, .△PBC是直角三角形，LPBC=90°， tanC=PB BC .BC=_ PB 29.96 an29°0.55 =54.47米， .vs BC54.47 2020 =2.72米秒； 【小问3详解】 解：设凤舟10秒内航行的路程BD=x米，过D作DE⊥MN交MN于点E, A 6 D 40° 人63° M H EN 可得四边形BDEG是矩形， .GE=BD=x米， 根据三角函数可知DE=BD·tan40°=xtan40°米， 同时DE=(x-GH)tan63°=(x-20)tan63°米. .…tan40°≈0.84，tan63°≈1.96， .0.84x=1.96(x-20) 解得x=35 35 因此平均速度v=10 =3.5米秒. V5-1 18.(6分)宽与长的比是2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸 片ABCD,长AD=V5+1.如图1，折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为 AF,连接EF,然后将纸片展开 D 4 D 图1 图2 (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折 痕为FP,过点P作PO LEF于点O.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如 果不是，请说明理由 【答案】(1)2(2)证明见解析 (3)四边形BPQF是黄金矩形.证明见解析 【解析】 AB 5-1 【分析】()根据黄金矩形的定义可得：D2，再进一步求解即可 (2)先证明四边形ABFE是正方形；可得AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=V5-1,证明 四边形CFED是矩形，从而可得答案； (3)先证四边形BPOF是矩形，然后求解FG=VP+2=V5,由对折可得：FH=FB=2, 设Px则4P-2-x,面积可得：创(2-习+2x5x12)2,可得： x=√5-1，再进一步可得结论 【小问1详解】 解：AD=V5+1,矩形ABCD是黄金矩形， AB_5-1 8552 【小问2详解】 证明：：折叠黄金矩形纸片ABCD,点B落在AD上的点E处， .AB=AE,∠B=∠AEF 又：四边形ABCD是矩形， .LBAE=LB=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC=V5+1, .∠BAE=∠B=LAEF=90° .四边形ABFE是矩形， AB=AE, 四边形ABFE是正方形； ∴，AB=BF=EF=AE, 由(1)可知，AB=2, ∴.AB=BF=EF=AE=2, .DE=CF=V5+1-2=5-1, ·,∠C=LD=LDEF=90° .四边形CFED是矩形， ..EF CD=2. DE5-1 ·FE2 ∴四边形CDEF是黄金矩形. 【小问3详解】 解：四边形BPOF 黄金矩形，证明如下： P2⊥EF,四边形ABFE是正方形， :.邻BFE POF90, 四边形BFOP是矩形； 由(2)可知，AB=BF=AE=EF=2, G为AE的中点， .AG=EG=1 .FG=VEG+EF2=V+22=√5， 如图，连接PG,由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,LPHF=LB=9O°， 设BP=PH=x,则AP=2-x, G D .SMPG+SEPBF+SAPGF=S梯形HBFG 创(2-刘+号2x5x0212）2, 解得：x=V5-1, .BP=V5-1, BP =5-1 ·BF2 四边形BFQP是黄金矩形 【点晴】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根 式的运算，理解黄金矩形的定义是关键 19.(8分)睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容. 某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了 统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图. 学生类 学生平均每天睡眠时间x(单位： 别 小时) A 7≤x<7.5 B 7.5≤x<8 C 8≤x<8.5 D 8.5sx<9 E 不人数 2 20 20 D 8 16 14 A 14 12 10 B 6 6 28% 4 2 0 A B E学生类别 (1)本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的 扇形的圆心角度数为： (2)请补全条形统计图. (3)被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生，从这4人中随机抽取2人进行电 话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率 【答案】(1)50；144° (2)见解析 (3) 6 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了条形统计图 和扇形统计图. (1)根据B类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以C类的人数 占比即可求出C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； (2)根据(1)所求，求出D类的人数即可补全统计图； (③)先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果 数，最后依据概率计算公式求解即可 【小问1详解】 解：14÷28%=50（人）； 360°×20 50 144°； 故答案为：50；144°； 【小问2详解】 解：D类的人数为50-6-14-20-4=6（人）， 补全条形统计图，如图， 个人数 20 20 14 14 10 【小问3详解】 6 6 6 2 0 A B C D E学生类别 解：画树状图如下： 开始 男，女女2男女女2男，男女2男男，女 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种 21 P轴到2男)=126 20.(8分)在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上 进行了“人机共跑测试”.测试赛道总长为80m,运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速 前行，到达终点后停止.机器人出发lmin后运动员才出发，运动员出发lmin后追上机器人， 如图，4，分别表示运动员、机器人距起点的距离(m)与时间x(min)之间的关系。 y/m 800 01 8 x/min (1)求1对应的函数表达式， (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离 【答案】(1)y=200x-200(1≤x≤5) (2)300m 【解析】 【分析】(1)先求出4,4的交点为(2,200)，再由待定系数法求解4对应的函数表达式： (2)可求运动员在第5min时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终 点的距离 【小问1详解】 解：由题意得，机器人的速度为800÷8=100m/min, 由题意得，运动员2min时追上机器人，此时机器人跑了100×2=200m 4,4的交点为(2,200） 设4对应的函数表达式为y=:+b,代入点(，0)，(2,200)， k+b=0 则12k+b=200 「k=200 解得1b=-200 .y=200x-200,当y=800时， 则200x-200=800,解得x=5, ∴.4对应的函数表达式为y=200x-200(1≤x≤5)： 【小问2详解】 解：对于y=200x-200，当y=800时， 则200x-200=800 解得x=5 .800-100×5=300m ∴.当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为300m. 21.(10分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活 动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取 了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表， 体育 足 篮 排 乒乓 跳 啦啦 活动 球 球 球 球 绳 操 人数 a 10 9 5 两名同学近六周定点投篮测试成绩折线图 ◆成绩/命中次数 10 …。…甲 ◆一乙 6 3 2 0 1 23456周次 (1)表格中a的值为. (2)若该校有1000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； (3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校 篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以 命中次数作为测试成绩)如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由. 【答案】(1)12 (2)120人 (3)选拔甲同学，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是正确理解统计图 表中的信息。 (1)根据6种体育活动的总人数为50人，可得a的值； (2)用总人数乘以样本中足球人数所占比例即可； (3)求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：a=50-(6+10+9+8+5)=12 故答案为：12. 【小问2详解】 解：1000x6 0 =120(人) 答：估计该校参加足球活动的学生人数约为120人， 【小问3详解】 解：选择甲，理由： 由图知，无=。x8+7+6+7+8+6)=7,无-2x3+4+7+8+10+10)-7. 6 6 .X甲=X乙， 又·甲成绩明显比乙成绩更稳定， 选拔甲同学。 22.(10分)小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在 规律. [发现问题] 黄铁矿的晶体（如图(）)是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形， 每个顶点都连接三条棱.小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点 连接”(”3)条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体。 正四面体 正方体 正八面体正十二面体 (1) (2) [提出问题] 小明思考：这样的正多面体有几个？ [分析问题] 一个正F面体的每个面都是全等的正边形，有'个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条 棱，小明对部分正F面体（如图(2）)进行了观察，列出以下数据： n 正多面体 E 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 (1)根据表中数据，请写出F、V、E之间存在的等量关系式 (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存 在着一定的关系。 ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24， 又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12. 正F面体棱数E= (用含n、F的代数式表示) ②从顶点出发：正F面体的棱数E= (用含r、V的代数式表示) [解决问题] (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数. (4)满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由. Fn。r 【答案】(1)F+V-E=2;(2)①2；②2；(3)12：(4)5个 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关 键· (1)观察数据即可解答； (2)①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为n,又因为正 Fn F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为2；②正F面体，它有V个顶点，且 每个顶点都连接r条棱，则'个顶点的棱数之和为r,又因为正F面体的一条棱连接两个顶 Vr 点，所以正F面体的棱数为2； (3)上述公式列方程即可解答； (④)由题意可得F-2E v-28 n 2E+2E-E=2,整理后，利用 =下代入F+V-E=2可得n+F r3,n3逐一判断即可· 【详解】解：(1)根据观察可得F+V-E=2, 故答案为：F+V-E=2; (2)①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为Fn, Fn 又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为2， Fn 故答案为：2； ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为？， Vr 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为2， Vr 故答案为：2； (3)由题意可得E=30,r=3, y=2E=20 根据(1)中公式可得F+V-E=2, 可得20+F-30=2. 解得F=12, 则这个正多面体的面数为12； (4)由题意可得F-2E V-2E n 代入F+V-E=2可得， 2E+2E-E=2, 2E2E=2+E, nr 1.11.1.1 一十一=一十一> n r E 22, :m,r为正整数，且n3,r3, 1.12.1 当n=3时，r=3时，3+33>2，故成立， 1,17.1 当m=3时，r=4时，3+422，故成立， 1,181 当n=3时，r=5时，3+5=15>2，故成立， 1,11 当n=3时，，6时，+52，故不成立， 1.1_7、1 当n=4时，r=3时，4+322，故成立， 当，-4时，4时日分，放不现立 1,18.1 当n=5时，r=3时，5+152，故成立， 当5时，4时+分放不减立 1.11 当n6时，无论，取任何值，+，52，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有5个. 23.(12分)工厂对新员工进行某种工艺品制作培训.在完成理论学习后，新员工接下来 先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0,1,2或3)的模拟练习，然后开始 试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y,根据以往的培训经 验，对于给定的T,可以认为y是x的函数.当T=0和T=3时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T=0 1 1 2 2 2 2 时y 0 7 8 0 2 6 0 3 5 6 的值 T=3 2 3 4 4 5 5 5 5 时y 0 m 6 3 P 0 1 2 3 的值 T=3时， 从试制阶段的第2日起， 一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐 减少或保持不变 对于给定的T,在平面直角坐标系xO中描出该T值下各数对(x,)所对应的点，并根据变化 趋势用平滑曲线连接，得到曲线C7.当T=1和T=-2时，曲线C,C,如图所示. 53005 15 10 5 12345678910x (1)观察曲线C,当整数x的值为： 时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C; (③)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制， ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小 云最早在完成理论学习后的第 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系 在这4日中应安排小腾先进行 日的模拟练习. 【答案】(1)6(2)m=46;画图见解析 (3)①7；②1 【解析】 【分析】(1)找C图象上y的值首次超过35时的x值； (2)根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不 变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运 用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； (3)①根据单日制成不少于45个合格品的只有C与C,C:T=3x=4时y=46,得 T+x=7;C:T=2,当x=6时y=45,得T+x=8,比较即得小云最早在完成理论学习 后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习T=0日，T=1日，T=2日，T=3日， 求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习 日数. 【小问1详解】 解：由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 【小问2详解】 解：·T=3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成 的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5 日单日制成的合格品48个 .相差48-43=5（个）， 把5分成两个接近的数，5=3+2， .第4日增加3个，第5日增加2个， ∴.m=43+3=46 画出T=3时的曲线C: 55005 9 30 【小问3详解】 10 12345678910元 解：①单日制成不少于45个合格品的只有C与C, C,:T=3日的模拟练习，然后试制阶段第x=4日制成的合格品达到y=46个， .T+x=7; C2:T=2日的模拟练习，然后试制阶段第x=6日制成的合格品达到y=45个， .T+x=8 ·…7<8」 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习T=0日时， 4日内的试制时间x=4-0=4日， 4日的合格产品分别是7,8,10,12， .合格产品共有7+8+10+12=37： 当模拟练习T=1日时， 4日内的试制时间x=4-1=3日， 3日的合格产品分别是12,19,26， .合格产品共有12+19+26=57： 当模拟练习T=2日时， 4日内的试制时间x=4-2=2日， 2日的合格产品分别是20,30， .合格产品共有20+30=50： 当模拟练习T=3日时， 4日内的试制时间x=4-3=1日， 1日合格产品是26； .·26<37<50<57 .希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这 4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习. 故答案为：1. 55 50 45 40 3 30 25 10 12345678910 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数·熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据 表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解 题的关键， 24.(12分)如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A,C 的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持 续时间为30秒.各路口红绿灯随时间t(秒)的变化情况如图②所示，例如当t=10时，路 口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯.已知路口A到路口B,C的距离分别为600米 和1000米. (为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计) ⑧ 路口A 路口B 路口C 图① 各路口红绿灯变化情况示意图 路程s/m 路口C 1000 绿灯亮 红灯亮 路口B了 600 路口A图 0102030405660708090100110126130140156i60170180时间s 图② 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t=0) 通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度V(米秒)匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 t=10)通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B,C两 个路口，求其行驶速度的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v(米秒)，使得该车在0~20秒内（含0秒和 20秒)任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过 B,C两个路口，若存在，请直接写出y的取值范围；若不存在，请说明理由。 (说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态.) 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是600÷15=40（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴.甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2)12≤v≤20 2520 50 (3)4 ≤v≤3或l5sv 3 【解析】 【分析】(1)求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； (2)设乙驾驶汽车离开A路口的路程为5，要使其在100秒前能不停车连续通过B,C两个 路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列 出不等式组，求解即可； (3)分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B,C两个路口；和在B 路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B,C两个路口，两种情况，分别列出不 等式组求解即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为5， .s=v(t-10) .·要使其在100秒前能不停车连续通过B,C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通 过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， [v(30-10)≤600 [v(60-10)s1000 .1v(60-10)600,且1v100-10)1000, 100 解得12≤vs30且9 ≤y≤20 .满足条件的行驶速度v的取值范围为12≤v≤20； 【小问3详解】 解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过 B,C两个路口，则 「30v≤600 60v600 60v≤1000， 解得 50 100y1000 10≤v≤ 3 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过 B,C两个路口，则 (30-20)v≤600 (60-20)v600 (60-20)y≤1000，解得 : (100-20)y1000 15≤v≤25 .汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B,C两个路口，速度V应满 足15svs 0 3 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B, C两个路口，则 「90v≤600 120v600 140v≤1000， 解得 20 180y1000 5≤vs 3 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过 B,C两个路口，则 [(90-20)v≤600 (120-20)y600 (140-20)v≤1000， 解得 25 25 (180-20)y1000 ≤V≤ 4 3 .汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满 2520 足4sv≤3 252 50 综上所述，v的取值范围为4≤v 3或5svs 3 25.(14分)2026年夏，我国多地冬小麦丰收.为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦 数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部 分内容已记录如下： 活动 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 主题 活动 1.查阅有关资料； 准备 2. 准备皮尺、测角仪等测量工具， 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾 轮的侧面是正五边形.图1是收割机前端部分装置侧面 拨禾轮 示意图： B: 采集 1.点A是拨禾轮中心，OA是拨禾轮支撑臂； 信息 2 OC⊥CD,AB⊥OC,AD⊥CD: 割台 3 04=80cm AN=40cm OC=90cm: 图1 4.收割作业前，∠A0C=113°. 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降， 使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离F保持在 5-10cm之间. 确定方案：绕点O旋转拨禾轮支撑臂OA,将拨禾轮下 设计 降， 使∠A0C=57°. 方案 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 割台 图2 1. OC⊥CF,AE⊥OC,点A,N,F在一条直线 上， AF⊥CF: 2. OA,AN,OC的长度保持不变. 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：si67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin57°≈0.84，c0s57°≈0.54)： (1)求图1中AD的长； (2)求图2中NF的长，并判断小组所设计的方案是否可行. 【答案】(1)121.2cm (2)NF=6.8cm,小组所设计的方案可行 【解析】 【分析】(I)解Rt△AOB得出B0=31.2cm,根据题意得四边形ABCD是矩形，进而求得 AD的长； (2)解Rt△AOE得出EC=46.8cm,进而求得WF的长，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 解：·.∠AOC=113° .∠A0B=180°-∠A0C=67° 在RtaA0B中，B0=A0.cos AOB≈80×0.39=31.2Cm 依题意，四边形ABCD是矩形， .AD=BC=B0+0C=31.2+90=121.2cm 【小问2详解】 解：在Rt△A0E中，E0=AO.cos AOE≈80×0.54=43.2cm .EC=0C-0E=90-43.2=46.8cm 依题意，四边形AFCE是矩形， .AF=EC=46.8cm .NF=AF-AW=46.8-40=6.8cm 5<6.8<10 ∴小组所设计的方案可行·2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(03) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的· 甲种 乙种 丙种 丁种 种类 类 类 类 类 平均 2.3 2.3 2.8 3.1 数 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类 2.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼 顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度 为（人的身高忽略不计）() 130 60° A.253米 B.25米 C.25V2米 D.50米 3.下列各事件是，是必然事件的是() A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B.某同学投篮球，一定投不中 C.经过红绿灯路口时，一定是红灯 D.画一个三角形，其内角和为180 4.某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的.其中一个几何体的三视图（主视图也 称正视图，左视图也称侧视图)如图所示，这个几何体是（) 主视图 左视图 俯视图 A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.长方体 5.校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200 元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方 案有() A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 6.掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字，下列事件是 必然事件的是（) A.向上两面的数字和为5 B.向上两面的数字和大于1 C.向上两面的数字和大于12 D.向上两面的数字和为偶数 7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根，则函数y=:与函数y=元的图象 交点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 8.若点(1,2)在反比例函数y=x(k为常数，且k0）的图象上，则k。（） A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知整式M:a+ax+a,r+…+a,x”,其中a为自然数，n,a,凸，…，a,为正整数， 且4+4+…+a,=4.下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 10.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象不经过的象限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 11.如图，△ABC内接于OO,点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D,连接BD.若 AB=10 BD=2N5,则BC的长为 B 12. 四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O,且满足AO=CO,请添加一个适当的条 件： 使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可） 13.如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一 顶点C在地面上滑动，O,A,B，C在同一平面内，若AB=3，BC=4,则木块顶点A到 墙角O的距离的最大值为 777777777777777》 14.如图，在VABC中，LB=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧， 交AC于点E,再分别以B、E为圆心，大于2BE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交 于点F,作射线AF,则LDAF= 米 15.如图，Rt△ABC中，LABC=90°，LBAC=60°，AB=2.在AB和AC上分别截取AM AN,使AM=AN·分别以M,V为圆心、以大于2MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内 交于点F.作射线AF交BC于点D,则点D到AC的距离为一 16.如图所示，是用图形“O”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去， 第 个“小屋子”中图形“O”个数是图形“●”个数的3倍。 0 oo O 00 0O oO O 0O00 oo ooo 000O O○OOO oO o0o 00 0000o 00 o oO 00 000 0000 0OO00 (1) (2) (3) (4) (5) 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目.为 筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任 任务二：测量“冲刺速度” 务 任务一：测量“初始速度” B B D 示意图 65A29 40° 63 M P M G H 已知条 凤舟AB长度约为14米，训练过程中凤舟AB始终与河岸MN平行. 件 实施过 凤舟出发前，河岸观测点P与舟头B的 当舟头B行进到与观测点G的连线 连线PB⊥MN,同时测得P与舟尾A的 BG⊥MN时开始计时，舟头B到达终 连线PA与河岸MN的夹角∠APM=65 点D时，用时10秒，同时测得GD与 程 当凤舟出发20秒时，舟头到达点C并 MN夹角LDGN=40°，在距离G点 测得PC与河岸MN的夹角LCPN=29° 20米的H点处测得DH与MN的夹角 LDHN=63° 解决对应的问题 任务一：（参考数据：tan29°≈0.55，tan65°≈2.14） (1)求凤舟与河岸的距离BP；(结果保留整数) (2)求凤舟前20秒的平均速度.（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：tan40°≈0.84，tan63°≈1.96） (3)求凤舟最后10秒的平均速度 V5-1 18.(6分)宽与长的比是2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸 片ABCD,长AD=V5+1.如图1，折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为 AF，连接EF,然后将纸片展开. E G 图1 图2 (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折 痕为FP,过点P作P№1EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如 果不是，请说明理由. 19.(8分)睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容. 某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了 统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图. 学生类 学生平均每天睡眠时间x(单位： 别 小时) A 7≤x<7.5 B 7.5≤x<8 C 8≤x<8.5 D 8.5≤x<9 E 不人数 22 20 20 16 4 14 A 12 C 10 B 8 6 6 28% 2 0 A B C D E学生类别 (1)本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的 扇形的圆心角度数为 (2)请补全条形统计图. (3)被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生，从这4人中随机抽取2人进行电 话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率 20.(8分)在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上 进行了“人机共跑测试”.测试赛道总长为80m,运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速 前行，到达终点后停止·机器人出发lmin后运动员才出发，运动员出发lmin后追上机器人. 如图，(，马分别表示运动员、机器人距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系. y/m 800 01 8 x/min (1)求1对应的函数表达式： (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离， 21.(10分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活 动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取 了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表. 体育 足 篮 排 乒乓 跳 啦啦 活动 球 球 球 球 绳 操 人数 6 a 10 9 8 5 两名同学近六周定点投篮测试成绩折线图 成绩/命中次数 19 …。…甲 6 ◆一乙 3 2 0 1 23456周次 (1)表格中a的值为 (2)若该校有1000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； (3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校 篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以 命中次数作为测试成绩)如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由· 22.(10分)小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在 规律。 [发现问题] 黄铁矿的晶体（如图(1）)是一个正方体：它由六个面组成.每个面都是全等的正方形， 每个顶点都连接三条棱，小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点 连接”(13)条棱的立体图形称为正多面体， 如正方体又称为正六面体， 正四面体 正方体 正八面体正十二面体 (1) (2) [提出问题] 小明思考：这样的正多面体有几个？ [分析问题] 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接”条 棱.小明对部分正F面体（如图(2）)进行了观察，列出以下数据： n 正多面体 E 正四面体 3 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 P 3 12 (1)根据表中数据，请写出F、V、E之间存在的等量关系式 (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存 在着一定的关系. ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24， 又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12 正F面体棱数E= (用含n、F的代数式表示) ②从顶点出发：正F面体的棱数E= (用含r、”的代数式表示) [解决问题] (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数. (4)满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由. 23.(12分)工厂对新员工进行某种工艺品制作培训.在完成理论学习后，新员工接下来 先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0,1,2或3)的模拟练习，然后开始 试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y,根据以往的培训经 验，对于给定的T,可以认为y是x的函数.当T=0和T=3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T=0 1 1 1 2 2 2 时y 2 0 7 8 0 2 6 0 3 5 6 的值 T=3 2 J 4 5 5 5 5 时y 0 m 6 8 0 3 的值 T=3时， 从试制阶段的第2日起， 名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐 减少或保持不变 对于给定的T,在平面直角坐标系xO中描出该T值下各数对(x,)所对应的点，并根据变化 趋势用平滑曲线连接，得到曲线C7.当T=1和T=2时，曲线C,C2如图所示. 50540530320 0 5 ○ 12345678910x (1)观察曲线C,当整数x的值为. 时，y的值首次超过35； (2)写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C; (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制 ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小 云最早在完成理论学习后的第 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系， 在这4日中应安排小腾先进行 日的模拟练习. 24.(12分)如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A,C 的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持 续时间为30秒.各路口红绿灯随时间t(秒)的变化情况如图②所示，例如当t=10时，路 口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯.已知路口A到路口B,C的距离分别为600米 和1000米. (为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计) ⑧ 8 路口A 路口B 路口C 图① 各路口红绿灯变化情况示意图 路程s/m 路口C 1000 绿灯亮 红灯亮 路口B 600 路口A O10203040566六08090100110120130i40i56i60170180时间5 图② 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t=0) 通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度v(米秒)匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 t=10)通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B,C两 个路口，求其行驶速度的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v(米秒)，使得该车在0~20秒内（含0秒和 20秒)任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过 B,C两个路口，若存在，请直接写出y的取值范围；若不存在，请说明理由。 (说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态.) 25.(14分)2026年夏，我国多地冬小麦丰收.为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦 数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部 分内容已记录如下： 活动 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 主题 活动 1. 查阅有关资料； 准备 2. 准备皮尺、测角仪等测量工具. 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾 轮的侧面是正五边形.图1是收割机前端部分装置侧面 拨禾轮 示意图： 采集 1.点A是拨禾轮中心，OA是拨禾轮支撑臂； 信息 2,OC⊥CD.AB⊥OC.AD⊥CD: 割台 3.04=80cm AN=40cm OC=90cm: 图1 4. 收割作业前，∠AOC=113°. 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降， 使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离F保持在 5-10cm之间. 确定方案：绕点O旋转拨禾轮支撑臂OA,将拨禾轮下 设计 E 降， 使∠A0C=57°. 方案 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 割台 图2 1. OC⊥CF,AE⊥OC,点A,N,F在一条直线 上，AF⊥CF; 2. OA,AN,OC的长度保持不变 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：s血67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54)： (1)求图1中AD的长； (2)求图2中F的长，并判断小组所设计的方案是否可行. 2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（03） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 2．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 3．下列各事件是，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定红灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 4．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果． 【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体． 故选：D． 5．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解． 【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个， 依题意， ∴ ∵，为正整数， ∴当时，， 当时， 当时， 当时， ∴购买方案有4种， 故选：B． 6．掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 7．已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 8．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 9．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若， ，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 13．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 14．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 15．如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图 已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） （1）求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） （2）求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） （3）求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】（1）米； （2）米/秒； （3）3.5米/秒． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【小问1详解】 解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； 【小问2详解】 解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； 【小问3详解】 解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 18．（6分）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）四边形是黄金矩形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【小问1详解】 解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【小问3详解】 解：四边形黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 19．（8分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）50； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）根据类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以类的人数占比即可求出类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； （2）根据（1）所求，求出类的人数即可补全统计图； （3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：50；； 【小问2详解】 解：类的人数为（人）， 补全条形统计图，如图， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种． ． 20．（8分）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，的交点为，再由待定系数法求解对应的函数表达式； （2）可求运动员在第时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为 设对应的函数表达式为，代入点，， 则 解得 ∴，当时， 则，解得， ∴对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于，当时， 则， 解得， ∴ ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 21．（10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 10 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1） （2）人 （3）选拔甲同学，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是正确理解统计图表中的信息． （1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值； （2）用总人数乘以样本中足球人数所占比例即可； （3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人． 【小问3详解】 解：选择甲，理由： 由图知，，， ∴， 又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定， ∴选拔甲同学． 22．（10分）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 23．（12分）工厂对新员工进行某种工艺品制作培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】（1）6 （2）；画图见解析 （3）①7；②1 【解析】 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【小问1详解】 解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 【小问2详解】 解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： 【小问3详解】 解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 24．（12分）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： （1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； （2）乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； （3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】（1）能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； 【小问3详解】 解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 25．（14分）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： （1）求图1中的长； （2）求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】（1） （2），小组所设计的方案可行 【解析】 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ 【小问2详解】 解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 学科网（北京）股份有限公司 $