模拟试卷（02）-【领航中考】2027年中考数学模拟卷（广州专版）

2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（02） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 3．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 5．已知一次函数图象经过点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 6．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 31 7．某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8．在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 9．下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 10．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是______． 12．化简：＝__________． 13．若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 14．对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 15．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 16．某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 18．（6分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 19．（8分）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 20．（8分）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． （1）求证：与⊙相切； （2）已知，，求⊙的半径． 21．（10分）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为． 测量示意图 参考数据 ， ， ， ， ， ． 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米） 22．（10分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 23．（12分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 24．（12分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 25．（14分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（02） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 3．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ 　 ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 4．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可. 【详解】解：甲的平均分为：（分）， 乙的平均分为：（分）， 丙的平均分为：（分）， ∴平均分最高的是乙； 故选：B 5．已知一次函数图象经过点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 6．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 7．某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 8．在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出的值即可． 【详解】解：； 故选B． 9．下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图2，作交于，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是中点，， ∴， 如图3，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，， ∴不相似，，④错误，故不符合要求； ∵， ∴，， 设，，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 同理，， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．化简：＝__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质“”进行计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质． 13．若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解： ，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 14．对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论． 【详解】解：对于①，将代入，得，所以点在此函数图象上，故①正确． 对于②，当时，函数解析式为，当时，得不等式，移项得，系数化为得，故②正确． 对于③，一次函数的增减性由一次项系数决定，当时，若，则，此时随的增大而增大，只有当即时，才随的增大而减小，故③错误． 故正确的结论是：①②． 15．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 16．某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 【答案】5 【解析】 【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键． 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 18．（6分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 19．（8分）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1），； （2）补全条形统计图见解析； （3）人； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 【小问4详解】 情况：列表格， 甲 乙 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 20．（8分）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． （1）求证：与⊙相切； （2）已知，，求⊙的半径． 【答案】（1）证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 21．（10分）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为． 测量示意图 参考数据 ， ， ， ， ， ． 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米） 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，构造矩形证 ，，设塔高为，然后表示出，再根据两个仰角的正切值表示出并列方程，求解得到塔高． 【详解】解：如图，过点 作， 根据题意可知， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 解得 ， 答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为86米． 22．（10分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 23．（12分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键． 24．（12分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 【答案】（1） （2）的最大值为2，此时点的坐标为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 25．（14分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1）与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 （2）的值为或，收入与的新关系式为 （3），理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； 【小问2详解】 解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； 【小问3详解】 略 学科网（北京）股份有限公司 $2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(02) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为() A.60 B.90 C.120 D.150 3.近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列 车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为4元，那么优惠后的票价为() A.(a-9)元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元 4.某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示.三项评分所占百 分比如下图所示，平均分最高的是（ 选 专家组评 教师组评 学生组评 手 分 分 分 甲 7 7 9 之 8 7 8 丙 7 8 8 专家组 教师组 50% 30% 20% 学生组 A.甲 B.乙 C.丙 D.平均分都相同 5.已知一次函数y=-x+b图象经过点P(4,3),则b=() A.3 B.4 C.6 D.7 6.“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结 果为1的数.以“快乐数”70为例： 72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，则下列数中不是“快 乐数”的是（) A.3 B.7 C.13 D.31 7.某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼。两人都从A地匀速出发，甲健步 走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出 发30mi,跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙 两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.（) m 3600 50 86 x/min 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min; ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m; ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后l00min; ④A，B两地之间的距离是11200m 其中正确的结论有： A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 8.在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形 机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人 数 元宇宙 16 脑机接 口 人形机 14 器人 元宇宙 人形 40% 机器人 脑机接口 根据图表信息，表中a的值为() A.8 B.10 C.12 D.15 9.下列命题中，正确的是() A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为720° D.直角三角形是轴对称图形 10.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如 图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值” 最小的是() A.点A B.点B C.点C D.点D 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 11.如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BDCD于点F、M,过 点F作NP⊥AE,分别交AD、BC于点N、P,连接MP.下列四个结论：①AM=PN; ②DM+DN=V2DF;③若P是BC中点，AB=3,则EM=2Wi0;④BF·NF=AF·BP; ⑤若PMI BD,则CE=V2BC.其中正确的结论是 N D 12.化简：(-3) 1B.若a、五、c是三个不为零的实数，且a=bc,则”的最小值为一 14.对于一次函数y=(k+)x-k(k是常数，且k≠-1)，下列结论： ①点L,D在此函数图象上： 1 ②当k=1且y<0时，x<2; ③当k<0时，y随x的增大而减小 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 15.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”， 该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数”y=3x+1,其“倍值点”为1，-2）.下列说法不正确 的序号为 ①函数y=2x+4是“倍值函数”； 8 ②函数y=的图象上的“倍值点”是(2,4)和(-2，-4) ③若关于x的函数y=(m-)r+mr+4m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 4 m< 3 n k ④若关于x的函数y=r+(m-k+2)x+42的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 -3-5 -1≤m≤3时，”的最小值为k,则k的值为2 16.某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实 践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生·现从项目组中随 机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为5，则第一批次确定的人员中，男生为 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加 工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售 25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元. (1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品 展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共10O0盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种 柑橘礼盒数量的15倍.总成本不超过54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、 B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 18.(6分)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加，科学处理废旧 智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机 中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨 废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 少克 19.(8分)为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是： A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从 全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果」 绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： 人数 50.48 40 40 30% 0F B 20 D 0 a% B C D课程 图1 图2 (1)此次被调查的学生总人数为 扇形统计图中a= (2)补全条形统计图； (3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰 好选到同一个课程的概率. 20. (8分)如图，在等腰△OAB中，OA=OB.在OA上取一点E,以O为圆心，OE的长 为半径画弧，交OB于点F；分别以E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，在L4OB 内两弧交于点P;作射线OP交AB于点C;以O为圆心，OC的长为半径作⊙O. B C (1)求证：AB与⊙O相切； (2)已知OA=10,AB=12,求⊙0的半径 21.(10分)遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥.某数学活 动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 在桥面A点用无人机测得主桥塔顶C点的仰角为37°， 测量方法及数据 将无人机垂直上升40米至B处，测得主桥塔顶C点的 仰角为22°. C 测量示意图 B122% 37° A D sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4， 参考数据 sin37°0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75. 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长. (精确到1米) 22.(10分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动， 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）·在点F处竖立标杆EF,直立在点 卫处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上·已知旗杆底端N与F、Q在 同一条直线上，EF=2.8m,Pg=1.4m,QF=2m,FN=16m (图2) (图1) (1)求旗杆MN的高度. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该 小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发 现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）·在 地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点处的小军从点P处看到标杆顶E、 塔顶A在同一条直线上·小军沿FQ的方向走到点O处，此时标杆E'F竖立于F处，从点 P处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB、EF、POE'F和P'O在同一平面 内，点BFQF八Q在同一条直线上，EF=E'F'=2.8m,Pp=P'Q=l.4m, FQ=1.2m,F'Q'=2.2m,QQ'=30m (2)求妙光塔AB的高度， 23.(12分)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理 (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O; ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD: ③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定 方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形. 24.(12分)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+br+4(a<0)与x轴交于点A(-2,0）,B(4,0) 与'轴交于点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x 轴，垂足为D,PD交直线BC于点E. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； (3)如图2，若将抛物线y=a+bx+4沿射线AC方向平移V5个单位长度， 得到新抛物线 点P为新抛物线上一点，且∠CBO=∠ACB,则点P的坐标为 (4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM 绕点O顺时针旋转90°得到OM',取OM'的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接 AN,PF,则AN+PF的最小值为 25.(14分)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设 施，其运营效益成为关注重点·某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分 析，并进一步研究成本与收支平衡问题 【研究条件】 条件1：该充电站收入)（单位：元）与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系 如下表： 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本w(单位：元)与充电汽车数量x之间满足： 1 0=二x2+20x+500 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求'与x的函数关系式，并计算当x=4O时，该充电站的收入为多少元： (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x 的新关系式； 【模型应用】 (③)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为 y=，成本关系保持不变，已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取 得最大值，请写出符合条件的m值，并说明理由 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用 户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(02) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可 【详解】解：x=2是关于x的方程x+m=7的解， .2+m=7 ∴.m=7-2=5 故选C. 2.若一个六边形的每个内角都是°，则x的值为() A.60 B.90 C.120 D.150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即(n-2)×I80°，其中n为边数，利用多边形内角 和公式及正多边形的性质求解即可. 【详解】解：·一个六边形的每个内角都是°， .每个内角的度数为：°=(6-2)×180°÷6=120° 故选：C 3.近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列 车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为() A.(a-9)元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元 【答案】C 【解析】 【详解】解：，原票价为a元， ∴优惠后的票价为a×0.9=0.9a元. 4.某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示.三项评分所占百 分比如下图所示，平均分最高的是() 选 专家组评 教师组评 学生组评 手 分 分 分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 专家组 教师组 50% 30% 20% 学生组 A.甲 B.乙 C.丙 D.平均分都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数， 再比较即可 【详解】解：甲的平均分为：7×50%+7×30%+9×20%=7.4（分）， 乙的平均分为：8×50%+7×30%+8×20%=7.7（分）， 丙的平均分为：7×50%+8×30%+8×20%=7.5（分）， .平均分最高的是乙； 故选：B 5.已知一次函数y=-x+b 图象经过点P(4,3),则b=() A.3 B.4 C.6 D.7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征，将点P(4,3)代入一次函数解析 式，解方程即可求出b的值 【详解】解：·一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3), .将x=4,y=3代入解析式，得： 3=-4+b、 解得：b=3+4=7, 故选D 6.“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结 果为1的数.以“快乐数”70为例： 72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02-10→12+02=1，则下列数中不是“快 乐数”的是（) A.3 B.7 C.13 D.31 【答案】A 【解析】 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1 就是快乐数，否则不是· 【详解】解：A、32=9,92=81,82+12=65,62+52=61,62+12=37,32+72=58, 52+82=8982+92=145,12+42+52=42,42+22=20,22+02=4.42=16, 12+62=37, .计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、72=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1， .最终结果为1，故7是快乐数； C、·.12+32=10,12+02=1, 最终结果为1，故13是快乐数； D、32+12=10,12+02=1, .最终结果为1，故31是快乐数 7.某日，甲、乙两人相约在一条笔直健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步 走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流l0min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出 发30min, 跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙 两人之间的距离(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.() Ay/m 3600 50 86 x/min 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min; ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m; ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后l00min； ④A，B两地之间的距离是11200m 其中正确的结论有： A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当 x=50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；② 观察函数图象，可得出当x=86时，'取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确： ③设甲的速度为xm/min,乙的速度为m/min,利用路程=速度×时间，可列出关于x, ,的二元一次方程组，解之可得出x,y的之，将其代入86+600 x+y中，可得出甲、乙两人第 二次相遇的时间是在甲出发后98min,进而可得出结论③错误；④利用路程=速度×时间， 即可求出A,B两地之间的距离是11200m. 【详解】解：①：乙比甲晚出发30min,且当x=50时，y=0, ·乙出发50-30=20(min)时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min,结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x=86时，'取得最大值，最大值为3600 ∴.甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确； ③设甲的速度为xm/min,乙的速度为m/min, (50-10)x=(50-30)y 根据题意得： (86-30)y-(86-10)x=3600, x=100 解得： y=200, 86+ 3600 3600 =86+ =98 x+y 100+200 ∴.甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误； ④200×(86-30)=11200(m) ∴A,B两地之间的距离是11200m,结论④正确。 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：B. 8.在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形 机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人 数 元宇宙 16 脑机接 a 口 人形机 14 器人 元宇宙 人形 40% 机器人 脑机接口 根据图表信息，表中α的值为（) A.8 B.10 C.12 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进 而求出a的值即可. 【详解】解：a=16÷40%-16-14=10: 故选B 9.下列命题中，正确的是（) A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为720° D.直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点， 解题的关键是掌握这些基础知识点 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为360°，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假 命题，不符合题意； 故选：A 10.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如 图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值” 最小的是() A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设A(a,) AB=m,AD=n,可得D(a,b+m）,B(a+m,b),C(a+m,b+m）,再结合新定义与分式的 值的大小比较即可得到答案， 【详解】解：设A(a,b),AB=m,AD=m, .矩形ABCD .AD=BC=n,AB=CD=m. ..D(a,b+n)B(a+m.b)C(a+m,b+n) bb b+n bb+n a+maa,而a+ma+m, 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B; 故选：B 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 II.如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BDCD于点F、M,过 点F作NP⊥AE,分别交AD、BC于点N、P,连接MP.下列四个结论：①AM=PN; ②DM+DN=V2DF;③若P是BC中点，AB=3,则EM=2√10；④BF·NF=AF·BP; ⑤若PMI BD,则CE=√2BC.其中正确的结论是 N D 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】如图1，作PG⊥AD于G,则四边形ABPG是矩形，证明△PGN≌△4DM(ASA), 则AM=PN,可判断①的正误；如图2，作HF⊥DF交AD于H,连接CF,证明 △MBF≌ACBF(SAS),则AF=CF,，LBAF=LBCF,由 LBPF+∠BAF=360°-∠ABP-∠AFP=180°，LBPF+LFPC=180°，可得LBAF=∠FPC PF=CF=AF,FN=FM,证明△HFN≌△DFM(SAS),则HN-DM,由勾股定理得， DH=VDF2+HF2=V2DF,由DH=HN+DN=DM+DN,可得DM+DN=V2DF,可 判断2的正误：如图3，连接AP由勾般定理得，4P-VAB+BP.35 2 AP-VPR2+4F-PE-3 2，可求PF=30 4设M=则PE3 由勾股定理得，E=VAB+BE=+3+,由s加∠E-F=4 PEAE,可得 3W10 4 3 2+x V32+(3+x)2 整理得， ,可求满足要求的解为 ,则 x2-2x-24=0 x=6 AE=310 BE=9,由cos∠E=CEBE 69 EMAE,可得EM31而，可求EM=20,可判断⑧的正误；由 题意知，∠BPF>90°，△BPF△NFA不相似，BF·NF≠AF·BP,可判断④的正误；由设 PC-CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,DM=b-a,BE=b+c,PE-a+c, PM=-PC "cos5V2a,证明4△FV△PFM(SAS),则4N-PM-a,证明MMDAEDC, AD DM b b-a AN FN 则CECM,即ea,可求a&同理NNesNEPE,则pEPE,助 2a FN DM FM FNb-a FN a+cPF,同理，△DMFP△BAF,则AB"AF-PF,即b=PF,可得 b-bc bc a= ic."be b+c b-a2a,将bc代入b-aV2a得，b ，整理得， -+C b a+c b+c b a+c b+c Vb+V2c-26+e,可得，云=V5,则CE-N5BC,可判断5的正误 【详解】解：正方形ABCD ,∠ABC=LBCD=∠CDA=LDAB=90°，AB=BC=CD=AD ∠ADB=∠ABD=∠CBD=∠CDB=45° 如图1，作PG1AD于G,则四边形ABPG是矩形， G N D F M B P E .PG=AB=AD ·.∠GPN+LGNP=90°=LGNP+∠DAM, .∠GPW=∠DAM 又：PG=AD,LPGN=90°=LADM, ·.△PGN≌△4DM(ASA). .AM=PN,①正确，故符合要求； 如图2，作HF⊥DF交AD于H,连接CF, H N D D C 图2 .LDHF=45°=LADB, ∴.DF=HF, .·AB=BC,LABF=∠CBF=45°，BF=BF, .△MBF≌CBF(SAS) .AF=CF,LBAF=∠BCF ·.∠BPF+∠BAF=360°-∠ABP-∠AFP=180°、∠BPF+∠FPC=180° ∴.LBAF=LFPC .LBCF=LFPC .PF =CF=AF, ∴.PN-PF=AM-AF,即FN=FM, .·LHFN+∠NFD=90°=∠DFM+∠NFD. .LHFN=∠DFM, ·.HF=DF,LHFN=∠DFM,FN=FM, .HFN≌DFM(SAS). .HN =DM 由勾股定理得，DH=VDF2+HF2=√2DF, ,·DH=HN+DN=DM+DN, .DM+DN=V2DF,②正确，故符合要求； P是BC中点，AB=3, .'BP-CP=3 2 如图3，连接AP, N D M 图3 由勾股京理得4PAB+BP35AP=VPF+F=VP水=35 2 解得，PF=30 4, 设FM=r,则PE=2+E343 由勾股定理得，AE=VAB+BE2=V32+(3+x)2, .sin LE=PF AB PE AE 3v10 4 3 .3 V32+3+x, 整理得， 2+x x2-2x-24=0 解得，x=6或x=-4(舍去)， .AE=3V10,BE=9 CE BE COSLE-EMAE 69 ··EM3V10, 解得，EM=2√10，③正确，故符合要求： 由题意知，∠BPF>90°， .BPF、△WFA不相似，BF·NF≠AF·BP,④错误，故不符合要求； .·PMI‖BD, .∠CPM=∠CBD=45°，∠CMP=∠CDB=45°， PC=CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,DM=b-a,BE=b+c,PE=a+c PM=PC =2a c0s45° ·.:AF=PF,∠AFN=90°=∠PFM,FN=FM .△MFN≌△PFM(SAS) .AN PM=a. ·∠ADM=90°=∠ECM,∠AMD=∠EDC, ∴.△4MD∽△EDC AD DM b b-a ·CECM,l 即。= c a, bc 解得，a= b+c, 同理，△4NF∽△EPF AN FN √2aFW PEPF,即 a+c PF, 同理，△MF△BAF DM FM FN b-a FN ABAF=PF,即b=PF, b-a√2a ·ba+c’ b-be bc 将bc代入b-a_√2a得， b+C=- b+c bc ,整理得， a= -+C b+c b a+c b+c √2b+√2c=2b+c 解得，b :.CE=V2BC,⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤. 【点晴】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正 弦，余弦，相似三角形的判定与性质.熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质， 等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键. 12.化简： V(-32= 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质“y云=4”进行计算即可得。 【详解】解：√(-3)}=-3到=3. 故答案为：3 【点晴】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质. 13,若a6c是三个不为零的实数，且a2=bc,则0的最小值为 【答案】-#-0.25 【解析】 【分析】利用已知条件α=bc对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再 用配方法最小值即可 【详解】解：a=bc,且a,b,C都不为0， .bc≠0， 设后则>0，原式r-t日 ,（号子.当-时，原式取得绿小值 即口的最小值为号 14.对于一次函数y=(k+)x-k(k是常数，且k≠-1)，下列结论： ①点，)在此函数图象上； 1 ②当k=1且y<0时，x<2: ③当k<0时，y随x的增大而减小 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 【答案】①②#②① 【解析】 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，② 代入k的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的 符号关系判断结论· 【详解】解：对于①，将x=1代入y=(k+)x-k,得y=(k+)×-k=k+1-k=1,所以点 (1,)在此函数图象上，故①正确. 对于②，当k=1时，函数解析式为y=(1+1)x-1=2x-1,当y<0时，得不等式2x-1<0, 移项得2x<1,系数化为1得x<2,故②正确。 对于③，一次函数y=(k+)x-k的增减性由一次项系数k+1决定，当k<0时，若-1<k<0, 则k+1>0,此时y随x的增大而增大，只有当k+1<0即k<-1时，y才随x的增大而减小， 故③错误， 故正确的结论是：①② 15.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”， 该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数°y=3x+1,其倍值点”为山，-2).下列说法不正确 的序号为 ①函数y=2x+4是“倍值函数”； 8 ②函数y=的图象上的“倍值点”是(2,4)和(-2，-4)； ③若关于x的函数y=(m-)r+mx+4m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 3 ④关于的断数-+m-k+2)水+星专的图象上布有唯的倍值点，且当 -3-5 -1≤m≤3时，n的最小值为k,则k的值为2 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标 特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题，根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可. 【详解】解：①函数y=2x+4中，令y=2x,则2x=2x+4,无解，故函数y=2x+4不是 “倍值函数”，故①说法错误； ②函数八中，令y=2x,则2x=8 8 x' 解得x=2或x=-2, 经检验x=2或x=-2都是原方程的解， 8 故函数y=的图象上的“倍值点”是(2,4)和(-2，-4)，故②说法正确： ③在y=(m-l)r+mr+4m中， 令y=2x,则2x=(m-r2+m+m, 整理得(m-)x2+(m-2x+m=0 4 :关于x的函数y=(m-)r+mr+4m的图象上有两个“倍值点”， △(m-2-4(m-)×4m>0且m-120, 4 解得m<3且m≠1，故③说法错误： ④在y=r+(m-k+2)x+”-k 42中， 令y=2x,则2x=2+(m-k+2)x+” 42 整理得r2+(m-k)x+-么=0 42 ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， :△(m-k}-4×/2-=0 42 整理得n=(m-k)+2k ∴.对称轴为m=k，此时n的最小值为2k, 根据题意分类讨论， [-1≤ks3 nm=2k=k,解得k=0 [k>3 nmm=(3-k)2+2k=k,无解； k<-1 =(-1-k+2k=k,解得k=-3,5或形=-3+5 2 2 (舍去)， -3-5 综上，的值为0或2， 故④说法错误， 故答案为：①③④ 16.某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一)班分两批次确定项目组成员，参加“实 践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生.现从项目组中随 机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为5，则第一批次确定的人员中，男生为 人 【答案】5 【解析】 【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计 算是解题关键. 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， x+13 根据题意得：7+1+25， 解得：x=5 故答案为：5 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加 工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售 25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元， (1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品 展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共I000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种 柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、 B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒， 最大收益为34050元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； (1)设A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意列出二元一次方程组， 即可求解； (2)设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒1000-x)盒，根据题意列出不等式组」 得出595≤x≤600，设收益为y元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质， 即可求解、 【小问1详解】 解：设A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意得， 「a+20=b 25a+15b=3500 [a=80 解得： 1b=100 答：A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元； 【小问2详解】 解：设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒1000-x)盒， 根据题意得， [x≤1.5(1000-x) 50x+60(1000-x)≤54050 解得：595≤x≤600 设收益为y元，根据题意得，y=(80-50)x+(100-60)(1000-x)=-10x+40000 ·-10<0 y随x的增大而减小， 当x=595时，y取得最大值，最大值为-10×595+40000=34050（元） ∴.售出B种柑橘礼盒1000-595=405（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒， 最大收益为34050元. 18.(6分)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧 智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机 中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨 废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 少克、 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键、设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银克，根据从每吨废旧智 能手机中能提炼出的白银比黄金多760克，从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6 吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克， [y=x+760 根据题意得： 2.5x=0.6y x=240 解得： y=1000, 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克， 19.(8分)为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是： A·五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从 全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果， 绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： 人数 50.48 A 40 40 30% 30 B 20 D 10 C 0 a% BCD课程 图1 图2 (1)此次被调查的学生总人数为 扇形统计图中a= (2)补全条形统计图； (3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰 好选到同一个课程的概率。 【答案】(1)160,20： (2)补全条形统计图见解析； (3)400人： 1 (4)4· 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟 练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键 ()根据对课程A感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数， 然后通过对课程C感兴趣的学生人数除以总人数再乘以100%即可求出a的值； (2)由(1)总人数减去A、C、D人数，即可得到抽取部分学生对课程B感兴趣的学生人 数，然后补全条形统计图即可； (3)用1600乘以对课程D感兴趣的学生所占百分比即可求解； (4)由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解， 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为48+30%=160（人）， 32 .a%= ×100%=20% 160 ∴.a=20 故答案为：160,20： 【小问2详解】 抽取部分学生对课程B感兴趣的学生有160-48-32-40=40（人）， 补全条形统计图如图， 人数 50.48 40 40 40 32 30 【小问3详解】 10 0 A B C D课程 图1 解：1600 4 0×100%=400人， 16 答：估计该校对D感兴趣的学生有400人； 【小问4详解】 情况①：列表格， 甲 B C D 乙 A AA BA CA DA B AB BB CB DB AC BC CC DC D AD BD CD DD 如树状图所示，共有16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种：A4, BB,CC.DD, 1 :.P甲、乙两人恰好选到同一课程)=4； 情况②：画树状图， 开始 甲 A B D 乙ABCD AB CD AB CD AB C D 如树状图所示，共有16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种：AA BB.CC.DD, .P伊、乙两人恰好选到同一课程)=4。 20.(8分)如图，在等腰△OAB中，OA=OB.在OA上取一点E,以O为圆心，OE的长 为半径画孤，交OB于点F;分别以E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，在L4OB 内两弧交于点P;作射线OP交AB于点C;以O为圆心，OC的长为半径作⊙0. (1)求证：AB与⊙O相切； (2)已知OA=10,AB=12,求⊙0的半径 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是LAOB的角平分线， ·OA=OB, .△OAB是等腰三角形， .OC⊥AB 又OC是⊙0的半径，且点C在AB上， .AB与⊙O相切； (2)⊙0的半径为8 【解析】 【分析】(I)由尺规作图作法可知，射线OP平分LAOB；又OA=OB,△OAB为等腰三角 形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得OC⊥AB.因OC是⊙0的半径，且点C在直线 AB上，即可证AB与OO相切； (2)由OA=OB、OC⊥AB,根据三线合一可知OC是底边AB的中线，则可得AC=6. 在ROAC中，运用勾股定理即可求出OO的半径. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△OAB是等腰三角形，且OC⊥AB, .OC是底边AB的中线， 4C-)4B=5x12=6 2 2 在Rt0AC中，OC=VOA-AC2-V102-62=8, .⊙0的半径为8， 21.(10分)遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥.某数学活 动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 在桥面A点用无人机测得主桥塔顶C点的仰角为37°， 测量方法及数据 将无人机垂直上升40米至B处，测得主桥塔顶C点的 仰角为22°. C 测量示意图 B-122 37 D sin22°0.37，cos22°0.93，tan22°d0.4, 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75. 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长.（精确到1米） 【答案】86m 【解析】 【分析】过点B作BE⊥CD,构造矩形证AB=ED，,AD=BE,设塔高CD为x,然后表示 出CE，再根据两个仰角的正切值表示出BE并列方程，求解得到塔高. 【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD, -122% B --E 37° A D 根据题意可知，∠CBE=22°，∠CAD=37°，AB=40m, ∠BED=∠EDA=∠BAD=90°， ∴.四边形ABED为矩形， ∴.ED=AB=40m,AD=BE, 设CD=xm,则CE=x-40m, :在Rt△CBE中，∠CBE=22°， tan <CBE=CE BE' BE=-CECE-CE=x-40). tan∠CBE0.42 :在Rt△CAD中，∠CAD=37°， 六tan∠CAD=CD-CD AD BE ·BE=AD= CD ≈CD4 tan∠CAD0.753 CD=4 3 , .5 x=4O—×, 解得x≈86m, 答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离CD的长为86米 22.(10分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动. 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度测量活动（示意图1）·在点F处竖立标杆EF，直立在点 O处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上·已知旗杆底端N与F、Q在 同一条直线上，EF=2.8m,P0=1.4m,QF-2m,FN-16m P FO (图2) NmnT (图1) (1)求旗杆MW的高度。 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该 小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发 现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）·在 地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点P处的小军从点P处看到标杆顶E、 塔顶A在同一条直线上.小军沿F№的方向走到点Q处，此时标杆EF竖立于F'处，从点 P处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB、EF、P吧、EF和P'Q在同一平面 内，点BFQF八O在同一条直线上，EF=EF'=2.8m,PO=P'Q=l.4m, FQ=1.2m,F'Q'=2.2m,QQ'=30m (2)求妙光塔AB的高度 【答案】(1)14m；(2)43.4m 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键， (I)PH⊥MN于点H,交EF于点G,得矩形POFG,PONH,证明△MHP△EGP,根 MH HP 据对应边成比例得EG=GP,代入数据求解即可； (2)P'H⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F于点M',同(I)证明△HAP△MEP,推出 AH HP AH HP HP HP' MEMP,同理可得ME=MP,推出MPMP,代入数值计算出HP=36m,再代入 AH HP MEMP，求出AH=42m,进而即可求解. 【详解】解：(I)如图，PH⊥MN于点H,交EF于点G, M Hh.---- Nrt (图1) 则四边形PQFG,PQNH均为矩形， ..HN=GF PO=1.4m,GP=OF =2m.HP=NO=NF+FO-16+2=18(m) EG=EF-GF=2.8-1.4=1.4(m) 由题意知EF‖MN, .∠M=∠E，∠MHP=∠EGP, .△MHP∽△EGP」 MH HP MH 18 .EGGP,即1.4=2， 解得MH=12.6 MN=MH+HN=12.6+1.4=14(m) 即旗杆MN的高度为14m. (2)如图，PH⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F于点M', B7777777777iTn1n77 FO (图2) P2=P'Q'=1.4m ∴点P在线段PH上，四边形PQFM,POBH,P'QFM',P'QBH均为矩形， .HP=B2、MP=FQ=1.2m、MP'=F'g'=2.2m、HB-MF-MF'-Pg=P'g'=1.4m .EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m 由题意知EF∥AB, ∴.LHAP=LMEP,∠AHP=∠EMP, ∴.△HAP∽△MEP AH HP .ME MP, AH HP' 同理可得ME=MP, EM E'M'. HP HP' .MP M'P', .HP=BO HP'=BO'=BO+00'=BO+30 BOBO+30 .1.22.2 解得BQ=36m .HP=36m, AH HP AH 36 代入ME=MP,得：1412， 解得AH=42m, .AB=AH+BH=42+1.4=43.4m) 即妙光塔AB的高度为43.4m 23.(12分)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理， (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O; ②以点0为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD: ③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定 方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形. B 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； (2)先证明LABC+∠BCD=180°，再证明△ABC2△DCB,可得LABC=∠DCB=90°，从而 可得结论 【小问1详解】 解：由作图可得：OA=OC,OB=OD ∴.四边形ABCD是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 :四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AB=CD .LABC+LBCD=180°， ··AC=BD.BC=CB .△ABC≌△DCB .LABC=LDCB=90° .四边形ABCD是矩形 【点晴】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质， 掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键。 24.(12分)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+br+4(a<0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0) 与y轴交于点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x 轴，垂足为D,PD交直线BC于点E 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； (3)如图2，若将抛物线y=ax+bx+4沿射线AC方向平移V5个单位长度， 得到新抛物线、 点为新抛物线上一点，且∠CBQ=∠ACB,则点P的坐标为 ； (4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM 绕点O顺时针旋转90°得到OM',取OM'的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接 AN,PF,则AN+PF的最小值为 【答案】0)y=号+x+4 (2)PE的最大值为2，此时点P的坐标为(2,4) 3-V6i5+V6 (3)5,2)或2 4 (4)5V2 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)设点Pp,2p+p+4, 求得直线BC的解析式为y=-x+4,则E(p,-p+4)可得 PE=-)(p-2+2(0<p<4),利用二次函数的性质求解即可： (3)先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点Q位置：当Q在x轴上方时，由 ∠CBQ=∠ACB得B0‖AC,联立直线与抛物线求交点得(5,2)：当9在x轴下方时，由角 '3-√615+61 度关系得an∠DB0=tan∠AC0=?列方程解得O 2 (4)由(2)知，P(2,4),E(2,2),直线BC的解析式为y=-x+4,设M(m,-m+4),则 M(-n+4-m小.N个4是）求得直钱Oe的解折式为y:x设F小易得灯与 轴所形成的锐角为45°，进而得到N(t+1,1-1),则4W=V+3+t-1,设G(-3,1), AN+PF=FG+PF=√(t+3}'+(t-1)+V(t-2+(t-4,问题转化为求直线OE上的点F 到点G(-3,1)和点P(2,4)的距离和的最小值，求出点G关于直线y=x的对称点G(,-3),则 AW+PF的最小值为GP的长度，利用两点间距离公式求得GP即可求解， 【小问1详解】 解：将A(-2,0),B(4,0)代入抛物线的解析式y=ax2+bx+4,得 1 [4a-2b+4=0 a=- 解得 2 16a+4b+4=0 b=1 :抛物线的解析式为y=一 2+x+4: 2 【小问2详解】 解：设点P P+p+4 当x=0时，y= +444 1 ∴.C(0,4) 设直线BC的解析式为y=ac+4, :B(4,0) .4k+4=0,则k=-1, ∴直线BC的解析式为y=-x+4 :PD1x轴，E(p,-p+4) PE-2p+p+4-(p+4到-2p2+2n -号p-2+20<p<4), 、 30 当P=2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为(2,4)； 【小问3详解】 解：对于y=方+x+4、当x=0时、y=4:则c04, A(-2,0),V5=2+22, 将抛物线=方式++4沿射线C方向平移5个单位长度。相当于将抛物线 y= 2+x+4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线。 新抛物线的解析式为y=(x-+(c-1)+4+2=-+2x+ 2, 分两种情况： 当点2在x轴上方时，如图， VA 设直线AC的解析式为y=kx+4, 将4(-2,0)代入，得0=-2k+4,解得k=2, .直线AC的解析式为y=2x+4, ·∠CBQ=∠ACB .BQ‖AC 设直线BQ的解析式为y=2x+b, 将B(4,0)代入，得0=8+6，解得=-8， .直线BQ的解析式为y=2x-8, y=2x-8 联立方程组 9,解得x=5或x=-5(舍去)， y=- x2+2x+ 2 1y=21y=-18 .(52) 当点Q在x轴下方时，如图，过作QD1x轴， B 设09+2g+ 2,则D(g,0), ..OB=OC=4 OA=2 .LOCB=LOBC,又∠CB0=LACB .LDBO=LACO .tanLDBo-tanLACO=041 0C2, 292+2g+ 六tanL.DBQ= DO 21, 整理得 BD 4-q9 2-3g-13=0 解得9或9-3+6 3-√61 2 (舍去) 224 (3-√615+V61) 综上，满足条件的卫的坐标为(5,2)或2,4一 【小问4详解】 解：如图，作MH1y轴，MG1x轴 由(2)知，P(2,4),E(2,2),直线BC的解析式为y=-x+4, QM0M390, ∴∠MOH+∠M'OG=90°，且LMOH+LOMH=90°， .LOMH=∠M'OG 「∠OHM=∠MGO=90° 在 和 中， ∠OMH=∠M'OG △OMH△M'OG OM=OM' ∴.△OMH2△MOG(AAS) ∴.OH=MG,MH=OG 设M(m,-m+4),则M(-m+4,-m), :N是OM'的中点， E(2,2).0(0,0）, ∴.△ODE为等腰直角三角形， .LE0D=45°， 设直线0E的解析式为y=kx，代入E(2,2),得k,=1, ∴直线OE的解析式为y=x ·NF⊥OE于F, .设F(亿，)，且NF与x轴所形成的锐角为45°， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K, M M 则LFNK=45°，LNFK=∠45° .△WKF是等腰直角三角形， -m+4-1=f--m ·NK=FK,即xw-t=t-yw,可得2 2 .m=2-2t,则N(t+l,t-1)， .AW=Vt+1+22+(t-1-02=Vt+3}+(t-12 如图，设G(-3,1) .AN=FG AN+PF=FG+PF=+3}+t-1}+-2}+(t-4}, 问题转化为求直线OE上的点F到点G(-3,)和点P2,4)的距离和的最小值， 设点G关于直线y=x的对称点为G,则G(山，-3) 则AN+PF的最小值为GP的长度， GP=V(2-12+(4+3)2=V50=52, .AW+PF的最小值为5V2. 25.(14分)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设 施，其运营效益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分 析，并进一步研究成本与收支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入'（单位：元）与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系 如下表： 1 2 3 5 50 100 150 200 250 条件2： 该充电站的运营成本”（单位：元）与充电汽车数量x之间满足： 0= x2+20x+500 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元： (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x 的新关系式； 【模型应用】 (③)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为 y=x，成本关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取 得最大值，请写出符合条件的m值，并说明理由 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用 户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=50x,当x=40时，该充电站的收入为2000元 (2),的值为20或10：收入y与，的新关系式为-2+20x+50 (3)m=60,理由如下： 设净收益为W, .w=mr-合r+20x+500=-4+(m-20jk-500 <0 4 ·二次函数图象开口向下， m-20 =2m-40 .当 1 -4 时取得最大值， 由题意得，x=80时净收益最大， .2m-40=80 解得m=60 【解析】 【分析】(1)观察表格数据可判断y是x的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入 x=40计算即可； (2)根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新 关系式； (③)设净收益为W,再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处 取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出m的值 【小问1详解】 解：由表格数据可知'与x成正比例关系，设y=x, 将x=1,y=50代入得k=50, .y与x的函数关系式为y=50x, 当x=40时，y=50×40=2000(元)； 【小问2详解】 解：收支平衡满足y=0, .50x=7x2+20x+500 4 x2-120x+2000=0 (x-20)(x-100)=0 解得x=20,占=100，此时收支平衡时收入等于成本， .收入y与x的新关系式为y=x2+20x+500: 4 【小问3详解】 略