模拟试卷（01）-【领航中考】2027年中考数学模拟卷（广州专版）

2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（01） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（ ） A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 2．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，4 C. 4，5 D. 5，5 3．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ） A 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 7．如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ） A ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 8．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 9．下列实数中，能使函数有意义的的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．因式分解：a2﹣3a=_______． 12．若，则的值为________． 13．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 14．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______． 15．如图，是弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 18．（6分）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共个进行销售，所用编织绳不超过米．设编织个大号中国结． ①求的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计元．求该饰品店获得的最大利润． 19．（8分）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 0 10 20 30 40 50 60 70 80 甲的溶解度 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169 （1）根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； （2）当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； （3）当温度为时，小云将甲加入到装有水的1号杯中，将乙加入到装有水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入水，向2号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 20．（8分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 21．（10分）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 22．（10分）问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 23．（12分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： （1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ （3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 24．（12分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 25．（14分）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． （1）逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． （2）描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 （3）请你估计顺风风速时的成绩变化量． （4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 学科网（北京）股份有限公司 $2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(01) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示： 成绩m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75. 上述结论中正确的是（) A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ 2.学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3,5,7,4,5. 这组数据的中位数和众数分别是（)】 A.3,4 B.4,4 C.4.5 D.5,5 3.节能环保已成为人们的共识.祺淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使 用y天.下列说法错误的是（) A若x=5,则=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 4.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，C表示台阶的高度 图中两人的对话体现的数学原理是() 你还是比我高 我比你高 A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,b>c,则a>C a b C.若a>,c>0,则ac>bc D若a>bc>0,则。>。 如图，一次函数y=任0与反比例函数yx>0的图象交于点C,过反比例函数 象上点A作x轴垂线，垂足为点D,交y=x的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论： 1y=9 y=x B ①线段AB的长为8； ②点C的坐标为(3,3)； ③当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 6.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日 行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里 慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( A5天 B.10天 C.15天 D.20天 7.如图，△MBC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4,点D,E分别在AC,BC边 动连结E,0交于点，始终清足D2CE则下列结论 AE=2:② ∠DFE=135°；③ABF面积的最大值是4V2-4;④CF的最小值是210-2V2.其中正 确的是（) BE A①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 8.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是 由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将 这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为() 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 9.下列实数中，能使函数y=V3-x有意义的x的值是() A.8 B.6 C.4 D.2 10.如图，将VABC沿着射线BC平移到△DEF.若BC=6,EC=4,则平移的距离为（) A 2 B.4 C.6 D.8 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 11.因式分解：a-3a= a 12.若63，则”的值为 a+b 13.一个扇形的弧长是6πcm,半径是3cm,则此扇形的圆心角是一· 14.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ABC;分别以点A,B,C为圆心，以AB的长为半径作BC,AC,AB.三段弧所围成的 图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 15.如图，BC是⊙0的弦，连接OB,OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的 和的度数是 16.如图，在平面直角坐标系中，四边形4OCB为菱形、nLA0C- 3,且点A落在反比 创丽数=上，点B落在反比例函敛-k:0)上，则 0 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项 目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项）， 根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 个人数 18 8 足球 16 乒乓球 14 36% 12 10 羽毛球 10 篮球 排球 24% 6 4 42 0 足球 篮球排球羽毛球乒乓球项目 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是一人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人； (2)补全条形统计图； (3)学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中 任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率， 18.(6分)“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求.已知 编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结 需用绳23米. (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米.设编 织m个大号中国结， ①求m的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元 其他成本总计90元.求该饰品店获得的最大利润. 19.(8分)在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得 到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液.固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g 溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸 钾)在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度℃ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 甲的溶解 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169 度8 180 溶解度/g 170 160 150 140 0 0 11 00 0070 03040 10 0 102030405060708090100温度/℃ (1)根据表中数据，在图中画出0℃~80℃范围内甲的溶解度曲线： (2)当温度为 ℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为g.在该温度下. 将ng乙加入100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会有 g (精确到个位)乙从水中析出； (3)当温度为10℃时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加入到装 有100g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解.为使两种物质均能全 部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至T©℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入m8水，向2号杯中再加入m,吕水，充分搅拌后 使两种物质均能全部溶解 ①方案一中，T的最小值为 (精确到个位)； ②方案二中，m+m的最小值为 (精确到个位)· 20.(8分)为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、 乙两种品牌键子.已知购买甲种品牌键子10个和乙种品牌键子5个共需200元；购买甲种 品牌键子15个和乙种品牌毽子10个共需325元 (1)购买一个甲种品牌键子和一个乙种品牌键子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌键子共花费1000元，甲种品牌键子数量不低于乙种品牌键子数量 的5倍且不超过乙种品牌键子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌键子利润是5元，每售出一个乙种品牌键子利润是4元， 在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 21.(10分)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快 递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均 保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养.保养结束后 又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量'（件）与乙机器人工作 时间x(分钟)之间的函数关系如图所示. 火件) m B 2700 2200 406080x(分钟) (1)甲机器人停工保养时间为 分钟，m=； (2)求AB所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟， 22.(10分)问题探究 图① 图② 图③ (1)如图①，AD是△MBC的角平分线，若SMD:S△cD=3:2,则AB:AC的值为 (2)如图②，在△MBC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若 BE·CD=AB,求LDAE的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小 路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需 在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道。 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，Ag,DP为小路，小路的出口P，分别在农田 边界AB,BC上，AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地 下输水管道.根据种植需求，△1DP区域与△4B区域的面积之比为25：36，为了节约成本， 还需使地下输水管道BM最短， 已知4DBC,AB1BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在 满足种植需求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积，（结果 精确到1m.小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计) 23.(12分)在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下 列信息 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但 面临鸭蛋滞销的困境.为了提高村民 养鸭的积极性，乡政府招商引资创办 甫了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供 隶便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线， 将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋.（温馨提 示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸 蛋) 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线 加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线 加工咸蛋，则每月可加工12万枚. 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内 用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经 过市场调研，加工成咸蛋的数量不低 于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理。 素每万枚皮蛋可获利07万元，每万枚咸 村蛋可获利1.2万元； 个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚 亏本0.1万元处理 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润 24.(12分)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭 第二级沿直线运行·某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点， 地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 y=r2+x和直线y=一2x+b.其中，当火箭运行的水平距离为gkm时，自动引发火箭的第 二级 y/km (火箭第二级的引发点) (发射点)0 (地平线) 9 (落地，点)x/m 图1 图2 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km. ①直接写出a,b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间 的距离。 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km. 25.(14分)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项 目中，凡顺风风速超过2ms，若创纪录不予承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理 的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的 成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平。 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据. 【模型假设】假设1：用w(单位：m/s)表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示. (1)逆风风速lm/s记为m/s. 假设2：风速w影响下的成绩记为T(单位：s),零风速状态下的成绩记为6（单位：s) 成绩变化量工，-T记为y,y与w的关系用函数近似描述 (2)描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T6和T的关系解释原因. 假设3：用二次函数y=awW+bw描述y与w的关系. 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为： y=-0.004w2+0.07w 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y. (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑 出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出1.30s的成绩.据此，请你利用上述模型」 评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升. 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应 谨慎使用本函数模型. 2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷（01） （本卷满分 150 分，共 25 小题，考试时间 120 分钟） 学校：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：____________ 一、选择题。共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（ ） A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数．根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是，原说法不正确； ②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确； ③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确． 故选：A． 2．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数．将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，7． 则这组数据的中位数为5， 5出现次数最多，则众数为5， 故选：D． 3．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵，， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ） A 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 故选：D． 7．如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ） A ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示， 在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再用分割法求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积为； 故选：D． 9．下列实数中，能使函数有意义的的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意． 10．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 二、填空题。共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11．因式分解：a2﹣3a=_______． 【答案】a（a﹣3） 【解析】 【分析】直接把公因式a提出来即可． 【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）． 故答案为a（a﹣3）． 12．若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 13．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 14．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 15．如图，是弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 三、解答题。共 9 小题，共 86 分 17．（6分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； （）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是人， 估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：最喜欢篮球项目的学生有人， ∴最喜欢羽毛球项目的学生有人， ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 18．（6分）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共个进行销售，所用编织绳不超过米．设编织个大号中国结． ①求的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计元．求该饰品店获得的最大利润． 【答案】（1）编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米 （2）①且为整数；②该饰品店获得的最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，利用题目给的条件列出方程组，求解即可； （2）①由题得编织个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合是计划编织的大号中国结个数即可求出的取值范围；②利用每米编织绳的成本为元可得出编织1个大号中国结和1个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用的取值范围可得出最大利润． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得， 得， 得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为． 答：编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米． 【小问2详解】 解：①依题意得， 化简得， 解得， 因为是计划编织的大号中国结个数， 所以，为整数， 所以的取值范围为，且为整数． ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为元， 由题意得， 因为，所以随的增大而增大， 由①知，且为整数， 所以当时，最大，最大值为， 答：该饰品店获得的最大利润为元． 19．（8分）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 0 10 20 30 40 50 60 70 80 甲的溶解度 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169 （1）根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； （2）当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； （3）当温度为时，小云将甲加入到装有水的1号杯中，将乙加入到装有水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入水，向2号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 【答案】（1） （2）70（答案不唯一）；58（答案不唯一） （3）①57（答案不唯一）；②401（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据表格信息描点连线即可； （2）根据（1）中函数图象判断即可； （3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到的温度，取较大值即可； ②根据（1）中函数图象得到时甲、乙溶解度，进而求出溶解甲、乙需要的水的总质量，求出、的值，计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当温度约为（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同； 此时溶解度， 降温到，乙溶解度约为， 因此析出乙的质量为； 【小问3详解】 ①解：要让溶质完全溶解在水中，溶解度需要至少达到． 对甲来说，溶解度达到的温度约为， 对乙来说，溶解度达到的温度约为， 因此T的最小值为； ②解：时甲溶解度约为，设溶解甲需要的水的总质量为， 由 解得：， 因此需要加水， 即； 时乙溶解度约为，同理得溶解乙需要的水的总质量为， 因此需要加水， 即； ∴最终． 20．（8分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 （2）共有3种购买方案 （3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； 【小问2详解】 解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． 【小问3详解】 设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 21．（10分）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】（1）， （2） （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【小问1详解】 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； 【小问2详解】 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 22．（10分）问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 取的中点，连接，则 ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵ ∴， ∴此时， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 23．（12分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： （1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ （3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1）每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 （2）共有种安排加工线的方案 （3）安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可； （2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可； （3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． 【小问2详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． 【小问3详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 24．（12分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 25．（14分）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． （1）逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． （2）描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 （3）请你估计顺风风速时的成绩变化量． （4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】（1） （2） 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 （3） （4）该运动员训练后的竞技水平有提升 【解析】 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【小问1详解】 解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示 ∴逆风风速记为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． 【小问4详解】 解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 学科网（北京）股份有限公司 $2027年广州市初中生毕业水平考试（数学）模拟试卷(01) (本卷满分150分，共25小题，考试时间120分钟) 学校： 姓名： 准考证号： 座位号： 一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分 1.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高15名运动员的成绩如下表所示： 成绩m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75. 上述结论中正确的是（) A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数.根据平均数、中位数、众数的意义求解即可. 【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是 吉2x15+3x16+2x165+3x1.7+4x175+1x18)-16,原说法不正确 ②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确； ③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确 故选：A. 2.学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3,5,7,4,5. 这组数据的中位数和众数分别是（) A.3,4 B.4,4 C.4,5 D.5,5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数.将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即 为中位数，出现次数最多的即为众数 【详解】解：将这组数据从小到大排列：3,4,5,5,7. 则这组数据的中位数为5， 5出现次数最多，则众数为5， 故选：D 3.节能环保已成为人们的共识.祺淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使 用y天.下列说法错误的是（) A若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判 断即可· 【详解】解：.淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天. .0=500 500 V= 当x=5时，y=100 故A不符合题意； 500 X= 当y=125时， 、=4 125,故B不符合题意； x>0,y>0 .当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C. 4.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，C表示台阶的高度 图中两人的对话体现的数学原理是（) 你还是比我高 我比你高 A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,b>c,则a>C a b C.若a>b'c>0,则ac>bc D.若，>bc>0则。 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键.根据不等式的性 质即可解答. 【详解】解：由作图可知：a>b,由右图可知：a+c>b+c,即A选项符合题意， 故选：A. 9 5.如图，一次函数y=xxO)与反比例函数y=(c>0)的图象交于点C,过反比例函数图 X 象上点A作x轴垂线，垂足为点D,交y=x的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论： 9 A D ①线段AB的长为8； ②点C的坐标为3,3)； ③当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出A,B点的坐标进而求出AB的长， 判断①，联立两个函数解析式，求出C点坐标，判断②，图象法判断③即可. 【详解】解：.‘点A的横坐标为1， y=99 1 .A1,9) 过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D,交y=x的图象于点B, .B(1,1): .AB=8;故①正确： [y=x(x0) 联立 y=(x>0),解得： 9 =3或x=-3(舍去) x y=3y=-3 ∴点C的坐标为3,3)， 故②正确； 由图象可知，当x>3，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C. 6.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日 行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里 慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( ) A5天 B.10天 C.15天 D.20天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走 的路程相等建立方程，解出即可· 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：240x=150x+12×150 解得：x=20」 答：快马20天可以追上慢马. 故选：D 7.如图，△MBC是等腰直角三角形，LABC=90°，AB=4,点D,E分别在AC，BC边 勒强，0交于点始路满足DE则下列结论：①2：@ ∠DFE=135°；⑧4ABF面积的最大值是4V2-4;④CF的最小值是2W10-2W2.其中正 确的是（) B白 A①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作BM⊥AC于点M,证明△4BE∽△BMD,根据相似三角形的性质即可判断 ①；得出LBAE=LMBD，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB的左侧，以AB为斜 边作等腰直角三角形AOB,以OA为半径作⊙0，根据定弦定角得出F在⊙0的B上运动， 进而根据当OF⊥AB时，△ABF面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③， 当F在OC上时，FC最小，过点O作OH L BC交CB的延长线于点H,勾股定理，即可求 解。 【详解】解：如图所示，过点B作BM⊥AC于点M, :△MBC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4, .AB=BC,AC=AB2+BC2=2BC, AD-CE 2 .(uc-cE) 2 2 DMAD√瓦 ·BECE2 又：LDMB=∠EBA=90° ∴.△4BE△BMD, AE AB ·BDBM 故①正确； ·.'△4BEP△BMD .∴.∠BAE=∠MBD. .∠BAE+∠ABD=LMBD+∠ABD 即180°-(LBAE+LABD)=180°-(LMBD+LABD) 在△ABF中，∠AFB=180°-(LBAE+∠ABD) 即∠AFB=180°-(LMBD+LABD) :△MBC是等腰直角三角形，BM⊥AC '.BM平分∠ABC ..LABM LCBM 。∠ABC=459 .LAFB=180°-(LMBD+LABD)=180°-∠ABM=135° .∠AFB=180°-(LBAE+LABD)=135° ,∠DFE=135°，故②正确， 如图所示 在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB,以OA为半径作⊙0，且AB=4 .∠AOB=90°，OA=OB,AB=VO+OB2=V20A=4 ·.∠AFB=135° ∠DFE+LAOB=18O F在⊙0B上运动， .OF-40- 24B 4=2√2 2 连接OF交AB于点G,则AG=GB=2, 当OF⊥AB时，结合垂径定理，OG最小， OF是半径不变 此时CF最大 则△ABF面积的最大， ·.SAABF=2 SMGF=2(SMOF-SMOG） -22oFx4G-oc） =22×2-22 =4√2-4，故③正确： 如图所示，当F在OC上时，FC最小，过点O作OH L BC交CB的延长线于点H, .△OHB是等腰直角三角形， OH -HB-0B-04-2 2 在Rt△OHC中，HC=HB+BC=6, .0C=V22+62=210」 .CF的最小值是2V0-2√2. 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上 的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关 键 8.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是 由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将 这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为() 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,根据图1，结 合已知条件得到a2+B=c2=4,（a-b=。+-2b=4,进而求出b的值，再用分割 法求解即可 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为口，b，斜边为°， 图1 图2 图1中大正方形的面积是24， a2+b2=c2=24 小正方形的面积是4， :(a-b)2=a2+b2-2ab=4 ab=10, 1 =c2+4×5ab=24+2×10=44 图2中最大的正方形的面积为 故选：D 9.下列实数中，能使函数y=V3-x有意义的x的值是() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：由题意得，3-x0, x≤3， .四个选项中，只有D选项中的2满足题意。 10.如图，将VABC沿着射线BC平移到△DEF.若BC=6,EC=4,则平移的距离为() A2 B.4 C.6 D.8 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离.本题主要考查平移的性 质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键 【详解】解：·△4BC沿射线BC平移得到△DEF, 点B与点E是对应点.平移的距离为BE的长度， 又.BC=6，EC=4 ..BE=BC-EC=6-4=2 故选：A 二、填空题。共6小题，每小题4分，共24分 11.因式分解：a2-3a= 【答案】a(a-3) 【解析】 【分析】直接把公因式a提出来即可. 【详解】解：a2-3a-a(a-3)· 故答案为a(a-3)· 12.若号=3，则的值为 a+b 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质.根据比例的性质解答即可. -3 【详解】解：b a+b_a+1=3+1=4 ..bb 故答案为：4 13.一个扇形的弧长是石cm，半径是3cm,则此扇形的圆心角是 【答案】70°#70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键 利用弧长公式列方程求解即可. 【详解】解：设扇形的圆心角为n°. 7 n 由题意得：6元180 一元= π×3 解得：n=70. 故答案为：70° 14.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ABC;分别以点A,B,C为圆心，以AB的长为半径作BC,AC,AB.三段弧所围成的 图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 【答案】 9π-9V3 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段 弧组成，如果周长为3π，则其中的一段弧长就是π，所以根据弧长公式可得 AB=AC=BC=3,即正三角形的边长为3.那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓 形的面积，从而可得答案， 【详解】解：：曲边三角形的周长为3π，△MBC为等边三角形， 4B-BC-AC,AB=BC-AC,LABC=60, ,60mAB_3沉=元， 180 3 ∴.AB=BC=AC=3, SeBCsin LABC 1 4 60元×323m9√5 ∴.S号形B=S扇形C4B-S△MBC 360 24 93 曲边三角形的面积为：43x3江V3打 9π-9√3 24 2 9m+9V5 故答案为： 2 15,如图，BC是O0的弦，连接OB,OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的 和的度数是 【答案】90°#90度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角 定理是解题的关键.根据圆周角定理可得∠BOC=?∠A,结合三角形内角和定理，可证明 2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，再根据等腰三角形的性质可知∠OBC=∠OCB,由此即得答 案 【详解】：∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角， :∠BOC=2∠A :∠BOC+∠OBC+∠OCB=180° 2∠A+∠OBC+∠OCB=180° .OB =OC ∠OBC=∠OCB :2∠A+∠OBC+∠OBC=180° 2∠A+2∠OBC=180° :∠A+∠OBC=90° 故答案为：90°， 16。如图，在平面直角华标系中，四边形40CB为菱形，am乙40C- 3,且点A落在反比 创函数y一上.点8落在反比例晒数y一k一0)上，则。 A 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点AB作x轴的垂线，垂足 分别为D、E,然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A o1-, 再求得点 B(4,2),利用待定系数法求解即可· 【详解】解：过点AB作x轴的垂线，垂足分别为DE，如图， A 0 C E 4 .tan∠AOC= 3, AD 4 ·OD3 .设AD=4a,则OD=3a, ∴点A3a,4a） ·点4在反比例函数少=3 上， .3a4a=3 ∴.a= 负值已含)，则点42 2 AD=2,0D= 2) .04-JOD+AD-5 四边形AOCB为菱形， .AB-04=5 ,AB‖CO, 点B(4,2) 点B落在反比例函数y=冬(k0)上。 .k=4×2=8 故答案为：8 三、解答题。共9小题，共86分 17.(6分)为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项 目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项）， 根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 不人数 18 18 足球 16 乒乓球 36% 10 10 羽毛球 篮球 排球 24% 42 足球 篮球排球羽毛球乒乓球项目 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是一人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人； (2)补全条形统计图； (3)学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中 任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率。 【答案】(1)50,120： 1 (2)补图见解析； (3) 6… 【解析】 【分析】(1)用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用1500乘以最 喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； (2)求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计 图； (3)画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计 图及正确画出树状图是解题的关键 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是18+36%=50人， 估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500× 4=120人， 故答案为：50,120： 【小问2详解】 解：最喜欢篮球项目的学生有50×24%=12人， ∴.最喜欢羽毛球项目的学生有50-18-12-10-4=6人， 补全条形统计图如下： 不人数 18 18 6 10 10 【小问3详解】 6 42 04 足球篮球排球羽毛球乒乓球项目 解：画树状图如下： 开始 、丙 甲乙丙 由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种， 21 ·抽取的两人恰好是甲和乙的概率为126· 18.(6分)“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求.已知 编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结 需用绳23米。 (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米.设编 织m个大号中国结 ①求m的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元 其他成本总计90元.求该饰品店获得的最大利润. 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米 (2)①0<m≤45且m为整数；②该饰品店获得的最大利润为600元 【解析】 【分析】(1)设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳'米，利用题 目给的条件列出方程组，求解即可； (2)①由题得编织(120-m)个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合m是计划编 织的大号中国结个数即可求出m的取值范围；②利用每米编织绳的成本为1元可得出编织1 个大号中国结和1个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利 用m的取值范围可得出最大利润. 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米， r2x+3y=19① 由题意得 4x+y=23②， ①×2得4x+6y=38③ ③-②得5y=15,解得y=3, 把y=3代入②得x=5, [x=5 故原方程组的解为y=3 答：编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米。 【小问2详解】 解：①依题意得5m+3(120-m)s450 化简得2m≤90， 解得m≤45 因为m是计划编织的大号中国结个数， 所以m>0,为整数， 所以m的取值范围为0<m≤45，且m为整数 ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为W元， 由题意得W=(12-5)×m+(8-3)×(120-m)-90=2m+510 因为2>0，所以W随m的增大而增大， 由①知0<m≤45，且m为整数， 所以当m=45时，W最大，最大值为2×45+510=600 答：该饰品店获得的最大利润为600元 19.(8分)在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得 到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液.固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g 溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量·小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸 钾)在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度℃ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 甲的溶解 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169 度8 180 溶解度/g 170 160 150 140 130 120 110 100 3010050 8 0 0 102030405060708090I00温度/℃ (1)根据表中数据，在图中画出0℃~80℃范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为 ℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为g。在该温度下 将g乙加入100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会有」 g (精确到个位)乙从水中析出； (3)当温度为10℃时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加入到装 有100g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解。为使两种物质均能全 部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至T℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入8水，向2号杯中再加入m,8水，充分搅拌后 使两种物质均能全部溶解. ①方案一中，T的最小值为 (精确到个位)； ②方案二中，m+m的最小值为 (精确到个位)· 180 溶解度/g 审 170 160 150 140 130 120 110 100 【答案】(1) 90 80 (2)70(答案不唯一)；58（答案不 70 60 50 40 20 0 102030405060708090100温度/℃ 唯一) (3)①57（答案不唯一）；②401（答案不唯一） 【解析】 【分析】(1)根据表格信息描点连线即可； (2)根据(1)中函数图象判断即可； (3)①根据(1)中函数图象判断甲、乙溶解度达到100g的温度，取较大值即可； ②根据(1)中函数图象得到10℃时甲、乙溶解度，进而求出溶解100g甲、乙需要的水的总 质量，求出m、m2的值，计算%+m即可 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当温度约为70℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同； 此时溶解度n≈138g】 降温到10℃，乙溶解度约为80g 因此析出乙的质量为138-80=58(g): 【小问3详解】 ①解：要让100g溶质完全溶解在100g水中，溶解度需要至少达到100g 对甲来说，溶解度达到100g的温度约为57℃， 对乙来说，溶解度达到100g的温度约为35℃， 因此T的最小值为57℃； ②解：10℃时甲溶解度约为21g,设溶解100g甲需要的水的总质量为x, 21g_100g 由100g 解得：x≈476g, 因此需要加水476-100=376(g), 即m=376 10℃时乙溶解度约为80g,同理得溶解100g乙需要的水的总质量为125g, 因此需要加水125-100=25(g) 即m,=25: ∴.最终m+m2=376+25=401 20.(8分)为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、 乙两种品牌键子.已知购买甲种品牌键子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种 品牌键子15个和乙种品牌毽子10个共需325元. (1)购买一个甲种品牌键子和一个乙种品牌键子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌键子共花费1000元，甲种品牌键子数量不低于乙种品牌键子数量 的5倍且不超过乙种品牌键子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌键子利润是5元，每售出一个乙种品牌键子利润是4元， 在(2)的条件下，学校如何购买键子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌键子需15元，购买一个乙种品牌键子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌键子10个，商家获得利润最大，最大利 润是340元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， (1)设购买一个甲种品牌键子需元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元 一次方程组，问题得解； (2)设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子 个 根据题意列出一元一次不 等式组，解不等式组即可求解； (3)设商家获得总利润为y元，即有一-次函数y=5x+4100-2 根据一次函数的性质 即可求解 【小问1详解】 解：设购买一个甲种品牌键子需元，购买一个乙种品牌键子需b元.由题意得： 10a+5b=200 115a+10b=325, [a=15 解得： 1b=10, 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； 【小问2详解】 1000-15x 解：设购买甲种品牌键子x个，购买乙种品牌毽子10 -100-2 s) 由题意得： 解得： 5814 ≤x≤64 17 3 和100- 均为正整数， .x=60.62.64 3 100-2x=10,7,4, ∴共有3种购买方案 【小问3详解】 设商家获得总利润为y元， y=5x+4100-2 3 y=-x+400 .k=-1<0, y随x的增大而减小， 当x=60时，y最大=340 答：学校购买甲种品牌键子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润 是340元 21.(I0分)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快 递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均 保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养.保养结束后 又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量'（件）与乙机器人工作 时间x（分钟)之间的函数关系如图所示. (件)》 B 2700 2200 406080x(分钟) (1)甲机器人停工保养时间为 分钟，m=; (2)求AB所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟， 【答案】(1)20,3800 (2)y=55x-600 (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为110分钟 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； (1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算 求解m的值即可； (2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得AB所在直线对应的函数表达式为： y=2700+55(x-60),再化简即可； (3)把y=5450代入y=55x-600,进一步即可得到答案 【小问1详解】 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为60-40=20分钟； ..2200÷40=55 :m=2700+(80-60)x55=3800(件)； 【小问2详解】 解：·：甲乙机器人的效率为每分钟55件， .AB所在直线对应的函数表达式为：y=2700+55(x-60)=55x-600. 【小问3详解】 解：当y=5450时， .55x-600=5450 解得：x=110 ∴.该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为110分钟. 22.(10分)问题探究 图① 图② 图③ (1)如图①，AD是△MBC的角平分线，若S△D:S△cD=3:2,则AB:AC的值为 (2)如图②，在△MBC中，AB=AC,LBAC=80°，点D,E在边BC上.若 BE·CD=AB,求LDAE的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小 路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需 在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，Ag,DP为小路，小路的出口P,O分别在农田 边界AB,BC上，AO与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地 下输水管道.根据种植需求，△4DP区域与△4BO区域的面积之比为25：36，为了节约成本， 还需使地下输水管道BM最短. 已知AD‖BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在 满足种植需求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积.（结果 精确到lm.小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计) 3 【答案】(1)2 (2)50° (3)155077m2 【解析】 【分析】 (I)过点D作DE L AB,.DG1AC,垂足为点E,G,根据角平分线性质定理得到 DE=DG，再由三角形面积公式求解即可； (2)证明△ABE~△DCA,结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； (3)先证明△DAPD△ABQ,得到LAMD=90°，取AD的中点E,连接ME,BE,则 AE-4D=200,则点M的铁迹为以E为圆心，D为直径的-段圆弧、EM=AB-20, 故当点B,M,E三点共线时，BM取得最小值，过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G,然 后由△AEM△0BM,求出QB=320,M-240 13，再证明四边形AQCD是平行四边形， 最后由边形wocD=SA0cD-SND求解. 【小问1详解】 解：过点D作DE⊥AB,DG L AC,垂足为点E,G, D 图① ·:AD是△MBC的角平分线， .DE DG -xABX DE SAABD= 3 ·SAACD 1 ×AC×DG 2 21 AB 3 ·AC =2 【小问2详解】 解：∠BAC=80°，AB=AC .∠B=∠C=180°-LB1C-50 2 .·BE·CD=AB2 .BE·CD=AB·AC BE AB :.AC CD' .∴.△ABE-△DCA ∴.LBEA=LCAD ∴.LBEA-LEAC=LCAD-∠EAC ∴.LC=LDAE=50°： 【小问3详解】 解：AB⊥BC, .∠ABC=90° ·.AD‖BC .∠BAD=180°-∠ABC=90° 、匹-2DxAP 1 400AP25 ·SAAB0 AB×BQ 480B036, 2 AP 5 ·BQ6 AD4005 :AB4806 AP AD ·BQAB ,·∠DAP=LABQ=90 .△DAP△ABQ .∠ADP=LBAg .∠ADP+LMAD=LBAQ+LMAD=∠BAD=90° .∠AMD=90° 取AD的中点万·莲接ME,BE,则E-方D-200 ∴点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE=200 D PM B ,·BM+MEBE, .BM BE-ME, 当点B,M,E三点共线时，BM取得最小值，如图： FE 过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G, ··∠BAD=90° .BE=√AE2+AB2=V2002+4802=520, ∴.此时BM=BE-EM=520-200=320 AD‖BC,MF⊥AD ..MG 1 BO 四边形ABGF是矩形， .FG=AB=480 ·AD‖BC .△AEM∽△QBM AE EM MF ·OB MB MG, 200200MF .QB320480-MF 0B=320,MF.2400 13 .CQ=BC-QB=720-320=400=AD ·AD‖BC .四边形AQCD是平行四边形， .S四边形MQCD=S.A0cD-SMWD =400×480-2×400×240_2016000 155077m2 13 13 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2, 23.(12分)在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下 列信息。 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但 面临鸭蛋滞销的困境.为了提高村民 养鸭的积极性，乡政府招商引资创办 甫了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供 隶便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线， 将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋.（温馨提 示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸 蛋) 素若3条加工线加工皮蛋和1条加工线 加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线 加工咸蛋，则每月可加工12万枚 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内 用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经 过市场调研，加工成咸蛋的数量不低 于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸 蛋可获利12万元； 个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚 亏本01万元处理 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润， 【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2万枚 (2)共有3种安排加工线的方案 (3)安排3条加工线加工皮蛋，6条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万 元 【解析】 【分析】(1)设每条加工线每月可加工皮蛋x万枚，可加工咸蛋'万枚，由题意得 [3x+y=11 2x+3y=12, 然后进行求解即可； (2)设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线(9-m)条，由题意得 m 3 2(9-m）×3m 进而求解即可； 2 (3)设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线(9-m)条，可获利润为W万元，由 题意得W=-0.2m+20.4,然后根据一次函数的性质可进行求解. 【小问1详解】 解：设每条加工线每月可加工皮蛋x万枚，可加工咸蛋)万枚，由题意得： 3x+y=11 x=3 2x+3y=12,解得： y=2氵 答：每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2万枚 【小问2详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线条，则安排咸蛋加工线(9-m)条，由题意得： m 3 2(9-m) 36， 5×3m’解得：3≤ms ,m为正整数， m的取值为3,4,5， 答：共有3种安排加工线的方案 【小问3详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线条，则安排咸蛋加工线(9-m)条，可获利润为W万元，由 题意得 W=0.7×3m+1.2×2(9-m)-0.1[30-3m-2(9-m)] =2.1m+21.6-2.4m-0.112-m) =-0.2m+20.4 36 由(2)可知：3≤m 7 .·-0.2<0 ·.W随的增大而减小， 当m=3时，W有最大值，最大值为-02×3+20.4=19.8，此时9-m=9-3=6: 答：安排3条加工线加工皮蛋，6条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万 元 24.(12分)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖， 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭 第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程，如图，以发射点为原点， 地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 =+和直线x+b其中，当火箭运行的水平距离为9m时，自动引发火箭的 二级· y/km本 (火箭第二级的引发点) (发射点)O (地平线) (落地点)x/km 图1 图2 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km. ①直接写出a,b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间 的距离 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km, .1 【答案】(1)①a=15,b=8.1;②8.4km 2 (2) <a<0 27 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数 的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性 质是解题的关键 和国将俱0代入即可求解：②将)=言+变为-+ 即可确定顶 点坐标，得出y=2.4km,进而求得当y=2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即 可； 2 (2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km,求得0=27，即可求解. 【小问1详解】 解：①，火箭第二级的引发点的高度为3.6km .抛物线y=ar2+x和直线y=2x+b均经过点(9,3.6) 3.6=81a+9,3.6=- 2 ×9+b 1 解得a=-, 15’b=8.1· ②由①知，y=2x+81,y=-2+x 1 15 最大值y=4 15 当y-4-1.35=24km时， x+x=24 则15 解得=12，x2=3 又x=9时，y=3.6>2.4 .当y=2.4km时， 则2x+8.1=2.4 解得x=11.4 11.4-3=8.4(km ∴，这两个位置之间的距离8.4km. 【小问2详解】 解：当水平距离超过l5km时， 火箭第二级的引发点为(9,81a+9) 将9,81a+9),(15,0)代入y=-2x+b,得 81a+9=-x9+b.0=-x15+b 2 2 解得b-75,a=,品 27 y .-27 <a<0 25.(14分)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项 目中，凡顺风风速超过2ms,若创纪录不予承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理 的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的 成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平。 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据。 【模型假设】假设1：用w(单位：m/s)表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示， (1)逆风风速lm/s记为m/s. 假设2：风速w影响下的成绩记为T(单位：s),零风速状态下的成绩记为T6(单位：s), 成绩变化量。-T记为y,y与w的关系用函数近似描述， (2)描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和T的关系解释原因 假设3：用二次函数y=aw+bw描述y与w的关系. 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为： y=-0.004w2+0.07w 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y. (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑 出1.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型， 评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升， 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应 谨慎使用本函数模型 【答案】(1)-1 (2) 理由如下：：坐标原点为(0,0)，对应风速w=0表示零风速，此时风速影响下的成绩T就是 零风速下的成绩，即T=T, .y=T-T=0 ∴.函数图象经过坐标原点 (3)0.124s (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【解析】 【分析】(1)根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； (2)根据原点对应的风速w和y的实际意义，结合I6与T的关系推导说明； (3)将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； (4)分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升， 【小问1详解】 解：，规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示 .逆风风速lm/s记为-lm/s. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知二次函数模型为y=-0.004w2+0.07w 将w=2代入得：y=-0.004×22+0.07×2=-0.016+0.14=0.124 即顺风风速2m/s时的成绩变化量y为0.124s, 【小问4详解】 解：由题意得y=工-T,变形得T=T+y 第一次比赛：顺风%=2m/s,成绩7=11.12s, 由(3)得=0.124s，则零风速成绩T=11.12+0.124=11.244(s) 第二次比赛：逆风%=-1m/s,成绩=11.30s,将%=-1代入函数得： y2=-0.004×(-1)2+0.07×(-1)=-0.004-0.07=-0.074 则零风速成绩T,”=11.30+(-0.074)=11.226(s) 11.226<11.244,100米跑成绩越小说明竞技水平越高 .该运动员训练后的竞技水平有提升