第3章 勾股定理（重点题型专练）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册 第3章勾股定理 （重点题型专练） 考点一、勾股定理解三角形 1．已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 2.设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 3.如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 4.在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 5.如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 考点二、勾股定理与无理数 1．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 2.如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ） A．-2 B．-2.2 C．- D．-+1 3.如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ． 5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度； （4）你能计算出的值吗？ 考点三、勾股定理与网格问题 1．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（   ） A． B． C． D． 2.如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（       ） A． B． C． D．25 3.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　） A．AB B．BC C．CD D．AD 4.如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　　个直角三角形． 5.如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 考点四、勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2.如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 3.如图，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为　　cm． 4.如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 5.如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 考点五、赵爽弦图 1．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 2.有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是 A． B． C．大正方形的边长是 D．大正方形的边长是 3.如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（  ）． A．28 B．50 C．26 D．169 4.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______． 5.如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　　，正方形IJKL的面积可表示为 　　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　　． 考点六、勾股定理的证明 1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 3.如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形． (1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形； (2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理． 4.用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 5.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下： 把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米． 答案解析 考点一、勾股定理解三角形 1．已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 2.设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 【答案】C 3.如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】150 4.在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【答案】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 5.如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 考点二、勾股定理与无理数 1．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ） A．-2 B．-2.2 C．- D．-+1 【答案】D 3.如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【答案】 4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ． 【答案】 5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度； （4）你能计算出的值吗？ 【答案】（1）； ； ； ……， 由此规律得； （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （3）是直角边为1的等腰直角三角形的斜边长，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，……；据此规律，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，如图，线段的长度就是， （4）． 考点三、勾股定理与网格问题 1．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（       ） A． B． C． D．25 【答案】C 3.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　） A．AB B．BC C．CD D．AD 【答案】D 4.如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　　个直角三角形． 【答案】3 5.如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）； （2）是直角三角形，证明如下： 由图可知：，，， ， 是直角三角形． 考点四、勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 3.如图，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为　　cm． 【答案】5 4.如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 5.如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】如图，连接， 由折叠得，， 是的中点， ， ∴ 在长方形中，， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的长为． 考点五、赵爽弦图 1．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【答案】A 2.有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是 A． B． C．大正方形的边长是 D．大正方形的边长是 【答案】D 3.如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（       ）． A．28 B．50 C．26 D．169 【答案】B 4.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______． 【答案】16 5.如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　　，正方形IJKL的面积可表示为 　　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　　． 【答案】解：（1）∵正方形CDEF的边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为（a+b）2． ∵正方形IJKL的边长为a﹣b， ∴正方形IJKL的面积为（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2； （2）由图2可以看出，正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积＝4个矩形的面积． ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）①选择图3． 由题意得：四边形CDEF为正方形，边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为：（a+b）2． ∵四边形CDEF由四个直角边长为a，b的直角三角形和一个边长为c的正方形组成， ∴正方形CDEF的面积为：4ab+c2． ∴（a+b）2＝4ab+c2． ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2． ∴a2+b2＝c2． ②选择图4． 由题意得：四边形ABED是正方形，边长为c． ∴正方形ABED的面积为：c2． ∵四边形ABED是由4个直角边长为a和b的直角三角形和一个边长为a﹣b的正方形组成的， ∴正方形ABED的面积为：4ab+（a﹣b）2． ∴4ab+（a﹣b）2＝c2． ∴a2+b2＝c2． ③选择图5． ∵S五边形BCFGA＝S正方形BCED+S正方形HEFG+S△BID+S△IHG＝S正方形ABIG+S△ABC+S△AGF， ∴a2+b2abab＝c2abab． ∴a2+b2＝c2． （4）∵a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4， ∴a﹣b＝2m+1，ab＝4﹣2m2﹣2m． ∵a2+b2＝c2． ∴c2＝（a﹣b）2+2ab＝（2m+1）2+2（4﹣2m2﹣2m）＝4m2+4m+1+8﹣4m2﹣4m＝9． ∵c＞0， ∴c＝3． 故答案为：3． 考点六、勾股定理的证明 1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形． (1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形； (2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理． 【答案】（1）解：如图所示正方形即为所求； （2）证明：，， ， ． 4.用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 5.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下： 把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米． 【答案】(1)解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2， 它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2， 即a2+b2=c2； (2)解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴BC=AE，CE=AB， ∴DE=AD-AE=25-16=9千米， ∴CD= =41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 学科网（北京）股份有限公司 $