第3章勾股定理精选题练习卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第3章勾股定理精选题练习卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•银川校级月考）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5 2．（2026•珠海三模）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是（　　） A． B． C． D．1 3．（2026春•临川区校级期末）已知AD是三角形ABC的高，BD＝1，AD＝4，三角形ABC的面积是12，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．5或7 4．（2025秋•东台市期末）如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 5．（2026春•宿松县期末）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 6．（2026春•海淀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B． C． D．10 7．（2026春•东胜区期末）如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•合肥期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈＝10尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高10尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部3尺处，那么折断处离地面的高度是（　　） A．5.55尺 B．4.05尺 C．5.45尺 D．4.55尺 9．（2026春•瑶海区校级期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲90°．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 10．（2026•雅安模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长AD为25，小正方形的边长EF为17，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•恩平市期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 __________________ ． 12．（2025秋•新华区期末）如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差CD＝6cm，与静止位置时的水平距离BC＝12cm，则摆线AD的长度是_______ cm． 13．（2026•成华区模拟）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为_____ ． 14．（2026春•会泽县期末）如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为_____ ． 15．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是_______________ ． 16．（2026春•于都县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以△ABC三边为直径向外作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值为_______ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•凉州区期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AC＝17，AD＝15，CD＝8． （1）求证：AD⊥BC； （2）若AB＝20，求BD的长． 18．（2025秋•株洲校级期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m．技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 19．（2026•西青区校级开学）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m． （1）请计算这个四边形对角线AC的长度； （2）请用学过的知识求出这块空地的面积． 20．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 21．（2026春•雷州市月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝________________ ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 22．（2025秋•中原区期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，作DG⊥BC于点G．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 第3章勾股定理精选题练习卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•银川校级月考）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5 【解答】解：A、32+42＝9+16＝25＝52，且均为正整数，是勾股数，不符合题意； B、62+82＝36+64＝100＝102，且均为正整数，是勾股数，不符合题意； C、72+242＝49+576＝625＝252，且均为正整数，是勾股数，不符合题意； D、1.5、2、2.5不全是正整数，不是勾股数，符合题意， 故选：D． 2．（2026•珠海三模）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：分割图形如下： ∵每个小正方形的边长为1， ∴这个正方形的边长是：， 故选：A． 3．（2026春•临川区校级期末）已知AD是三角形ABC的高，BD＝1，AD＝4，三角形ABC的面积是12，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．5或7 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当点D在BC边上时，如图1所示： ∵AD是△ABC的高，且AD＝4，△ABC的面积是12， ∴由三角形面积公式得：BC•AD＝12， ∴BC×4＝12， ∴BC＝6， ∵点D在BC边上，BD＝1， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣1＝5； ②当点D在CB的延长线上时，如图2所示： 由三角形面积公式得：BC•AD＝12， ∴BC×4＝12， ∴BC＝6， ∵点D在CB边的延长线上，BD＝1， ∴CD＝BC+BD＝6+1＝7； 综上所述：CD的长为5或7． 故选：D． 4．（2025秋•东台市期末）如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 【解答】解：由勾股定理得：5（cm）， ∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）； 故选：B． 5．（2026春•宿松县期末）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 【解答】解：如图所示： 由题意，得BE＝1，EC＝2，BE⊥EC， 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2＝BE2+EC2， ∴， 又∵AB＝2，CD＝1， ∴按手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD． 故选：C． 6．（2026春•海淀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B． C． D．10 【解答】解：∵在∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2． ∵，，， ∴S1+S2＝S3． 又∵S3+S2﹣S1＝15， ∴将S3＝S1+S2代入得：（S1+S2）+S2﹣S1＝15． ∴2S2＝15， 解得，． ∵阴影部分面积等于S2面积的一半， ∴阴影部分面积． 故选：C． 7．（2026春•东胜区期末）如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在长方形ABCD中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，AD＝2， ∴， ∴， ∴点E表示的实数是，即， 故选：B． 8．（2026春•合肥期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈＝10尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高10尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部3尺处，那么折断处离地面的高度是（　　） A．5.55尺 B．4.05尺 C．5.45尺 D．4.55尺 【解答】解：设折断处离地面的高度是x尺，则竹子折断处离竹子顶端为（10﹣x）尺， 由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得x＝4.55， 即折断处离地面的高度是4.55尺． 故选：D． 9．（2026春•瑶海区校级期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲90°．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 【解答】解：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲90°．如图， 过点A作AD⊥BC于D，则AD＝1.2m， 由题意可知，AB＝AC，BC＝1m， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为2AC＝2×1.3＝2.6（m）． 故选：C． 10．（2026•雅安模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长AD为25，小正方形的边长EF为17，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：在直角△ADE中，∠AED＝90°，AD是斜边，AE和DE是两条直角边． 已知大正方形边长AD＝25，小正方形边长EF＝17． 设直角三角形较短的直角边AE的长为x． ∵小正方形的边长等于两直角边之差，即DE﹣AE＝EF， ∴较长的直角边DE＝AE+EF＝x+17． 在Rt△ADE中，根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：AE2+DE2＝AD2， 代入数值和代数式得：x2+（x+17）2＝252， x2+（x2+34x+289）＝625， 合并同类项：2x2+34x+289＝625， 移项，使方程右边为0：2x2+34x﹣336＝0， 方程两边同时除以2， 简化系数：x2+17x﹣168＝0， （x+24）（x﹣7）＝0， 解得：x1＝7， x2＝﹣24． 检验并得出结论因为x代表线段AE的长度，长度必须为正数， 所以x＝﹣24不合题意，舍去． ∴AE＝7． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•恩平市期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 　4或　 ． 【解答】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x． 综上所述，第三边的长为4或． 故答案为：4或． 12．（2025秋•新华区期末）如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差CD＝6cm，与静止位置时的水平距离BC＝12cm，则摆线AD的长度是　15　 cm． 【解答】解：设AD＝xcm，则AB＝xcm，， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣6）2+122＝x2， 展开得x2﹣12x+36+144＝x2， 化简得﹣12x+180 ＝ 0， 解得x＝15， 故答案为：15． 13．（2026•成华区模拟）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为　1　 ． 【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故答案为：1． 14．（2026春•会泽县期末）如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为　1　 ． 【解答】解：∵∠BDF＝90°，BD，∠F＝30°， ∴BF＝2BD＝2， ∵△ABC≌△FBD， ∴BC＝BD， ∴CF＝BF﹣BC， ∵∠FCE＝90°， ∴EF＝2CE， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+3＝（2CE）2， ∴CE＝1， 故答案为：1． 15．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是　　 ． 【解答】解：如图，延长AD和BC交于点E， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠E＝90°﹣60°＝30°， ∵∠D＝90°，CD＝1，AB， ∴CE＝2CD＝2，AE＝2AB＝2， ∴DE，BE3， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDEBE•ABDE•CD31， 故答案为：． 16．（2026春•于都县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以△ABC三边为直径向外作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值为　9π　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2＝62＝36， ∴． ∵， ∴S1+S2+S3＝9π． 故答案为：9π． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•凉州区期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AC＝17，AD＝15，CD＝8． （1）求证：AD⊥BC； （2）若AB＝20，求BD的长． 【解答】解：（1）∵AC＝17，AD＝15，CD＝8，82+152＝172， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，且∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC； （2）∵AD⊥BC，AB＝20，AD＝15， ∴． 18．（2025秋•株洲校级期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m．技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【解答】解：（1）已知AB＝9m，BC＝12m，∠ABC＝90°，如图，连接AC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）∵CD＝17m，AD＝8m．AC＝15m， ∴AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DACAD•AC8×15＝60（m2），S△ACBAB•BC9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 19．（2026•西青区校级开学）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m． （1）请计算这个四边形对角线AC的长度； （2）请用学过的知识求出这块空地的面积． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m， ∴； （2）∵AD＝5m，DC＝13m，AC＝12m， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴∠DAC＝90°， ∵△ABC的面积BC•AC9×12＝54（m2），△ADC的面积AD•AC5×12＝30（m2）， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝54+30＝84（m2）， ∴这块空地的面积为84m2． 20．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 【解答】（1）证明：∵BD＝12米，CD＝16米，CB＝20米， ∴BD2+CD2＝122+162＝144+256＝400，CB2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）解：由（1）得△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°， 又∵AC＝34米， ∴米， ∴AB＝AD﹣BD＝18米， 答：点A、B之间的距离为18米． 21．（2026春•雷州市月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝　　 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 【解答】（1）解：∵直角边a＝1，直角边b＝3， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）证明：图②的面积， 又∵图②的面积， ∴， ∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2； （3）解：∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB＝CD＝8，BC＝AD＝10， ∴AF＝AD＝10，DE＝FE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102， 解得：BF＝6， ∵BC＝10， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EF＝x，则DE＝x， ∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴EF＝5． 22．（2025秋•中原区期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，作DG⊥BC于点G．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°， ∴AB10（dm）， ∴AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图， 根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm， ∴15（dm）， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $