3.2 勾股定理的逆定理 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理，按“基础应用-概念深化-综合拓展”分层设计，典例引领+举一反三，梯度衔接紧密，强化从单一判断到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|逆定理直接判断三角形形状|以3,4,5等常见数据设题，如判断线段能否组成直角三角形，夯实运算能力与推理意识| |概念深化|勾股数识别与规律探究|结合《周髀算经》情境，设计勾股数扩大倍数、奇偶性规律题，培养抽象能力与创新意识| |综合拓展|逆定理与勾股定理综合应用|通过折叠、旋转、实际方位等情境题（如出租车行驶路线），发展几何直观与应用意识|

苏科版（2024）八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 题型专练 【题型1】利用逆定理判断能否构成直角三角形 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A.，， B.3，4，5 C.4，5，6 D.7，14，15 【举一反三1】已知的三边长满足，则的形状为（   ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【举一反三2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　) A.2，3，4 B.5，12，13 C.4，5，6 D.6，8，11 【举一反三3】在△ABC中，，，，则△ABC是         三角形. 【举一反三4】一个三角形三条边的长分别为8，6，10，那么这个三角形是　　　　三角形.(填“钝角”“锐角”或“直角”)  【举一反三5】如图，在中，，，P是内一点，且，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【题型2】勾股数 【典例】若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（   ） A.a， B. C. D. 【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.9，40，41 【举一反三2】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　   　（结果用含m的式子表示）． 【举一反三3】周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是       ． 【举一反三4】寻求某些股数的规律． （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 　      　，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 　     　； （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42； 若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13； 若勾股数为7，24，25，则有 　     　； ②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值． 【举一反三5】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【题型3】勾股定理与逆定理的综合 【典例】如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到距离A地13 km的C地去，先沿北偏东70°方向行驶了12 km，到达B地，然后再从B地行驶了5 km到达C地，此时王师傅位于B地的(　　) A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B'处，AD与B'C交于E，则CE的长为(　　) A.    B.    C.    D. 【举一反三2】在△ABC中，若其三条边的长度分别为9，12，15，则这个三角形的面积是　　　　　.  【举一反三3】如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【举一反三4】如图，在中，，，P是内一点，且，，． (1)把绕点C逆时针旋转得到，请你画出旋转后的图形． (2)利用旋转求的度数． 苏科版（2024）八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 题型专练（参考答案） 【题型1】利用逆定理判断能否构成直角三角形 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A.，， B.3，4，5 C.4，5，6 D.7，14，15 【答案】B 【解析】解：A.，故，，不能组成直角三角形； B.32+42＝52，故3，4，5能组成直角三角形； C.42+52≠62，故4，5，6不能组成直角三角形； D.72+142≠152，故7，14，15不能组成直角三角形； 故选：B． 【举一反三1】已知的三边长满足，则的形状为（   ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故选：． 【举一反三2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　) A.2，3，4 B.5，12，13 C.4，5，6 D.6，8，11 【答案】B 【解析】A项，22+32≠42，不能组成直角三角形，不符合题意； B项，52+122=132，能组成直角三角形，符合题意； C项，42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意； D项，62+82≠112，不能组成直角三角形，不符合题意. 【举一反三3】在△ABC中，，，，则△ABC是         三角形. 【答案】直角 【解析】∵32+72=58， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 【举一反三4】一个三角形三条边的长分别为8，6，10，那么这个三角形是　　　　三角形.(填“钝角”“锐角”或“直角”)  【答案】 直角 【解析】 ∵82+62=100=102，∴该三角形是直角三角形. 【举一反三5】如图，在中，，，P是内一点，且，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【题型2】勾股数 【典例】若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（   ） A.a， B. C. D. 【答案】C 【解析】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则： ， 等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意； A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立； B：．以代入得，但，不成立； D：．以代入得，但，不成立； 故选：C． 【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.9，40，41 【答案】D 【解析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【举一反三2】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　   　（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1 【解析】∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故答案为：m2+1． 【举一反三3】周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是       ． 【答案】 【解析】根据题意可得，勾为为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论． 根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦． 则弦为．， 故答案为：． 【举一反三4】寻求某些股数的规律． （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 　      　，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 　     　； （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42； 若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13； 若勾股数为7，24，25，则有 　     　； ②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值． 【答案】解：（1）∵3，4，（5分）别扩大11倍得到33，44，55， ∴332+442＝552， 3，4，5别扩大11倍得到3n，4n，5n， ∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2， 故答案为：332+442＝552，（3n）2+（4n）2＝（5n）2； （2）解：①由题意得，72＝49＝25+24， 故答案为：72＝25+24； ②32＝52﹣42，32＝5+4， 52＝132﹣122，52＝12+13， 72＝252﹣242，72＝49＝25+24， ……， 以此类推，（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都为正整数）， ∴172＝a+b，b＝a+1， ∴172＝289＝2a+1， ∴a＝144， ∴b＝a+1＝145． 【举一反三5】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【题型3】勾股定理与逆定理的综合 【典例】如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到距离A地13 km的C地去，先沿北偏东70°方向行驶了12 km，到达B地，然后再从B地行驶了5 km到达C地，此时王师傅位于B地的(　　) A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 【答案】B 【解析】 如图，过点B作BD∥AE，交AF于点D， ∵AB=12 km，BC=5 km，AC=13 km， ∴AC2=BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， ∴∠1+∠CBD=90°， 又∵∠DAB=70°， ∴∠1=∠BAE=90°-70°=20°， ∵∠2+∠CBD=90°， ∴∠2=∠1=20°， 即C点在B点北偏西20°方向上. 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B'处，AD与B'C交于E，则CE的长为(　　) A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 ∵长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°， ∵将△ABC沿AC折叠，点B落在B'处，AD与B'C交于点E， ∴AB'＝AB＝3，B'C＝BC＝4， 在△CDE与△AB'E中， ∴△CDE△AB'E(AAS)， ∴AE＝CE，DE＝B'E， 设CE＝x，则DE＝4－x， 在Rt△CDE中，DE2＋CD2＝CE2，即(4－x)2＋32＝x2， 解得x＝， ∴CE＝. 【举一反三2】在△ABC中，若其三条边的长度分别为9，12，15，则这个三角形的面积是　　　　　.  【答案】 54 【解析】 ∵92+122=152， ∴△ABC为直角三角形， ∴这个三角形的面积是×12×9=54. 【举一反三3】如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 【举一反三4】如图，在中，，，P是内一点，且，，． (1)把绕点C逆时针旋转得到，请你画出旋转后的图形． (2)利用旋转求的度数． 【答案】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：连接， 由旋转可得，，，，， ，， ， ， ， ， 即的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $