河北石家庄市第三十八中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期高二年级10月月考 数学试卷 一、单选题 1．在三棱锥中，（ ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，的夹角为，且，，则为（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（ ） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，，那么直线不经过第二象限 C．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 8．如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，，，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面；③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知空间四点，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 10．已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A．直线在两坐标轴上的截距均为1 B．向量是直线的一个法向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线：，则 11．下列说法正确的是（ ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题 12．已知，，，是的中点，则________． 13．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 14．如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为________． 四、解答题 15．已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 16．已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 17．如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． （1）若是的中点，求证：平面； （2）若平面，求的长． 18．已知直线：． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026-2027学年第一学期高二年级10月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B C A D C C AD BCD ACD 12．5 13． 14． 15．（1） （2） 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用空间向量垂直的坐标表示可得答案． 【详解】（1）因为，，所以，，所以与夹角的余弦值为． （2）因为，，所以，；因为，所以，解得． 16．（1） （2）直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标． 【详解】（1）设边上的中点为点，且、，则，即，边上的中线为，，所以直线：，所以边上中线的方程为； （2），因为，所以，则，所以直线的方程为，直线：，整理为：，联立，得，，则点的坐标为． 17．（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设可得：，，，，，，，，，，由，，可得，，又，，平面，平面； （2） 【分析】（1）如图建系，求出相关点的坐标，由，推得，，即可由线线垂直推出平面； （2）设的长为，求出平面的法向量为，由平面可得即可求得． 【详解】（1）略 （2）设的长为，则，点，进而得，设平面的法向量为，因，则，取得，，且平面，，即，解得，即的长为． 18．（1）因为直线：，即，由，得，所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）由：，当时，：，即，显然不满足题意；当时，令，得；令，得，由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或，则直线的方程为或． 综上所述，直线的方程为或． （3）由（2）及题意知，，且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，由，解得，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16，此时直线的方程为，即． 19．（1）证明：因为为正三角形，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以． （2） （3）存在点，使得直线与平面所成的角为，且． 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：平面，在菱形中，，，则为正三角形，因为是的中点，所以，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，又由平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面所成的角的余弦值为． （3）解：假设存在点在线段上，设，，由，则，可得，又由平面的法向量为，因为直线与平面所成的角为，所以，可得，化简得，平方得，解得，因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且． 学科网（北京）股份有限公司 $