精品解析：河北部分学校2026-2027学年第一学期高二联考数学试卷

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 , 又因为 所以. 2. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 【答案】C 【解析】 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量坐标的线性运算可得的坐标，再由向量的共线的坐标关系可得. 【详解】由空间向量，， 所以，， 因为，所以，解得. 因此，. 4. 已知圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台的上底半径为，则该圆台下底半径为， 依题意，该圆台的轴截面是上下底边长分别为，底角为的等腰梯形， 因此该圆台的母线长，，， 所以. 5. 如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定、性质逐项推理判断. 【详解】对于A，由为的中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，同理，而平面，则平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，C正确； 对于D，由平面，平面，得，而不一定相等，则不一定成立，D错误. 6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得. 【详解】如图，在长方体中， 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确． 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 8. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在三棱锥中， C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，设，即①， 是空间的一个基底，故①式无解，所以也是空间的一个基底，A正确； B选项，在三棱锥中，，B错误； C选项，异面直线所成夹角范围为， ，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确； D选项，若空间向量与的夹角为锐角， 则且不同向共线， 其中，解得， 令，即， 故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，D正确 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 11. 如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可；选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点A到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为平面， 所以平面，所以为底面上的高， 选项A，因为由翻折得到，所以， 在中，，边上的高为， 所以，A正确； 选项B，在中，， 可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 选项C，由题意得，设点A到平面PBC的距离为， 由，可得, 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，C错误； 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径； 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，解得。 所以外接球表面积是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点，，则直线与平面的交点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得，再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为，则， 即， 即， 所以，解得， 所以直线与平面的交点的坐标为. 13. 已知空间四边形的对角线cm，cm，、分别是、的中点.若异面直线、所成的角为，则的长等于______. 【答案】cm或7cm 【解析】 【详解】如图，取的中点，联结、. 由三角形中位线定理得，. 由异面直线所成角的定义（不大于直角）知，与的夹角为异面直线、所成的角，于是，有或. 在中应用余弦定理得， 即. 解得. 故cm或cm. 故答案为cm或7cm 14. 已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而求得点到平面的距离. 【详解】由正方体，可得平面， 所以， 设点到平面的距离为， ， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以点到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 16. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）用，，表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由空间向量基本定理可得答案； （2）作出辅助线，由面面垂直得线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，由勾股定理和余弦定理求出各边长，得到答案 【小问1详解】 如图，连接． 因为为的中点，为的三等分点（靠近点）， 所以，． 所以 ． 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，． 如图，过点作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 如图，过点作，交于点，连接， 则平面，即为直线与平面所成的角． 在中，， 在中，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得， 所以，所以． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，再结合条件以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知、、两两相互垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得平面，又、平面，，， 又，、、两两相互垂直． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则、、、， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，． 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ． 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）方法一：底面，平面，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． ，为线段的中点，． 又，，平面，平面． 平面，． 方法二：底面，，平面，，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． 当点与点重合时，在中，，为线段的中点， ，即． 当点与点不重合时，设，． 在等腰直角三角形中，； 在中，； 在中，． ，． 综上，． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：由线面垂直判定定理证得平面，即可证明；方法二：先由线面垂直判定定理证得，再分点与点重合和点与点不重合两种情况讨论证明. （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用公式求二面角的余弦值；方法二：利用几何法得到二面角的平面角再在三角形中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：底面，，平面， ，． ∵四边形是正方形，，，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设．，为线段的中点，为线段的中点， ，，，，，， ，，． 底面，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即 令，则，，． 由题意知，二面角的平面角为锐角． 设二面角的大小为， 则， 即二面角的余弦值为． 方法二：如图，取的中点，连接，过点作于点，连接． 为线段的中点，为的中位线，． 底面，底面． ，平面，，． ，，，平面，平面． 平面，． 即为二面角的平面角． 设，则，． 由，得，即，解得． 在中，， ， 即二面角的余弦值为． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在三棱锥中， C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 11. 如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点，，则直线与平面的交点的坐标为________． 13. 已知空间四边形的对角线cm，cm，、分别是、的中点.若异面直线、所成的角为，则的长等于______. 14. 已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）用，，表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $