精品解析：河北石家庄市第二十四中学2026-2027学年高二上学期10月教学检测数学学科试题

河北石家庄24中2026-2027高二上10月教学检测数学学科试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知空间向量，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 2. 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为 D. 若与圆相交于两点，且，则 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 14. 在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． （1）求的方程； （2）若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 16. 已知直线与直线，． （1）不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； （2）若，求的值； （3）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 17. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 18. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北石家庄24中2026-2027高二上10月教学检测数学学科试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知空间向量，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以. 2. 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意得  ，解得. 4. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，所以，结合椭圆的定义可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为点在椭圆上，且为椭圆的两个焦点，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 5. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 . 反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 6. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 7. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由向量共面定理得四点共面，所以本题转化为求点到平面距离，这个距离即的最小值，建立空间坐标系用点到平面的距离公式计算可得.法二：用等体积法求三棱锥底面上的高. 【详解】，由得， 四点共面. 的最小值即求点到平面距离. 法一：以为原点建立坐标系如图: , 设平面的法向量为 ，，取得 . 法二：由正方体的棱长为2， 所以三棱锥是边长为的正四面体. 的最小值也就是三棱锥以为底面上的高. 因为， 由， 所以，得. 8. 若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知圆心到直线的距离满足，求出的取值范围即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 依题意可得，即，解得. 二、多选题 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为 D. 若与圆相交于两点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，由圆心与直线位置关系判断A；利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质求解判断BCD. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，不满足方程，即直线不过圆心，因此圆关于不对称，A错误； 对于B，由与圆相切，得，解得，B正确； 对于C，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最大值为，令，得有解，C正确； 对于D，，圆心到直线的距离为，由，解得，D正确. 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取上一点H，使得，证得四边形为平行四边形，结合空间向量基本定理可知，可判定A正确；当时，得到，得到P的轨迹长度为线段EG的长，可判定B正确；当时，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合，可判定C错误；当时，由，可得，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB， 可得且，且， 所以四边形和四边形是平行四边形，所以， 所以四边形为平行四边形， 因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形内（或边界上），所以A正确； 对于B中，当时，，所以，即， 所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得点P为线段AF的中点， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 则，可得， 所以不成立，所以C错误； 对于D中，当时，，分别取的中点， 连接，在线段上，, 由，可得， 平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以， 设，因为，则， 则，代入可得， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程形式进行求解． 【详解】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，解得． 故答案为． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程．方程表示椭圆的条件是，若焦点在轴，则还有，若焦点在轴，则还有． 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合题设可得斜率范围，然后可得倾斜角范围. 【详解】如图结合斜率公式可得，则斜率范围为. 设直线倾斜角为，当时，因，，则此时范围为：； 当时，因，则此时范围为：. 综上可得：. 14. 在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到直线恒过的圆心，结合直线恒过的定点得到；根据，，，得到点在以原点为圆心，为半径的圆上；进而得到点为和的公共点，从而列不等式组求解即可. 【详解】直线可化为. 令，解得，所以直线恒过点. 因为对任意实数，点关于直线的对称点仍在上， 所以该直线恒过圆心，所以圆心为， 因为是上一点，所以圆的半径. 因为，，，， 则点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，又点为圆上的点， 故点为和的公共点，圆心距， 则由，解得. 故正数的取值范围是. 四、解答题 15. 已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． （1）求的方程； （2）若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【小问1详解】 由题意得可得故椭圆的方程为． 【小问2详解】 根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 16. 已知直线与直线，． （1）不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； （2）若，求的值； （3）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1） 将直线的方程分离参数，令含项的系数和常数项均为0即可求解定点； （2）由可得，再代入检验即可求解； （3）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． 【小问2详解】 因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． 【小问3详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 17. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 因为 ，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 18. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 （2）或 【解析】 【分析】(1) 连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2) 建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【解析】 【分析】(1) 根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2) （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． 【小问2详解】 （ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $