精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区龙凤苑中学2026-2027学年八年级上学期数学阶段性测试 （2026.10）

初三数学阶段学习成效评价 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意； B．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D．时，，分式无意义，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下两个方面理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零，（2）分式有意义⇔分母不为零，是解题的关键. 2. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、，属于因式分解，故此选项符合题意； D、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 5. 若三边a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 6. 如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先提取公因式，把式子整理成含和的形式，整体代入数值计算即可． 【详解】解：， 代入，， 可得原式． 7. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 8. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，分式的求值．结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 即， 整理，得， ∴， ∴， 故选：D． 9. 题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人的答案合起来才对 【答案】D 【解析】 【分析】先求解原分式方程，再根据分式方程无解分两种情况讨论，进而判断即可． 【详解】解：去分母得， 合并同类项得． 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解． ∵，即时，整式方程无解， ∴原分式方程无解． ②整式方程的解为增根． 令，得增根． 当时，． ∵为增根， ∴， 解得． 综上，的值为或，两人的答案合起来才对． 10. 定义：，，称为a，b的调和平均数，下列赋予实际意义的例子，其中正确的是（ ）个． ①一辆汽车以的速度由甲地驶往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度； ②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为a，乙杯含糖率为b，将两杯混合后的含糖率； ③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克a元，乙糖果的单价为每千克b元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】设参数表示各问题中的相关量，列式化简后与对比判断． 【详解】解：①设甲乙两地路程为， 往返平均速度为，故①正确． ②设每杯糖水质量为， 混合后含糖率为，故②错误． ③设购进每种糖果的费用为， 什锦糖成本价为，故③正确． 综上，正确的有2个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 12. 若分式的值为零，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为零需同时满足分子为零、分母不为零两个条件，先求出分子为零的，再排除使分母为零的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ ，且， 解，得， ∴ 或， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 13. 关于x的分式方程有增根，则增根________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分式方程有增根，则增根使原方程分母为零，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根使原方程分母为零，原方程分母为， ∴令，得增根． 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵原方程的增根为， ∴将代入得 解得． 14. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，若 是多项式 的一个因式，则当 时，多项式的值为零，把代入多项式可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 可得： ， 解得：． 故答案为：． 15. 若，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对已知等式取倒数拆分后可求得，再对目标分式取倒数，利用完全平方公式计算得到结果． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 对取倒数，得， ∵， 把代入上式得， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 有关于分式的计算： （1）． （2）先化简，再从，，、中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式的值为 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则计算即可； （2）先按分式混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定可选取的的值，代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴，，， ∴，，、中，只能选取， 当时，原式． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）将看作整体，先用完全平方公式分解，再用平方差公式继续分解即可； （3）先展开多项式乘积，合并后用完全平方公式分解即可； （4）将看作整体，展开整理后用完全平方公式逐步分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 解下列分式方程： (1) (2) 【答案】（1）原方程无解; （2）x=2. 【解析】 【详解】【分析】（1）方程两边同时乘以y(y-1)化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得； （2）方程两边同时乘以x-3化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得. 【详解】（1）两边同时乘以y（y-1），得 3y-y-2=0， 解得：y=1， 检验：当y=1时，y(y-1)=0，所以y=1不是原方程的解， 所以，原方程无解； （2）两边同时乘以x-3，得 2-x-1=x-3， 解得：x=2， 检验：当x=2时，x-3≠0， 所以原方程的解为x=2. 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键. 19. 已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 20. 定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“巧数”．例如：，所以8是“巧数”；再如：（x是整数），所以M也是“巧数”． （1）20_______“巧数”（填“是”或“不是”）．若是，请将其写成两整数平方差形式；若不是，请说明理由； （2）求证：当（x为整数）时，M是“巧数”； （3）已知：（k为常数），且N是关于任意整数x，y的“巧数”，求k值． 【答案】（1）是， （2） 证明：， 是“巧数”； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义“巧数”的理解与应用，涉及平方差公式的逆用，解题的关键在于配方变形为平方差的形式． （1）根据“巧数”的定义变形即可； （2）对多项式进行配方法变形即可求解； （3）先对含参数的代数式配方变形，再根据已知令，即可求解． 【小问1详解】 解：， 是“巧数”， 写成两整数平方差形式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 要使多项式N能表示为两个关于x，y的整式的平方差，则必须有， ． 21. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． （1）如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【答案】（1） （2） ，画图表示如下： 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； 画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可． 【小问1详解】 解：图形（2）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（2）可以验证多项式的因式分解为． 【小问2详解】 解：图形（3）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（3）可以验证多项式的因式分解为． 详解见答案． 22. 年足球世界杯于月日月日在美国、加拿大、墨西哥三国举行，作为世界体坛最具影响力的赛事之一，它的周边产品（吉祥物）深受球迷喜爱．这个吉祥物：克拉奇（）、梅普尔（）、萨尤（）分别是个国家的象征．现有、两种型号的吉祥物套装，已知型吉祥物套装比型套装贵元，用元购买型套装与用元购买型套装的数量相同． （1）每套型吉祥物套装与型吉祥物套装的售价分别是多少元？ （2）某学校足球队决定用不超过元购买、两种型号的吉祥物套装共套作为礼物送给校队队员，则最多能购买型吉祥物套装多少套？ 【答案】（1）型每套元，型每套元 （2）最多能购买型吉祥物套装套 【解析】 【分析】（1）设每套型套装售价为元，则型每套元，根据“元买型数量元买型数量”列分式方程，即可求解； （2）设购买套型，则型套，根据“总费用不超过元”列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每套型套装售价为元，则型每套元， 根据题意可得， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， 则型单价：（元） 故型每套元，型每套元． 【小问2详解】 解：设购买套型，则型套， 根据题意可得， ， ， ， ∵为正整数，故最大取， 故最多能购买型吉祥物套装套． 23. 定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． （3）记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】（1）是互为“和整分式”， （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学阶段学习成效评价 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 2. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 5. 若三边a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 6. 如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人的答案合起来才对 10. 定义：，，称为a，b的调和平均数，下列赋予实际意义的例子，其中正确的是（ ）个． ①一辆汽车以的速度由甲地驶往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度； ②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为a，乙杯含糖率为b，将两杯混合后的含糖率； ③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克a元，乙糖果的单价为每千克b元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 12. 若分式的值为零，则_______． 13. 关于x的分式方程有增根，则增根________；________． 14. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 15. 若，则________；________． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 有关于分式的计算： （1）． （2）先化简，再从，，、中选取一个合适的数作为的值代入求值． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解下列分式方程： (1) (2) 19. 已知，其中、为常数，求的值． 20. 定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“巧数”．例如：，所以8是“巧数”；再如：（x是整数），所以M也是“巧数”． （1）20_______“巧数”（填“是”或“不是”）．若是，请将其写成两整数平方差形式；若不是，请说明理由； （2）求证：当（x为整数）时，M是“巧数”； （3）已知：（k为常数），且N是关于任意整数x，y的“巧数”，求k值． 21. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． （1）如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 22. 年足球世界杯于月日月日在美国、加拿大、墨西哥三国举行，作为世界体坛最具影响力的赛事之一，它的周边产品（吉祥物）深受球迷喜爱．这个吉祥物：克拉奇（）、梅普尔（）、萨尤（）分别是个国家的象征．现有、两种型号的吉祥物套装，已知型吉祥物套装比型套装贵元，用元购买型套装与用元购买型套装的数量相同． （1）每套型吉祥物套装与型吉祥物套装的售价分别是多少元？ （2）某学校足球队决定用不超过元购买、两种型号的吉祥物套装共套作为礼物送给校队队员，则最多能购买型吉祥物套装多少套？ 23. 定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． （3）记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $