专题05 全等三角形的常考压轴模型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 全等三角形的常考压轴模型 考点归纳 考点01倍长中线模型 考点02一线三垂直模型 考点03旋转模型 考点04截长补短模型 考点专练 考点01倍长中线模型 1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E,使DE=AD;连接BE,CE. D (1)求证：△ADC≌AEDB. (2)若AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 【答案】(1)证明： D 是 边上中线， E .AD BC ∴.BD=CD, 在△BDE和ACDA中， BD=CD 1=∠2， DE=AD ∴△ADC≌AEDB(SAS) 1/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (21.5<AD<6.5 【分析】(1)证全等：由AD是中线得BD=CD,结合对顶角∠I=∠2、DE=AD,用SAS证 △BDE≌ACDA. (2)求AD范围：由全等得BE=AC=5、AE=2AD,在△ABE中用三边关系AB-BE<AE<AB+BE, 代入化简即可. 【详解】(1)略 (2)解：：△ACD≌aEBD(SAS),DE=AD ∴BE=AC=5,AE=2AD 在△ABE中，用三边关系AB-BE<AE<AB+BE, 即8-5<2AD<8+5, 化简得1.5<AD<6.5 2.已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题. A D D E B 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的取值范围是_· (2)如图2，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF, 求证：BE+CF>EF (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF交DC的延长线于点F,E是BC的中点，AE是∠BAF的 平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)1<AD<4 (2)证明：如图2，延长FD到点G,使GD=DF,连接BG,EG, B 是边 D 的中点， 图2 .D BC 2/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:BD=DC, ∠BDG=∠CDF, ∴.ABDG≌aCDF(SAS). ..BG=CF, DE⊥DF, ∴.∠EDG=∠EDF=90°， 在△EGD和△EFD中， DE=DE ∠EDG=∠EDF DG=DF .∴AEDG≌AEDF(SAS). :.EG=EF, 在△BEG中， BE+BG>EG. ∴.BE+CF>EF (3)AF+CF=AB,理由如下： 如图3，延长AE,DF交于点G, E ---.G 图3 ·AB∥CD ∴.∠BAE=∠G. 在△ABE和△GCE中， ∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC, BE=CE .AABE≌AGCE(AAS). .AB=CG, 3/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AE是∠BAF的平分线， .∠BAG=∠GAF, ∴.∠FAG=∠G. ..AF=GF, .FG+CF=CG, .AF+CF=AB 【分析】(1)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明△ADC≌aEDB(SMS),再根据三角形三边关 系求解即可： (2)延长FD到点G,使GD=DF,连接BG,EG,证明△BDG≌aCDF(SAS)和△EDG≌aEFD(SAS), 得到EG=EF,根据三角形三边关系求解即可； (3)延长AE,DF交于点G,证明△ABE≌aGCE(AAS),得到AB=CG,根据AE是∠BAF的平分线得 到AF=GF,即可得证. 【详解】(1)如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D 是 边上的中线， E 图1 .AD BC :BD=DC, ∠ADC=∠EDB, :△ADC≌aEDB(SAS), :BE=AC=3, 在△ABE中，AB=5,BE=3, .5-3<AE<5+3, .2<AE<8, 2<2AD<8, .1<AD<4. (2)略 (3)略 4/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4,AC=3.求BC边上的中 线AD的取值范围.李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE,则得到△ADC≌aEDB,李海证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： (用字母表 示)；线段AD的取值范围为 图1 问题解决： (2)如图，E为CD的中点，OA=OD,OB=OC,∠AOD+∠BOC=180°. 探究OE和AB的关系并证明， E 图2 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点∠1=∠2、AB=DBE. 求证：BC=CE A D 2 B4 E C 图3 【答案】)SAS:0.5<AD<3.5 2)数量关系为0E=)AB,位置无特殊关系， 2 证明：延长OE到点F,使EF=OE,连接CF, 5/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 的中点， 图2 .E CD DE=CE。 又：∠DEO=∠CEF,OE=FE ∴.△DOE≌△CFE(SAS】 ∴.OD=CF,∠DOE=∠CFE ..ODCF, OA=OD, :.OA=CF, .OD CF. .∠DOC+∠OCF=180° ∠AOD+∠BOC=180°，∠BOC+∠DOC+∠AOD+∠AOB=360°， .∠DOC+∠AOB=180° .∠OCF=∠AOB 又'OB=OC,OA=CF ∴.△AOB≌△FCO(SAS) .AB=OF OF=OE+EF =20E, ∴AB=20E,即0E=)AB 21 3)证明：作BF∥DE,交AC的延长线于点F, ,BF∥DE 6/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠2=∠F, ∠1=∠2， ∴.∠1=∠F, AB=BF。 又AB=DE, ∴BF=DE。 在△BCF和△ECD中： ∠F=∠2 ∠BCF=∠ECD BF=DE ∴.△BCF≌△ECD(AAS) .BC=CE 【分析】(1)由三角形中线的性质可得BD=CD,再利用SAS即可证明△ADC≌aEDB,从而得解； (2)已知E为CD的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长OE至F,使EF=OE,再证明 △DOE2aCFE,得到CF=OD且OD‖CF,结合OA=OD可得CF=OA:再利用周角性质以及平行线同旁 内角互补，结合条件∠AOD+∠BOC=180°，推导出∠AOB=LOCF,又OB=OC,通过SAS证明 △10B2△r0符到1B=OF·而0r-206,因北0E=4B: (3)过点B作BF∥DE,交AC的延长线于点F,由平行线性质得到∠2=∠F,结合已知∠I=∠2，等量 代换得∠I=∠F,根据等角对等边可知AB=BF,又AB=DE,所以BF=DE,再证明△BCF≌△ECD, 最后由全等三角形对应边相等得到BC=CE, 【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, :AD为BC边上的中线， .BD=CD. 在△ADC和△EDB中， 7/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=DE ·.△ADC≌aEDB(SAS), 4D=DE-AE,BE=4C-3 AB-BE<AE<AB+BE, .1<AE<7, ∴.0.5<AD<3.5 所以李海证明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS；线段AD的取值范围为0.5<AD<3.5; (2)略 (3)略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推 理、等腰三角形判定等知识点：解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度 的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形. 4.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： B 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌aEDB的理由是_： (2)求得AD的取值范围是_： 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已 知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中： 【问题解决】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC」 猜想： 8/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠AEB的度数： ②BC,AD,AB的数量关系，说明理由. 【答案】(1)SAS (2)1<AD<7 3)①90°： ②AB=BC+AD,理由如下： 如图2，延长AE交BC的延长线于F, B E D F 图2 ·.·∠AEB=90° .BE⊥AF, :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠FBE, [∠ABE=∠FBE 在 与 中， BE=BE AABE△FBE ∠AEB=∠FEB=90° :AABE≌AFBE(ASA), ∴.AB=BF,AE=FE, :AD∥BC, .∠EAD=∠F, 「∠EAD=∠F 在 与 中， AE=FE AADE△FCE ∠AED=∠FEC .AADE≌△FCE(ASA), .AD=CF, ∴.AB=BF=BC+CF=BC+AD 【分析】(I)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=CD,得出△ADC和△EDB全等即可： (2)根据(1)得出△ADC≌△EDB,再根据全等三角形的性质，得出BE=AC=6,AE=2AD,再根 9/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据三角形三边关系，得出8-6<2AD<8+6,求出即可； (3)①根据平行线的性质，得出∠ABC+∠BAD=180,再根据角平分线的定义，得出∠BAE=)∠BAD, 乙ABE=∠ABC,进面得出∠BME+∠ABE=0·再根据三角形的内角和定理，计绑即可得出∠BB的度 数 ②延长AE交BC的延长线于点F,根据①得出∠AEB=9O°，进而得出BE⊥AF,再根据角平分线的定义， 得出∠ABE=∠FBE,再根据“角边角”，得出△ABE≌△FBE,再根据全等三角形的性质，得出 AB=BF,AE=FE,再根据平行线的性质，得出∠EAD=∠F,再根据“角边角”，得出△ADE≌△FCE, 再根据全等三角形的性质，得出AD=C℉，再根据线段之间数量关系，即可得出结论. 【详解】(1)解：在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠BDE BD=CD '△ADC≌△EDB(SAS): (2)解：由(1)知：△ADC2aEDB, ∴BE=AC=6,AE=2AD, 在△ABE中，AB=8 由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6. ∴1<AD<7: (3)解：①AD∥BC. ∴∠ABC+∠BAD=180°， :AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线， ∠BAE=∠BAD,∠ABE=∠ABC 2 ∠BAE+∠ABE=2(2BAD+∠ABC)=90。 .∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90°： 考点02一线三垂直模型 1.已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线L过点A,且BD⊥m于D,CE⊥m于E,当直线m绕 点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE. 10/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D2 D E 1m 图1 图2 (I)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明： (②)直线在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证 明) 【答案】(I)DE=BD-CE 证明：如图2， .BD⊥m,CE⊥m, ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∴∠ABD+∠DAB=90°. :∠BAC=90°， .∠DAB+∠CAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中， [∠BDA=∠CBA ∠ABD=∠CAB AB=CA .△ABD≌△CAE(AAS), .AD=CE,BD=AE DE=AE-AD, .'DE BD-CE (2 DE=BD+CE,DE=BD-CE,DE=CE-BD 【分析】(1)利用条件证明△ABD≌△CAE, 再结合线段的和差可得出结论： (2)根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系： 【详解】(1)略 (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE, DE=BD-CE,DE=CE-BD. 11/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1时，DE=BD+CE, 如图2时，DE=BD-CE, 如图3时，DE=CE-BD,(证明同理) m m A A E m B 图1 图2 图3 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质， 2.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： D B G E F D 61 D G 图1 图2 图3 ()【模型呈现】如图1，∠BAD=9O°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点 E.由∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠I=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进 而得到AC=一，BC=一.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型： (2)[模型应用如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积. (3[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 【答案】(I)DE,AE (2)50 (3)证明：过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 由(1)可知，当∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AF,DM⊥AG时， △BFA≌AAMD, 12/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'FA=MD 同理，△CFA≌△ANE, .FA=NE, .MD=NE. :DM⊥AG,EN⊥AG ∴.∠DMG=∠ENG=90°. 又：∠DGM=∠EGN, .aDMG≌aENG(AAS). .'.DG=EG, 即点G是DE的中点。 图3 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到对应边相等： (2)根据全等三角形的判定得到△EPA≌△AGB、△BGC≌△CHD,从而得到对应边相等，进而根据三角 形面积公式和梯形面积公式得到S梯DsPH、SaPA、S。MBG、SaBC、SCHD,最后根据面积之间的和差关系求 出图中实线所围成的图形的面积： (3)过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N,由(1)得到△BFA≌△AMD、 △CFA≌△AWE,根据全等三角形的性质得到MD=NE,再根据全等三角形的判定得到△DMG≌△ENG, 最后利用全等三角形的性质得到DG=EG,从而得到结论. 【详解】(1)解：△ABC≌△DAE, .AC=DE,BC=AE: (2)解：过点E作EP⊥AC于点P,过点B作BG⊥AC于点G,过点D作DH⊥AC于点H, AE⊥AB, .∠EAB=90°， .∠EAP+∠BAG=90°， :BG⊥AC, :.∠AGB=90°， 13/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABG+∠BAG=90°， .∠EAP=∠ABG. :EP⊥AC, .∠EPA=90°. .∠EPA=∠AGB=90°， 又AE=AB, aEPA≌aAGB(AAS), .'EP=AG=6,PA=GB=3. 同理，△BGC≌aCHD, ∴.GB=HC=3,GC=HD=4, ∴.PH=PA+AG+GC+HC=3+6+4+3=16, .S.m-EPxPA-x6x3-9. 2 2 及m-号4G×G-x6x3=9. S.we--BGxCG--x3x4-6, 1 2 2 =CH×DH=x3x4=6, S.CHD=2 Sww-(DH+EP)xPH-x(4+6)xI6-80. .S=S8DEPH-SEP4-S4BG-S.RGC-S.CHD=80-9-9-6-6=50 答：图中实线所围成的图形的面积为50： (3)略 3.阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直， 所以称为“一线三垂直模型”·当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形. D 图1 图2 图3 14/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于 点E,则CD与BE的数量关系是 (2)问题探究： 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于 点E,AD=3cm,DE=1.8cm,求BE的长： (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，A(-l,0),C(L,2.5)△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC,求B点坐标. 【答案】(I)CD=BE (2)1.2cm (3)(3.5,0.5) 【分析】(I)通过“一线三垂直”模型，证明△ACD≌aCBE,得CD=BE】 (2)同理证△ACD≌aCBE,得CE=AD,再通过CD=CE-DE计算BE的长度. (3)作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证△ACM≌△CBN,结合A、C的坐标差得到线 段长度，即可计算B点坐标 【详解】(I)解：：△ABC是等腰直角三角形，AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ACB=∠D=∠E=90°，AC=BC, 又'∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠DAC=∠BCE. .△ACD≌aCBE(AAS)」 .CD=BE 故答案为：CD=BE (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE,∠ACB=90°， ∴.∠ADC=∠E=90°， .∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， 15/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠E AC=BC ∴△ACD≌ACBE(AAS) .BE=CD,CE =AD=3cm, 又DE=1.8cm, ..BE=CD=CE-DE=3-1.8=1.2(cm); (3)解：如图3过点B作EF∥y轴，过点A作AD∥y轴， 过点C作DEl轴，DE分别与EF、AD交于点E、D, :AD∥y轴，DEIx轴，EF∥y轴， D B A ∴AD⊥CE,BE⊥CE,AD=EF 又：∠ACB=90°， .∠D=∠E=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， ∠CAD=∠BCE ∠D=∠E AC=BC ·.AACD≌ACBE(AAS), ∴.DC=BE,AD=CE, A(-1,0),C(1,2.5), .AD=EF =CE=2.5,DC=BE=2. ∴BF=EF-BE=0.5,OF=1+2.5=3.5, ∴.B点坐标为(3.5,0.5) 【点睛】考查“一线三垂直”模型、全等三角形的判定(AAS)、等腰直角三角形的性质、平面直角坐 16/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标系中点的坐标计算.解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标 系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度， 考点03旋转模型 1.问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC,BC为直角边作等腰直角三角形， ∠ACD=9O°，CA=CD,CB=CE,连接AE,BD,线段AE,BD之间的数量关系为一一-：位置关系 图1 图2 拓展探究：如图2，把RtAACD绕点C逆时针旋转，线段AE,BD交于点F,则AE与BD之间的关系是否 仍然成立？请说明理由 【答案】问题发现：AE=BD,AE⊥BD: 拓展探究：成立 理由如下：设CE与BD相交于点G,如图1所示： 图1 :∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACE=∠BCD 又：CB=CE,AC=CD, .△MCE兰△DCB(SAS), .AE=BD,∠AEC=∠DBC, ,∠CBD+∠CGB=90°， .∠AEC+∠EGF=90°， 17/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFB=90°， BD⊥AE, 即AE=BD,AE⊥BD依然成立. 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB,再根据全等三角形的性质即可得出答案： 拓展探究：用SAS证△ACE兰△DCB,根据全等三角形的性质即可证得. 【详解】解：问题发现：延长BD,交AE于点F,如图所示： B :∠ACD=90, .∠ACE=∠DCB=90°， 又：CA=CD,CB=CE :.△ACE兰△DCB(SAS), .AE=BD,∠CAE=∠CDB ∠CDB+∠CBD=90°， ∴.∠CAE+∠CBD=90°， ∴.∠AFD=90°， ,AF⊥FB, .AE⊥BD, 故答案为：AE=BD,AE⊥BD: 拓展探究：略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定 和手拉手模型是解决本题的关键 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, 18/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部一点，CD⊥CE且CD=CE. ①如图1，求证：△ACD≌△BCE, ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积； (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 【答案】(1①证明：：∠ACB=90°，CD⊥CE. ∴.∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+LDCB=90°， .∠ACD=∠BCE AC=BC,CD=CE, .△ACD≌ABCE ②30 (2)4 【分析】(1)①利用直角的性质，'通过等量代换求出∠ACD=∠BCE,结合己知条件，利用SAS即可证 明△ACD≌aBCE.②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出∠ADC=∠BEC和相应的度数， AD=BE和相应的长度，以及∠AEB=9O°，根据直角三角形的面积公式即可求出△ABE的面积. (2)利用旋转的性质和已知条件∠AMC=45°，证明M,A,P三点共线、∠MPB=90°以及PB=AM,根据 面积法即可求出AM的长度. 【详解】(1)①证明：略. ②解：CD=CE,CE⊥CD ∴.∠CDE=∠CED=45°， ∴.∠ADC=180°-45°=135°. 由①△ACD≌aBCE可得∠ADC=∠BEC=I35°，AD=BE=5, .∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， :∴△ABE为直角三角形， 19/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=5,DE=7, .AE=AD+DE=5+7=12, BE=5, Sm=)4E-BE=x12x5=30 2 2 (2)解：将△MCA绕点C逆时针旋转90°使AC和BC重合，得到△BCP,如图所示， :MC=CP∠MCP=∠ACB=90°∠CPB=45°MA=PB :∴△MCP为等腰直角三角形， .∠CMP=∠MPC=45°， .∠CMA=45° ∠CMP=∠CMA=45°， ∴.P在线段MA的延长线上， :∠CPB=45°， .∠MPB=∠MPC+∠CPB=45°+45°=90°， .BP⊥MP :S。ABM=8,MA=PB, -8. .AM=4. 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断 M,A,P三点共线，巧妙将AM边上的高PB转化为AM, 3.如图，aCAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE, ∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°，连接AD、BE, 20/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E M D B A B N 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠CAD=26°，∠DCB=10°，则LDEB= (2)如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F,且CF=BF,AD=10,求△CEF的面积： (3)如图3，BE与AC的延长线交于点G,若CD⊥AD,延长CD与AB交于点N,在BC上有一点M且 BM=CG,连接NM,请猜想CN、M、BG之间的数量关系并证明你的猜想. 【答案】(1)29 (2)25 (3) CN+MN=BG.证明如下： 如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T,则LCBT=∠BCG=90°，∠NBM=∠NBT=45°， G 图2 .·AD⊥CD ∠ADC=90°， :△ACD≌△BCE, ∴.∠ADC=∠BEC=90°， :∠BCT+∠ECB=90°，∠ECB+∠CBG=90°. .∠BCT=∠CBG. 在ACBT和△BCG中， 21/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠BCT=∠CBG CB=BC ∠CBT=∠BCG ·aCBT≌aBCG(ASA). ∴BT=CG,CT=BG, BM=CG ∴BM=BT, 在△BNM和△BNT中， BM=BT ∠NBM=∠NBT, BN=BN .△BWM≌aBNT(SAS), .MN=NT, .CN+MN=CN+NT=CT=BG 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面 积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. (1)证明△ACD≌aBCE(SAS),利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题。 (2)如图2中，过点C作CO⊥DE于Q.证明△CFO≌aBFE(AAS),推出CO=BE=I0,QF=EF,求 出EF,可得结论. (3)如图3中，结论：CN+MN=BG.如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T.证明 ACBT≌ABCG(ASA),△BNM≌aBNT(SAS),利用全等三角形的性质，可得结论. 【详解】(1)解：如图1中， B 图1 :△ACD,△CDE都是等腰直角三角形， ∴.∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE, .∠ACD=∠BCE=90°-∠BCD, 22/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE, CD=CE ·.△ACD≌aBCE(SAS), ∴.∠CAD=∠CBE=26°， :∠DCB=10°， ∠ECB=90°-10°=80°， .∠CEB=180°-∠CBE-∠ECB=180°-80°-26°=74°， :∠CED=45°， .∠DEB=74°-45°=29°， 故答案为：29： (2)解：如图2中，过点C作CQ⊥DE于9 ◇ B 图2 .CD=CE. CO-OE-DO-DE :△ACD≌ABCE, ·∠ADC=LCEB,AD=BE=I0. :∠CDE=∠CED=45°， ·∠ADC=∠CEB=135°， ∠AEB=90°， .∠CQF=∠BEF=90° 在△CF0和ABFE中， [∠CQF=∠BEF ∠CFQ=LBFE, CF=BF 23/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .aCFO≌aBFE(AAS), ..CO=BE=10.QF=EF, .CQ=QE=D0=10. ∴EF=。EQ=5, 21 ∴S0m=)EF-c0=)x5x10=25: 2 2 考点04截长补短模型 1.阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线 段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题.依据上述材 料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C,求证： AB+BD=AC. E B 图1 图2 (1)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,解答了这个问题， 请按照小亮的思路写证明过程：（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE 是△ABC的高，AD=10,EB=2,求AB的长. 【答案】(1) 证明：在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE, ·.AD ∠BAC 平分 .∠BAD=∠DAC, .AD=AD. ∴.△ABD≌△AED|SAS, ∴.∠B=∠AED,BD=DE, ,∠B=2∠C, 24/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AED=2∠C, .∠AED是△DEC的一个外角， ∴.∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠C=∠EDC, ∴.DE=CE .'BD=EC, AE+EC=AC, .AB+BD=AC: (2)AB的长为14 【分析】(1)在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,根据角平分线的定义得出∠BAD=∠DAC, 利用SAS证明△ABD≌△AED,从而可得∠B=∠AED,BD=DE,再利用三角形外角的性质可得 ∠AED=∠C+∠EDC,从而可得∠C=∠EDC,推出DE=CE,进而得出BD=EC,即可得证： (2)在AE上截取AF=AD,连接CF,由三角形内角和定理可得∠DAC=30°，证明 △DAC≌△FACSAS得出∠AFC=∠D=110°，再证明△CEF≌△CEB AAS得出EF=BE,求 出BF=2BE=4,即可得解. 【详解】(1)略 (2)解：在AE上截取AF=AD,连接CF, D .:∠D=110°∠ACD=40 :.∠DAC=180°-∠D-∠ACD=30°， .∠BAD=60 ∴.∠FAC=∠BAD-∠DAC=30°， ∴.∠DAC=∠FAC=30°， .AC=AC, ∴.△DAC≌△FACSAS, .∴.∠AFC=∠D=110°， .∴.∠CFE=180°-∠AFC=70°， .∠ACB=80°，∠FAC=30°， 25/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=180°-∠ACB-∠FAC=70°， ∴.∠B=∠CFE, .CE⊥AB, ∴.∠CEF=∠CEB=90°， ∴.CE=CE, ∴.△CEF≌△CEBAAS, ∴.EF=BE, ∴.BF=2BE=4, .∴.AB=AF+BF=10+4=14, .AB的长为14. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义 及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键. 2.【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，△ABC,△ECD均为等边三角 形，AC与BE交于点M,AD与CE交于点NAD与BE交于点P,连接CP.探究AP、CP、BP之间的数 量关系 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上 述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三 条长线段) 【问题解决】如图2，在BP上取点F,使得PF=AP,连接AF,在【问题呈现】的条件下，完成下列问 题： 图1 图2 (1)求证：△BCE≌△ACD: (2)求证：∠APM=60°； (3)试探究AP,CP,BP之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1) 26/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，△ABC,△ECD均为等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60, :.∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD BC=AC, 在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD CE=CD, △BCE≌△ACD|SAS: (2) 证明：由(1)可知△BCE≌△ACD, ∴，∠CBE=∠CAD, 又，∠AMP=∠BMC, ,∠APM=∠BCM=60°： (3) 解：BP=AP+CP.理由如下： 在BP上取点F.使得PF=AP,连接AF. 由(2)可知∠APM=60°， ∴，△AFP是等边三角形， ∴.∠PAF=60°，AF=AP, 又：△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC, .∠BAC-∠FAM=∠PAF-∠FAM, 即∠BAF=∠CAP, 在△ABF和△ACP中， AB=AC ∠BAF=∠CAP AF=AP 27/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABF≌△ACPSAS, ∴.BF=CP, ∴.BP=BF+FP=AP+CP 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出 辅助线解决问题是解题的关键. (1)利用SAS证明△BCE≌△ACD即可； (2)由全等三角形的性质求得∠CBE=∠CAD,再利用三角形内角和定理即可得到∠APM=60°： (3)在BP上取点F.使得PF=AP,连接AF,证明△AFP是等边三角形，再推出 △ABF≌△ACP|SAS,得到BF=CP,据此求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 (24-25八年级上·辽宁抚顺阶段练习) 【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长： ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线 段长 28/28面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 全等三角形的常考压轴模型 考点归纳 考点01倍长中线模型 考点02一线三垂直模型 考点03旋转模型 考点04截长补短模型 考点专练 考点01倍长中线模型 L.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E,使DE=AD;连接BE,CE, C (I)求证：△ADC≌△EDB (②)若AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 2.己知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题. E 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的取值范围是 (2)如图2，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF, 求证：BE+CF>EF (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF交DC的延长线于点F,E是BC的中点，AE是∠BAF的 平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系，并加以证明. 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.基础研究： (I)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4,AC=3.求BC边上的中 线AD的取值范围.李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE,则得到△ADC≌aEDB,李海证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： (用字母表 示)；线段AD的取值范围为 B E 图1 问题解决： (2)如图，E为CD的中点，OA=OD,OB=OC,∠AOD+∠BOC=180° 探究OE和AB的关系并证明. D E 图2 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点∠1=∠2、AB=DE, 求证：BC=CE A D C 图3 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： D E D 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌aEDB的理由是_： (2)求得AD的取值范围是_： 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已 知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中： 【问题解决】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC, 猜想： ①∠AEB的度数： ②BC,AD,AB的数量关系，说明理由. 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02一线三垂直模型 1.已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m过点A,且BD⊥m于D,CE⊥m于E,当直线m绕 点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE, m B B 图1 图2 (I)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明： (2)直线在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证 明) 2.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： D B E F B D 61 31 个2 y D 图1 图2 图3 (I)【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得I=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进 而得到AC=一，BC=一·我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积。 (3[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 3.阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90，于是有三组边相互垂直， 所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形. AO 图1 图2 图3 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于 点E,则CD与BE的数量关系是 (2)问题探究： 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于 点E,AD=3cm,DE=l.8cm,求BE的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，A(-1,0),C(1,2.5)△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC,求B点坐标. 考点03旋转模型 1.问题发现：如图I,已知C为线段AB上一点，分别以线段AC,BC为直角边作等腰直角三角形， 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=9O°，CA=CD,CB=CE,连接AE,BD,线段AE,BD之间的数量关系为一；位置关系 为 N■ 图1 图2 拓展探究：如图2，把RtAACD绕点C逆时针旋转，线段AE,BD交于点F,则AE与BD之间的关系是否 仍然成立？请说明理由. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC B 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部-点，CD⊥CE且CD=CE, ①如图1，求证：△ACD2△BCE: ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积； (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 3.如图，aCAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE, ∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°，连接AD、BE. 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠CAD=26,∠DCB=10°，则∠DEB=」 (2)如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F,且CF=BF,AD=I0,求△CEF的面积： 3)如图3，BE与AC的延长线交于点G,若CD⊥AD,延长CD与AB交于点N,在BC上有一点M且 BM=CG,连接NM,请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想. 考点04截长补短模型 1.阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线 段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题.依据上述材 料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C,求证： AB+BD=AC B 图1 图2 (1)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,解答了这个问题， 请按照小亮的思路写证明过程：（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE 是△ABC的高，AD=10,EB=2,求AB的长. 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，△ABC,△ECD均为等边三角 形，AC与BE交于点M,AD与CE交于点N,AD与BE交于点P,连接CP.探究AP、CP、BP之间的数 量关系 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上 述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三 条长线段) 【问题解决】如图2，在BP上取点F,使得PF=AP,连接AF,在【问题呈现】的条件下，完成下列问 题： N B 图1 图2 D (I)求证：△BCE≌△ACD: (2)求证：∠APM=60°： (3)试探究AP,CP，BP之间的数量关系，并说明理由. 8/8