专题06 轴对称常考重点题型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

专题06 轴对称常考重点题型 考点01 将军饮马问题 考点02 等腰三角形分类讨论 考点03 等腰三角形存在性问题 考点04 等腰三角形性质与判定综合求值证明 考点01 将军饮马问题 1．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 3．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 4．综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点，连接，，． ∵点B、关于直线l对称，点C、在直线l上， ∴______ ，___________ ， ∴__________ ． ∵在中，， ∴____________ ，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 5．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 考点02 等腰三角形分类讨论 1．等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 2．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（　　） A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70° 3．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（1）一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． （2）一个等腰三角形的一个内角为，求其他两个内角的度数． 考点03 等腰三角形存在性问题 1．如图，在中，，点在线段上运动（不与点重合），连结，作交线段于点． (1)若________，________，点从点向点运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)若，求证：． (3)在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点04 等腰三角形性质与判定综合求值证明 1．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）设∠BAC＝，∠DCE＝．如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 3．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 4．如图，ABC 中，AB = AC=2，∠B = 40°，点 D 在线段 BC上运动（点D不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC于E． (1)当∠BAD=20° 时，∠EDC= °； (2) 请你回答：“当DC等于 时，ABD DCE”，并把“DC等于 ”作为已知条件，证明ABDDCE； (3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于 时， ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程）    2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称常考重点题型 考点01 将军饮马问题 考点02 等腰三角形分类讨论 考点03 等腰三角形存在性问题 考点04 等腰三角形性质与判定综合求值证明 考点01 将军饮马问题 1．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 【详解】解：将点P向下平移的长度得到，连接，， 则，． ． 即当三点共线时总长度最短． 2．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 3．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 4．综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点，连接，，． ∵点B、关于直线l对称，点C、在直线l上， ∴______ ，___________ ， ∴__________ ． ∵在中，， ∴____________ ，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一：，，，； 任务二：如图，即为最短路径． 任务三：如图，即为最短路径． 【分析】任务一：根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； 任务二：分别作A、B两点关于靠近A、B两点的草地边和河边所在直线的对称点，连接两对称点，分别交草地边和河边于点C、D，连接、，将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据轴对称性质保证路径长度相等； 任务三：过点P作靠近点P的河边所在直线的垂线，在垂线上截取等于河的宽，连接，交靠近点Q的河边所在直线于点N，再过点N作河边的垂线，垂足为M，连接，则路线即为所求． 【详解】任务一：略 任务二：略 任务三：略 5．阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】(1) 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； (2)4 (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 考点02 等腰三角形分类讨论 1．等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【详解】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系； 综上，这个等腰三角形的周长为， 故选：C． 2．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（　　） A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70° 【答案】B 【分析】由于外角大于，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时． 【详解】解：（1）的外角的顶点为顶角顶点， 则底角， （2）的外角的顶点为底角顶点， 则底角． 故选： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等，以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 3．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，合理分析图形是解题的关键． 分类讨论等腰三角形的形状，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况，如图①，，： ∴， ∴； 如图②，，， ∴，， ∴； 故选：D． 4．（1）一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． （2）一个等腰三角形的一个内角为，求其他两个内角的度数． 【答案】（1），或，；（2）， 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形的内角和定理； （1）分底边或者腰长为，结合构成三角形的条件，分类讨论，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：（1）当底边长为 时， 腰长为． 所以另两边的长为， ，能构成三角形； 当腰长为 ，底边长为． 所以另两边的长为 ， ，能构成三角形． 综上，其他两边的长是，或，． （2）由题意，知只能顶角为，则底角度数为． 故其他两个内角度数是，． 考点03 等腰三角形存在性问题 1．如图，在中，，点在线段上运动（不与点重合），连结，作交线段于点． (1)若________，________，点从点向点运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)若，求证：． (3)在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)115，25，大 (2) 证明：∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴； (3)存在是等腰三角形的情形，此时等于或 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角和内角和的定理，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理解题即可； （2）根据证明全等即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 当点从点向点运动时，逐渐变大， 故答案为：115，25，大； （2）略 （3）解：存在是等腰三角形的情形，理由如下： ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点D与点B重合，不符合题意； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，的度数为或． 2．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)存在，，或 【分析】本题主要考查长方形的性质、三角形面积计算以及等腰三角形的存在性问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据题意得，，求得长方形的面积为24，根据直线能否将长方形的面积分为两部分，分别求出两部分的面积分别为8和16，设，根据三角形面积公式列式求出的面积为8和16，即可解答问题； （2）分点在上、上和上三种情况结合的面积讨论求解即可； （3）分点在上、上和上三种情况结合等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，且， ∴，， ∴长方形的面积为， 若直线将长方形面积分为两部分，则两部分面积分别为8和16． 设，则的面积为． 当的面积为8时，， 解得， 此时 当的面积为16时，， 解得（舍去）， 所以直线能将长方形面积分为两部分，点D坐标为； （2）解：当D在上时，的面积， 此时没有这样的； 当D在上时，设D运动的路程为t，则，则： 的底为，高为， 所以，面积为． 令， 解得， 所以，； 当D在上时，的面积为0，不符合要求． 综上，点D的坐标为； （3）解：∵， ∴； ①当时，，则，因为D在长方形边上，所以； ②当时，，，则． ③当时，则点在边的中点，即, 综上，点的坐标分别为，或． 考点04 等腰三角形性质与判定综合求值证明 1．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 2．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）设∠BAC＝，∠DCE＝．如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】 （1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， , ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B，BD=CE, ∵∠B+∠ACB=90°， ∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°； ∴BD⊥CE， 故答案为：BD与CE垂直且相等． （2）∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B， ∵∠B+∠ACB=180°-α， ∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β， ∴α+β=180°. 【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题； （2）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题； 【详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键． 3．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 解：线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 4．如图，ABC 中，AB = AC=2，∠B = 40°，点 D 在线段 BC上运动（点D不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC于E． (1)当∠BAD=20° 时，∠EDC= °； (2) 请你回答：“当DC等于 时，ABD DCE”，并把“DC等于 ”作为已知条件，证明ABDDCE； (3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于 时， ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程）    【答案】（1）20；（2）2；2；证明见解析；（3）30°或60° 【分析】（1）根据外角等于不相邻两内角和可解题； （2）当DC=AB=2时，即可求证△ABD≌△DCE； （3）分类谈论，①若AD=AE时；②若DA=DE时，③若EA=ED时，即可解题． 【详解】解：（1）∵∠BAD=20°，∠B=40°， ∴∠ADC=60°， ∵∠ADE=40°， ∴∠EDC=20°． （2）DC=AB=2时， ∵AB = AC=2， ∴∠B=∠C， ∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB， ∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB， ∴∠BAD=∠CDE． 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）∵AB=AC， ∴∠B=∠C=40°， ①若AD=AE时，则∠ADE=∠AED=40°， ∵∠AED＞∠C， ∴△ADE不可能是等腰三角形； ②若DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∴∠BAD=100°-70°=30°； ③若EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴∠BAD=100°-40°=60°， ∴当∠BAD=30°或60°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．运用分类讨论解本题是解题的关键． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $