第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高一必修第一册

第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 2．若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 3．已知函数（且），则“”是“对任意，都有”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“对任意，都有”等价于“函数（且）在上为减函数”，即， 所以“”是“对任意，都有”成立的充分不必要条件. 4．已知函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 5．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】因为函数，在内单调递增， 可知函数在内单调递增，可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 6．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 7．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 8．若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 10．下列命题正确的有（    ） A．， B．“”是“”的必要不充分条件 C．若“，”是假命题，则实数的取值范围是 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】根据指数函数值域判断A选项；根据基本不等式及充分条件和必要条件定义判断B选项；对于选项C，先表示出命题的否定，根据命题与其否定一真一假将命题转化为有解，根据二次函数开口方向和判别式求的取值范围判断C选项；根据函数定义域的定义判断D选项. 【详解】选项A，由指数函数的值域为得恒成立，A选项错误； 选项B，当时，由基本不等式可得，当且仅当即时成立，所以当时，，不能推出，充分性不成立； 当时，移项得，解得且，因此能推出，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，B选项正确； 选项C, 若“，”是假命题，则，使得. 对于函数，其图象开口向上，要使得有解，则判别式，解得或，C选项正确； 选项D，已知函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，即函数的定义域为，D选项错误. 11．函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】CD 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；对于D选项，利用函数周期性可得，再根据通过赋值可得，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A，已知为奇函数，则有， 令，得， 又，令，得， 时，因此可得，故A错误； 对于B，已知为奇函数，则有， 又，则有，由此可得， 而，可得的一个周期为12， 若的周期为6，则有，得为偶函数，与题意不符，故B错误； 对于C，已知为奇函数，则有，则可得函数的图象关于中心对称， 又函数的周期为12，所以的图象关于中心对称，故C正确； 对于D，已知函数的周期为12，则有， 又，令，得， 则，故D正确. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．，则的值为________． 【答案】2 【分析】平方，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】由可得，即，故. 13．已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 【答案】 【分析】由，得到，根据题意，结合，即可求解. 【详解】由，可得， 因为函数为奇函数，且当时，， 可得， 即当时，. 14．函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题） 15．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 16．已知函数. (1)当时，求，的值； (2)在上是增函数，求的范围. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）当时，函数， ，，； （2）在上是增函数， 当 时， 是一次函数，要递增需 ， 当 时， 递增，满足条件， 在分界点 处，需左极限不超过右边最小值，即， 综上，. 17．已知函数（）的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或，又因为，所以． （2），令， 因为，所以， 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以， 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以， 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上，． 18．设. (1)证明：； (2)令. ①判断的单调性，并用单调性的定义证明； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意可知； ， 故，即； (2)①在和上单调递减，证明： 由题意得，其定义域为， ，为奇函数， 任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在上单调递减，又为奇函数， 所以在和上单调递减； ② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）①结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得， ； 当，即时，，解得， ； 综上，实数的取值范围为． 19．函数定义域为，对于，，，． (1)若，求实数的值； (2)若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 【答案】(1) (2) （ⅰ）证明：，． 则， 所以， 而， 则， 所以，． （ⅱ）证法1：若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， ，， 综上，，， 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， 则； 综上，，， 证法2：任意，， ， 所以，则在上单调递增． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得， 综上所述，，． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得； 综上所述，，． 【分析】（1）由题设可得对于任意正数，，进而得到，由恒成立可得，进而得到； （2）（ⅰ）由，可得，再得到，进而求证即可； （ⅱ）证法1：结合（ⅰ）分、且可证明当时，，分、且可证明当时，； 证法2：先利用函数单调性的定义证明在上单调递增，再分情况证明即可. 【详解】（1）因为对于任意正数，，所以，所以． 当，时，． 因为，，所以，所以，所以， 综上所述，． （2）略 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B A D C A 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 AC BC CD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12．2 13． 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 16．(1)，； (2). 【详解】（1）当时，函数， ，，； （2）在上是增函数， 当 时， 是一次函数，要递增需 ， 当 时， 递增，满足条件， 在分界点 处，需左极限不超过右边最小值，即， 综上，. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或，又因为，所以． （2），令， 因为，所以， 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以， 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以， 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上，． 18．(1) 由题意可知； ， 故，即； (2)①在和上单调递减，证明： 由题意得，其定义域为， ，为奇函数， 任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在上单调递减，又为奇函数， 所以在和上单调递减； ② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）①结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得， ； 当，即时，，解得， ； 综上，实数的取值范围为． 19．(1) (2) （ⅰ）证明：，． 则， 所以， 而， 则， 所以，． （ⅱ）证法1：若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， ，， 综上，，， 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， 则； 综上，，， 证法2：任意，， ， 所以，则在上单调递增． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得， 综上所述，，． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得； 综上所述，，． 【分析】（1）由题设可得对于任意正数，，进而得到，由恒成立可得，进而得到； （2）（ⅰ）由，可得，再得到，进而求证即可； （ⅱ）证法1：结合（ⅰ）分、且可证明当时，，分、且可证明当时，； 证法2：先利用函数单调性的定义证明在上单调递增，再分情况证明即可. 【详解】（1）因为对于任意正数，，所以，所以． 当，时，． 因为，，所以，所以，所以， 综上所述，． （2）略 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $第三章指数运算与指数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.下列运算结果中正确的是() A.a.a=a B.Va=a c.（-a2）°=-a D.-=π 2.者若函数f)=。4(a>0,a≠1》满足0=)，则f因的单调选减区间是() A.（-0,2] 8（-0,-2] c.【-2+o) D.[2,+o) 3。已知函数f(因=d(a>0且a1),则0<a≤ f<0,成 4”是“对任意≠x2,都有-x2 立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4,已知函数f(冈=aa>0,且a+),若eR.则() A.()=f(x)f(x) B.f(3+)=f(s)f(s) c.f()=f(G)+f(x) D.f(:+)=f()+fk) 5,已加数间=e-e,若之0，则7问的最小道为() 4 A.4 B.6 C.8 D.12 6,架西数因-3在》上是单调眉数，那么实数“的取监范围是) A.(-2,2) B.【-2,21 c.（-0,-2U(2,+w) D.（-0,-2JU[2,+w) 7.已知函数f(x)=2-。1 x2-2x+2则不等式f(x+1)>f(2x)的解集为() 试卷第1页（共4页） a c G &-t (a>0且a≠1)的值域为R,则a的取值范围是() A别 c.(0,) D.(1,+o) 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9.己知函数f田=。+1，下列说法正确的有(） A.y=f(x)在（-o,+oo)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)中心对称 C.当x>h3时，>号 D.若x<1,则f(2-x)+f(-x)<1 10.下列命题正确的有() A.x∈Res≤0 8“a>0”是a+2”的必要不充分条件 a C.若：x∈R,x-x+1≥0”是假命题，则实数“的取值范围是 -0,-2)U(2,+∞) D.西数=闭的定义诚为L2列，则函数”=f2)的定义拔为24利 1,函数（对xeR,f(+2)=f4-,日+6）为奇函数，则下列说法正确的是《) A若e@时)=2，则8)=4B.f因的周期为6 C.f因的图象关于6,0)中心对称 D.f(2025)+f3)=0 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.x2+x2=2,则x+x的值为 13.已知函数)为奇函数，当x<0时，()=e+,则x>0时，()= 试卷第2页（共4页） 14.函数f(x)=2x-,1+3 一4+i+2,若对任意x∈[-2,2引，都有f(x+a)+f-x2)>2,则a的取值范围是 四、解答题（本题共5小题） 15.已知函数 (1)判断函数 f() 的奇偶性，并说明理由： 2)求证：f(x)>0 6已知明数f倒-(r+),x<0 2,x≥0. 当a=1时，求f0,f-》的值： 2①在R上是销函数，求”的范国 试卷第3页（共4页） 卫陶效利+a>能以线为川，案经古引 (1)求a的值： 2求因的首域 B求8()-[/（订-2m时(）+2的最小值h(m）. 8设()e-ex 28()=e+e* 2 a证明：f6P=g2x)-gr 2)s) f(x). ①判断 (0的单调性，并用单调性的定义证明： 若对于的店+ 不等式[h(x)+2mh()-3m-3<0恒成立，求实数m的取值范围. 试卷第4页（共4页) 19,函数f(因定义域为@切)，对于mn>0,f侧>0.fa>0.fm+川小>fm)+/回 若f()小=2+ ,求实数乙的值： (2若()=1 证明： （i)f)>k(k≥2，k∈N),f(2*)<2(keN). （i)当e0时，k2x:当xe+o时.f(>x-l 试卷第5页（共4页) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 616