第三章 指数运算与指数函数（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．设函数，则函数（   ） A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数 C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则__________． 13．已知是方程的两个根，若，则______． 14．已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． (1)求与的解析式； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的取值范围． 19．(17分）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解. 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确. 故选：B. 2．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 3．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 4．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题设知定义域为，定义域关于原点对称， ，即， 又，则，即， 根据指数函数及复合函数的单调性，知在上单调递增， 故，即，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 5．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数对称中心的概念，即可求解. 【详解】由题意，选项中对称中心的横坐标均为0，所以设函数的对称中心为， 根据函数对称中心的概念，需满足， 即，化简得， 所以，即函数的中心为. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 7．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 8．设函数，则函数（   ） A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数 C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数 【答案】A 【分析】首先去绝对值，得到分段函数，然后根据的值域，求函数，判断函数的周期性. 【详解】根据题意，， 易分析知皆有，故而有，是一个常数函数， 从而说明既是偶函数也是周期函数（无最小正周期），故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，利用奇函数的定义即可判断；对于B，利用偶函数的定义即可判断；对于C，利用单调性的定义判断的单调区间即可求解，对于D，结合函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由于函数定义域为，且， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，其定义域为， 又，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于对于任意，则， 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递减； 当时，，， 所以， 即，所以在上单调递减； 所以抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移不一定越小， 当抛射体发射角的正切值在上时，抛射体发射角的正切值越大， 相对水平位移越大，故C不正确； 对于D，由选项C知，的单调递减区间为和，递增区间为， 函数示意图如下： 由于当时，，，，当时，， 所以抛射体相对水平位移的取值范围是，故D正确. 10．函数的图象可能是（   ） A． B．C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 11．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先利用奇函数与偶函数的定义，求出与，将不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为，由基本不等式求解最值，即可得出的可能取值. 【详解】由， 则， 解得，， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 可得对恒成立， 又， 当且仅当时取等号，所以． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则__________． 【答案】10 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 13．已知是方程的两个根，若，则______． 【答案】0 【详解】由题意知是方程的两个根， 令，则方程有两个正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，即，解得或，则或， 则，或，则. 14．已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 【答案】 【分析】对第一个空，求解分段函数的最小值，需分别分析每一段的单调性与最值： 时利用指数函数的单调性求最小值，时通过二次函数的顶点公式求最小值，再比较两段最小值得到整体最小值；对第二个空已知最小值求参数时，先根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论，确定两段函数的最小值，再令整体最小值等于列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的前提条件. 【详解】当时，， 当时，单调递增，因此单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数， 对称轴为（在区间内），最小值为， 比较两段最小值和，得的最小值为； 当时，单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， 分情况讨论： 若，则对称轴，时单调递减， ，，，所以时无最小值； 令，方程无解，该情况不成立； 若，则对称轴，时二次函数的最小值为 此时段的最小值为， 由题意最小值为，结合，应有， 解方程，得（舍去）或， 当时，，的最小值为，，的最小值为， 所以的最小值为，符合题意， 综上， 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是定义在上的奇函数，则时，，当时，，表示出，结合求解析式即可； （2）根据不等式的性质可得，结合奇函数的性质得到值域即可． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则．............4分 故；.............6分 （2）当时，，则，， 即当时，．.............8分 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，．.............10分 又，所以的值域为．.............13分 16．（15分）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为..............6分 （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，；.............8分 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增， 需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足，.............13分 解得； 故实数的取值范围为..............15分 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 在上单调递减，证明见详解； (3) 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故...............3分 （2）在上单调递减， 证明：，设， ,..............5分 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减．..............7分 （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则，..............10分 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以，..............13分 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是．..............15分 18．（17分）已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． (1)求与的解析式； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）利用奇偶性，用替换原方程联立解出； （2）由得到，平方求出，进一步算出；方法一利用立方和公式整体代换求； 方法二通过两式相乘展开、整体代换求出，最后代入求值； （3）代入解析式化简不等式，换元结合基本不等式求分式最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，所以，． 因为①，所以，即②．    由①②，得，． ..............3分 （2）因为，所以． 因为，所以． 因为，，所以．     方法一：．    方法二：因为，所以， 所以，即． ..............7分 （3）因为在上恒成立，所以在上恒成立． 因为，所以在上恒成立．     令，则， 所以，..............14分 当且仅当即时，等号成立，即．    所以，即实数的取值范围是．..............17分 19．(17分）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）作出的函数图像，进而求解； （2）由（1）得在上为拱段，在两侧为，分类讨论即可求解； （3）先判断的单调性，进而求出在的最大值，再转化为，进而得对任意恒成立，分别求在区间的最大值和的最小值即可求解. 【详解】（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， ..............2分 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，；..............3分 （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点．..............5分 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或，..............7分 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上； 更大时直线与拱段有2个交点．..............9分 综上，实数的取值范围为；..............10分 （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；..............12分      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2，..............14分 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是．..............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD CD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．10 13．0 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则．............4分 故；.............6分 （2）当时，，则，， 即当时，．.............8分 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，．.............10分 又，所以的值域为．.............13分 16.解：（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为..............6分 （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，；.............8分 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增， 需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足，.............13分 解得； 故实数的取值范围为..............15分 17.解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故...............3分 （2）在上单调递减， 证明：，设， ,..............5分 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减．..............7分 （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则，..............10分 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以，..............13分 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是．..............15分 18.解：（1）因为为偶函数，为奇函数，所以，． 因为①，所以，即②．    由①②，得，． ..............3分 （2）因为，所以． 因为，所以． 因为，，所以．     方法一：．    方法二：因为，所以， 所以，即． ..............7分 （3）因为在上恒成立，所以在上恒成立． 因为，所以在上恒成立．     令，则， 所以，..............14分 当且仅当即时，等号成立，即．    所以，即实数的取值范围是．..............17分 19.解：（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， ..............2分 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，；..............3分 （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点．..............5分 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或，..............7分 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上； 更大时直线与拱段有2个交点．..............9分 综上，实数的取值范围为；..............10分 （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；..............12分      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2，..............14分 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是．..............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．设函数，则函数（   ） A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数 C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则__________． 13．已知是方程的两个根，若，则______． 14．已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． (1)求与的解析式； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的取值范围． 19．(17分）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $