第13课时 导数的概念及其意义、导数的运算训练-2027届高三数学一轮复习

第13课时 导数的概念及其意义、导数的运算 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 1．下列导数运算正确的是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 2．已知函数,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 3．已知函数的图象在点处的切线方程是,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 4．若曲线在点处的切线与直线垂直,则实数(　　 )． [A] [B] [C] [D] 5．若是曲线上任意一点,则点到直线距离的最小值为(　　 )． [A] [B] [C] [D] 6．若函数的图象上不存在互相垂直的切线,则的取值范围是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 7．直线与函数和的图象都相切,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 8．下列结论不正确的是(　　 )． [A]若,则 [B]若,则 [C]若,则 [D]若,则 9．在下列四条曲线中,与直线相切的是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 10．已知函数,函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直,且分别交轴于两点,若,则(　　 )． [A] [B]的取值范围是 [C]直线与的交点的横坐标恒为1 [D]的取值范围是 三、填空题(每小题5分,共15分) 11．(拉格朗日中值定理+导数)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,其内容是:如果函数在闭区间上的图象连续不间断,在开区间内的导数为,那么在区间内至少存在一点,使得成立,其中叫作在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理,可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为____． 12．过点作曲线的切线,则切线的方程为____(2分)或____(3分)． 13．已知存在,使得曲线与曲线存在相同的切线,且切线的斜率为1,则的最大值为____． 四、解答题(共32分) 14．已知函数为自然对数的底数)． (1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(6分) (2)若当时,直线与曲线相切,求直线的方程．(9分) 15．(经典高考真题)已知函数,,曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若,求;(7分) (2)求的取值范围．(10分) 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．ACD 解析 对于A，，则，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，故D错误．故选ACD． 9．ABD 解析 直线的斜率为2． 对于A，，令，得，当时，．因为点在直线上，所以直线与曲线相切． 对于B，，令，得，当时，．因为点在直线上，所以直线与曲线相切． 对于C，，令，得．当时，；当时，．因为点都不在直线上，所以直线与曲线不相切． 对于D，，令，得．当时，；当时，．其中点在直线上，所以直线与曲线相切．故选ABD． 10．ABD 解析 不妨设，则，， 当时，，当时，． 由导数的几何意义知． 因为的图象在A,B两点处的切线互相垂直，所以，即． 对于A，因为，所以A正确． 对于B，因为，，所以，所以，所以B正确． 对于C，当时，， 即直线与的交点的横坐标恒小于1，所以C错误． 对于D，，所以D正确． 故选ABD． 11． 解析 ，令 ，解得或，在上的“拉格朗日中值点”的个数为2． 12． 解析 设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为．因为切线过点，所以，化简可得或，则切点为或，代入切线方程，得切线方程为或． 13． 解析 由题意知，． 令，则， 切线与曲线的切点为． 令，则， 切线与曲线的切点为． 将点的坐标代入切线方程，可得，则． 令，则． 当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为． 14．解析 (1)由题意知，因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，解得． (2)当时，，则．设切点为， 则，① ，② 由①+②得，即． 若，则②式无解， 所以， 所以直线的方程为． 15．解析 (1)当时，，所以切点坐标为． 由，得，所以切线斜率， 所以切线方程为，即．将代入，得． 由切线与曲线相切，得，解得． (2)由，得，所以切线斜率，所以切线方程为，即． 将代入，得， 由切线与曲线相切，得，整理得． 令，则，由，得或或， 极小值 极大值 极小值 由上表知，当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极小值，极小值为，易知当时，，当时，，所以函数的值域为． 由，得，故实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $