第19节 导数的几何意义与单调性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第19节 导数的几何意义与单调性 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 切线方程的求法 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 由切线斜率求参 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 导数求单调区间 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 单调性恒成立求参 逻辑推理 基础 D 5 单项选择题 5 过定点作切线 逻辑推理 基础 A 6 单项选择题 5 区间单调性求参 逻辑推理 基础 C 7 单项选择题 5 极值的求法 数学运算 基础 B 8 单项选择题 5 对数函数求导与单调性 数学运算 基础 D 9 多项选择题 6 极值单调性与零点 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 两条切线的判定 逻辑推理 中档 ACD 11 多项选择题 6 含参三次函数讨论 逻辑推理 中档 ABC 12 填空题 5 求导与切线斜率 数学运算 基础 3 13 填空题 5 切线过定点求参 数学运算 中档 −4 14 填空题 5 由极值反求参数 数学运算 中档 4 15 解答题 6 切线与单调区间 数学运算 中档 见解析 16 解答题 6 区间最值与单调性求参 逻辑推理 中档 见解析 17 解答题 7 含参单调性分类讨论 逻辑推理 略难 见解析 18 解答题 8 切线与恒成立求参综合 逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。选择题与填空题围绕切线斜率、切线方程与单调区间的判定展开，四道解答题依次处理"切线与单调区间""区间上的最小值""含参单调性的分类讨论"以及"切线与参数范围的综合"，强调"先求导、再判号、最后下结论"的规范步骤。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第19节 导数的几何意义与单调性 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某款国产芯片的算力随功耗变化的关系可近似写成 y = + 1，其中 x 表示功耗，y 表示相对算力。则该曲线在点 (1, 2) 处的切线方程为 A. y = 2x + 1 B. y = x + 1 C. y = 2x D. y = 2x − 1 【答案】C 【解析】先确认点 (1, 2) 在曲线上：把 x = 1 代入得 y = + 1 = 2，吻合。 对 y = + 1 求导，得它的导数为 2x，在 x = 1 处的导数值为 2，即切线斜率为 2。 由点斜式得 y − 2 = 2(x − 1)，整理为 y = 2x。 选 C。选项 A 是把截距算错的结果，选项 D 则是把点斜式写成 y − 2 = 2(x − 1) 后漏加了常数项。 【考查知识点】导数几何意义与"在点处"切线方程的求法 【易错点】点斜式展开时把 y − 2 = 2(x − 1) 错化成 y = 2x − 1；移项要仔细 2． 某直播带货平台的累计销量（万件）随开播天数 x 的变化关系为 y = + ax，其中 a 为实数。若该曲线在点 (1, a + 1) 处的切线斜率为 5，则 a = A. 2 B. 1 C. 3 D. −2 【答案】A 【解析】把 x = 1 代入 y = + ax 得 y = 1 + a，与题中给出的点 (1, a + 1) 一致，说明该点确在曲线上。 求导，得它的导数为 + a，在 x = 1 处的值为 3 + a，它就是切线的斜率。 由题意 3 + a = 5，解得 a = 2。 选 A。最容易犯的错是把 的导数写成 3x，那样会得到 3 + a = 5 之外的方程而错选 C。 【考查知识点】由切线斜率列方程求参数 【易错点】求导时幂次处理错误； 的导数是 ，不是 3x 3． 某水库泄洪时下游河道的水位函数为 f(x) = − − 9x + 2，其中 x 表示泄洪时长。则 f(x) 的单调递减区间为 A. (−∞, −1) B. (−1, 3) C. (3, +∞) D. (−∞, −1) ∪ (3, +∞) 【答案】B 【解析】先求导，f(x) 的导数为 − 6x − 9 = 3( − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1)。 单调递减区间对应导数小于 0，即 3(x − 3)(x + 1) < 0，解得 −1 < x < 3。 所以单调递减区间为 (−1, 3)，选 B。 选项 D 是导数大于 0 的部分，那是单调递增区间，而且两个递增区间之间不能用并集符号连接，规范写法是分开写或用"与"。 【考查知识点】用导数符号求单调区间 【易错点】把递增区间当递减区间；多个单调区间之间不能取并集，要分开写 4． 某疫苗的抗体浓度衰减模型写成 f(x) = + 3ax + 1，其中 a 为实数。若 f(x) 在整条实数轴上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. a > 0 B. a ≤ 0 C. a 可取任意实数 D. a ≥ 0 【答案】D 【解析】求导，f(x) 的导数为 + 3a。 f(x) 在 R 上单调递增，等价于它的导数不小于 0 对一切实数 x 成立，即 + 3a ≥ 0。 由于 的最小值为 0（在 x = 0 处取得），只需 0 + 3a ≥ 0，即 a ≥ 0。 选 D。注意 a = 0 时 f(x) = + 1，它仍然是增函数，等号不能丢，选项 A 正是漏掉了这个端点。 【考查知识点】由"在 R 上单调递增"转化为导数非负恒成立 【易错点】把"导数不小于 0"错写成"导数大于 0" 而答 a > 0；导数在个别点取 0 不影响单调性 5． 某新能源车的百公里能耗曲线被简化为 y = 的图象。过点 (0, −2) 作该曲线的切线，则此切线的方程为 A. y = 3x − 2 B. y = 3x + 2 C. y = 3x D. y = 2x − 2 【答案】A 【解析】注意点 (0, −2) 并不在曲线 y = 上（曲线上 x = 0 时 y = 0），这是"过点作切线"，必须先设切点。 设切点为 (t, )，曲线在该点处的导数为 ，切线方程为 y − = (x − t)，整理得 y = x − 。 切线过 (0, −2)，代入得 −2 = −，即 = 1，解得 t = 1。 于是切线为 y = 3x − 2，选 A。 检验：方程 = 3x − 2 可化为 (x + 2) = 0，x = 1 是二重根，确为切点。若误把 (0, −2) 当切点代入，就会错选 D。 【考查知识点】"过点 P"的切线方程：先设切点再代入定点 【易错点】把曲线外的点当成切点直接求导；"过点"与"在点处"是两类不同的问题 6． 某县域民宿把月度入住率的修正量写成 f(x) = + + 1，其中 a 为实数。若 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，则实数 a 的最小值为 A. −3 B. 0 C. − D. 【答案】C 【解析】求导，f(x) 的导数为 + 2ax = x(3x + 2a)。 当 x > 1 时 x > 0，所以导数不小于 0 等价于 3x + 2a ≥ 0，即 a ≥ −。 这个不等式要对一切 x > 1 成立，而 − 在 (1, +∞) 上随 x 增大而减小，其上界在 x 趋近 1 时取到，为 −。 所以 a ≥ −，a 的最小值为 −，选 C。 本题只要求在 (1, +∞) 上单调，定义域被截去了一段，这与"在 R 上单调"完全不同，选项 B 的 0 就是按整条实数轴算出的结果。 【考查知识点】限定区间上的单调性与参数范围 【易错点】按整条实数轴求参而当成"在 R 上单调"；区间端点处能否取等要单独判断 7． 某智慧农业大棚把一天内的温度修正量拟合为 f(x) = − + 9x + 2，其中 x 表示时段序号。则 f(x) 的极大值为 A. 2 B. 6 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】求导，f(x) 的导数为 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)。 令导数等于 0 得 x = 1 或 x = 3。当 x < 1 时导数大于 0，当 1 < x < 3 时导数小于 0，故 x = 1 是极大值点。 代入得极大值为 f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6。 选 B。选项 A 的 2 是极小值 f(3)，选项 C、D 则是把极值点的横坐标当成了极值，审题要分清"极大值"与"极大值点"。 【考查知识点】由导数符号判定极大值点与极大值 【易错点】把极值点的横坐标当作极值作答；极大值要代入原函数计算，且必须判明左右导数变号 8． 某算力中心把单位能耗的修正量写成 f(x) = x − ax，其中 a 为实数。若 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递减，则 a 应满足 A. a > 1 B. a ≤ 1 C. a ≥ 0 D. a ≥ 1 【答案】D 【解析】函数定义域为 x > 0，求导，f(x) 的导数为 − a。 单调递减要求导数不大于 0 在 (1, +∞) 上恒成立，即 − a ≤ 0，也就是 a ≥ 对一切 x > 1 成立。 当 x > 1 时 < 1，且 x 越接近 1， 越接近 1，故 a 必须不小于 1。 所以 a ≥ 1，选 D。取 a = 1 时导数为 − 1 < 0（x > 1），确有递减，等号可以取。 选项 B 是不等号方向写反的结果，这是含 x 求导题中最常见的一处失误。 【考查知识点】含对数函数的求导与单调性求参 【易错点】把"递减"对应成"导数不小于 0"；递减对应导数小于等于 0，方向不要弄反 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某社区团购平台把日订单量的波动写成 f(x) = − 3x + 2。针对这个函数，给出的四个结论中正确的有 A. f(x) 的极大值为 4 B. f(x) 的极小值为 0 C. f(x) 在 (−∞, −1) 上单调递增 D. f(x) 只有一个零点 【答案】ABC 【解析】求导，f(x) 的导数为 − 3 = 3(x − 1)(x + 1)。 A 项：当 x < −1 时导数大于 0，当 −1 < x < 1 时导数小于 0，故 x = −1 为极大值点，极大值为 f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4，A 正确。 B 项：当 x > 1 时导数大于 0，故 x = 1 为极小值点，极小值为 f(1) = 1 − 3 + 2 = 0，B 正确。 C 项：由上面的符号分析，导数大于 0 在 (−∞, −1) 上成立，故 f(x) 在该区间上单调递增，C 正确。 D 项：因式分解得 f(x) = (x + 2)，零点为 x = 1 与 x = −2，共两个不同的零点，D 错误。 综上答案为 ABC。注意 x = 1 是二重零点，但它仍只算一个零点，数零点个数时按不同实根计数。 【考查知识点】极值、单调区间与零点个数的综合判断 【易错点】把二重根算成两个零点；数"不同零点"的个数时按不同的实数根计，不按重数计 10． 某快递分拣中心把传送带的负载曲线近似写成 y = − 2x。针对这条曲线，下面四个判断中正确的有 A. 曲线在点 (1, −1) 处的切线斜率为 1 B. 曲线在点 (−1, 1) 处的切线方程为 y = x − 2 C. 曲线在点 (0, 0) 处的切线方程为 y = −2x D. 过点 (2, 4) 可作该曲线的两条切线 【答案】ACD 【解析】先求导，该曲线的导数为 − 2。 A 项：把 x = 1 代入得 y = 1 − 2 = −1，点 (1, −1) 在曲线上；斜率为该导数在 x = 1 处的值 3 − 2 = 1，A 正确。 B 项：把 x = −1 代入得 y = −1 + 2 = 1，点 (−1, 1) 在曲线上；斜率为该导数在 x = −1 处的值 3 − 2 = 1，切线应为 y − 1 = 1(x + 1)，即 y = x + 2，不是 y = x − 2，B 错误。 C 项：点 (0, 0) 在曲线上，斜率为该导数在 x = 0 处的值 −2，切线为 y = −2x，C 正确。 D 项：设切点为 (t, − 2t)，切线为 y = ( − 2)x − ；代入 (2, 4) 得 4 = 2( − 2) − ，整理为 − + 4 = 0，即 (t + 1) = 0，得 t = −1 或 t = 2，对应两条切线 y = x + 2 与 y = 10x − 16，D 正确。 综上答案为 ACD。其中 t = 2 给出的是"在点 (2, 4) 处"的切线，t = −1 给出的是"过点 (2, 4)"的另一条切线，两者都要算到。 【考查知识点】在点处切线与过点切线的对比、切线条数的判定 【易错点】过曲线上一点作切线时，只算"在该点处"那一条而漏掉切于别处的另一条 11． 某型无人机把飞行高度的修正量写成 f(x) = − 3ax + 1，其中 a 为实数。关于这个含参函数，下列判断中成立的有 A. 当 a ≤ 0 时，f(x) 在 R 上单调递增 B. 当 a > 0 时，f(x) 恰有两个极值点 C. 当 a = 4 时，f(x) 的极大值为 17 D. 无论 a 取何值，f(x) 总存在单调递减区间 【答案】ABC 【解析】求导，f(x) 的导数为 − 3a = 3( − a)。 A 项：当 a ≤ 0 时，−3a ≥ 0，故导数 − 3a 不小于 0 对一切实数成立，且只有有限个点使导数为 0，f(x) 在 R 上单调递增，A 正确。 B 项：当 a > 0 时，导数等于 0 的方程有两个不同实根 x = − 与 x = ，且导数在其两侧变号，故恰有两个极值点，B 正确。 C 项：当 a = 4 时，f(x) = − 12x + 1，此时导数为 3(x − 2)(x + 2)，极大值点为 x = −2，极大值为 f(−2) = −8 + 24 + 1 = 17，C 正确。 D 项：由 A 项知当 a ≤ 0 时 f(x) 递增，不存在单调递减区间，故"无论 a 取何值"的说法不成立，D 错误。 综上答案为 ABC。含参三次函数的讨论，关键就是看导数等于 0 有没有两个不同实根，分界点由 a 与 0 的大小关系确定。 【考查知识点】含参三次函数单调性与极值的分类讨论 【易错点】忽略 a ≤ 0 时导数恒非负的情形；分类的分界点要由导数等于 0 是否有实根来确定 三、填空题（5×3=15分） 12． 某冷链物流车的厢内温度曲线被写成 y = + ，其中 x 表示行驶时长。则该曲线在 x = 1 处的切线斜率为 ___________。 【答案】3 【解析】切线斜率就是函数在该点处的导数值，先求导。 它的导数为 × + 2x = + 2x。 把 x = 1 代入，得该导数的值为 1 + 2 = 3。 所以切线斜率为 3。 【考查知识点】求导公式与切线斜率的计算 【易错点】把 的导数算成 之后再漏掉系数；系数与幂次要同步处理 13． 某智慧工厂的日产能曲线写成 y = + − 2，其中 a 为实数。若该曲线在点 (1, a − 1) 处的切线恰好经过坐标原点，则 a = ___________。 【答案】−4 【解析】把 x = 1 代入得 y = 1 + a − 2 = a − 1，与题给的点一致，该点在曲线上。 求导，它的导数为 + 2ax，在 x = 1 处的斜率为 3 + 2a。 切线方程为 y − (a − 1) = (3 + 2a)(x − 1)。 切线过原点，代入 (0, 0) 得 −(a − 1) = −(3 + 2a)，即 a − 1 = 3 + 2a，解得 a = −4。 检验：a = −4 时斜率为 3 − 8 = −5，切点为 (1, −5)，切线为 y + 5 = −5(x − 1)，即 y = −5x，确过原点。答案为 −4。 【考查知识点】由切线过定点反求参数 【易错点】代入原点时符号处理出错；−(a − 1) = −(3 + 2a) 两边同乘 −1 再解最稳妥 14． 某短视频平台把点赞量的增速模型写成 f(x) = − 4x + m，其中 m 为实数。若 f(x) 的极小值为 −，则 m = ___________。 【答案】4 【解析】求导，f(x) 的导数为 − 4 = (x − 2)(x + 2)。 当 −2 < x < 2 时导数小于 0，当 x > 2 时导数大于 0，故 x = 2 是极小值点。 极小值为 f(2) = × 8 − 8 + m = − + m = m − 。 由题意 m − = −，解得 m = − = = 4。 答案为 4。检验：m = 4 时 f(2) = − 8 + 4 = −，符合题意。 【考查知识点】由极值反求函数中的参数 【易错点】把 x = −2 当成极小值点；极小值点要由导数由负变正来确定，不能只看零点 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某即时零售平台把单量波动函数写成 f(x) = − + 4。 （1）求曲线 y = f(x) 在点 (1, 2) 处的切线方程； （2）求 f(x) 的单调区间与极小值。 【答案】解：（1）先验证点 (1, 2) 在曲线上：f(1) = 1 − 3 + 4 = 2，吻合。 求导，f(x) 的导数为 − 6x，它在 x = 1 处的值为 3 − 6 = −3，即切线斜率为 −3。 由点斜式 y − 2 = −3(x − 1)，整理得切线方程为 y = −3x + 5。 （2）令导数 − 6x = 3x(x − 2) 等于 0，得 x = 0 或 x = 2。 当 x < 0 时，x 与 x − 2 同为负，导数大于 0；当 0 < x < 2 时，x > 0 而 x − 2 < 0，导数小于 0；当 x > 2 时两者同为正，导数大于 0。 所以 f(x) 的单调递增区间为 (−∞, 0) 与 (2, +∞)，单调递减区间为 (0, 2)。 由单调性知 x = 2 是极小值点，极小值为 f(2) = 8 − 12 + 4 = 0；同时 x = 0 是极大值点，极大值为 f(0) = 4。 答：切线方程为 y = −3x + 5；递增区间为 (−∞, 0) 与 (2, +∞)，递减区间为 (0, 2)，极小值为 0。 【解析】思路点睛：切线题的标准三步是"验证点在曲线上、求导得斜率、点斜式写出方程"，第一步不能省。 关键步骤：判断导数符号时用"两根把实数轴分成三段、逐段定号"的办法，写清楚每一段上两个因子的正负。 书写单调区间时，两个递增区间之间用"与"连接或分开写，不要写成并集，这是阅卷时的常见扣分点。 极小值要代入原函数计算，只写"x = 2 时取极小值"是不完整的。 【考查知识点】切线方程的求法、导数符号判单调性与极小值 【易错点】把两个递增区间写成并集；并集形式在单调区间的书写中不规范 16． 某疫苗的抗体浓度（相对值）随时间 x 变化的函数写成 f(x) = − 3ax + 20，其中 x ≥ 0，a 为实数。 （1）当 a = 4 时，求 f(x) 在 [0, +∞) 上的单调区间与最小值； （2）若 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）当 a = 4 时，f(x) = − 12x + 20，求导，它的导数为 − 12 = 3(x − 2)(x + 2)。 在定义域 x ≥ 0 内，x + 2 > 0 恒成立，故导数的符号只由 x − 2 决定。 当 0 ≤ x < 2 时导数小于 0，f(x) 单调递减；当 x > 2 时导数大于 0，f(x) 单调递增。 所以 f(x) 在 [0, +∞) 上的单调递减区间为 [0, 2]，单调递增区间为 [2, +∞)。 于是最小值在 x = 2 处取得，为 f(2) = 8 − 24 + 20 = 4。 （2）求导，f(x) 的导数为 − 3a。 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增，等价于导数不小于 0 在 [1, +∞) 上恒成立，即 − 3a ≥ 0，也就是 a ≤ 。 当 x ≥ 1 时 的最小值为 1（在 x = 1 处取得），故只需 a ≤ 1。 检验：a = 1 时导数为 3( − 1)，它在 [1, +∞) 上不小于 0，等号可以取。 答：（1）递减区间 [0, 2]、递增区间 [2, +∞)，最小值为 4；（2）a ≤ 1。 【解析】思路点睛：定义域被限定为 x ≥ 0 时，导数中恒正的因子可以先搁置，只看会变号的那一个，讨论量能减半。 关键步骤：第（2）问把"单调递增"翻译成"导数非负恒成立"，再把参数分离出来，转化为 a 与 最小值的比较。 两个小题都涉及端点：第（1）问 x = 2 处导数为 0，单调区间写成闭区间是允许的；第（2）问 a = 1 时导数在 x = 1 处为 0，不影响单调性，等号要保留。 最容易错的是第（2）问把方向写成 a ≥ 1，务必动手把 a 单独移到一边再下结论。 【考查知识点】限定区间上的单调性与最值、由单调性反求参数范围 【易错点】第（2）问把不等号方向写反；分离参数后要与区间上 的最小值比较 17． 某新能源车企把百公里电耗函数写成 f(x) = − + x + 1，其中 a 为实数。 （1）当 a = 时，求 f(x) 的单调区间； （2）对实数 a 的取值分类讨论 f(x) 的单调性，并说明分类的分界点是怎么确定的。 【答案】解：先求导，f(x) 的导数为 − ax + 1。 （1）当 a = 时，导数为 − x + 1 = (x − 2)(x − )。 令导数等于 0 得 x = 或 x = 2。 当 x < 时两个因子同为负，导数大于 0；当 < x < 2 时一正一负，导数小于 0；当 x > 2 时两个因子同为正，导数大于 0。 所以此时 f(x) 的单调递增区间为 (−∞, ) 与 (2, +∞)，单调递减区间为 (, 2)。 （2）导数 − ax + 1 是开口向上的二次函数，其判别式为 Δ = − 4。 分类的分界点由 Δ = 0 确定，即 − 4 = 0，得 a = 2 或 a = −2。 第一类：当 −2 ≤ a ≤ 2 时，Δ ≤ 0，导数不小于 0 对一切实数 x 成立（且只有有限个点使导数为 0），故 f(x) 在 R 上单调递增。 第二类：当 a > 2 时，Δ > 0，导数等于 0 有两个不同实根 = 与 = ，且 < 。 此时 f(x) 在 (−∞, ) 与 (, +∞) 上单调递增，在 (, ) 上单调递减。 第三类：当 a < −2 时，Δ > 0，两个根仍为上述 与 （此时它们都是负数），导数的变号规律完全相同， 故 f(x) 同样在 (−∞, ) 与 (, +∞) 上单调递增，在 (, ) 上单调递减。 答：（1）递增区间 (−∞, ) 与 (2, +∞)，递减区间 (, 2)；（2）当 −2 ≤ a ≤ 2 时 f(x) 在 R 上递增，当 a > 2 或 a < −2 时 f(x) 呈"增、减、增"三段，分界点为 a = ±2。 【解析】思路点睛：导函数是二次函数时，单调性的分界点一律由判别式等于 0 确定，先求分界点再分段，条理就清楚了。 关键步骤：第一类里 Δ = 0（即 a = ±2）时，导数在一点处为 0 而其余处为正，函数仍然是增函数，这一支不能漏。 书写第二类与第三类时，两根的大小关系要写明 < ，否则"在 (, ) 上递减"这句话没有根据。 常见失误是只讨论 a > 0 的情形而漏掉 a < −2，判别式只与 有关，负的 a 也要单独交代。 【考查知识点】含参二次导函数的分类讨论、分界点的确定依据 【易错点】漏掉 a < −2 的情形；判别式为负时导函数恒正，函数仍单调递增，不要把这一支写成"无单调区间" 18． 某直播带货平台的累计销量（万件）随时间 x（天）变化的函数为 f(x) = − + ax + 2，其中 a 为实数。 （1）若曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与直线 y = 2x + 1 平行，求 a 的值，并写出该切线方程； （2）在（1）的条件下，设 g(x) = f(x) − kx。若 g(x) 在整条实数轴上单调递增，求实数 k 的取值范围。 【答案】解：（1）求导，f(x) 的导数为 − 6x + a，它在 x = 1 处的值为 3 − 6 + a = a − 3。 切线与直线 y = 2x + 1 平行，说明两者斜率相等，故 a − 3 = 2，解得 a = 5。 此时 f(1) = 1 − 3 + 5 + 2 = 5，切点为 (1, 5)。 切线方程为 y − 5 = 2(x − 1)，整理得 y = 2x + 3。 （2）当 a = 5 时，f(x) = − + 5x + 2， 于是 g(x) = f(x) − kx = − + (5 − k)x + 2。 求导，g(x) 的导数为 − 6x + 5 − k。 g(x) 在 R 上单调递增，等价于它的导数不小于 0 对一切实数 x 恒成立。 由于这个导数是二次项系数为 3 的二次函数，且 3 > 0，它恒非负当且仅当判别式不大于 0， 即 Δ = − 4 × 3 × (5 − k) = 36 − 60 + 12k = 12k − 24 ≤ 0。 解得 12k ≤ 24，即 k ≤ 2。 检验：k = 2 时该导数为 − 6x + 3 = 3，它不小于 0，且只在 x = 1 处为 0，g(x) 确在 R 上单调递增，等号可以取。 答：a = 5，切线方程为 y = 2x + 3；实数 k 的取值范围为 k ≤ 2。 【解析】思路点睛："切线与已知直线平行"就是一句斜率的翻译，把它换成"f 在 x = 1 处的导数等于 2"即可求出参数。 关键步骤：第（2）问把单调性翻译成"二次导函数恒非负"，再用判别式处理，比配方或分离参数更快。 用判别式时要交代二次项系数为正，否则"Δ ≤ 0 推出恒非负"这一步没有根据。 最后务必检验端点 k = 2：此时导数只在一点处为 0，不影响单调性，等号要保留。 【考查知识点】切线平行条件求参数、导数恒非负与判别式的转化 【易错点】忘记说明二次项系数为正就直接用判别式；以及把端点 k = 2 排除掉 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第19节 导数的几何意义与单调性 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某款国产芯片的算力随功耗变化的关系可近似写成 y = + 1，其中 x 表示功耗，y 表示相对算力。则该曲线在点 (1, 2) 处的切线方程为 A. y = 2x + 1 B. y = x + 1 C. y = 2x D. y = 2x − 1 2． 某直播带货平台的累计销量（万件）随开播天数 x 的变化关系为 y = + ax，其中 a 为实数。若该曲线在点 (1, a + 1) 处的切线斜率为 5，则 a = A. 2 B. 1 C. 3 D. −2 3． 某水库泄洪时下游河道的水位函数为 f(x) = − − 9x + 2，其中 x 表示泄洪时长。则 f(x) 的单调递减区间为 A. (−∞, −1) B. (−1, 3) C. (3, +∞) D. (−∞, −1) ∪ (3, +∞) 4． 某疫苗的抗体浓度衰减模型写成 f(x) = + 3ax + 1，其中 a 为实数。若 f(x) 在整条实数轴上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. a > 0 B. a ≤ 0 C. a 可取任意实数 D. a ≥ 0 5． 某新能源车的百公里能耗曲线被简化为 y = 的图象。过点 (0, −2) 作该曲线的切线，则此切线的方程为 A. y = 3x − 2 B. y = 3x + 2 C. y = 3x D. y = 2x − 2 6． 某县域民宿把月度入住率的修正量写成 f(x) = + + 1，其中 a 为实数。若 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，则实数 a 的最小值为 A. −3 B. 0 C. − D. 7． 某智慧农业大棚把一天内的温度修正量拟合为 f(x) = − + 9x + 2，其中 x 表示时段序号。则 f(x) 的极大值为 A. 2 B. 6 C. 1 D. 3 8． 某算力中心把单位能耗的修正量写成 f(x) = x − ax，其中 a 为实数。若 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递减，则 a 应满足 A. a > 1 B. a ≤ 1 C. a ≥ 0 D. a ≥ 1 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某社区团购平台把日订单量的波动写成 f(x) = − 3x + 2。针对这个函数，给出的四个结论中正确的有 A. f(x) 的极大值为 4 B. f(x) 的极小值为 0 C. f(x) 在 (−∞, −1) 上单调递增 D. f(x) 只有一个零点 10． 某快递分拣中心把传送带的负载曲线近似写成 y = − 2x。针对这条曲线，下面四个判断中正确的有 A. 曲线在点 (1, −1) 处的切线斜率为 1 B. 曲线在点 (−1, 1) 处的切线方程为 y = x − 2 C. 曲线在点 (0, 0) 处的切线方程为 y = −2x D. 过点 (2, 4) 可作该曲线的两条切线 11． 某型无人机把飞行高度的修正量写成 f(x) = − 3ax + 1，其中 a 为实数。关于这个含参函数，下列判断中成立的有 A. 当 a ≤ 0 时，f(x) 在 R 上单调递增 B. 当 a > 0 时，f(x) 恰有两个极值点 C. 当 a = 4 时，f(x) 的极大值为 17 D. 无论 a 取何值，f(x) 总存在单调递减区间 三、填空题（5×3=15分） 12． 某冷链物流车的厢内温度曲线被写成 y = + ，其中 x 表示行驶时长。则该曲线在 x = 1 处的切线斜率为 ___________。 13． 某智慧工厂的日产能曲线写成 y = + − 2，其中 a 为实数。若该曲线在点 (1, a − 1) 处的切线恰好经过坐标原点，则 a = ___________。 14． 某短视频平台把点赞量的增速模型写成 f(x) = − 4x + m，其中 m 为实数。若 f(x) 的极小值为 −，则 m = ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某即时零售平台把单量波动函数写成 f(x) = − + 4。 （1）求曲线 y = f(x) 在点 (1, 2) 处的切线方程； （2）求 f(x) 的单调区间与极小值。 16． 某疫苗的抗体浓度（相对值）随时间 x 变化的函数写成 f(x) = − 3ax + 20，其中 x ≥ 0，a 为实数。 （1）当 a = 4 时，求 f(x) 在 [0, +∞) 上的单调区间与最小值； （2）若 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增，求实数 a 的取值范围。 17． 某新能源车企把百公里电耗函数写成 f(x) = − + x + 1，其中 a 为实数。 （1）当 a = 时，求 f(x) 的单调区间； （2）对实数 a 的取值分类讨论 f(x) 的单调性，并说明分类的分界点是怎么确定的。 18． 某直播带货平台的累计销量（万件）随时间 x（天）变化的函数为 f(x) = − + ax + 2，其中 a 为实数。 （1）若曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与直线 y = 2x + 1 平行，求 a 的值，并写出该切线方程； （2）在（1）的条件下，设 g(x) = f(x) − kx。若 g(x) 在整条实数轴上单调递增，求实数 k 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $