第十七章《数学活动》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦个位数字为5的两位数平方规律（10a+5的平方=100a(a+1)+25）及因式分解课堂编码，衔接完全平方公式、十进制数特征等前置知识，通过“观察-猜想-证明-应用”构建学习支架。 以“做数学”为主线，通过数位建模培养抽象能力与模型观念，如用10a+5推导平方规律；公式证明提升推理能力，如展开(10a+5)²验证规律；编码设计发展实践能力，如约定因式分解规则并检验可逆性。课中易错辨析明确规律边界，课后检测与变式训练助力查漏补缺。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十七章 数学活动 第十七章《数学活动》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜数学活动课讲义｜建议课时：1课时 内容定位　通过研究个位数字是5的两位数的平方规律和设计基于因式分解的课堂编码，体会因式分解在简便计算、规律证明和信息表达中的作用。 一、学习目标与素养指向 1. 能用10a+5表示个位数字为5的两位数，并用整式乘法证明平方计算规律。 1. 能准确表述“十位数字乘比它大1的数，所得积后写25”的适用范围。 1. 能设计一条可逆、无歧义的课堂编码规则，并用因式分解说明编码与解码依据。 1. 能检验因式分解是否彻底、数值计算是否准确，并说明课堂编码不等同于真实信息安全密码。 素养指向　模型观念、运算能力、推理能力、实践能力与合作交流。 二、课时安排与学习成果 课时 核心任务 可观察的学习成果 第1课时 活动一：末位为5的两位数平方 若十位数字为a（a=1，2，…，9），该两位数为10a+5，其平方为100a(a+1)+25。 三、课前衔接与诊断 1. 完全平方公式怎样展开？ 1. 100k+25在十进制表示中有什么特征？ 1. 因式分解与整式乘法有什么关系？ 四、活动问题与方案设计 问题情境　通过研究个位数字是5的两位数的平方规律和设计基于因式分解的课堂编码，体会因式分解在简便计算、规律证明和信息表达中的作用。 知识或活动要点 规范表述、成立条件与使用范围 活动一：末位为5的两位数平方 若十位数字为a（a=1，2，…，9），该两位数为10a+5，其平方为100a(a+1)+25。 口算规则 先算十位数字a与a+1的积，再在所得数后写25。例如中6×7=42，所以。 活动二：因式分解编码 把约定的整式按提公因式法或公式法分解，利用因式和值的对应表生成课堂编码；规则必须公开、可逆且结果唯一。 检验 代数规律可用展开逆向检验；编码活动要检查不同输入是否得到混淆结果，并保留原始取值条件。 五、操作或计算、数据记录与规律发现 1. 活动一先计算、、、，记录结果并观察“末两位25”和前面数字的变化，提出与十位数字有关的猜想。 1. 设个位数字为5的两位数的十位数字为a，则该数为10a+5，其中a=1，2，…，9。利用完全平方公式展开并提取100，得到。 1. 由十进制数位意义，100a(a+1)的末两位为00，加25后末两位为25，前面的数正是a(a+1)，从而证明口算规则。 1. 活动二由小组约定“整式—分解结果—数值代入—字符或数字”的对应关系。规则必须写明因式顺序、符号和取值，保证相同输入得到相同编码。 1. 用整式乘法展开分解结果，检查是否还原原式；再由编码反推因式和原式，检验规则是否可逆。若出现两个输入得到相同结果，应修改规则。 1. 活动反思应区分数学编码和真实密码：课堂活动关注因式分解结构和可逆性，不能据此声称具有信息安全保障。 六、推理论证、交流评价与反思改进 方法模型 适用情形 规范步骤与检查 数位建模 研究特定位数或末位的整数 用10a+b表示两位数，明确数字a、b的取值范围。 公式证明 从数值计算发现稳定规律 字母表示—公式展开—因式分解—联系数位意义。 规则设计 因式分解课堂编码 规定输入、因式顺序和输出格式；用展开和反推检验。 边界说明 把数学活动联系信息技术 说明这是教学编码，不宣称真实密码安全性。 规律与边界　口算规律由公式证明并限定在个位数字为5的两位数；课堂编码用于理解因式分解结构，不等同于真实安全密码。 七、重点与高频考点 ★重点 用推导规律，而不是把口算规则当作无依据技巧。 ★高频 因式分解必须进行到每个因式在本章学习范围内不能继续分解。 ★易错 规则只适用于个位数字为5的两位数；不能直接套用于任意整数。 ★跨学科 编码体现数学表达与信息传递，但课堂规则不具备真实密码系统的安全性。 八、易错辨析 辨析1　错误观点或解法：可用9×10后写25得到9025。分析：正确；但必须说明95的个位数字为5，符合规则。 辨析2　错误观点或解法：也可直接说是两位数规律的应用。分析：错误。105不是两位数；虽然可另行计算，但超出本活动规则的表述范围。 辨析3　错误观点或解法：。分析：错误。展开右式为，不能还原原式。 九、经典例题与方法迁移 经典例题｜规律证明 题目　证明：个位数字为5的两位数的平方，可用“十位数字乘比它大1的数，积后写25”计算。 分析　设十位数字为a，把两位数写成10a+5并展开。 解　。100a(a+1)的末两位为00，再加25，因此结果等于a(a+1)后写25。 经典例题｜课堂编码 题目　约定把分解后，依次记录两个一次因式中的常数项作为编码。写出分解结果，并说明常数项。 分析　先识别平方差，再按约定顺序记录。 解　。若约定先负后正，则常数项依次为-3、3，编码唯一为“-3，3”。 十、变式训练 变式1　不用竖式计算。 参考解答　5×6=30，在30后写25，得。 变式2　分解因式，并用整式乘法检验。 参考解答　；展开右式得，与原式一致。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 中，先计算十位数字7与________的积。 1. ________。 1. ________。 1. 判断：课堂因式分解编码可以直接用作真实账户密码。（　　） 检测答案　1. 8；2. 7225；3. 25；4. ×。 本课小结 末位为5的两位数平方规律来自完全平方公式和提公因式。 因式分解可把结构变得清晰，服务于简便计算和规则设计。 活动结论要说明适用范围；编码必须无歧义、可复核，但不夸大现实安全性。 自我检查：能否不看讲义说出核心结论的条件、结论、规范表达和一种结果检验方法？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $