安徽蚌埠市普通高中C层2026-2027学年高二第一学期教学质量监测数学试卷

2026-2027学年第一学期蚌埠市普通高中C层教学质量监测试卷 高二 数 学 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D．6 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：与：平行，则的值是（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或2 4．已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积 为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的标准方程为______. 13．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 14．已知向量，则的最小值为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的方程． 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求以线段为直径的圆的标准方程． 18．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 19．已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期蚌埠市普通高中C层教学质量监测试卷 高二 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的条件得出向量数量积为零，进而进行坐标运算求解． 【详解】，， ，解得，故A正确． 故选：A． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3．已知直线：与：平行，则的值是（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或2 【答案】D 【分析】依题意可得，解得的值，再检验即可. 【详解】因为直线：与：平行， 所以，解得或， 当时直线：与：平行， 当时直线：与：平行， 所以或. 故选： 4．已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5．已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，代入相关值可求解出结果. 【详解】因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：A. 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示. 【详解】， ， 所以． 故选：C 7．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 二、多选题 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题意，代入公式，可得答案； 对于B，设动点，代入定义式，根据绝对值的定义，分段去掉绝对值，整理函数，可得答案； 对于C，由题意，作图，根据绝对值的几何意义，结合几何性质，可得答案； 对于D，取特殊值，计算可得答案. 【详解】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确； 对于B选项，设，则，从而，故B错误； 对于C选项，作轴，交直线于，过作，垂足为. 由曼哈顿距离的定义可知. 当不与重合时，因为直线的斜率为，所以，所以； 当与重合时，. 综上，，则.故C正确. 对于D选项，若，则，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式求出半径，然后可得标准方程. 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 13．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 14．已知向量，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】求得的坐标，进而利用向量的模的公式与配方法可求最小值. 【详解】因为， 所以， 则. 当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为； （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即． 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求以线段为直径的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. 【详解】（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； （2）联立方程组，解得， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 18．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 19．已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②. 【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解； （2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程. 【详解】（1）由可得：， 由可得，所以经过的定点坐标； （2）直线：， 令可得；令，可得， 所以， 由可得：， ①的面积 ， 当且仅当即时等号成立，的最小值为， 此时直线的方程为：即； ②设直线的倾斜角为，则，可得，， 所以， 令， 因为，可得，， ， 将两边平方可得：， 所以， 所以， 因为在上单调递增，所以 ，所以，此时， 可得，所以， 所以直线的方程为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $