安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

3 高二10月数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查两直线平行 解析因为直线3x-y+2=0的斜率为3，所以由平行关系可设1：y=3x+b.将点(1，-1)代入，得-1=3×1+ b,解得b=-4,所以1的方程为y=3x-4. 2.答案D 命题透析本题考查直线的斜率与倾斜角. 解析由题意知，tan0=2>√3=tan60°，所以60°<0<90°. 3.答案C 命题透析本题考查空间向量的数量积与夹角 解析因为a,b的夹角为钝角，所以a·b=-4-4m-1<0,解得m>-子当m=4时，a,b共线，需排除，所 以m>- 气且m≠4，结合选项可知，只有m=2符合题意。 4 4.答案A 命题透析本题考查空间向量基本定理。 解析由题意，得B威=之(BE+BC=[BR+(成+CC]=}(c+b-a+e)=-a+b+c 5.答案C 命题透析本题考查平面的法向量以及点到平面的距离公式 解析由题意，得应=(00,6)，则点P到平面a的距离为d=.三 12 1nV2+(-产+2=4. 6.答案B 命题透析本题考查直线的斜率， 解析不妨设点C(-1,-),所以直线4C的斜率为3。号)=-青直线c的斜率为号-（二骨=1因 为直线l与线段AB相交，所以k的取值范围是 -,-U[1,+) 7.答案D 命题透析本题考查直线的方程与性质。 解折设A(),8().由点A,B所在的直线方程，得+21-8=0 因为AB的中点为P(2,1),所以 2x2-y2+1=0. [x1+x2=2, 3-1 联立以上四个方程，可得A(2,3),B(0,1),所以直线AB的方程为y=2二0+1，即x-y+1=0, y1+y2=4. 8.答案A 命题透析本题考查二面角的概念以及空间向量的综合应用。 解析作AM垂直PB于点M,CN垂直PB于点N,则AM=CN=,MN=1,所以4衣=A+M+N心平方，得 IAC2=(Ai+M+NC)2=A+M+N心+2Ai.Nd+2AM.M+2Nd.M成.因为AM⊥MN,NC1MW, 所以AM.M亦=NC.M=0.因为二面角A-PB-C的大小为120°，所以AM,NC的夹角为60°，所以1AC12= 子++1+2××号xm60=-，故A0= 二、选择题 9.答案AD 命题透析本题考查空间向量基本定理及空间基底， 解析三个不共面的向量才能构成空间基底 对于A,因为a,b,c三个向量不共面，所以a,-b,-c三个向量也不共面，故A正确. 对于B,易知a-b与b-a是共线向量，所以a-b,b-a,c三个向量共面，故B错误. 对于C,因为(a-b)+(b-c)=a-c,所以a-b,b-c,a-c三个向量共面，故C错误. 对于D,设xa+y(a+b)+z(a+b+c)=0,整理得(x+y+z)a+(y+z)b+zc=0.因为a,b,c三个向量不共面， 所以x+y+z=y+z=z=0.所以x=y=z=0.所以a,a+b,a+b+c不共面，故D正确. 10.答案ABC 命题透析本题考查两直线的位置关系。 解析观察各选项知@，6均不为0，两直线的斜率分别为号，。，符号相同， 对于A,两直线在x轴上的裁距异号，得。×(-右）<0，所以b>0,则两直线的斜率均大于0，故A正确， 对于B,CD,由两直线在x轴上的截距同号，得。×(-古)>0，所以6<0，则两直线的斜率均小于0，故B, C正确，D错误. 11.答案ACD 命题透析本题考查立体几何的动点综合问题以及空间向量的应用. 解析由AM=A+入Ad+uAA,A,hE[0,1],可知点M在正方形BB,C,C内（含边界）运动. 对于A,因为点M在平面BBC,C内运动，平面BB,CC∥平面AD,D,所以点M到平面AD1D的距离为定值， 故四面体A1DDM的体积为定值，故A正确. 对于B,设AM与平面B,CC所成的角为a因为AB⊥平面B,CC,所以m0=册，其中AB=1,BM≤BG,= 反.所以m0≥把-受，即AM与平面B,CC所成角的正切值的最小值为受，故B错误 —2 对于C,若入=u,则点M在线段BC1上运动.当二面角M-A1D-D1最小时，其余弦值最大，此时点M与C1重 合，只需求二面角C1-A1D-D1的余弦值即可.如图，取AD的中点N,连接C1N,D1N,易知CN⊥AD,DN⊥ A0,则LG0,为该二面角的平面角，又GN-9AN-受所以cmLG02-停放C正确 D D B 对于D,若入+4=1，则点M在线段B,C上运动.如图，将△B1C1C沿着BC翻折到△BPC的位置，使得点P 在平面DA1B,C内，MD+MC1的最小值即为此时的DP.在△DCP中，由余弦定理，得DP2=CD+CP2-2CD· CPcos∠DCP=1+1-2×1×1×cos135°=2+√2，即DP=√2+√2，故D正确. 三、填空题 12.答案x-2y+5=0 命题透析本题考查直线的方程. 解析由已知得直线的方程为-#号即x-2y+5=0 13.答案2 命题透析本题考查空间向量的运算. 解析设四面体ABCD的棱长为a因为E,F分别是AD,CD的中点，所以成=).所以应.=之店. Cs0°=得a2.则B服F=8,P=所以sLF8放形·所=3x58 55 6=2 14.答案2或3（答案不完整不给分） 命题透析本题考查直线的方程与应用。 解析建立如图的平面直角坐标系.由题意，可得B(6,0),C(0,6),故直线BC的方程为x+y=6.设P(α，0)， ra+x+ 2 26, 「x=6, 其中0<a<6,则点P关于直线BC的对称点P(x,y)满足 解得 即P1(6,6-a).易 y=1, y=6-a, x-a 得点P关于y轴的对称点为P2(-a,0).由光的反射原理可知，P1,Q,R,P2四点共线，所以直线QR的方程为 名(x+o),即y-名：+6g:g所以A迟-6g+-1.整理得公-5a+6-0,解得a=2或a=3 Y= -x+ 6+a 6+a6+a 6+a —3 R B 四、解答题 15.命题透析本题考查求直线的方程. 解析（1)经过点P(-2,1),斜率为2的直线方程为y-1=2(x+2), 即2x-y+5=0.… (4分) (2)在x轴、y轴上的截距分别为2,4的直线方程为交+千=1， 即2x+y-4=0.…(8分） (3)直线的一个方向向量的坐标为(1,3)，则该直线的斜率为-3， 因为该直线在x轴上的截距为1，所以该直线经过点(1,0)， 所以该直线的方程为y=3(x-1), 即3x-y-3=0.…(13分) 16.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析（1)取AB的中点0，连接P0. 因为△PAB是正三角形，所以PO⊥AB. ……………… (1分) 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以PO⊥平面ABCD.… (3分) 过O点作OE∥BC,交CD于点E,易知OA,OP,OE两两相互垂直.以O为坐标原点，以OA,OE,OP所在直线 分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 0 由题意，得P(0,0,3),B(-1,0,0),D(1,2,0).… (5分) 所以P=(-1,0,-3),Pi=(1,2,-5) 故P店.Pi=-1+3=2.。 (7分) (2)由(1)，得A(1,0,0),P(0,0,W3),C(-1,2,0),D(1,2,0),…(8分) 4 所以Ap=(-1,0,3),A⑦=(0,2,0)，P元=(-1,2，-3).…(9分) 设平面PAD的法向量为m=(x,y,z), 「m·A2=-x+5z=0, 则 令z=1,则m=(3,0,1). (12分) m·A⑦=2y=0, 设PC与平面PAD所成的角为O, 则sin0= P它：ml-1-5-B 成1m+43x√3+，即PC与平面PAD所成角的正弦值为8 …(15分) 17.命题透析本题考查直线的方程与性质。 解析(1)①当1经过点0时，两坐标轴上的截距均为0， 3 则2a-3=0,解得a= (2分) ②当1不经过点0时，4≠3 2 令x=0,得y=2-冷y=0,得2a. (4分) 由题意，得3-24=2a-3,解得a=0. (5分) a-1 综上所述，a=号或0。……… (6分) (2)易知a-1≠0，即a≠1，设A(xA,0),B(0,yB), 3-24<0, 则 x=a-1 解得a<1.… (8分) yB=2a-3<0, 此时4二20），80,2a-3). 所以saaw=分10A110B1=322 2(1-a)1 (11分) 不妨设1-a=t,则te(0,+o),a=1-t, 5a=20-2-1-2++22√2· 1 2(1-a) 2t +2=4.…(14分) 2t 2t 当且仅当2：=六，即1=2时取等号，此时a=分<1 故△OAB面积的最小值为4.… (15分) 18.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析（1)取AC的中点0，连接B0,D0,P0. 因为△ABC和△ACD均为正三角形，所以DO⊥AC,BO⊥AC.所以AC⊥平面BOD. 又OPC平面BOD,所以AC⊥P0.…（1分) 因此∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，∠POD是二面角P-AC-D的平面角. 所以LB0D=120°.…(2分) -5— 再结合条件可知，B0=D0=√3，∠OBD=∠ODB=30°，BD=3. 由P店=号应，得PD=子D=2,在△P0D中，曲余破定理，得Pm= (4分) 所以PD2=P02+D02.所以∠P0D=90°， 即二面角P-AC-D为90°.故平面PAC⊥平面ACD. (5分) (2)以0为坐标原点，0A的方向为x轴的正方向，0B的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则4(10.0805.0.c(-10.0.0,-2》 (6分) 所以i-0,3,-）脑-(0,3，威-4，-50成-(-1，-5,0 所以i=+威(1,3-，-3成-嘀+成-(-1,3-5， 所以时.庇=-1+3-+=9-9%+2=9A-2-子 故当入=之时，·P心取得最小值，且最小值为-4 (9分) D (3)设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 由2)知i-(1,35-5,-3花=(-20.0). 则m时+受-2加=0 令y=√3九，可得m=(0,3入，3入-2).…(11分) m.At=-2x=0, 设平面DPC的法向量为n=(p,9,r), 2成(-1，-2)，劢(o,35,》 则 令q=1,可得n=(-3,1,√3). (13分) -i3,-=0, 题a损k万小-（可 ,得162-161+3=0，…(15分) 解得A=A=子合去) (17分) 6 19.命题透析本题考查线面平行的证明，利用空间向量计算空间距离和空间角. 解析(1)连接0C,A101. 因为O,O1分别为正方形ABCD和A1B1C,D1的中心， 所以A101∥C0,且A101=0C.…（1分)》 所以四边形A,0C01为平行四边形，所以A0∥C01, (2分) 又因为A10￠平面O1CD,C01C平面O1CD,所以A10∥平面01CD. (4分) (2)(i)如图，以C为坐标原点，以CD,CB,C01所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.…(5分) D A /B D F A E B y 由已知可得C(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,1,0),A(2,2,0). 连接A0,可得A0=√AA-A02=2,所以A1(1,1,2）, 设AM=AA=(-A,-入，2入)，A∈[0,1]，则M(2-入，2-入，2入). (7分) 注意到B,D关于平面ACC1A1对称，E,F也关于平面ACC1A1对称，要使E,F,B,D四点到点M的距离相等，只 需考虑MB=ME即可， 所以(2-入)2+(2-入-2)2+(2)2=(2-)2+(2-入-1)2+(2入)尸，解得入=2 …(10分) 所以M=方= …(11分) (i)由(i)可得M(子，多， 设平面BMC的法向量为m=(,),由威=(3,7，，成=(0,20， 得 m…B威=-*=0 令x=2,得m=(2,0,-3) (13分) m.CB=2y=0, 同理可得平面DMC的一个法向量为n=(0,2,-3).… (15分) 所以o(aa=a唇艾元言· 9 9 放二面角8-6-D的正装值为子区 (17分) 73 高二10月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.若直线1过点(1，-1)，且与直线3x-y+2=0平行，则直线1的方程为 A.y=3x-2 B.y=-3x+2 C.y=3x-4 D.y=-3x+4 2.已知直线1的斜率为2，则1的倾斜角0满足 A.0°<0<30 B.30°<0<45° C.45°<0<609 D.60°<0<90 3.已知向量a=（-2,-4,1)与b=(2,m,-1)的夹角为钝角，则m的值可以是 A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.在三棱柱ABC-A1B,C1中，M是B,C,的中点，记AB=a,AC=b,AA=c,则BM= A-2知+2+ B.za-2b+e c20-b+0 D.-2a+b-2c 1 5.已知平面α经过点A(2,1,0),且其一个法向量为n=(2,-1,2),则点P(2,1,6)到平面 的距离为 A.2 B.3 C.4 D.6 6.已知点A(-4,3),B(2,2),过点(-1，-1)且斜率为k的直线1与线段AB相交，则k的取 值范围是 A(-0,-u[1,+) B(-0,-U[1,+) c.[ D.(-∞，-4]U[1,+∞) 数学第1页（共4页） 7.已知A是直线x+2y-8=0上的动点，B是直线2x-y+1=0上的动点，若AB的中点为 P(1,2),则直线AB的方程为 A.y=2 B.3x-y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x-y+1=0 8.在三棱锥P-ABC中，二面角A-PB-C的大小为120°，PB=2PA=2BC=2,AB=PC=√5， 则AC= A.13 2 R安 C.3 D.√5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a,b,c是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是 A.{a,-b,-c} B.a-b,b-a,c C.a-b,b-c,a-c D.a,a+b,a+b+c 10.在同一坐标系中画直线ax-by-1=0与bx-ay+1=0,可能是下列选项中的 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为1，点M满足A=AB+入AD+uAA,其中A,A∈ [0,1],则下列选项正确的是 A.四面体AD,DM的体积为定值 B.AM与平面BB,C,C所成角的正切值的最小值为1 C若入=，则二面角M-AD-几，的余弦值最大为写 D.若入+4=1，则MD+MC,的最小值为√2+√2 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.经过点(1,3)和(-3,1)的直线的方程为 13.在正四面体ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，若AB·E京=1，则B2·B= 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=6,P是边AB上异于A,B的点，光线从点P出 发，经BC,CA反射后又回到点P.若AR=1,则AP= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式 (1)经过点P(-2,1),斜率为2； (2)在x轴、y轴上的截距分别为2,4； (3)一个方向向量的坐标为(1,3)，且在x轴上的截距为1. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，△PAB是正三角形，且平面 PAB⊥平面ABCD,AB=2. (1)求P.P⑦： (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值. 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知直线l:y=(a-1)x+2a-3,a∈R,设0为坐标原点 (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求4； (2)若l交x轴负半轴于点A,交y轴负半轴于点B,求△OAB面积的最小值. 18.(17分) 如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均为正三角形，二面角B-AC-D的大小为 120°，4C=2,点P满足P=D店，其中A∈0，} (1)若A=},证明：平面PAC1平面ACD; (2)求PA·PC的最小值； (3)若二面角A-PC-D的正弦值为7，求X 19.(17分) 如图，在平行六面体ABCD-AB1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O,O1分别为 正方形ABCD和AB,C,D1的中心，点A,在底面ABCD内的射影为O. (1)证明：A10∥平面O1CD. (2)AA1=V6,E,F分别为BC,CD的中点，点M在棱AA1上，E,F,B,D四点到点M的距离 相等， (i)求线段AM的长； (iⅱ)求二面角B-CM-D的正弦值， 数学第4页（共4页）