精品解析：安徽省六安第二中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

六安二中教育集团2026—2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 2. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 3. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 5. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则的长度为（ ）. A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的表示及模长计算公式计算. 【详解】不妨设，，， ， 所以①， 其中，，， 代入①式得：. 6. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 是等边三角形，侧面底面 为底面 内的一个动点，且满足 ．则点 到直线 的最短距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，根据，即可得到，从而得到动点的轨迹方程，点到直线，即为圆上的点到直线的距离，即可得解； 【详解】解：依题意取的中点，连接，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设，则，，因为，所以，即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点到直线，即为圆上的点到直线的距离，所以点到直线的最短距离 故选：D 7. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 8. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题知即可判断；对于B，判断不共面即可；对于C，根据与的夹角为锐角时，满足 且不共线判断；对于D，由题知，再根据向量共面定理判断即可. 【详解】对于A选项，由 ，得，即 因为 共线且有公共点，所以A，B，C三点共线，故正确； 对于B选项，因为是空间的一个基底，则 不共面， 假设 共面，则存在实数满足：， 所以， 因为 不共面，所以，显然方程无解，故三向量不共面，可作为基底，正确； 对于C选项，， 当与的夹角为锐角时，满足 且不共线， 所以，解得，当 时， 同向共线， 所以，当 时，与的夹角为锐角，故错误； 对于D选项，因为， 所以，即， 所以，即共面， 又因为有公共点，所以P，A，B，C四点共面，故正确. 10. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 11. 已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公共弦所在直线 B. 对于直线上任意一点，都有 C. 当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D. 若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆相离可判断A；根据切线长计算公式计算可判断B；写出切点弦所在直线方程，求出交点，计算可判断C；设，由题意可得，根据两点间距离公式及点到直线距离公式计算可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 对于A，因为， 所以圆与圆相离，不存在公共弦，故A错误； 对于B，设满足直线， 则， ， 所以，故B正确； 对于C，先证明圆上点处的切线方程为． 证明如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则， 所以，又过点，由点斜式可得， 化简可得，，又，所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为． 综上所述，圆上点处的切线方程为， 设，，，再证明直线的方程为， 证明如下：因为圆在处的切线方程为， 因为点在切线方程上，所以，同理可得， 则，满足方程， 根据不同两点确定唯一一条直线，故直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设两条直线交点为，代入两条直线并作差得， 因为点满足，所以， 故点在直线上，故C正确； 对于D，设圆的半径为，则， 所以， 设，则，即， 化简可得， 而点到直线的距离， 因为， 所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设动点 ，再结合向量数量积运算求解即可. 【详解】设动点 ，因为， 所以 因为， 所以，展开整理： 所以，即， 所以，动点C的轨迹方程为 14. 空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用阿基米德多面体的定义，借助正方体建立空间直角坐标系，设，建立异面直线与所成角与的函数关系，通过求函数值域得到取值范围. 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为.以正方体的一个顶点为坐标原点，三条棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设. 所以，， 所以 当时， 当时，， 当且仅当时取等号. 由对勾函数性质以及上述讨论可知. 所以， 设异面直线与所成角为， 综上所述， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 16. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）为等腰梯形，， ， 又∵平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，再利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，又，平面， ，，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，，，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，则， 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用三角形相似求解；解法二：建立空间直角坐标系，利用和平面法向量垂直求解； （2）解法一：建立空间直角坐标系分别求出两个面的法向量，再利用面面夹角公式求解；解法二：写出坐标，计算法向量再求解. 【小问1详解】 解法一：连接与交于点N，连接，因为平面，且平面平面， 平面，所以，则，又因为，所以， 则，所以的值为． 解法二：取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且， ，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 又因为，，所以．因为，所以，， 则，因为，所以四边形是矩形，以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以， 解得，，，则． 设平面的法向量为，则，． 则，即，， 取，解得，， 则平面的一个法向量， ，因为平面，所以，即， 所以，即，解得． 【小问2详解】 解法一：取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为，，所以． 因为，所以，，则， 因为，所以四边形是矩形， 以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ， 设为平面一个法向量，则， 令，则所以， 平面法向量取，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：当时，，平面的法向量， 平面的法向量取，设两面夹角为， 则．所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列方程求，即可得到圆心和半径，从而得到圆的标准方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （3）先求出圆心到直线的距离为，再利用的面积，得到 ，从而求出斜率即可求解. 【小问1详解】 设圆心，半径为， 因为圆与直线相切于点， 所以直线，解得 ， 所以圆心，所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设斜率为 k， 切线方程为 ，即， 由圆心到切线的距离等于半径得到， 即，解得， 所以切线方程为， 当斜率不存在时直线也是切线。 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 因为的面积， 即，解得 所以， 所以直线的方程为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； （2）若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得， 解法1：根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； 解法2：利用等体积转换法即可求出； 解法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量代入公式即可； （3）如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以. 【小问2详解】 由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， 设平面PBC的法向量， 则，即，令，则，得， 所以点到平面的距离． （ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 设平面的法向量， 则即 令，则，得 则， 整理得，解得： ， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中教育集团2026—2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则的长度为（ ）. A. B. C. 0 D. 6. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 是等边三角形，侧面底面 为底面 内的一个动点，且满足 ．则点 到直线 的最短距离为 （ ） A. B. C. D. 7. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 10. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 11. 已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公共弦所在直线 B. 对于直线上任意一点，都有 C. 当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D. 若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 14. 空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16. 如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； （2）若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $