专题02 确定二次函数的表达式与用二次函数解决问题十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题02 确定二次函数的表达式与用二次函数解决问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用待定系数法求二次函数表达式—三点式 题型二、用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 题型三、用待定系数法求二次函数表达式—零点式 题型四、二次函数的应用—投球问题 题型五、二次函数的应用—跳水问题 题型六、二次函数的应用—图形问题 题型七、二次函数的应用—拱桥问题 题型八、二次函数的应用—自由落体问题 题型九、二次函数的应用—滑行问题 题型十、二次函数的应用—销售问题 题型十一、二次函数的应用—动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型名称 核心知识点 常见易错点 用待定系数法求二次函数表达式—三点式 1. 二次函数一般式为y=ax2+bx+c（a≠0），已知图象上三个不在同一直线的普通点坐标，将坐标代入一般式，构建三元一次方程组求解a、b、c三个系数，即可确定函数表达式 1. 代入点坐标时符号处理失误，导致方程组列写错误；2. 解三元一次方程组时计算出错，最终得到错误系数；3. 忽略隐含约束条件a≠0，将特殊情况的一次函数误判为二次函数 用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 1. 二次函数顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），其中(h,k)为函数图象的顶点坐标，已知顶点、对称轴或最值条件，搭配任意一个普通点坐标，即可代入求解系数a，确定函数表达式 1. 混淆顶点横坐标的符号，误将顶点(h,k)代入为y=a(x+h)2+k，导致表达式完全偏差；2. 混淆顶点式与一般式的转换规则，展开整理时运算错误；3. 顶点取值判断错误，比如误将对称轴当作顶点的纵坐标 用待定系数法求二次函数表达式—零点式 1. 二次函数零点式为y=a(x-x1)(x-x2)（a≠$），其中x1、x2是函数图象与x轴交点的横坐标，已知两个x轴交点坐标搭配任意一个普通点，即可求解系数a得到函数表达式 1. 混淆零点的代入符号，将交点(x1,0)误写为(x+x1)的因式，导致表达式错误；2. 忘记将最终结果整理为一般式，不符合答题规范；3. 当函数与x轴仅有一个交点或无交点时，错误强行使用零点式求解 二次函数的应用—投球问题 1. 将篮球等抛物线路径抽象为二次函数模型，结合出手点坐标、篮筐落点坐标、最大高度条件，求解运动轨迹表达式，计算投掷距离、命中判定、最大高度等参数 1. 实际场景的坐标原点设定混乱，导致点的坐标取值完全错误；2. 忽略自变量的实际取值范围，将抛物线上无实际物理意义的负区间解当作有效结果；3. 忽略物体初始高度等已知条件，漏代入相关数值 二次函数的应用—跳水问题 1. 把跳水运动员的空中运动轨迹抽象为开口向下的二次函数模型，结合起跳点坐标、入水点坐标、顶点高度，求解运动时长、最大高度、距水面高度随时间变化的关系 1. 高度变化对应的坐标正负判定错误，误将水面以上的高度符号写反；2. 自变量时间的取值范围考虑不全，将起跳前的时间解误判为有效解；3. 混淆距跳台高度与距水面高度两个不同的参数概念，代入数值偏差 二次函数的应用—图形问题 1. 在三角形、矩形等几何图形中，设定某条边长为自变量，结合图形周长、面积的几何约束，推导得到面积关于边长的二次函数表达式，求解面积最值或限定面积下的边长取值 1. 利用几何性质列式时周长、面积公式使用错误，导致函数关系式推导偏差；2. 忽略几何图形边长必须为正的隐含约束，扩大自变量取值范围；3. 混淆函数顶点最值与实际可达到的最值，比如顶点自变量不在有效区间内时，错将顶点值当作实际最大值 二次函数的应用—拱桥问题 1. 将拱形桥的桥面轮廓抽象为二次函数图象，合理设定坐标系结合桥拱跨度、拱顶高度、水面高度等参数，求解对应位置的高度、通航宽度等实际问题参数 1. 坐标系设定随意，导致关键点坐标标识错误，后续计算全部出错；2. 拱顶位置的坐标判定失误，错将拱顶的横坐标设为非对称轴数值；3. 忽略水面升降后的坐标变化，套用初始场景的参数进行后续计算 二次函数的应用—自由落体问题 1. 基于自由落体位移公式，分析物体下落高度、下落时间、落地速度相关的量化计算 1. 自变量时间的实际取值范围忽略，将落地后的时间解判定为有效结果；2. 符号处理错误，把位移公式的增减性写反，得到下落高度随时间增大的错误函数；3. 混淆初始高度与下落位移两个概念，代入参数完全错位 二次函数的应用—滑行问题 1. 把飞机着陆后滑行的距离与时间的关系抽象为开口向下的二次函数模型，结合函数顶点的物理意义求解滑行最大距离、完全停止所需时长、限定时间内的滑行距离等参数 1. 忽略飞机停止后不再运动的实际约束，当自变量超过停止时间时，仍套用二次函数计算滑行距离，得到不符合实际的数值；2. 顶点最值的物理意义理解错误，误将顶点对应的时间当作滑行总时长的一半；3. 解析式列写时速度、加速度相关参数代入符号出错，导致函数开口方向错误 二次函数的应用—销售问题 1. 设定商品涨价或降价的金额为自变量，结合单件利润、销售数量与价格变动的关联，推导出总利润关于价格调整量的二次函数，求解最大利润、对应定价、限定利润下的价格区间 1. 售价变动时的销量增减关系列式错误，比如涨价后销量的递减数量计算偏差；2. 忽略商品售价、销量必须为非负整数的实际约束，得到不符合经营逻辑的解；3. 顶点自变量不在定价允许的有效区间内时，错误直接套用顶点值当作最大利润，未在区间端点处计算最值 二次函数的应用—动点问题 1. 设定几何图形边上的动点运动时间为自变量，结合动点的运动速度、图形边长约束，推导出图形内对应线段长度、面积等因变量关于时间的二次函数，求解最值或特殊位置对应的时间参数 1. 动点运动路径分段时，不同区间的函数关系式漏写、错写，未分类讨论；2. 忽略动点在边上的运动边界，自变量取值范围扩大到动点无法到达的区间；3. 线段长度、面积的几何推导过程出错，导致函数关系式完全不符合动点运动的变化规律 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用待定系数法求二次函数表达式—三点式 典例1二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 变式1-1已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 变式1-2二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 变式1-3如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 类型二、用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 典例2 已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交点的纵坐标是，则此抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 变式2-1一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 变式2-2若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 变式2-3按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 题型三、用待定系数法求二次函数表达式—零点式 典例3 开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3-1抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的表达式为_________________． 变式3-3已知抛物线经过点、、． (1)求这条抛物线的表达式； (2)求这条抛物线的顶点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图象． 题型四、二次函数的应用—投球问题 典例4 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 变式4-1小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 变式4-2如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，如图建立平面直角坐标系，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式，并写出自变量相应的取值范围； (2)运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点在同一条直线上，结果保留根号） 变式4-3甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 题型五、二次函数的应用—跳水问题 典例5 某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 变式5-12024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)某位运动员在第一次跳水中，从点A处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，测得几组数据如表： 水平距离 3 3.5 4 竖直高度 10 11.25 k 则k，a的值各为多少； (2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为，求的值； (3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为，竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 变式5-2如图，某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求该运动员在空中运动时对应抛物线的表达式并求出入水处点的坐标． (2)若该运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5m，该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的表达式为，且顶点距水面4m．若该运动员出水点在之间（包括两点），求的取值范围． 变式5-3图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)求出与的函数关系式； (2)这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为______米； (3)比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由． 题型六、二次函数的应用—图形问题 典例6 长江文化艺术季于年月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为平方米． (1) 米； 平方米；（用含的代数式表示） (2)所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． (3)求等于多少时，所围成的矩形面积最大，最大值是多少？ 变式6-1综合与实践， 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践，其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控地（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案，设的长为，该矩形种植区的面积为． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门 图示 (1)分别求出两种方案下，与的函数关系式（不要求写的取值范围） (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为．求此时的值 (3)若要使矩形种植区的面积的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 变式6-2某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求的值； (2)矩形停放区需要铺设地面，地面每平方米铺设的费用为元，若外墙长度足够大，该矩形停放区的占地面积最大时铺设费用是多少？ 变式6-3如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为28米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长； (2)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ (3)你能求出矩形场地的最大面积吗？若能，求出的长，并写出最大面积． 题型七、二次函数的应用—拱桥问题 典例7 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 变式7-1如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 变式7-2有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 变式7-3如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 题型八、二次函数的应用—自由落体问题 典例8 物体在空中只受重力作用时，由静止开始下落的运动，称为自由落体运动．自由落体时，下落的高度公式为（其中h为物体自由下落的高度，g为重力加速度，，t为物体下落的时间）．如图，从离地的塔顶处由静止开始自由释放一个钢球（在空旷无人的场地下进行）． (1)如图①，求钢球经过多长时间落到地面； (2)如图②，求钢球下落到塔的一半高度时所用的时间： (3)如图③，求钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度． 变式8-1某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度（单位：）发射，假设其沿水平方向以速度飞行．在水平飞行（单位：）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为（），故此时拦截弹距地面的高度．由，可得与的函数关系为． (1)如图1，当拦截弹水平飞行时，距地面高度为；当拦截弹水平飞行时，距地面高度为． ①计算拦截弹发射高度和速度，并推导与的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离，且距地面高度为处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； (2)在不改变第（1）问与的二次函数图像形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到之间（含两端点），且距地面高度为，拦截弹发射高度为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出的范围______． 变式8-2【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 变式8-3比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 题型九、二次函数的应用—滑行问题 典例9 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 变式9-1【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 变式9-2小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． (1)直接写出_____，_____． (2)小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 变式9-3冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 题型十、二次函数的应用—销售问题 典例10 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 变式10-1“南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该产品销售量的月平均增长率； (2)若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ (3)直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 变式10-2综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． (2)任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． (3)任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 变式10-3某商场销售一种商品，进价为每个元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于元，经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价（元） 每天的销售量（个） (1)求与之间的函数表达式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求售价是多少时，每天获得的利润最大，最大是多少？ (3)为了让利于顾客，当售价为多少元时，商场每天能获得元的总利润． 题型十一、二次函数的应用—动点问题 典例11 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式11-1如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 变式11-2如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________．（用含的代数式表示）； (2)时间的取值范围是___________． (3)如果分别从两点出发，那么多少秒后，的面积等于； (4)点运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 变式11-3如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（     ） A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值 3．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 4．李老师带领九（1）班同学进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过试验，同学们发现：洒水少了，发芽率低；洒水多了会烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似满足二次函数关系（均为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得最佳洒水量为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数及直线，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 7．已知二次函数的顶点坐标为，且其图像经过点，则此二次函数的解析式是________________． 8．如图为孝义凤凰古村景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为米，点到的距离为米，则横梁的长为__________米． 9．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 10．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的角平分线的交点．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 11．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，的取值范围为_____； (3)若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 12．已知二次函数的图象过点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)当时，求函数的最大值； 13．综合与探究 燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐，春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表： 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)在（2）的条件下，为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线，其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 14．某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 15．如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 确定二次函数的表达式与用二次函数解决问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用待定系数法求二次函数表达式—三点式 题型二、用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 题型三、用待定系数法求二次函数表达式—零点式 题型四、二次函数的应用—投球问题 题型五、二次函数的应用—跳水问题 题型六、二次函数的应用—图形问题 题型七、二次函数的应用—拱桥问题 题型八、二次函数的应用—自由落体问题 题型九、二次函数的应用—滑行问题 题型十、二次函数的应用—销售问题 题型十一、二次函数的应用—动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型名称 核心知识点 常见易错点 用待定系数法求二次函数表达式—三点式 1. 二次函数一般式为y=ax2+bx+c（a≠0），已知图象上三个不在同一直线的普通点坐标，将坐标代入一般式，构建三元一次方程组求解a、b、c三个系数，即可确定函数表达式 1. 代入点坐标时符号处理失误，导致方程组列写错误；2. 解三元一次方程组时计算出错，最终得到错误系数；3. 忽略隐含约束条件a≠0，将特殊情况的一次函数误判为二次函数 用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 1. 二次函数顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），其中(h,k)为函数图象的顶点坐标，已知顶点、对称轴或最值条件，搭配任意一个普通点坐标，即可代入求解系数a，确定函数表达式 1. 混淆顶点横坐标的符号，误将顶点(h,k)代入为y=a(x+h)2+k，导致表达式完全偏差；2. 混淆顶点式与一般式的转换规则，展开整理时运算错误；3. 顶点取值判断错误，比如误将对称轴当作顶点的纵坐标 用待定系数法求二次函数表达式—零点式 1. 二次函数零点式为y=a(x-x1)(x-x2)（a≠$），其中x1、x2是函数图象与x轴交点的横坐标，已知两个x轴交点坐标搭配任意一个普通点，即可求解系数a得到函数表达式 1. 混淆零点的代入符号，将交点(x1,0)误写为(x+x1)的因式，导致表达式错误；2. 忘记将最终结果整理为一般式，不符合答题规范；3. 当函数与x轴仅有一个交点或无交点时，错误强行使用零点式求解 二次函数的应用—投球问题 1. 将篮球等抛物线路径抽象为二次函数模型，结合出手点坐标、篮筐落点坐标、最大高度条件，求解运动轨迹表达式，计算投掷距离、命中判定、最大高度等参数 1. 实际场景的坐标原点设定混乱，导致点的坐标取值完全错误；2. 忽略自变量的实际取值范围，将抛物线上无实际物理意义的负区间解当作有效结果；3. 忽略物体初始高度等已知条件，漏代入相关数值 二次函数的应用—跳水问题 1. 把跳水运动员的空中运动轨迹抽象为开口向下的二次函数模型，结合起跳点坐标、入水点坐标、顶点高度，求解运动时长、最大高度、距水面高度随时间变化的关系 1. 高度变化对应的坐标正负判定错误，误将水面以上的高度符号写反；2. 自变量时间的取值范围考虑不全，将起跳前的时间解误判为有效解；3. 混淆距跳台高度与距水面高度两个不同的参数概念，代入数值偏差 二次函数的应用—图形问题 1. 在三角形、矩形等几何图形中，设定某条边长为自变量，结合图形周长、面积的几何约束，推导得到面积关于边长的二次函数表达式，求解面积最值或限定面积下的边长取值 1. 利用几何性质列式时周长、面积公式使用错误，导致函数关系式推导偏差；2. 忽略几何图形边长必须为正的隐含约束，扩大自变量取值范围；3. 混淆函数顶点最值与实际可达到的最值，比如顶点自变量不在有效区间内时，错将顶点值当作实际最大值 二次函数的应用—拱桥问题 1. 将拱形桥的桥面轮廓抽象为二次函数图象，合理设定坐标系结合桥拱跨度、拱顶高度、水面高度等参数，求解对应位置的高度、通航宽度等实际问题参数 1. 坐标系设定随意，导致关键点坐标标识错误，后续计算全部出错；2. 拱顶位置的坐标判定失误，错将拱顶的横坐标设为非对称轴数值；3. 忽略水面升降后的坐标变化，套用初始场景的参数进行后续计算 二次函数的应用—自由落体问题 1. 基于自由落体位移公式，分析物体下落高度、下落时间、落地速度相关的量化计算 1. 自变量时间的实际取值范围忽略，将落地后的时间解判定为有效结果；2. 符号处理错误，把位移公式的增减性写反，得到下落高度随时间增大的错误函数；3. 混淆初始高度与下落位移两个概念，代入参数完全错位 二次函数的应用—滑行问题 1. 把飞机着陆后滑行的距离与时间的关系抽象为开口向下的二次函数模型，结合函数顶点的物理意义求解滑行最大距离、完全停止所需时长、限定时间内的滑行距离等参数 1. 忽略飞机停止后不再运动的实际约束，当自变量超过停止时间时，仍套用二次函数计算滑行距离，得到不符合实际的数值；2. 顶点最值的物理意义理解错误，误将顶点对应的时间当作滑行总时长的一半；3. 解析式列写时速度、加速度相关参数代入符号出错，导致函数开口方向错误 二次函数的应用—销售问题 1. 设定商品涨价或降价的金额为自变量，结合单件利润、销售数量与价格变动的关联，推导出总利润关于价格调整量的二次函数，求解最大利润、对应定价、限定利润下的价格区间 1. 售价变动时的销量增减关系列式错误，比如涨价后销量的递减数量计算偏差；2. 忽略商品售价、销量必须为非负整数的实际约束，得到不符合经营逻辑的解；3. 顶点自变量不在定价允许的有效区间内时，错误直接套用顶点值当作最大利润，未在区间端点处计算最值 二次函数的应用—动点问题 1. 设定几何图形边上的动点运动时间为自变量，结合动点的运动速度、图形边长约束，推导出图形内对应线段长度、面积等因变量关于时间的二次函数，求解最值或特殊位置对应的时间参数 1. 动点运动路径分段时，不同区间的函数关系式漏写、错写，未分类讨论；2. 忽略动点在边上的运动边界，自变量取值范围扩大到动点无法到达的区间；3. 线段长度、面积的几何推导过程出错，导致函数关系式完全不符合动点运动的变化规律 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用待定系数法求二次函数表达式—三点式 典例1二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 变式1-1已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 变式1-2二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 【答案】 【分析】已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设解析式，代入第三个点的坐标求出未知系数，整理即可得到解析式． 【详解】解：∵二次函数图象经过和 ∴设二次函数解析式为，其中 把代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为 展开整理得． 变式1-3如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为；顶点的坐标为； (2)． 【分析】（1）将三点坐标代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式，再将解析式表示成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先表示出平移后的抛物线解析式，再代入点，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度， ∴平移后的抛物线为． ∵平移后的抛物线经过点， ∴， ∴． 类型二、用待定系数法求二次函数表达式—顶点式 典例2 已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交点的纵坐标是，则此抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知抛物线顶点坐标，选用顶点式求解即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为， ∴ 将，代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，展开整理得． 变式2-1一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知二次函数顶点坐标，可设顶点式解析式求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数图象过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴二次函数表达式为． 变式2-2若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 变式2-3按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入，计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴． 题型三、用待定系数法求二次函数表达式—零点式 典例3 开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 变式3-1抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、图象和等边三角形的性质，逐一进行判断． 【详解】解：①抛物线交轴于，，则抛物线的对称轴为，所以，所以，结论错误； ②代入抛物线解析式中，①，又，所以，代入①得，结论正确； ③抛物线开口向上，则，因为，所以， ，结论错误； ④，，，对称轴垂直平分于点，如图， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 所以， 设抛物线，则， 解得， 所以，结论正确． 故正确的结论有2个． 变式3-2已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的表达式为_________________． 【答案】 【分析】已知二次函数的二次项系数，以及函数经过的两个点坐标，利用待定系数法列方程组求解和即可得到函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和， ∴将两点坐标分别代入函数解析式，得 整理得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 变式3-3已知抛物线经过点、、． (1)求这条抛物线的表达式； (2)求这条抛物线的顶点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图象． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为，画图象如下： 【分析】（1）设抛物线解析式的交点式，即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，即可写出顶点坐标，通过列表，描点，连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 函数图象略． 题型四、二次函数的应用—投球问题 典例4 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)能 (2)能 【分析】（1）设出二次函数的顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可得出结果； （2）求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为且过点， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， 故此球能准确投中； （2）解：由（1）知：， ∴当时，， ∵乙的最大摸高为，， ∴他能获得成功. 变式4-1小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小球能飞过这棵树，理由如下： 当时，对于，则， 对于，则， ， 小球能飞过这棵树． 【详解】（1）解：由题意，把点代入得： ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：联立得：， 或， 点的坐标为； （3）略 变式4-2如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，如图建立平面直角坐标系，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式，并写出自变量相应的取值范围； (2)运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点在同一条直线上，结果保留根号） 【答案】(1) (2)他应再向前跑米 【分析】（1）已知顶点，设顶点式，代入原点求出系数，再求与x轴交点B，得到自变量范围； （2）形状相同说明a不变，弹起后最大高度为2，设弹起后的顶点式，代入，求出第二个落点C横坐标，再计算即可得到跑动距离． 【详解】（1）解：由题意得足球第一次落地之前的运动路线为二次函数，顶点为且经过原点， ∴设函数表达式为， 代入，得 ， 解得， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴自变量相应的取值范围为， ∴； （2）解：∵足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半即（米）， ∴设足球在草坪上弹起后的抛物线表达式为， 代入，得 ， 解得， ∵顶点位于点B右侧，即， ∴， ∴足球在草坪上弹起后的抛物线表达式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴（米）， ∵米 ∴（米）． 答：他应再向前跑米． 变式4-3甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 【答案】(1)4 (2) (3)羽毛球能过网，理由如下： 当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； (4) 【分析】（1）根据当和时，函数值相等，可得抛物线的对称轴，即可解答； （2）根据顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出函数表达式； （3）根据自变量的值求出函数值进行比较； （4）根据函数值求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，，即顶点坐标为， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； （2）解：由表格可知，当和时，函数值相等，即对称轴为直线， 当时，，即顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 （4）解：当时，， 解得：， ∵， ∴， ， 即此时他距离球网． 题型五、二次函数的应用—跳水问题 典例5 某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据及抛物线，将，代入抛物线的解析式即可； （2）首先，将转化为顶点式，得到当时，，进而得到，再由，得到，解得，，(舍去)，即可得出答案； （3）根据题意得到，可知当时，，进而得，再由当时，，得到，当时，，得，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入，得，解得． 与的函数解析式是； （2）解：， ， 抛物线开口向下， 当时，． ． 当时，，解得，，(舍去) 他的重心相对水面的高度为所用的时间是； （3）解：， ， 当时，． ． 当时，， ， 当时，， ． ∴n的取值范围为． 变式5-12024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)某位运动员在第一次跳水中，从点A处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，测得几组数据如表： 水平距离 3 3.5 4 竖直高度 10 11.25 k 则k，a的值各为多少； (2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为，求的值； (3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为，竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 【答案】(1)，； (2)米； (3)该运动员能在落水前完成此动作． 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再将代入计算即可． （2）求出当时，的值即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ， 将代入得； （2）解：， 当时：， 解得：，（不合题意，舍去）； 米； （3）解：， ， ， ， 当时，， 该运动员能在落水前完成此动作． 变式5-2如图，某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求该运动员在空中运动时对应抛物线的表达式并求出入水处点的坐标． (2)若该运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5m，该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的表达式为，且顶点距水面4m．若该运动员出水点在之间（包括两点），求的取值范围． 【答案】(1)；点的坐标为 (2) 解：该运动员此次跳水失误了．理由如下： 当距点水平距离为5时，对应的横坐标为． 将代入表达式，得． ， 该运动员此次跳水失误了． (3)的取值范围为 【分析】（1）设抛物线的表达式为，图象经过原点，可求出解析式，点的纵坐标为，进而可求出点的坐标； （2）求出运动员在空中调整好入水姿势时的高度，判定运动员在距水面高度是否是米以前即可； （3）设，把代入，可以得到解析式，再根据条件即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 把代入表达式，得， 抛物线的表达式为． 令，则， 解得（舍去），． 故点的坐标为． （2）略 （3）解：，点的坐标为， 点的坐标分别为． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为， 当抛物线过点时，顶点的横坐标为，纵坐标为， 则， 把代入，得，解得． 同理，当抛物线经过点时，． 故的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 变式5-3图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)求出与的函数关系式； (2)这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为______米； (3)比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由． 【答案】(1) (2)米 (3)远 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）将点，代入根据待定系数法求出解析式，即可求解； （2）将（1）中解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标即可求解． （3）求出中，当时，x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：将点，代入 可得：， 解得：， 故与的函数关系式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为米． （3）解：在中， 令，则， 解得：（舍去）， ， ∴比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是远． 题型六、二次函数的应用—图形问题 典例6 长江文化艺术季于年月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为平方米． (1) 米； 平方米；（用含的代数式表示） (2)所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． (3)求等于多少时，所围成的矩形面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)所围成的矩形燃放地面积不能为平方米，理由如下： 中，令，则 ， ， ， ∴， 方程无实数根． 不能围成面积为90平方米的矩形燃放地． (3)当米时，矩形面积最大，最大值是72平方米． 【分析】（1）根据护栏总长24米，，得到的代数式，再利用矩形面积公式写出面积的表达式，并结合墙长确定取值范围． （2）令面积，列出一元二次方程求解，检验解是否满足的限制条件，判断是否可行． （3）把面积表达式整理成二次函数顶点式，结合自变量取值范围，求出面积最大值以及对应的长． 【详解】（1）解：由题意可得（米）， ∴（平方米）； （2）略 （3）解：， ， 解得， 中， ， 当时，取得最大值，最大值为72． 答：当米时，矩形面积最大，最大值是72平方米． 变式6-1综合与实践， 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践，其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控地（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案，设的长为，该矩形种植区的面积为． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门 图示 (1)分别求出两种方案下，与的函数关系式（不要求写的取值范围） (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为．求此时的值 (3)若要使矩形种植区的面积的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)12 (3)解：应选择方案一，探究过程如下： 方案一：∵，， ∴， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为147； 方案二：∵，， ∴， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为； ∵， ∴要使矩形种植区的面积的值最大，应选择方案一． 【分析】（1）先求出的长，再利用矩形的面积公式求解即可； （2）令方案一中的建立方程，解方程，并结合求解即可； （3）利用二次函数的性质分别求出两种方案的最大值，由此即可得． 【详解】（1）解：方案一：由题意可知，， ∴． 方案二：由题意可知，， ∴． （2）解：由题意得：，且， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：此时的值为12． （3）略． 变式6-2某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求的值； (2)矩形停放区需要铺设地面，地面每平方米铺设的费用为元，若外墙长度足够大，该矩形停放区的占地面积最大时铺设费用是多少？ 【答案】(1)的值为； (2)元 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长， 金属护栏总长为，且平行于外墙的一侧预留两个宽的门． 所以平行于墙的边长为 当时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得， 解得， 因为必须满足，所以不符合题意，舍去， 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为，的值为； （2）解：由题意得， ∵， ∴开口向下， ∴当时，的最大值为， 总费用为：（元）． 变式6-3如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为28米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长； (2)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ (3)你能求出矩形场地的最大面积吗？若能，求出的长，并写出最大面积． 【答案】(1)的长为10米． (2)面积不能等于280平方米．理由： 令面积为280： 则， 整理得： ， ， 该一元二次方程无实数根， 因此不存在符合条件的矩形． (3) 能，当长为9米时，最大面积为243平方米． 【分析】先根据栅栏总长度、小门宽度和的长度，推导边的长度表达式，同时结合墙的最大可利用长度确定的取值范围． 对于（1），根据矩形面积公式建立关于的一元二次方程，求解方程后结合的取值范围筛选符合条件的解． 对于（2），同样根据面积公式建立方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合条件的实根． 对于（3），将面积表示为关于的二次函数，结合的取值范围，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】（1）解：∵长为米，场地有3条垂直于墙的边（含分隔栅栏），底部留2个1米宽的小门，栅栏总长度为52米， ∴平行于墙的边的长度为：（米）． 同时墙的最大可利用长度为28米， 因此， 即， 得的取值范围：． ∵面积为240平方米 矩形面积， 令面积为240： 则 ． 整理得： ． 因式分解为， 解得，． ∵， ∴不符合要求，舍去． ∴的长为10米． （2）略 （3）解：面积表达式为二次函数： ， 二次函数开口向下，对称轴为直线，且在的取值范围内， 因此当时，取得最大值： 此时米， ，符合墙的长度限制，最大面积为243平方米． 题型七、二次函数的应用—拱桥问题 典例7 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 变式7-1如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）设抛物线的解析式为，设，，列方程组并解方程组即可； （2）警戒线到桥顶的距离为，根据水位以平均每小时米的速度上升即可求出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由，可设， 由，水位上升米就达到警戒线， ∴可设， 把，代入函数解析式得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知，，即警戒线到桥顶的距离为， 由水位以平均每小时米的速度上升得到（小时） 即从警戒线开始，再持续小时才能到桥拱顶． 变式7-2有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①最多可悬挂灯笼数为个；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再根据待定系数法即可解答； （2）①根据灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答； ②根据最多只能悬挂个灯笼，可得悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为，得到如果要在最左侧的左边再加一个灯笼，则这个灯笼的纵坐标为，根据题意列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为； （2）①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个； ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， 变式7-3如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【分析】（1 ）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，根据抛物线的图象和性质得到点D、B的坐标，由待定系数法求出其解即可； （2 ）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 题型八、二次函数的应用—自由落体问题 典例8 物体在空中只受重力作用时，由静止开始下落的运动，称为自由落体运动．自由落体时，下落的高度公式为（其中h为物体自由下落的高度，g为重力加速度，，t为物体下落的时间）．如图，从离地的塔顶处由静止开始自由释放一个钢球（在空旷无人的场地下进行）． (1)如图①，求钢球经过多长时间落到地面； (2)如图②，求钢球下落到塔的一半高度时所用的时间： (3)如图③，求钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）将代入求解即可； （3）由（1）可知钢球从下落到离到达地面的时间还有时，将代入求出的值，进而可知钢球离地面的高度． 【详解】（1）解：在中， ， ， 解得（负值已舍去）， 故钢球经过落到地面． （2）解：在中， ， ． 解得（负值已舍去）， 故钢球经过下落到塔的一半高度处． （3）解：由（1）知钢球经过落到地面， 在中， ， ， 故钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度为． 变式8-1某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度（单位：）发射，假设其沿水平方向以速度飞行．在水平飞行（单位：）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为（），故此时拦截弹距地面的高度．由，可得与的函数关系为． (1)如图1，当拦截弹水平飞行时，距地面高度为；当拦截弹水平飞行时，距地面高度为． ①计算拦截弹发射高度和速度，并推导与的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离，且距地面高度为处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； (2)在不改变第（1）问与的二次函数图像形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到之间（含两端点），且距地面高度为，拦截弹发射高度为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出的范围______． 【答案】(1)①，，； ②可以击中，理由： 当时，代入函数式， ， ∴拦截弹可以击中该飞行物． (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，根据函数，结合和，从而可以计算得解； ②依据题意，当时，代入函数式，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，由抛物线的形状不变，即二次项系数为，从而可设新函数为，故当 时，即；又当时，即，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，根据函数， 代入和， ， ， ∴函数关系式为：； ②略 （2）解：由题意，∵抛物线的形状不变，即二次项系数为， ∴可设新函数为． ∴当时，即； 当时，即． ∴的范围是． 故答案为：． 变式8-2【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意确定出二次函数的解析式是解题的关键，注意实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义． [情景导入]依据表格中的数据进行计算，即可得到的值，进而得到与的关系式； [尝试探索]把代入关系式，即可得到的值； [实际应用]根据楼高的值，得到的值，进而得出结论． 【详解】解：[情景导入]根据题意，当时， ，解得 与的关系式为． [尝试探索] 当时， 下落点到地面的距离为． [实际应用]当时，， 解得 不能得以生存． 变式8-3比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，自变量x的范围是 【分析】（1）将代入，求出t即可； （2）将代入，得到点P的横坐标；将代入即可得到纵坐标； （3）由（1）可知， 设抛物线的函数表达式为，将、、代入，求出解析式及自变量x的范围． 【详解】（1）将代入，得， 解得． （2）当时，，， ∴， ∴此时． （3）由（1）可知，∴， 设抛物线的函数表达式为， 将、、代入， 解得， 自变量x的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确理解图形及各等量关系是解题的关键． 题型九、二次函数的应用—滑行问题 典例9 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 【答案】(1)平面直角坐标系与曲线如图所示： (2) (3) (4)运动员落地的水平距离增加了 【分析】（1）以左下格点作为原点建立平面直角坐标系，再使用描点法画函数图象即可； （2）结合图象进行判断即可； （3）使用待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入，求解方程即可； （4）先写出平移后的解析式，再将代入，求解方程并与第（3）问的结论对比即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，当水平距离为时，运动员在空中达到最高点； （3）解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴二次函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ∴运动员水平位置为时，运动员才能落地； （4）解：由题意可知，新抛物线由抛物线向上平移个单位长度得到， ∴， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ， ∴运动员落地的水平距离增加了． 变式9-1【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】(1) (2)48米 (3) 解：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由如下： 从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 【分析】（1）将点代入即可得函数解析式，再利用增减性求出的取值范围即可； （2）求出这个二次函数的最大值即可； （3）求出从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴当时，随的增大而增大， ∵刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止， ∴关于的函数解析式为． （2）解：∵对于二次函数，当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为48， ∴该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是48米． （3）略 变式9-2小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． (1)直接写出_____，_____． (2)小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； （2）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，则把分别代入两个解析式进行解方程即可． 【详解】（1）解：当纸飞机飞行的水平距离为时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， 把代入得：， 解得； 把代入得：， 解得； （2）解：把代入，得． 解得：（舍），， 把代入， 得， 解得：． ， ∴小明距离围栏的距离时，纸飞机可以飞过围栏． 变式9-3冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】(1) (2) (3)不能完整做完这个转体运动 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由所在直线的表达式为，将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【详解】（1）解：∵所在直线的表达式为， ∵点到地面的距离为5米， ∴， 解之得：， ∴； （2）解：由题意得， 将，代入抛物线得： ， 解之得：， ∴抛物线的解析式为； ∴； （3）解：由题意可知：， 整理得， 解得（不符合题意），， 当时，， ∵， ∴不能完整做完这个转体运动． 题型十、二次函数的应用—销售问题 典例10 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据等量关系列出函数关系式； （2）先列出二次函数解析式，配成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：根据题意得： ， 对称轴， ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元． 变式10-1“南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该产品销售量的月平均增长率； (2)若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ (3)直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 【答案】(1)该产品的月平均增长率为 (2)售价应定为元/个 (3)50；4000 【分析】（1）列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单件利润销售量，设涨价金额为，列方程求解即可； （3）构建二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得， ， ， （舍），， 答：该产品的月平均增长率为． （2）解：设售价上涨元，则售价元，单件利润 元，销量个， 由题意得 解得，， 要尽可能给顾客实惠，涨价取小值 售价：（元） 答：售价应定为元/个． （3）解：设上涨元，利润为 当时，，售价元， 答案：售价为50元，最大利润4000元． 变式10-2综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． (2)任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． (3)任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 【答案】(1)； (2)解：能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元．理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，塑料椅的销售量为把，小于200把，符合题意； 当时，塑料椅的销售量为把，大于200把，不符合题意，舍去； 故能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元． (3)解：有最大值，最大值为3960元，此时塑料椅的售价为42元.理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 设总获利记作y元， 根据题意，得， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为4000元，此时塑料椅的售价为40元． 当时，塑料椅的销售量为把，不满足进货不超过把， 故不符合要求； 根据题意，得。 ， 当时，塑料椅的销售量为把，符合要求， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为3960元，此时塑料椅的售价为元． 【分析】（1）根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． （2）塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．根据题意，得，解答即可． （3）根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．设总获利记作y元，根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． （2）略 （3）略 变式10-3某商场销售一种商品，进价为每个元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于元，经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价（元） 每天的销售量（个） (1)求与之间的函数表达式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求售价是多少时，每天获得的利润最大，最大是多少？ (3)为了让利于顾客，当售价为多少元时，商场每天能获得元的总利润． 【答案】(1)（） (2)售价为元时，每天获得的利润最大，最大利润为元 (3)当售价为元时，商场每天能获得元的总利润且让利于顾客 【分析】（1）选取表格中，和，两组数据，代入一次函数求解即可，再结合售价限制确定函数表达式． （2）利用单件利润乘以销售量列出总利润二次函数，配方得到顶点式，根据二次函数的性质求最值即可． （3）把总利润代入二次函数解析式，解方程并结合让利顾客要求，选取较低售价即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，和，代入表达式，得方程组： ，解得， ∴， ∵售价不低于进价元，不高于元， ∴， ∴与的函数表达式为． （2）解：单个商品利润为元，销售量是， ∴总利润 ， ∵，，抛物线开口向下，顶点处取得最大值， ∴当时，有最大值，最大值是元． 答：售价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． （3）解：令，即， 整理得， 解得，． ∵要求让利顾客，售价尽可能低， ∴． 答：当售价为元时，商场每天能获得元的总利润且让利于顾客． 题型十一、二次函数的应用—动点问题 典例11 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 变式11-1如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米 【分析】（1）用表示和，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解． （2）用表示两直角边、，根据面积公式列一元二次方程求解． （3）将面积化为关于的二次函数，利用对称轴求最大值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，设运动时间， 则，，，， ∵，由勾股定理得： ， ，（舍去） ． （2）解： 整理： ，． （3）解： 二次函数开口向下，对称轴：， 当时，面积最大，最大面积为： ． 答：当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米． 变式11-2如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________．（用含的代数式表示）； (2)时间的取值范围是___________． (3)如果分别从两点出发，那么多少秒后，的面积等于； (4)点运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)1秒后，的面积等于 (4)当运动2秒后，的面积最大，最大为 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据当点运动到点时，秒，结合当运动到时，两点停止运动，即可得出结果； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：当点运动到点时，秒； 点运动到点时，秒， ∵当运动到时，两点停止运动， ∴. （3）解：， 的面积， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； ， 答：1秒后，的面积等于； （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， ， 当时，的值最大为； 故当运动2秒后，的面积最大，最大为． 变式11-3如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点在抛物线上． 2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（     ） A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值 【答案】C 【分析】先把点代入得，求出或，结合抛物线的对称轴在轴右侧，则，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得， 解得或， ∵二次函数的对称轴为，对称轴在轴右侧， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵，抛物线开口向下 ∴该二次函数有最大值，最大值为. 3．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为． ∵水面跨度为，对称轴为轴， ∴抛物线过点． 将代入得． 解得． ∴表达式为． 4．李老师带领九（1）班同学进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过试验，同学们发现：洒水少了，发芽率低；洒水多了会烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似满足二次函数关系（均为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得最佳洒水量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ， 解得：， ∴， ∵， ∴ 当时，有最大值为， ∴最佳的洒水量． 5．已知二次函数及直线，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求翻折后图象的解析式及顶点坐标，结合图象确定直线的位置． 【详解】解：令，则，解得， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∵将轴上方的图象沿轴翻折， ∴翻折部分的函数解析式为，且 ∴翻折后抛物线的顶点坐标为 ∵直线与新图象有四个交点， ∴的取值范围是． 6．c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 【答案】 【分析】连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ∵点A在抛物线上， ， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 7．已知二次函数的顶点坐标为，且其图像经过点，则此二次函数的解析式是________________． 【答案】 【分析】先设二次函数的解析式为，再代入顶点坐标，点，即可求出二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为，代入顶点坐标， 得到： ， 再代入点，得到 ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 8．如图为孝义凤凰古村景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为米，点到的距离为米，则横梁的长为__________米． 【答案】 【分析】以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出抛物线的解析式，再根据点的纵坐标均为求出它们的坐标，由此即可得． 【详解】解：如图，以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，且点到的距离为米， ∴点的纵坐标均为， 将代入函数得：， 解得或， ∴，， ∴， 即横梁的长为米． 9．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标，然后通过解析式求出点坐标，求出相关线段的长度，最后利用三角形的面积公式进行求解． 【详解】解：由得， 顶点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴； ∴， ∴的面积为． 10．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的角平分线的交点．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】 【分析】先求出，，，从而可得是等腰直角三角形，证明是等腰直角三角形，过D作于N，过C作于M，证明 ，得出，，设，则，，，求出，，分别表示出的面积，的面积，作差即可． 【详解】解：∵令时， ∴， 解得，， ∴，， ∴，， ∵令时，， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的角平分线的交点． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 11．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，的取值范围为_____； (3)若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式； （2）求出当，时的函数值，结合图象得到因变量的取值范围． （3）设二次函数向左平移个单位长度后，根据二次函数的平移方法写成新的解析式，代入点坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象知顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则二次函数的解析式为：， （2）解：当时，； 当时，， ∴当时，， 则当时，的取值范围为； （3）解：设二次函数向左平移个单位长度，则新的解析式为：， ∵恰好过点， 则， 解得：或． 12．已知二次函数的图象过点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)当时，求函数的最大值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3)当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出二次函数的顶点坐标，看横坐标是否在取值范围内，求出两端点处的代数式的值，再取舍得到最小值； （3）对不同的取值范围进行讨论，得到最大值． 【详解】（1）解：点，，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式． （2）解： ， 顶点坐标为，对称轴为直线， ，直线落在该区间内， 函数在顶点处取最大值，最大值是， 当时，； 当时，， 函数的最小值为． （3）解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：当，即时，都在对称轴的左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，对称轴在范围内，当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，都在对称轴的右侧，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值是． 综上所述，当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为． 13．综合与探究 燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐，春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表： 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)在（2）的条件下，为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线，其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 【答案】(1) (2)此花灯不会被损坏，理由如下： 将代入函数得：， ∴此花灯不会被损坏． (3)喷出的干粉不能直达花灯的顶端，理由如下： 将代入函数得：， ∴喷出的干粉不能直达花灯的顶端． 需将干粉的运动轨迹向左平移的距离为． 【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，据此判断即可； （3）求出当时的函数值，据此判断即可；再设将干粉的运动轨迹向左平移的距离为，则平移后解析式为，将点代入计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， 设所求的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴， 即． （2）略 （3）解：喷出的干粉不能直达花灯的顶端，理由：略． 设将干粉的运动轨迹向左平移的距离为，则平移后解析式为， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：需将干粉的运动轨迹向左平移的距离为． 14．某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． (3)每本降价元的取值范围是． 【分析】（1）根据题意列出代数式，从而得到二次函数的关系式，再根据题目要求得到自变量的取值范围； （2）根据二次函数的图象和性质及自变量的取值范围解答即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 售价不低于元， ， ， 自变量的取值范围是． （2）解： ， 当时，有最大值， 此时售价为：， 答：当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． （3）解：根据题意得： ， 整理得：， ， 或， 或无解， 每本降价元的取值范围是． 15．如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． (3) 存在，当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； （2）略； （3）解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $