专题04 二次函数拓展之几何问题十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题04 二次函数拓展之几何问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的全等三角形 题型二、二次函数中的等腰三角形 题型三、二次函数中的等腰直角三角形 题型四、二次函数中的直角三角形 题型五、二次函数中的等边三角形 题型六、二次函数中的平行四边形 题型七、二次函数中的菱形 题型八、二次函数中的矩形 题型九、二次函数中的正方形 题型十、二次函数中的圆 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型名称 核心知识点概括 常见易错点总结 二次函数中的全等三角形 结合二次函数图像上点的坐标特征，运用全等三角形判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），通过坐标运算推导对应点位置，满足边、角对应相等条件 忽略全等三角形对应顶点的顺序限制，漏解符合条件的多组点，坐标运算时符号处理错误 二次函数中的等腰三角形 依托二次函数图像，分“腰长相等的三类不同对应情况”，利用两点间距离公式列方程求解动点坐标，结合函数图像筛选有效解 未按顶点分类讨论，直接默认某条边为底边，遗漏部分符合条件的点，未剔除三点共线的无效解 二次函数中的等腰直角三角形 融合等腰三角形性质与直角三角形的垂直特性，通过斜率乘积为-1、直角顶点到两锐角顶点距离相等的性质，联立函数解析式求点坐标 误将直角顶点默认设置为已知点，分类不全，忽略坐标系中水平/竖直线段的特殊垂直场景 二次函数中的直角三角形 利用勾股定理逆定理、两直线垂直的坐标特征，分三个不同点为直角顶点的三类情况，列方程求解符合条件的动点 漏考虑动点在二次函数对称轴、图像之外的限定条件，解方程后未验证三边关系排除增根 二次函数中的等边三角形 结合等边三角形三边相等、内角60°的性质，利用两点间距离、特殊角的坐标变换规律，联立二次函数解析式推导点坐标 忽略等边三角形在已知线段两侧各存在一组解，坐标平移变换时方向判断错误 二次函数中的平行四边形 利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过“对顶点横纵坐标之和分别相等”的坐标规律，分已知边为边/对角线两类情况求解动点 未区分已知线段是平行四边形的边还是对角线，分类遗漏，计算坐标时中点公式套用错误 二次函数中的菱形 在平行四边形基础上追加邻边相等的限定条件，结合二次函数图像，联立距离公式求解满足四边相等的点坐标 混淆菱形与普通平行四边形的判定条件，多算或漏算不符合邻边相等要求的解 二次函数中的矩形 在平行四边形基础上追加内角为直角的限定条件，利用对角线相等、邻边垂直的性质，联立函数解析式推导动点位置 忽略矩形对角线相等且互相平分的双重性质，仅用垂直条件判定导致出现非平行四边形的错解 二次函数中的正方形 融合邻边相等且垂直的特性，结合正方形的坐标平移旋转规律，联立二次函数方程求全部符合条件的点 分类讨论时漏了已知边为正方形不同边的多种位置场景，坐标旋转90°后符号计算错误 二次函数中的圆 结合圆的方程、垂径定理、切线性质，利用点与圆、直线与圆的位置关系判定规则，联立二次函数与圆的方程求交点 忽略二次函数图像与圆的交点数量限制，未剔除超出函数定义域范围的无效交点，切线判定时漏算斜率不存在的特殊情况 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的全等三角形 典例1如图，中，，，，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若． (1)请直接写出A、B的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式； (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，请求出点、点的坐标； （4）在（2）的条件下，点为轴上一点，求的最小值． 变式1-2如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标； （3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q． 变式1-3如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、二次函数中的等腰三角形 典例2 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 变式2-1如图1，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、，直线的解析式为，与轴交于点，与直线交于点，且的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（点不与端点、重合），过点作直线轴交直线于，交轴于，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，若是轴负半轴上一点，连接，过点作于，交轴于，且，当是以为底的等腰三角形时，求的值，并直接写出线段的长． 变式2-2如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； (3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 变式2-3如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形 典例3 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 变式3-1【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 变式3-2如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 变式3-3如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为______． 题型四、二次函数中的直角三角形 典例4 已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式4-2如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-3如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 题型五、二次函数中的等边三角形 典例5 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C． (1)请写出顶点C的坐标_______（用含n的代数式表示）； (2)设抛物线与x轴交于A、B两点，若为等边三角形，求n的值； (3)设点，直线l过点P且与抛物线相交，若两交点间的距离为定值，请求出直线l的解析式． 变式5-1【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 变式5-2将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 变式5-3如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； (3)在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 题型六、二次函数中的平行四边形 典例6 如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 变式6-1如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式6-2如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式6-3综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七、二次函数中的菱形 典例7 如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 变式7-1如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型八、二次函数中的矩形 典例8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 变式8-1如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 变式8-2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 变式8-3如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九、二次函数中的正方形 典例9 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 变式9-1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． (3)如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式9-2如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 变式9-3如图，抛物线的图像经过三点，且一次函数的图像经过点． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点为平面内两点，若以为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧，这样的两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点的坐标为，点的坐标为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，若矩形内部的抛物线满足随增大而增大，请直接写出的取值范围． 题型十、二次函数中的圆 典例10 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 变式10-1如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． (1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式； (2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； (3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 变式10-3如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以为直径的圆过点时，求t的值； (3)在抛物线上，当时，y的取值范围是，请直接写出x的取值范围． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数拓展之几何问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的全等三角形 题型二、二次函数中的等腰三角形 题型三、二次函数中的等腰直角三角形 题型四、二次函数中的直角三角形 题型五、二次函数中的等边三角形 题型六、二次函数中的平行四边形 题型七、二次函数中的菱形 题型八、二次函数中的矩形 题型九、二次函数中的正方形 题型十、二次函数中的圆 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型名称 核心知识点概括 常见易错点总结 二次函数中的全等三角形 结合二次函数图像上点的坐标特征，运用全等三角形判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），通过坐标运算推导对应点位置，满足边、角对应相等条件 忽略全等三角形对应顶点的顺序限制，漏解符合条件的多组点，坐标运算时符号处理错误 二次函数中的等腰三角形 依托二次函数图像，分“腰长相等的三类不同对应情况”，利用两点间距离公式列方程求解动点坐标，结合函数图像筛选有效解 未按顶点分类讨论，直接默认某条边为底边，遗漏部分符合条件的点，未剔除三点共线的无效解 二次函数中的等腰直角三角形 融合等腰三角形性质与直角三角形的垂直特性，通过斜率乘积为-1、直角顶点到两锐角顶点距离相等的性质，联立函数解析式求点坐标 误将直角顶点默认设置为已知点，分类不全，忽略坐标系中水平/竖直线段的特殊垂直场景 二次函数中的直角三角形 利用勾股定理逆定理、两直线垂直的坐标特征，分三个不同点为直角顶点的三类情况，列方程求解符合条件的动点 漏考虑动点在二次函数对称轴、图像之外的限定条件，解方程后未验证三边关系排除增根 二次函数中的等边三角形 结合等边三角形三边相等、内角60°的性质，利用两点间距离、特殊角的坐标变换规律，联立二次函数解析式推导点坐标 忽略等边三角形在已知线段两侧各存在一组解，坐标平移变换时方向判断错误 二次函数中的平行四边形 利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过“对顶点横纵坐标之和分别相等”的坐标规律，分已知边为边/对角线两类情况求解动点 未区分已知线段是平行四边形的边还是对角线，分类遗漏，计算坐标时中点公式套用错误 二次函数中的菱形 在平行四边形基础上追加邻边相等的限定条件，结合二次函数图像，联立距离公式求解满足四边相等的点坐标 混淆菱形与普通平行四边形的判定条件，多算或漏算不符合邻边相等要求的解 二次函数中的矩形 在平行四边形基础上追加内角为直角的限定条件，利用对角线相等、邻边垂直的性质，联立函数解析式推导动点位置 忽略矩形对角线相等且互相平分的双重性质，仅用垂直条件判定导致出现非平行四边形的错解 二次函数中的正方形 融合邻边相等且垂直的特性，结合正方形的坐标平移旋转规律，联立二次函数方程求全部符合条件的点 分类讨论时漏了已知边为正方形不同边的多种位置场景，坐标旋转90°后符号计算错误 二次函数中的圆 结合圆的方程、垂径定理、切线性质，利用点与圆、直线与圆的位置关系判定规则，联立二次函数与圆的方程求交点 忽略二次函数图像与圆的交点数量限制，未剔除超出函数定义域范围的无效交点，切线判定时漏算斜率不存在的特殊情况 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的全等三角形 典例1如图，中，，，，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若． (1)请直接写出A、B的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式； (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，或；当时，或 【分析】（1）解，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，则分，，两种情况，根据全等三角形的性质，求得点，的坐标即可求解． 【详解】（1）解：中，，，， （2），， 设抛物线解析式为，代入， 即 解得 即 （3）在抛物线上 对称轴为 ， ， 设，则， ，则， 或， ，则 或 综上所述，当时，或；当时，或 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求解析式，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，请求出点、点的坐标； （4）在（2）的条件下，点为轴上一点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）坐标为；（3）或；或；（4） 【分析】（1）求出点A、C的坐标，再代入点A、B、C的坐标即可求解； （2）过点作垂直于轴交于点，设， 则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，． 设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可； （4）过点作，过点作于点，过点作于，延长交于．，，，，当点、、三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为,求即可得的最小值． 【详解】解：（1）把代入得；把代入得．，． 抛物线经过三点， ，解得． 抛物线的解析式为 （2）过点作垂直于轴交于点，设， 则 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）抛物线对称轴为直线．，，． 设，则 当，时，，此时，解得或． 点坐标为或，，或． 当，时，，此时，解得或． 点坐标为或，，或． （4）过点作，过点作于点，过点作于，延长交于．，，，，当点、、三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为． ，直线为，当时，点， ，在中，，故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 变式1-2如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标； （3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q． 【答案】（1）（2）P（4，5）（3）（-2，5）或（4，5）． 【分析】（1）把、代入即可求解； （2）求出B，设P（x，y）（x＞0），根据与的面积相等，得到方程，故可求解； （3）先证明△BOC是等腰直角三角形，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2，当Q1D=DE1=DE2=3时，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC，求出Q1的横坐标为-2，根据对称性求出Q2即可求解． 【详解】解：（1）把、代入得 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）令=0 解得x1=-1，x2=3 ∴B 设P（x，y）（x＞0） ∵与的面积相等， ∴ 即 解得x=4 ∴P（4，5）； （3）∵B（3，0），C（0，-3）∠BOC=90° ∴OB=OC=3，△BOC是等腰直角三角形 如图，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2 ∴∠Q1DE1=∠Q1DE2=∠BOC=90° 当Q1D=DE1=DE2=3时，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC ∵= ∴函数对称轴为x=1 ∴Q1的横坐标为1-3=-2 ∴Q1（-2，5） 同理，根据对称性可得Q2（4，5）符合题意 ∴满足条件的点Q为（-2，5）或（4，5）． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及全等三角形的判定与性质． 变式1-3如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，，； (3)存在，，． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为．把，代入，待定系数法求二次函数解析式，进而求得，待定系数法求得直线的解析式； （2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，进而分情况讨论，结合图形，即可求解； （3）取点，则，为等腰直角三角形，由可知，继而根据，设，勾股定理即可求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为． 把，代入得： 解得： 所以抛物线解析式为． 令，则， 所以． 设直线的解析式为，把，代入得： 解得： 所以直线的解析式为． （2）设， 则， ， ∴当时，有最大值为2 此时， ∵， ∴轴， 又∵ ∴ 如图所示，当时， ∴ ∴，则在轴上， ∴； 当时，，则轴或轴， ∵点． ∴或； 综上所述，，，； （3）在轴上存在点，使 如图， ∵ ∴ 取点，则， ∴为等腰直角三角形， 以为圆心为半径作圆，则 设， ∵， ∴， 解得：或 ∴符合题意的点的坐标：，． 类型二、二次函数中的等腰三角形 典例2 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 变式2-1如图1，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、，直线的解析式为，与轴交于点，与直线交于点，且的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（点不与端点、重合），过点作直线轴交直线于，交轴于，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，若是轴负半轴上一点，连接，过点作于，交轴于，且，当是以为底的等腰三角形时，求的值，并直接写出线段的长． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)与的函数关系式为 (3)，线段的长为． 【分析】（1）先求出，，，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，继而推导出点到直线的水平距离为，再根据三角形的面积公式进行求解即可；】（3）先求出直线的解析式为，推导出，可得到，同理可得直线的解析式为，联立直线AC与直线的解析式，求出垂足的坐标为，推导出是以为底的等腰三角形时，点在线段的垂直平分线上，继而求出线段中点的纵坐标为，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 令，得， ∴． 令，得，解得， ∴． ∵点在直线上，且点的横坐标为， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入解析式，得 解得． ∴直线的解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴点的坐标为． ∵轴，点在直线上， ∴点的横坐标为． 把代入，得点的坐标为． ∴线段的长为， ∵平行于轴，以为底，点到直线的水平距离为， ∴， ∵点在线段上，且不与点、重合， ∴自变量的取值范围是． 综上，与的函数关系式为． （3）解：∵点在轴上，，点在轴负半轴，结合图像， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入解析式，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式，得 解得， 把代入，得 ， ∴垂足的坐标为， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，点在线段的垂直平分线上． ∵轴， ∴的垂直平分线是水平直线，垂直平分线上所有点的纵坐标都等于中点的纵坐标， ∵，， ∴线段中点的纵坐标为， ∴ 解得， ∴， ∴，线段的长为． 变式2-2如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； (3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)或； 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的垂直平分线为，与二次函数联立即可求出答案； （3）分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， 抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为， ∴的垂直平分线为， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 如图，由题意得，设翻折后点和点B对应， 则， ，， ∴， ∴， ∴， 当点M在x轴下方时，根据对称性，则点； 故点M的坐标为：或． 变式2-3如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)①（）；②存在，是等腰三角形时，或或 (3)线段长度的最小值 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①用待定系数法求出直线解析式，根据点D的横坐标则可得点D、E的坐标，即可用含有的代数式表示线段的长度； ②由勾股定理表示出，考虑、及三种情况，即可求解； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，则可证明，得 ，从而得点在线段上运动（不包括端点），则当时，最小；再证明，得，即可求得，再利用等面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于， ，，， ， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设直线解析式为，代入，， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ，， ， （）， ②存在： ， 而， 当时，， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ； 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ，，， ， ， ， ∴当时，， ， ， ∴线段长度的最小值． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形 典例3 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 变式3-1【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 变式3-2如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作于点，证明，在中，，解得，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点，点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：过点作于点， ，， 平分，， ，， ， ， ， ， 在中，，解得， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴． （3）解：， 设直线的解析式为， 当时， 解得，， ∴，， ∴， 当，时， ， 解得或（舍）， 当时， ， 解得或（舍）， 当，时， ， ∴， 解得或（舍）， 综上所述：点纵坐标为2或． 变式3-3如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为______． 【答案】(1) (2)3 (3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据抛物线解析式求得对称轴，进而求得点的坐标，根据三角形面积公式求解即可； （3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，证明△CBM≌△MHN（AAS），即可求得的坐标，②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，证明△NEM≌△MDC，③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，同理得△NEM≌△MDC，④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，同理得ME＝DN＝NH＝3，⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线中， 得， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3）， ∴C（3，3）， ∴BC＝2， ∴； （3）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图3-1所示， ∴CM＝MN，∠CMN＝90°， ∴∠HNM+∠HMN=∠HMN+∠BMC=90°， ∴∠BMC=∠HNM， 在△CBM和△MHN中， ， ∴△CBM≌△MHN（AAS）， ∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3-2＝1， ∴ON=OH+HN=2， ∴N（2，0）； ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示， 过点M作轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D， 同理可证△NEM≌△MDC， ∴NE=DM=2， ∴EM＝CD＝5， ∵OH＝1， ∴ON＝NH﹣OH＝5-1＝4， ∴N（-4，0）； ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示， 过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D， 同理得△NEM≌△CDN， ∴ME＝NH＝DN＝3， ∴ON＝3-1＝2， ∴N（-2，0）； ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示， 过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D， 同理得△NEM≌△CDN， ∴ME＝DN＝NH＝3， ∴ON＝1+3＝4， ∴N（4，0）； ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）． 【点睛】本题考查了二次函数综合，全等三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型四、二次函数中的直角三角形 典例4 已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 变式4-2如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊三角形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意可得，对称轴为，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，，，结合的面积是的面积的4倍，可得即可求解； （3）根据为直角三角形，分，，三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：图像交x轴于点、， 对称轴为， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）由题意得， ， 又的面积是的面积的4倍， 所以， 点P在第二象限， ， 代入，得， 解得或， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为； （3）由题意知，，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 又为直角三角形， 当，即, 设关于轴对称点为，则，又， ， ，则，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， 令，即， 解得， 所以； ②当时，即, 设关于轴对称点为，则， ， ，，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， ，即， 解得， 所以； ③当时，， 设， ， 整理得， 解得， 所以，， 综上，符合条件的点Q的坐标为，，，. 变式4-3如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)①四边形的面积的最大值为，；②点坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，与面积的综合等知识点，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，利用二次函数的性质求解面积的最大值，而，即可求解四边形的面积的最大值； ②分三种情况讨论，构造一线三等角的相似求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当，得， 解得：，， 点， ∴ 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ∵， ∴当取得最大值时，四边形的面积取得最大值， 此时四边形的面积的最大值为：； 设点， 当时，如图，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可得：， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴整理得：， 解得：， ∴或， 综上：点坐标为或或或． 题型五、二次函数中的等边三角形 典例5 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C． (1)请写出顶点C的坐标_______（用含n的代数式表示）； (2)设抛物线与x轴交于A、B两点，若为等边三角形，求n的值； (3)设点，直线l过点P且与抛物线相交，若两交点间的距离为定值，请求出直线l的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将配成顶点式即可； （2）由题意可得当时，，则，可得和、的横坐标，由轴对称知，当为等边三角形时，，则，列出方程求解即可； （3）根据题意可得直线为，联立，整理得，则，，可得，由两交点间的距离为定值，可知的值与无关，得，求得即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 故答案为： （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴当时，， ， 可得：，，， ∵点为顶点，在抛物线对称轴上， ∴， 当为等边三角形时，，则， 即：， 亦即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴当为等边三角形时，； （3）设过的直线为，将代入得，，则， 即：直线为， 令直线与抛物线交点为， 联立，整理得：， 则，， 则 ， ∵两交点间的距离为定值，即：的值与无关， ∴， ∴， 当时，，符合题意， ∴直线为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，根据题意知两交点间的距离为定值，即的值与无关，是解决问题的关键． 变式5-1【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 【答案】 （1）证明：当时，， 解得或． ，． ，． ． ． 点D为点C关于点A的对称点， ． 四边形为平行四边形． （2） （3）或 【分析】（1）分别求出，， 再由， ，即可证明四边形为平行四边形； （2）由等边三角形可得，求出，将点C代入函数解析式即可求a的值； （3）根据所给的条件能判断出四边形是矩形，分F点在上时，和F点在上时，两种情况分别求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作，交x轴于点H， 是等边三角形， ，． 由（1）知，． ，． 是等边三角形． ，． ， ，． ． 将点代入， 即， 解得． （3）解：过点C作，交x轴于点H， ， ． 点为抛物线上的一点，， ． ． ，． ． ，． ，． 由（1）知，． ． 四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 如图，当点F落在上时， 由折叠性质可知． ． ， ． ． ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知． 四边形为矩形， ，． ． 如图，当点F落在上时， 同理可证， ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知， ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 变式5-2将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)t的值为1 (3) 证明：由（2）可知， ∴的解析式为：， 如图，由：， 联立与抛物线得：， ∴， ∴①，②； 由：； 联立与抛物线得： ， ∴③，   设为：， 联立与抛物线得：， ， ∴④，⑤， ∴①②得：⑥， 由③得⑦， 将⑦代入⑥中， ∴， 化简得⑧， 将④⑤代入⑧中，得， 化简得， ∴； ∴当时，y恒等于， ∴直线恒过定点． 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象与性质； （1）根据平移求出解析式为，即可得到顶点M的坐标为； （2）过点M作于H，由M的，可得，再求出，根据为等边三角形，，得到，，代入解方程即可． （3）设：，联立与抛物线得①；②；由：，联立与抛物线得③，设为：，联立与抛物线得④，⑤，通过消元整理化简得，，当时，y恒等于，直线恒过定点． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为：， 顶点M的坐标为； （2）解：如图，过点M作于H， 由M的，可得， 又联立， ∴，， 解得，， ∴ ∵为等边三角形，， ∴，， ∴，即 解得，， ∵， ∴， 即t的值为1； （3）略 变式5-3如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； (3)在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2) 证明：设， ∵， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点M到两边的距离相等； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了定系数法求函数解析式，勾股定理，等边对等角，等边三角形的性质，解一元二次方程． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得，即，根据平行线的判定和性质证明即可； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）略 （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 题型六、二次函数中的平行四边形 典例6 如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，L的最大值为 (3)点G的坐标为或或或 【分析】（1）首先求出，得到，然后求出，，然后利用待定系数法求解； （2）根据题意证明出是等腰直角三角形，表示出，然后得到，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据题意分三种情况讨论，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，； （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或； 综上所述，点G的坐标为或或或． 变式6-1如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 变式6-2如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 变式6-3综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （ 2 ）过点作轴于点，交于点．设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设． ∵， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， 或； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ． 综上所述，在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 题型七、二次函数中的菱形 典例7 如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 变式7-1如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 变式7-2如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 变式7-3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型八、二次函数中的矩形 典例8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 变式8-1如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)4； (3)点的坐标为或者； (4)或． 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 变式8-2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 变式8-3如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 题型九、二次函数中的正方形 典例9 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 变式9-1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． (3)如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，求得直线的函数解析式，设点，则点，用的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意得到，解得；再分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作轴，交于点， 设直线的函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则点． ， ． ， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：为直线上的一点， ，解得， ∴点的坐标为． ∵点，且轴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 若四边形是正方形，，则轴，由此可得： ， 解之得：； ①当时，如图2， ， 计算可得：， ∴点N的坐标为； ②当时，如图3 ， 计算可得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 变式9-2如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式9-3如图，抛物线的图像经过三点，且一次函数的图像经过点． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点为平面内两点，若以为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧，这样的两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点的坐标为，点的坐标为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，若矩形内部的抛物线满足随增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，一次函数的解析式为； (2)存在，，，； (3)的取值范围是或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把，，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 把代入得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：满足条件的、两点存在． 当为正方形的边长时， 分别过点点作，，使，，连接、. 过点作轴于. ∵， 又， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， 以为正方形的对角线时， 过的中点作，使与互相平分且相等， 则四边形为正方形， 过点作轴于点，过点作于点， ∵， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或4， 当时，，此时点在点右侧故舍去； 当时，. ∴满足条件的、两点存在，，，． （3）解：的对称轴为直线， 根据题意可得： 当时，，或， 解得， 当时，，或， 解得， ∴的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型十、二次函数中的圆 典例10 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线解析式为 (2) (3) (4)3或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、分类讨论思想等及圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）由题意知，四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得，即可求解； （3）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：、， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由题意知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵轴，点P的横坐标为， ∴、， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （4）解：抛物线，其对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，y有最大值， 故这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 故答案为：3或． 变式10-1如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． (1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式； (2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； (3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点P的坐标为或 (3)存在，E、F的坐标分别为、或、或、 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识； （1）根据题意分别代入点，分别解出即可求出答案． （2）设点P的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为：，则直线与X轴的交点为，证是等腰三角形，则，则直线与圆P相切于点Q，连接，由切线的性质得出，则是等腰三角形，得，由，，则，解得即可得出答案． （3）由题意得，，由面积求出，由待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得的解析式为，分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F． ∴． 由，得 对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 设， ∴． 在中，， ∴， ∴． 整理，得， 解得，． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由： 设点E，点F， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，解得：， 则点的坐标分别为：； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 则点的坐标分别为：或； 综上，的坐标分别为：或或． 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， （3）解：把代入，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 变式10-3如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以为直径的圆过点时，求t的值； (3)在抛物线上，当时，y的取值范围是，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)t的值为 (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）抛物线的对称轴是，且过点点，代入即可求解； （2）翻折后得到的部分函数解析式为：，新图象与直线恒有四个交点，则，由 解得：解得，，即可求解； （3）分m、n在函数对称轴左侧；m、n在对称轴两侧；m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴是，且过点点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵， ∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：，其顶点为． ∵新图象与直线恒有四个交点， ∴． 设． 由得， 解得， ∵以为直径的圆过点， ∴，即， 解得． 又∵， ∴t的值为； （3）当m、n在二次函数图象对称轴左侧时，， 由题意得：时，，时，， ， 解得：（舍去），（舍去），（舍去），， ；不等于 当m、n在二次函数图象对称轴两侧时， 时，最小值为，此时，最大值不等于27，不合题意舍去； 当m、n在函数对称轴右侧时， 由题意得：时，，时，， ， 解得：（舍去），，（舍去），（舍去）， ， 的取值范围是：或． 1 / 126 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $