专题03 二次函数与一元二次方程十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题03 二次函数与一元二次方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与x、y轴的交点问题 题型二、根据图象确定方程根的情况 题型三、图象法确定一元二次方程的近似根 题型四、利用图象解一元二次不等式 题型五、二次函数中的增减性最值 题型六、二次函数中的几何最值 题型七、二次函数中的铅锤高最值 题型八、二次函数中的等角、倍角问题 题型九、二次函数中的定值、比值问题 题型十、二次函数中的新定义 题型十一、二次函数中的参数不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 二次函数与x、y轴的交点问题 1. 与y轴交点坐标为(0,c)，可直接代入x=0求得；2. 与x轴交点横坐标对应令y=0时一元二次方程的根，通过判别式Δ=b²-4ac判断交点个数：Δ>0有2个交点，Δ=0有1个交点，Δ<0无交点 忽略二次项系数不为0的前提条件，代入计算时符号出错，将“唯一交点”直接等同于Δ=0，未验证函数是否真的是二次函数 根据图象确定方程根的情况 1. 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根；2. 平移图象后与水平线的交点数量对应变形方程的根的个数 混淆图象平移方向与方程变形的对应关系，误将图象上点的坐标符号判断错误，导致根的正负性、数量判断失误 图象法确定一元二次方程的近似根 1. 通过观察二次函数图象与x轴交点两侧的函数值异号的区间，逐步缩小区间范围得到近似根；2. 优先选取整数点、半整数点进行试值比对，逼近真实根的数值 区间选取范围过大，未遵循“异号缩域”原则，随意四舍五入导致近似根精度偏差，忽略两个根分别对应的独立区间 利用图象解一元二次不等式 1. 根据二次函数开口方向、与x轴交点位置，判断图象在x轴上方/下方对应的x取值范围，对应不等式>0或<0的解集；2. 含等号的不等式需将交点横坐标纳入解集 忽略二次项系数的正负对开口方向的影响，搞反解集区间，未标注解集的集合形式，漏掉“≥”“≤”包含交点的情况 二次函数中的增减性最值 1. 二次函数增减性以对称轴x=为分界，a>0时左减右增，a<0时左增右减；2. 限定区间内需结合对称轴与区间的位置关系，判断最值取在顶点还是区间端点 未区分全体实数域和限定区间的最值差异，直接默认最值在顶点处取得，增减性描述时遗漏“在对称轴左侧/右侧”的限定条件 二次函数中的几何最值 结合二次函数图象的几何特征，求解线段长度、三角形/四边形面积、周长等几何量的最值，通常将几何量转化为关于动点横坐标的二次函数表达式后求最值 几何关系转化为代数表达式时计算出错，忽略动点的实际取值范围，得出不符合几何场景的最值结果 二次函数中的铅锤高最值 1. 铅锤高指同一横坐标下，上下两条函数图象对应点的纵坐标差值；2. 以铅锤高为基础的三角形面积可表示为1/2×水平宽×铅锤高，转化后的二次函数可求铅锤高及对应面积的最大值 混淆铅锤高的上下对应函数，差值计算时符号搞反，记错面积公式漏乘1/2，忽略动点的定义域限制 二次函数中的等角、倍角问题 结合二次函数图象上的点构造等角、倍角关系，利用相似三角形、三角函数定义、对称性质建立等量关系，联立二次函数解析式求解点坐标 遗漏多解情况，忽略点在图象不同位置时的多种角度构造可能，角度等量关系转化为代数表达式时出现逻辑漏洞 二次函数中的定值、比值问题 在二次函数图象的动点运动过程中，证明某一线段长度、代数式运算结果为固定值，或两条线段的比值为固定常数，通过消元化简消去动点变量得到定值 变量替换过程中化简不彻底，误将随动点变化的量判定为定值，未验证特殊位置下定值、比值是否仍然成立 二次函数中的新定义 结合二次函数图象性质，理解题目给出的全新自定义概念（如伴随点、相关抛物线等），匹配二次函数的核心性质进行推理计算 未准确吃透新定义的限定条件，直接套用固有二次函数性质解题，忽略新定义设置的特殊约束要求 二次函数中的参数不等式 已知二次函数的图象特征或取值范围，反向推导解析式中参数的取值范围，结合对称轴位置、判别式、端点函数值符号建立不等式组求解 遗漏参数a≠0的前提约束，多个不等式联立求解范围时出现交集运算错误，忽略参数取值对函数开口方向的反向影响 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与x、y轴的交点问题 典例1抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 变式1-1抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 变式1-2已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 变式1-3已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 类型二、根据图象确定方程根的情况 典例2 已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 变式2-1二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 变式2-3已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 题型三、图象法确定一元二次方程的近似根 典例3 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（     ） A．和2之间 B．2和之间 C．和3之间 D．3和之间 变式3-1下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 变式3-2数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 变式3-3小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 题型四、利用图象解一元二次不等式 典例4 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 变式4-1如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4-2如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 变式4-3如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 题型五、二次函数中的增减性最值 典例5 已知二次函数（为常数）在自变量的值取的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式5-1二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 变式5-2已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 变式5-3已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 题型六、二次函数中的几何最值 典例6 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，直线l与两坐标轴分别交于、两点，若抛物线（其中b，c是常数）的顶点D是线段上一点，则c的最小值为______． 变式6-3如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A与点D关于y轴对称，连接，点E，F分别是线段，上的动点，且，连接，，若，则的最小值为______． 题型七、二次函数中的铅锤高最值 典例7 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于、两点，与轴相交于，，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． (3)若点在抛物线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标． 变式7-1如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 变式7-2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式 ； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． 变式7-3如图，抛物线过点，点，交轴于点． (1)求b，c的值； (2)求直线的解析式； (3)点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． 题型八、二次函数中的等角、倍角问题 典例8 如图1，已知抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为抛物线对称轴上的两个动点且满足（在的下方），连接、，当最大时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，在上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 变式8-1如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式8-2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 变式8-3如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 题型九、二次函数中的定值、比值问题 典例9 如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 变式9-1在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线解析式和点的坐标； (2)连接，，过点的直线交抛物线于另一点，当时，求点的坐标； (3)过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式9-2综合与实践： 如图1，在中，，，．点D在射线上，点E在射线上，动点P从点B开始，以每秒1个单位的速度匀速运动，沿折线运动到点E时停止．以为边作正方形．设点P的运动时间为x秒，正方形的面积为y，探究y与x的关系． (1)填空：如图1，当点P由点B运动到点D时， ①当时，________； ②y关于x的函数解析式为________（不必写出自变量的取值范围） (2)如图2，当点P由点D运动到点E时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图3所示的图象段，请根据图象信息： ①求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； ②当正方形的面积最小时，直接写出的比值为________． 变式9-3如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 题型十、二次函数中的新定义 典例10 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． (1)下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 变式10-1定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 变式10-2问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 变式10-3定义：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数 “减半函数”（填“是”或“不是”）； (2)求函数图象上的“减半点”； (3)若抛物线图象上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线的顶点为，点是其对称轴上点下方一点，过点作轴的平行线交此抛物线于，两点（在的左侧），求的值； ③将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，点（横坐标为）在抛物线上，其纵坐标的最大值为，最小值为，若对于任意，，求的值． 题型十一、二次函数中的参数不等式 典例11 已知二次函数． (1)函数图像过原点，求此时的顶点坐标； (2)无论a为何值，函数图像恒过定点，求此定点坐标； (3)当时，对于每一个x的值，始终成立，求a的取值范围． 变式11-1在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较，的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； (3)若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 变式11-2在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 变式11-3如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．抛物线与轴只有一个公共点，则的值是（     ） A． B． C． D．以上都不正确 2．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．二次函数与轴交于、两点，且，则（     ） A． B． C．或 D．或 4．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．抛物线顶点在x轴上，则____________ 7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则________. 8．已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移个单位，当平移后的抛物线与线段只有一个交点时，则t的范围是________． 10．抛物线（a，c为常数，，）经过点．下列五个结论： ①； ②； ③，两点在抛物线上，若，则； ④，其中m为任意实数； ⑤若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5． 其中正确的是_________．（填写序号） 11．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图象过点A、C两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； (3)结合图象，直接写出时自变量x的取值范围． 12．如图，已知抛物线经过，两点． (1)抛物线的对称轴为：________． (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为，直接写出的值． 13．小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 14．已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 15．定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题： (1)求出二次函数的旋转函数的顶点坐标； (2)若二次函数与互为“旋转函数”，直线l与函数，的图象都只有一个公共点，求的值以及直线l的解析式； (3)在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A，点B在上，且，与关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过、O、与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与x、y轴的交点问题 题型二、根据图象确定方程根的情况 题型三、图象法确定一元二次方程的近似根 题型四、利用图象解一元二次不等式 题型五、二次函数中的增减性最值 题型六、二次函数中的几何最值 题型七、二次函数中的铅锤高最值 题型八、二次函数中的等角、倍角问题 题型九、二次函数中的定值、比值问题 题型十、二次函数中的新定义 题型十一、二次函数中的参数不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 二次函数与x、y轴的交点问题 1. 与y轴交点坐标为(0,c)，可直接代入x=0求得；2. 与x轴交点横坐标对应令y=0时一元二次方程的根，通过判别式Δ=b²-4ac判断交点个数：Δ>0有2个交点，Δ=0有1个交点，Δ<0无交点 忽略二次项系数不为0的前提条件，代入计算时符号出错，将“唯一交点”直接等同于Δ=0，未验证函数是否真的是二次函数 根据图象确定方程根的情况 1. 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根；2. 平移图象后与水平线的交点数量对应变形方程的根的个数 混淆图象平移方向与方程变形的对应关系，误将图象上点的坐标符号判断错误，导致根的正负性、数量判断失误 图象法确定一元二次方程的近似根 1. 通过观察二次函数图象与x轴交点两侧的函数值异号的区间，逐步缩小区间范围得到近似根；2. 优先选取整数点、半整数点进行试值比对，逼近真实根的数值 区间选取范围过大，未遵循“异号缩域”原则，随意四舍五入导致近似根精度偏差，忽略两个根分别对应的独立区间 利用图象解一元二次不等式 1. 根据二次函数开口方向、与x轴交点位置，判断图象在x轴上方/下方对应的x取值范围，对应不等式>0或<0的解集；2. 含等号的不等式需将交点横坐标纳入解集 忽略二次项系数的正负对开口方向的影响，搞反解集区间，未标注解集的集合形式，漏掉“≥”“≤”包含交点的情况 二次函数中的增减性最值 1. 二次函数增减性以对称轴x=为分界，a>0时左减右增，a<0时左增右减；2. 限定区间内需结合对称轴与区间的位置关系，判断最值取在顶点还是区间端点 未区分全体实数域和限定区间的最值差异，直接默认最值在顶点处取得，增减性描述时遗漏“在对称轴左侧/右侧”的限定条件 二次函数中的几何最值 结合二次函数图象的几何特征，求解线段长度、三角形/四边形面积、周长等几何量的最值，通常将几何量转化为关于动点横坐标的二次函数表达式后求最值 几何关系转化为代数表达式时计算出错，忽略动点的实际取值范围，得出不符合几何场景的最值结果 二次函数中的铅锤高最值 1. 铅锤高指同一横坐标下，上下两条函数图象对应点的纵坐标差值；2. 以铅锤高为基础的三角形面积可表示为1/2×水平宽×铅锤高，转化后的二次函数可求铅锤高及对应面积的最大值 混淆铅锤高的上下对应函数，差值计算时符号搞反，记错面积公式漏乘1/2，忽略动点的定义域限制 二次函数中的等角、倍角问题 结合二次函数图象上的点构造等角、倍角关系，利用相似三角形、三角函数定义、对称性质建立等量关系，联立二次函数解析式求解点坐标 遗漏多解情况，忽略点在图象不同位置时的多种角度构造可能，角度等量关系转化为代数表达式时出现逻辑漏洞 二次函数中的定值、比值问题 在二次函数图象的动点运动过程中，证明某一线段长度、代数式运算结果为固定值，或两条线段的比值为固定常数，通过消元化简消去动点变量得到定值 变量替换过程中化简不彻底，误将随动点变化的量判定为定值，未验证特殊位置下定值、比值是否仍然成立 二次函数中的新定义 结合二次函数图象性质，理解题目给出的全新自定义概念（如伴随点、相关抛物线等），匹配二次函数的核心性质进行推理计算 未准确吃透新定义的限定条件，直接套用固有二次函数性质解题，忽略新定义设置的特殊约束要求 二次函数中的参数不等式 已知二次函数的图象特征或取值范围，反向推导解析式中参数的取值范围，结合对称轴位置、判别式、端点函数值符号建立不等式组求解 遗漏参数a≠0的前提约束，多个不等式联立求解范围时出现交集运算错误，忽略参数取值对函数开口方向的反向影响 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与x、y轴的交点问题 典例1抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 变式1-1抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 变式1-2已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【答案】0或 【分析】当时，原函数为一次函数，与x轴，y轴各有一个交点，符合题意；当时，原函数是二次函数，由于该函数与y轴交于点，那么与x轴只有一个交点，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：当时，，此时函数为一次函数， 当时，，解得，故此时函数与x轴有一个交点， 当时，，此时函数与y轴有一个交点， ∴此时原函数与坐标轴有两个交点，符合题意； 当时，原函数是二次函数， 当时，，即该函数与y轴交于点 ∵二次函数与y轴必然有一个交点， ∴当函数的图象与坐标轴有两个交点时该函数与x轴只有一个交点， ∴， 解得； 综上所述，k的值为0或． 变式1-3已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【分析】求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数和一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，． 类型二、根据图象确定方程根的情况 典例2 已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 变式2-1二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 变式2-2的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 【答案】 ， 【分析】根据表格中值相等的对应点确定二次函数对称轴，再利用二次函数对称性得到对应的另一个自变量的值，即可得到方程的解． 【详解】解：由表可知和的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，，满足方程， ∴根据二次函数对称性，另一个满足的点的横坐标为， ∴方程的解是，． 变式2-3已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标确定对称轴，利用抛物线的对称性可知两根关于对称轴对称，即两根之和的一半等于对称轴的横坐标，代入已知根求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于的一元二次方程的两个根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、图象法确定一元二次方程的近似根 典例3 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（     ） A．和2之间 B．2和之间 C．和3之间 D．3和之间 【答案】C 【分析】根据方程的解对应二次函数的自变量，然后查看表格，再找到函数值正负发生转变的两组，最后判断出一元二次方程近似解的取值区间． 【详解】解：一元二次方程的解对应函数中时的值． ∵当时，， 当时，， 当时，对应的x的值在和3之间， 即方程的一个近似解在和之间． 变式3-1下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程即求代数式的值为15时的值． 当时，； 当时，． 该方程的一个正根满足． 变式3-2数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 变式3-3小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 题型四、利用图象解一元二次不等式 典例4 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 变式4-1如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 变式4-2如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 变式4-3如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 题型五、二次函数中的增减性最值 典例5 已知二次函数（为常数）在自变量的值取的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数顶点的函数值为小于给定最小值，可知对称轴不在区间内，分两种情况讨论求解． 【详解】解：二次函数开口向上，当时，取得最小值， ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， ①当时，在内，随的增大而增大， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 变式5-1二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可知当时函数有最小值；分别求出当和时的函数值，通过比较求出最大值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向上， 整理可得：， 当时函数有最小值； 当时，可得：， 当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 变式5-2已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论：①若，②若，③若，利用二次函数的增减性确定出函数值取最小值时对应的的值，代入解析式即可解决问题． 【详解】解：二次函数（为常数）对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ①若，时，函数值的最小值为， 则， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，时，函数值有最小值为， 则， 解得； ③若，时，函数值的最小值为， 则，无解； 的值为或． 变式5-3已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：对于二次函数， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 函数的最大值与最小值的和为， ，解得， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 此时最大值与最小值的和为， 符合题意； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 函数的最大值与最小值的和为， ，解得或， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为：． 题型六、二次函数中的几何最值 典例6 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】求解，过P向作垂线，则，结合可得答案. 【详解】解：， ∵，点M的坐标为， ∴， 过P向作垂线，则， ， 当点共线时，， ∴的最小值为． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，直线l与两坐标轴分别交于、两点，若抛物线（其中b，c是常数）的顶点D是线段上一点，则c的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （b，c是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把,代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （b，c是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，c取最小值． 变式6-3如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A与点D关于y轴对称，连接，点E，F分别是线段，上的动点，且，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将线段绕点D顺时针旋转到，使得旋转角，连接，证明，得到，根据，得到当A，F，H三点共线时，取得最小值，且最小值为，此时也就取得最小值，且最小值为，利用勾股定理解得即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ， 设， ∴， 解得， ∴， ∵点A与点D关于y轴对称， ∴， 连接，根据对称性质，得，， 将线段绕点D顺时针旋转到，使得旋转角， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴当A，F，H三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时也就取得最小值，且最小值为， ∵，， ∴， ∴． 题型七、二次函数中的铅锤高最值 典例7 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于、两点，与轴相交于，，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． (3)若点在抛物线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据，可求；再依据对称轴是直线，点的坐标为，可求、，即可求得抛物线解析式． （2）求出直线解析式，设点， 则点， 根据二次函数的最值求法，可求的最大值． （3）可求的面积，设， 则， 根据的面积是的面积的倍，列方程即可求点坐标． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵对称轴是直线，点的坐标为， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将点代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点， 则点， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． （3）解：∵，关于对称轴直线对称， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， ∵的面积是的面积的倍， ∴，解得， 当时，即，解得， ∴，； 当时，即，解得或， ∴，； 综上，点的坐标为，，，． 变式7-1如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）本题考查二次函数的性质，解题的关键在于求解抛物线与坐标轴的交点坐标． （2）本题考查二次函数的性质以及二次函数最值问题，解题的关键在于通过求解抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再利用二次函数的性质来求解线段长度的最大值． 【详解】（1）解：令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， ， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 变式7-2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式 ； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． 【答案】(1) (2)8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，构造方程组解答即可； （2）设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为，则，且，则， 则， ， 求得当，取得最大值，且最大值为4，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分两种情况，利用待定系数法，解方程组的思想，求得交点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为， 则，且， 则， 则， ∵为等腰直角三角形， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当，取得最大值，且最大值为4， 设面积为， ， ∴． （3）解：，， ， ， 取点， 是线段的垂直平分线， 连接， ． ， ． 过点作交抛物线于点． ．   ， 设直线解析式为， ， ， 解得， ∴直线表达式为． ，且 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 取的中点K，作直线，交于R， ， ， 是线段的垂直平分线， 作直线交抛物线于点Q， ， ， ． ， 根据题意，得 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线表达式为． ∴， 解得， ． 设直线解析式为， ∴， 解得 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 综上所述，存在点，使得，且的坐标为或． 变式7-3如图，抛物线过点，点，交轴于点． (1)求b，c的值； (2)求直线的解析式； (3)点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，的值取最大，最大值为 【分析】（1）把、两点的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求、； （2）由（1）求出点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （3）过点作轴的垂线交于点，以为底、点与点到直线的距离之和为高表示的面积，配方求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴ 解得，． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为． （3）解：设点，其中， 过点作轴的垂线，交线段于点， 则， ∴． ∵为水平线段，点、到直线的距离之和为， ∴ ． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为． 题型八、二次函数中的等角、倍角问题 典例8 如图1，已知抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为抛物线对称轴上的两个动点且满足（在的下方），连接、，当最大时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，在上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，再根据待定系数法解答即可． （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，则，表示出，则，得出当时，取得最大值，取得最大值，此时，将沿着方向向上平移一个单位后得到，连接，证明四边形是平行四边形，则，故，求出，即可解答； （3）先求出新抛物线的解析式，①作直线关于轴的对称直线，则，过点作直线的平行线，则，即，点符合题意； 求出直线的解析式，与联立即可求解；②作直线的中垂线，交于点，交轴于点，交直线于点，连接并延长交抛物线于点，连接，则，得出，结合，得出，点符合题意；求出直线的解析式，与直线：联立求出，求出直线的解析式，与联立即可求解； 【详解】（1）解：设，则，， ， 解得：（负值舍去）， ， 将和代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ， ∴取得最大值时，取得最大值， ∴当时，取得最大值， 此时， 将向上平移一个单位后得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为，的最小值为6； （3）解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， 则新抛物线：， ①作直线关于轴的对称直线， 则， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线， 则，即，点符合题意； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和得，， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； ②作直线的中垂线，交于点，交轴于点，交直线于点，连接并延长交抛物线于点，连接， 则，， ∴， 又∵， ∴，点符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 与直线：联立得，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立和得，， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 变式8-1如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点E作y轴的平行线交于点S，求出直线的表达式为；设，则，求出的最大值；根据，可推出当有最大值时，有最大值，据此可得答案；②求出的面积，可推出当点M在直线上方时，不满足的面积与的面积相等；当点M在直线下方时，则，故直线的解析式为，据此求解即可； （3）取点，连接，可证明，推出，则B、P、G三点共线；求出直线的表达式为，再联立函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图所示，过点E作y轴的平行线交于点S， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， 由（2）①可知当点M在直线上方时，的最大值为，此时不满足的面积与的面积相等； 当点M在直线下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）解：在中， 当时，， ∴； 如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴，轴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、P、G三点共线； 同理可得直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为． 变式8-2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)，取得最大值 (3)或 【分析】（1）把点和点代入计算即可； （2）先求出，得到，根据平行得到，设，过作于，即可得到，最后根据求出取最大值，此时；取点，连接，，，则垂直平分，得到，根据当，，三点共线时，取得最大值，； （3）先求出平移后的解析式，进而求出新抛物线与原抛物线交于点，过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，则，结合，得到当点在下方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点即可；证明，得到，同理得到当点在上方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点． 【详解】（1）解：把点和点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵过点P作，交于点D， ∴， ∵P为线段上方抛物线上的一动点， ∴设，， 过作于， ∴， ∴，，， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时，即； 取点，连接，，，则， ∴，即垂直平分， ∴， ∵中，即， ∴当，，三点共线时，取得最大值，； （3）解：将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，则新抛物线解析式为， 联立，解得， ∴新抛物线与原抛物线交于点， 过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 当时，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在下方时，在射线上， 设直线解析式为，代入和得，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∵， ∴此时； ∵， ∴当时，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在上方时，在射线上， 同理求出直线解析式为，与联立得到； 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为或． 变式8-3如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 如图1，当点P在x轴的下方时， ∵，且点A，B关于直线对称， ∴点C和点P也关于直线对称， ∴点P的坐标为； 如图2，当点P在x轴的上方时， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【分析】（1）求出点C的坐标，再根据，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设点，则点，可得，，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为； （3）略 题型九、二次函数中的定值、比值问题 典例9 如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 【答案】(1) (2)①面积最大值为，点横坐标为​；②长度不变，定值为 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）①由（1）得抛物线解析式，联立直线与得：，求出点，设点横坐标为，则，过作轴交于E，则，算出，则，即可求出面积的最大值． ②原抛物线配方得，根据题意可得沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后抛物线解析式为： ，联立与，整理得，设两根为，由根与系数的关系得：，则 ，，由勾股定理． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得：． （2）解：①由（1）得抛物线解析式， 联立直线与得：，整理得， 解得：，， ∴点， 设点横坐标为，则， 过作轴交于E， 则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大，最大面积， 故面积最大值为，点横坐标为​． ②原抛物线配方得， ∵， ∴沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线顶点为， ∴平移后抛物线解析式为： ， 联立与，整理得， 设两根为， 由根与系数关系得：， ∴ ， 又， ∴， 即长度不变，定值为． 变式9-1在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线解析式和点的坐标； (2)连接，，过点的直线交抛物线于另一点，当时，求点的坐标； (3)过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，为定值 【分析】（1）将点代入函数解析式求出m可得答案，再令求出点B坐标即可； （2）先求出点，再求出直线的解析式，然后根据当时，，接下来求出直线的解析式，最后将两个函数解析式联立可得答案； （3）先设点，再分别求出直线的解析式和直线的解析式，进而得出，然后表示出直线的解析式，与二次函数解析式联立，根据一元二次方程根与系数的关系得，最后代入整理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点； （2）解：令时，， ∴点 设过点的解析式为，得 解得， ∴直线的解析式为． 当时，， 设直线的解析式为，且经过点，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 将两个函数解析式联立，得， 解得， 则， ∴点； （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将点E的坐标代入，得， ∴． 当时，， ∴点，则； 设直线的解析式为， 将点F的坐标代入，得， ∴． 当时，， ∴点，则， ∴． 设直线的解析式为， 将两个函数解析式联立，得 ， 则， 即， ∴， ∴， 所以当时，为定值． 变式9-2综合与实践： 如图1，在中，，，．点D在射线上，点E在射线上，动点P从点B开始，以每秒1个单位的速度匀速运动，沿折线运动到点E时停止．以为边作正方形．设点P的运动时间为x秒，正方形的面积为y，探究y与x的关系． (1)填空：如图1，当点P由点B运动到点D时， ①当时，________； ②y关于x的函数解析式为________（不必写出自变量的取值范围） (2)如图2，当点P由点D运动到点E时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图3所示的图象段，请根据图象信息： ①求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； ②当正方形的面积最小时，直接写出的比值为________． 【答案】(1)①  ② (2)①，自变量的取值范围为；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）①当时，点与点重合，然后利用直角三角形的性质得，再由勾股定理求出，最后由面积公式即可求解；②由勾股定理求出，最后由面积公式即可求解； （2）①由图象可知，当点运动到点时，，则二次函数图象过点，由图象知顶点坐标为，再通过待定系数法即可求解； ②当时，正方形的面积最小，分别求出，，的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：①当时，点与点重合， 在中，，， ， ， ， 此时正方形的边长为，面积为：，即， 故答案为：； ②当点P由点B运动到点D时，每秒1个单位的速度匀速运动， ， ， ， ，即， 正方形的面积为， ， 故答案为：； （2）①由图象可知，当点运动到点时，， ， 解得：，（舍去）， 当点运动到点时，二次函数图象过点， 由图象知顶点坐标为， 设， 将点代入，得， 解得，， y关于x的函数解析式为，自变量的取值范围为； ②如图所示，当时，正方形的面积最小， 由， 当时，， ， 由上得，当点运动到点时，，则， ， 点运动到点时，， 即， 解得：（舍去），， ， ，， ，， ， 故答案为：． 变式9-3如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答； （2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答． （3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：若，，则一次函数为， 联立和得： ， 解得或， ，， 联立和得： ， 解得或， ，， ， ， ． （2）解：当时，一次函数为， 联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点B与A横坐标之差为1， ∴，，即， 整理得：， ∵， ∴． （3）解：联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 由（2）可得：， ∴， 整理得：， 由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则， 两边同时除以m得：， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤． 题型十、二次函数中的新定义 典例10 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． (1)下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①的坐标为；②个 (3) 【分析】（1）根据“单融创函数”的定义，建立其他函数与函数的方程，解方程即可得到答案； （2）①根据“单融创函数”的定义，联立函数与函数的解析式得到方程，根据有唯一解得到，进而得到点的坐标； ②根据二次函数的平移规律得到函数的解析式，联立函数与函数的解析式得到方程，解得封闭图形内的取值范围为，根据的整数解对应的整数解，取得所有封闭图形内的整点坐标，进而得到答案； （3）根据函数与函数其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点，得到函数的解析式为，进而得到函数与轴和轴的交点坐标，进而列出函数与轴，轴所围成的三角形面积的表达式，根据的取值范围进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①直线与直线不平行， 当时，解得：，故有唯一点； ②反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，解方程，即， 解得：，，故有两个不重合的公共点， 直线与反比例函数的图象有两个交点； ③二次函数图象开口向上，顶点是原点， 当时，解方程， 解得：， 二次函数与直线有一个交点， 与一次函数互为“单融创函数”的是①③； （2）解：①函数与函数互为“单融创函数”， 有唯一解，即方程有唯一解， ， 解得：， 原方程为， 解得：， 函数为：， ， 的坐标为； ②函数向下平移个单位得， 函数， 当时，即， 解得：， 即交点的横坐标约为， 当时，整数可以取， 当时，，整点可以取到、、，共个， 当时，，整点可以取到、、、，共个， 当时，，整点可以取到、、，共个， 总的整点数为个， 函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有，共个； （3）解：令抛物线中，则， 即该抛物线与轴的交点为，且其中一个公共点在轴上，则， ， 函数的顶点坐标为， 点在上， ，解得：， 函数的解析式为， 令函数中，则， 解得：， 即函数与轴的交点为，与轴的交点为， 函数与轴，轴所围成的三角形面积， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围为． 变式10-1定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 变式10-2问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【答案】(1)当k满足时，该函数图象上存在“不动点” (2)①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； （2）①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 变式10-3定义：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数 “减半函数”（填“是”或“不是”）； (2)求函数图象上的“减半点”； (3)若抛物线图象上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线的顶点为，点是其对称轴上点下方一点，过点作轴的平行线交此抛物线于，两点（在的左侧），求的值； ③将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，点（横坐标为）在抛物线上，其纵坐标的最大值为，最小值为，若对于任意，，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)①；②4；③的值为或 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①联立方程后，根据抛物线图象上存在唯一的“减半点”，得出，求得的值，再代入函数解析式即可解答； ②根据二次函数解析式得出对称轴为直线，顶点，设点坐标为，则点坐标为，从而得出，，即可求出； ③先求出抛物线的解析式为，分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在“减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：由题意设“减半点”坐标为， ， ， ， ， 函数图象上的“减半点”为或． （3）解：①∵抛物线：图象上存在“减半点”，设“减半点”坐标为， ， ， ∵存在唯一“减半点”， ， ∴． ∴抛物线的解析式为； ②， ∴对称轴为直线，顶点， 设点坐标为， 则点坐标为， ∴， ， ∴； ③∵将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当，即时，，解得：； 当，即时，， 解得：（不符舍去）； 或，解得：（不符舍去）； 当，即时，， 解得：； 综上，的值为或． 题型十一、二次函数中的参数不等式 典例11 已知二次函数． (1)函数图像过原点，求此时的顶点坐标； (2)无论a为何值，函数图像恒过定点，求此定点坐标； (3)当时，对于每一个x的值，始终成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）由函数图像过原点，可得，则，代入函数解析式即可求解； （2）整理二次函数解析式为，根据无论a为何值，函数图像恒过定点，可得，即可求解； （3）由，可得，令，可得函数对称轴是直线，再分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图像过原点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次函数， ∵无论a为何值，函数图像恒过定点， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴定点为，． （3）解：∵， ∴，即， 令， 当时， ∵的对称轴是直线，开口向上， ∴在范围，随增大而增大，又恒成立， ∴时，， ∴， ∴； 当时， ∵的对称轴是直线，开口向下， ∴在范围，随增大而减小，又恒成立， ∴时，， ∴， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 变式11-1在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较，的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； (3)若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： 当时，抛物线， 将代入得，， 将代入得，， ∴； (2) (3) 【分析】（1）当时，，然后分别将，代入求解比较即可； （2）首先根据判别式得到或，设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得到，，然后表示出，根据长度大于4求解即可； （3）令整理得到，设，求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据题意得到与轴没有交点，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴或， 当时，， 设，两点的横坐标分别为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵长度大于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵或， ∴． （3）解：令得，， 整理得，， 设， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，总满足， ∴与轴没有交点， ∴， ∴． 变式11-2在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【详解】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 变式11-3如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．抛物线与轴只有一个公共点，则的值是（     ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】抛物线与轴仅有一个交点，则一元二次方程判别式，代入系数列方程求出的值． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得． 2．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可得二次项系数不为及判别式大于，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴的取值范围是且． 3．二次函数与轴交于、两点，且，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系和等式变形处理得到，由此求得的值，注意． 【详解】解：∵二次函数与轴交于、两点， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或， 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴只有一个交点，不符合题意，舍去； 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴有两个交点，符合题意； ∴． 4．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】将恒成立的问题转化为两点到对称轴的距离关系，按抛物线开口方向分类讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点，，且为抛物线， ∴，对称轴为直线． ∵，， ∴两点到对称轴的距离分别为，． 当时，抛物线开口向上， ∵恒成立， ∴，即， ∵， ∴，解得． 当时，抛物线开口向下， ∵恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴． 综上，的取值范围为或． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号及关系；由对称轴求出，把代入解析式得，得，求出；由抛物线与轴交点在和之间（不包括这两点），得出，由可得结论；由得，最小值为，由无解得；由对称性得抛物线与轴的另一交点为，得方程的解为，对于方程，令，可求的值． 【详解】解：∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴a、b异号，， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴； 把代入解析式得， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴交点在和之间（不包括这两点）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵是抛物线的对称轴，且开口向上， ∴函数的最小值是， ∵无解， ∴，故④正确； 由对称性得抛物线与轴的另一交点为， ∴方程的解为， 对于方程，令，则， ∴，， ∴ 解得，或，故⑤错误． 综上，正确的结论是①④，共2个． 6．抛物线顶点在x轴上，则____________ 【答案】 【分析】抛物线顶点在轴上，说明顶点纵坐标为，通过配方整理抛物线解析式即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线顶点的纵坐标为，对抛物线配方得：， 顶点纵坐标为， ， ． 7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则________. 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度， 得到新抛物线的解析式为， 令，可得：， 解得：或， 两个交点，都在轴上， ． 8．已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 或 或 【分析】(1) 将代入二次函数解析式求解一元二次方程即可得到的值； (2) 根据与二次函数的交点横坐标，要求交点落在区间内，分两种情况解不等式得到的取值范围． 【详解】解：(1) 把代入，得， 整理得， 因式分解得， 解得或； (2) 由(1)得，二次函数与直线的交点横坐标为和， ∵当时，二次函数对应图象与直线有公共点， ∴至少有一个交点的横坐标落在内，分两种情况讨论： 情况1： 解不等式得. 情况2： 解不等式得. 综上，的取值范围是或． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移个单位，当平移后的抛物线与线段只有一个交点时，则t的范围是________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∵抛物线沿y轴平移个单位，平移后的抛物线与线段只有一个交点， ∴抛物线向下平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， 当时，， ∴平移后的抛物线与y轴的交点坐标为， ∵当平移后的抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上时，平移后的抛物线与线段只有一个交点， ∴， 解得， ∵当平移后的抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与线段只有一个交点， ∴， 解得， ∴t的取值范围为或． 10．抛物线（a，c为常数，，）经过点．下列五个结论： ①； ②； ③，两点在抛物线上，若，则； ④，其中m为任意实数； ⑤若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5． 其中正确的是_________．（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用待定系数法，抛物线与x轴的交点的性质，二次函数的图象与性质对每个结论进行逐一判断，即可得出结论． 【详解】解：把代入解析式可得， ， ， ， ，故①正确； 对称轴为直线， 所以抛物线经过点， 当时，， 即，故②正确； 根据二次函数的性质可得，当时，，故③错误； ， 当时，函数取最大值为， ， ，故④正确； 整理，可得， 抛物线经过点， 关于的一元二次方程的两根分别为，，故⑤正确． 11．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图象过点A、C两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； (3)结合图象，直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标为； （3）解：观察图象可知， 当或时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，即． 12．如图，已知抛物线经过，两点． (1)抛物线的对称轴为：________． (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为，直接写出的值． 【答案】(1)直线 (2)证明：联立直线与抛物线解析式可得：， ， ， 方程无实根，即直线与该抛物线没有交点； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步可得答案； （2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案； （3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）略 （3）解：点纵坐标的取值范围为， 当时，， 解得：，， 得点，， 当时，， 解得：，， 得点，， 如图， ， ，， ， 如图，， ，， ， 综上所述：或． 13．小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)①；② (3)， (4)或 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）利用图象求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 即自变量x的取值范围是； （2）解：①当时，； ②略 （3）解：如图， 由图可知：方程的根为，； （4）解：当时， 联立方程组， 整理得， ∴， 当时，方程存在正实根，不符合题意； 当时，方程无正实根，符合题意 解得， ∴； 当时，如图， 此时一次函数（）的图象与函数的图象无交点，故符合题意， ∴， 综上，或. 14．已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k，， ，是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． (3) 【分析】（1）由可得抛物线经过点，进而得出不会经过点，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，可得，是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得，，进而即可求解； （3）将代入得，根据抛物线的对称轴公式得出，整理得，结合，可得，，代入，可得，求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 抛物线经过点， 抛物线不会经过点， 抛物线经过的两个点分别是：，， 将，代入，结合， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：将代入，得， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 二次项系数， 时，的值最小，最小值为：， 满足， 的最小值为． 15．定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题： (1)求出二次函数的旋转函数的顶点坐标； (2)若二次函数与互为“旋转函数”，直线l与函数，的图象都只有一个公共点，求的值以及直线l的解析式； (3)在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A，点B在上，且，与关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过、O、与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)，直线l的解析式为或 (3)证明：如图，当在第一象限时，过作轴于， ∵点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵与关于原点对称， ∴，， 设经过A、O、B三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， 设经过、O、三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， ∴满足， ∴分别经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 当在第四象限时，过作轴于， 同理可得，，，， 设经过A、O、B三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， 设经过、O、三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， ∴满足， ∴分别经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 综上所述， ∴经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义得到函数的“旋转函数”为，再求顶点坐标即可； （2）根据“旋转函数”的定义列方程解得，即可得到，，，再根据直线l与函数，的图象都只有一个公共点，联立得到的一元二次方程都有两个相等的实数根，根据列方程求解即可； （3）先求出和的坐标，再根据对称求出和的坐标，最后分别求出函数解析式，根据系数判断即可，注意根据在第一象限或第四象限分情况讨论． 【详解】（1）解：由二次函数可知，， ∵由“旋转函数”可得， ∴， ∴函数的“旋转函数”为； ∴顶点坐标为； （2）解：∵与互为“旋转函数”， ∴， 解得：， ∴，，， 设直线l的解析式为， ∵直线l与函数，的图象都只有一个公共点， ∴与都有两个相等的实数根， 整理得与都有两个相等的实数根， ∴， 解得或， ∴直线l的解析式为或； （3）略 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $