期中真题重组卷（北京专用，新教材北京版九上第18～19章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D D C C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9． 10． 11．（答案不唯一） 12．或 13． 14．/ 15． 16．8 三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【详解】（1）解：设， ∴， ∴；（2分） （2）设， ∴， ∴，解得； ∴．（5分） 18．（5分） 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 （1分） ∴ 这个二次函数的解析式为；（3分） （2）解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ （4分） ∴点不在抛物线上．（5分） 19．（5分） 【详解】（1）解：设， 当时，， ， ， ．（2分） （2）解：当时，；（3分） （3）解：当时，， ， 经检验，是所列方程的根．（5分） 20．（6分） 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系；（2分） （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为；（4分） （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为．（6分） 21．（5分） 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ；（3分） （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或．（5分） 22．（6分） 【详解】（1）当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为；（2分） （2）解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为，（4分） ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0．（6分） 23．（5分） 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， 米， ，， ， ，（2分） 米，米，米， ， 米，（4分） 在中，米， 米，（5分） 答：音乐厅的高度为米． 24．（6分） 【详解】（1）解： 由题意得，运动秒后：，． ∵矩形中，， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形．（2分） 若要平行四边形为菱形，需要满足邻边相等，即． 在中，由勾股定理得：， 又， 列方程： 两边平方后化简得：， 解得，经检验：是方程的解，且符合题意．（3分） (2)不存在这样的时刻t，理由： 假设存在时刻满足， 过作于，则， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴．（5分） 其中，，， 代入得， 整理得一元二次方程． ∴， ∴该方程无实数根， ∴不存在这样的时刻，使得．（6分） 25．（5分） 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴；（2分） （2）解：由（1）可得 ∴ ∵共以为底边上的高， ∴ ∴ ∴．（5分） 26．（6分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴；（2分） （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴；（4分） （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积．（6分） 27．（7分） 【详解】（1）设日销售量与时间之间的函数关系式为， 根据题意，当时，；当时，， 有方程组：， 解得， ；（2分） （2）售价，成本为元/盏， 每盏利润， 当时，日销售量（盏）， 每盏利润（元）， 日销售利润 （元）； 答：第8天的日销售利润为元．（4分） （3）设日销售利润为元， 则， 化简得：，（5分） ， 有最大值， 当时，最大，（6分） 最大利润（元）； 答：第10天日销售利润最大，最大日销售利润是元．（7分） 28．（7分） 【详解】(1)证明：， 无论a为何值，当时，总有， 无论a取何值，该抛物线经过定点M，定点M的坐标为．（2分） （2）解：由题意，得抛物线的对称轴是直线． 分以下3种情况进行讨论： ①若，当时，y随x的增大而增大， 此时二次函数在处取得最大值为1，符合题意．（3分） ②若，当时，y随x的增大先减小再增大， 二次函数的最大值为1，且时，总有， 当时，，即． 解得． ．（4分） ③若，当时，y随x的增大而减小， 此时二次函数的最大值为时，， 令，解得，与矛盾，故此种情况不成立；（5分） 综上所述，a的取值范围为； （3）解：由（2）可知抛物线对称轴为直线． 当时，的最大值在处取得． 要使得任意，，都有， 则或， 即或． 解得或． a的取值范围为或．（7分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~19章。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线为顶点式， ∴顶点坐标为． 2．（26-27九年级上·海南·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵与的相似比为2， ∴与的面积比为． 3．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解： 的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 4．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 7．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】设，则，，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应线段的长，再计算①②③中矩形的宽与长的比值，④中线段的比值即可解答． 【详解】解：①设，则，， 在矩形中，，故矩形不是黄金矩形，故①错误． 在中，，， ． ． ． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故②正确． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故③正确． ，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 10．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，图象在第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可得到的范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， 比例系数， 解得． 11．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 12．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图像即可得出结论． 【详解】解：抛物线的部分图像如图所示， 抛物线与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， 抛物线与x轴另一交点的坐标是， 当时，或． 13．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 14．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 15．（26-27八年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①0；②；③；④，正确的结论是______填序号）． 【答案】 【分析】对于①，根据图象判断、、的符号即可；对于②，由对称性可知二次函数的图象与轴的交点为与，则；对于③，由对称轴为即可判断；对于④，将与都用表示，结合的符号进行判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵二次函数的图象交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， ∵二次函数的图象交轴于点， ∴由二次函数的对称性可知，另一个交点为， ∴，故②错误， ∵，且， ∴，即， ∴， 综上，正确的结论为③④． 16．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． 【答案】8 【分析】过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，分别写出直线、直线、直线的解析式，将它们分别与联立，求得点，，的坐标，从而可得，，，发现规律后，按照规律即可求得的斜边长． 【详解】解：如图所示，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，， ，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ， 所在直线的解析式为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 由上面，，，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加， ∴的斜边长为． 三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值： （1）设，易得，结合题意进行求解即可； （2）结合，利用设参数法进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴，解得； ∴． 18．（5分）（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，代入已知点坐标求解参数； （2）代入点的横坐标计算函数值，与点的纵坐标对比判断． 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； （2）略 19．（5分）（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知与成反比例，并且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由与成反比例，设，把时，代入求值即可； （2）把代入函数解析式求y的值； （3）把代入函数解析式，解方程求x的值． 【详解】（1）解：设， 当时，， ， ， ． （2）解：当时，； （3）解：当时，， ， 经检验，是所列方程的根． 20．（6分）（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 21．（5分）（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或． 22．（6分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入，将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； 【详解】（1）当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0． 23．（5分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 【答案】米 【分析】由题意可知，四边形是矩形，米，可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据可以求出音乐厅的高度． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， 米， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， 在中，米， 米， 答：音乐厅的高度为米． 24．（6分）（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是菱形？ (2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)· (2)不存在这样的时刻t，理由： 假设存在时刻满足， 过作于，则， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴． 其中，，， 代入得， 整理得一元二次方程． ∴， ∴该方程无实数根， ∴不存在这样的时刻，使得． 【分析】先用含的代数式表示出线段、、、的长度，因为且，所以四边形是平行四边形． （1）如果菱形的邻边相等，那么，结合勾股定理列出关于的方程求解． （2）如果，那么，过点作的垂线，构造直角三角形，证明，得．代入，，，得，得一元二次方程． 判别式，无实数根，即得结论． 【详解】（1）解： 由题意得，运动秒后：，． ∵矩形中，， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 若要平行四边形为菱形，需要满足邻边相等，即． 在中，由勾股定理得：， 又， 列方程： 两边平方后化简得：， 解得，经检验：是方程的解，且符合题意． （2）略 25．（5分）（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． (1)若，求线段的长； (2)若的面积是36，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行可得，再由相似三角形的性质求解即可； （2）利用共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：由（1）可得 ∴ ∵共以为底边上的高， ∴ ∴ ∴． 26．（6分）（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)9 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 27．（7分）（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第10天日销售利润最大，最大日销售利润是450元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，涉及函数关系式的求解、特定值的计算以及最值问题。解题关键是根据题意建立函数模型，并利用初中数学知识求解． （1）设日销售量与时间之间的函数关系式为，当时，；当时，，代入求出，即可； （2）根据日销售利润日销售量(售价成本)计算即可得解； （3）设日销售利润为元，得到，求最值计算即可； 【详解】（1）设日销售量与时间之间的函数关系式为， 根据题意，当时，；当时，， 有方程组：， 解得， ； （2）售价，成本为元/盏， 每盏利润， 当时，日销售量（盏）， 每盏利润（元）， 日销售利润 （元）； 答：第8天的日销售利润为元． （3）设日销售利润为元， 则， 化简得：， ， 有最大值， 当时，最大， 最大利润（元）； 答：第10天日销售利润最大，最大日销售利润是元． 28．（7分）（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题背景】 已知抛物线过点，，其中点的坐标为，点的坐标为． 【构建联系】 (1)求证：无论取何值，该抛物线恒过定点，并求出定点的坐标； (2)当时，二次函数的最大值为，求的取值范围； 【深入探究】 (3)当，时，若对于任意，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 无论a为何值，当时，总有， 无论a取何值，该抛物线经过定点M，定点M的坐标为． (2) (3)或 【分析】（1）将解析式变形为，即可求解． （2）分以下3种情况进行讨论：若，当时，y随x的增大而增大．②若，当时，y随x的增大先减小再增大．③若，当时，y随x的增大而减小．进而求得的取值范围； （3）由（2）可知抛物线对称轴为直线．当时，的最大值在处取得．根据题意得出或，进而求得的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得抛物线的对称轴是直线． 分以下3种情况进行讨论： ①若，当时，y随x的增大而增大， 此时二次函数在处取得最大值为1，符合题意． ②若，当时，y随x的增大先减小再增大， 二次函数的最大值为1，且时，总有， 当时，，即． 解得． ． ③若，当时，y随x的增大而减小， 此时二次函数的最大值为时，， 令，解得，与矛盾，故此种情况不成立； 综上所述，a的取值范围为； （3）解：由（2）可知抛物线对称轴为直线． 当时，的最大值在处取得． 要使得任意，，都有， 则或， 即或． 解得或． a的取值范围为或． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~19章。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·海南·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 4．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 7．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 10．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 11．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 12．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 13．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 14．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 15．（26-27八年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①0；②；③；④，正确的结论是______填序号）． 16．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． 三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求a，b，c的值． 18．（5分）（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 19．（5分）（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知与成反比例，并且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 20．（6分）（2026·广东广州·中考真题）生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 21．（5分）（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 22．（6分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 23．（5分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 24．（6分）（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是菱形？ (2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 25．（5分）（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． (1)若，求线段的长； (2)若的面积是36，求的面积． 26．（6分）（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 27．（7分）（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 28．（7分）（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题背景】 已知抛物线过点，，其中点的坐标为，点的坐标为． 【构建联系】 (1)求证：无论取何值，该抛物线恒过定点，并求出定点的坐标； (2)当时，二次函数的最大值为，求的取值范围； 【深入探究】 (3)当，时，若对于任意，，都有，求的取值范围． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $