专题06 反比例函数22大题型66题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题06 反比例函数（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（26-27九年级上·北京东城·期中）反比例函数中，比例系数_______． 2．（26-27九年级上·北京·期中）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 8．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 9．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·期中）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 11．（25-26九年级上·全国·期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 12．（25-26九年级上·全国·期中）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（2025九年级上·北京·专题练习）已知反比例函数的图像经过点，求这个反比例函数的解析式． 14．（26-27九年级上·北京·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 15．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 17．（25-26八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 18．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 20．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为______． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则___________． 23．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 24．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 26．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为___________． 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（2026·安徽宿州·二模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 29．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 30．（24-25九年级上·北京·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 32．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 33．（25-26九年级上·北京·期中）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围． 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·北京·期中）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 35．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 36．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 38．（2024·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 39．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（25-26九年级下·重庆开州·期中）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 41．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 44．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 45．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求、的值； (2)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 47．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 50．（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 51．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，． 给出下面四个结论： ①一定为锐角三角形； ②； ③当的面积为时，的值可能是； ④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 53．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 54．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（2026·北京密云·一模）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 56．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为__________． 57．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为_____． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，点的横坐标为是反比例函数图像上的一点，轴交反比例函数于点． （1）求出的值； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出，若不存在说明理由； （4）以为边长，在的下方作正方形，判断边与反比例函数图像是否有交点，若有求出交点坐标，若没有请说明理由． 59．（2026·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D， (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F， ①请求出点F的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    60．（25-26八年级下·北京·期中）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M，N两点，过点M作轴于点C，且，过点N作轴于点D，且，已知点P是x轴（除原点O外）上一点． (1)直接写出点M、N的坐标及k的值； (2)将线段绕点P按逆时针旋转得到线段，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点Q的坐标；如果不能，请说明理由； (3)当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③ 62．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点都在反比例函数（）的图象上，且．给出下面四个结论：①若A、O、B三点共线，则；②若，则A、O、B三点共线；③线段长度的最小值是；④当、、构成三角形时，三角形不可能是直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 63．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 65．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 66．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（26-27九年级上·北京东城·期中）反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 2．（26-27九年级上·北京·期中）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 8．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 9．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·期中）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 11．（25-26九年级上·全国·期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 12．（25-26九年级上·全国·期中）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 解： 1 2 4 2 1 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】略 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（2025九年级上·北京·专题练习）已知反比例函数的图像经过点，求这个反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式． 把代入，可得，即可得反比例函数的解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得． ∴这个反比例函数的解析式为． 14．（26-27九年级上·北京·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)该反比例函数的解析式为． (2)的取值范围是． 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可． （2）当时，求出x的值，再结合反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则， 解得， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：当时，则， 解得． ∵， ∴反比例函数在第二、四象限，且在各自的象限内y随着x的增大而增大． ∴当时，． 15．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键． （1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解； （2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而减小，可知，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：4． （2）解：在函数图象的每一分支上，随的增大而减小， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质． （1）设点P的坐标为，由点P在正比例函数的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得； （2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故，求出k的取值范围即可； （3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以与点在该函数的第二象限的图象上，且，故可知． 【详解】（1）解：由题意，设点P的坐标为， ∵点P在正比例函数的图象上， ∴，即． ∴点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴，解得． （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵与点在该函数的第二象限的图象上，且， ∴ 故答案为： 18．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由： 当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）略； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 20．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、三角形面积公式，熟练掌握利用坐标求线段长度及反比例函数解析式的求法是解题的关键．先根据平行于轴确定点的横坐标，再结合三角形面积公式求出点的纵坐标，最后代入反比例函数解析式求的值． 【详解】解：∵ 轴，点， ∴ 点的横坐标为3，设， ∵ 的面积为3， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在第四象限（结合图象）， ∴ ，即 ∴ ， ∵ 点在上， ∴ ， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，则可证明，那么，即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 反比例函数的一般形式为（），且图象在第一、第三象限时，进而作答即可． 【详解】解：由反比例函数的定义，指数， 解得或， 图象在第一、第三象限， 系数， 即， 故． 故答案为：． 23．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是利用反比例函数求出点坐标，再根据两函数图象的对称性确定点坐标． 先将点的横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，再依据反比例函数与正比例函数图象的对称性（关于原点对称）求出点坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵A、两点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：点和点均在反比例函数的图象上 由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上， ， 反比例函数图象在二、四象限，且随的增大而增大， ， ， ， 故答案为：． 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（2026·安徽宿州·二模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】一 【分析】先根据反比例函数图象所在象限判断出的符号，进而得到的取值范围，再根据一次函数的图象与性质判断一次函数不经过的象限. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得 ， ∴， 一次函数中，，，因此其图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 29．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，判断出，解不等式即可； （2）结合反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，从而得到和的大小关系． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得，； （2）解：结合反比例函数的图象可知，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 30．（24-25九年级上·北京·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； （3）解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据“反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大”可得，结合该反比例函数的图像经过点可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， 又∵该反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得． 故答案为：7． （2）解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 33．（25-26九年级上·北京·期中）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将点代入一次函数可得，即；再将代入反比例函数求解即可； （2）由反比例函数增减性可得随x的增大而减小，随x的增大而减小；则当时，，；当时，，；再根据题意可得；然后不等式组即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式． （2）解：如图：当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 当时，，； 当时，，； ∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值， ∴； ∴． ∵正比例函数， ∴， 综上所述，且． 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·北京·期中）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 35．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 36．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 【答案】B 【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数， 对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限， ∴，解得，A说法正确； 对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 当，即时，在内，y随x的增大而减小， ∵， ∴，题中的结论不成立，B说法错误； 对选项C：∵， ∴， ∵时，反比例函数y随x增大而减小， ∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确； 对选项D：∵，若，则说明时，时， 可得，即，D说法正确． 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 38．（2024·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，得到，推出，根据，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ， ， ， ， 的边在y轴上，点B为的中点， ， ， ∵反比例函数的图象经过点A和点B， ， ， ， ， ． 39．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数系数的几何含义，得到，，再结合等腰三角形三线合一的性质，推出，证明，得出，进而得到，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点A在双曲线上， ， ，轴， ， ， 点B在双曲线上， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（25-26九年级下·重庆开州·期中）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 41．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 42．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． 【答案】 【分析】由反比例函数中的几何意义，结合题中相关图形面积列方程求解即可． 【详解】解：由图可知，反比例函数中的， 反比例函数的图象与相交于点，与相交于点， ， 点的坐标为， ， ，即， ， ，解得． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 44．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 45．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． (1)求、的值； (2)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4，1 (2)①，理由如下： 当时，， 令，代入，， ， ， ， 令代入， ， ， ， ； ②或 【分析】（1）将点代入中即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值． （2）①当时，分别求出、两点的坐标即可求出与的关系； ②由题意可知：的坐标为，由于，从而可知，根据图象可求出的范围． 【详解】（1）解：将代入， ， ， 将代入， ； （2）解：①略； ②， 点在直线上， 过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点， 同①可得， ，， ， ∴， ， ∴， 或． 47．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 48．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 50．（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 51．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，． 给出下面四个结论： ①一定为锐角三角形； ②； ③当的面积为时，的值可能是； ④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】当，时，，，有可能是钝角三角形；利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式求出点、的坐标，可证，利用可证；根据三角形的面积公式可得，所以可得；根据与的面积相等可得，方程有解，所以与的面积可能相等． 【详解】解：当，时，，， ， 有可能是钝角三角形， 故①中结论错误； 设点的坐标为， 则，， ， 当时，可得， 点的坐标为， 当时，可得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 故②中结论正确； 由②可知直线的解析式为， 当时，可得， ， ， ， ， ， ， ， 故③中结论错误； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，，，， ， ， 若与的面积相等， 则有， 整理得：， ， 方程一定有解， 与的面积可能相等， 故④的结论正确； 结论正确的有②④． 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 53．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 54．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（2026·北京密云·一模）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 【答案】 【分析】作轴，作轴，先求出再说明，然后根据，则此题可解． 【详解】解：过点A作轴于点C，作轴于点D， ∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 56．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．如图，连接，过点作，垂足为，用含的代数式表示，的坐标，设，求出直线、的斜率，根据两条垂直的直线的斜率相乘，乘积为求出的值，证明，根据对应线段成比例列式求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 直线的斜率， 在上， 故可设坐标为， 直线的斜率， 与关于直线对称， ， ， 即， 解得， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得． 57．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为_____． 【答案】/ 【分析】作轴，轴，垂足分别为，，与交于点，首先求出的坐标，再证明为等腰直角三角形，进而得出，再证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出，然后设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，得出，解出即可得出点的坐标，再把点的坐标代入，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为，，与交于点， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，，   ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵点、在直线上， ∴设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、在反比例函数上， 又∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴点的坐标为， ∴， ∴k的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、解一元一次方程，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并正确作出辅助线． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，点的横坐标为是反比例函数图像上的一点，轴交反比例函数于点． （1）求出的值； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出，若不存在说明理由； （4）以为边长，在的下方作正方形，判断边与反比例函数图像是否有交点，若有求出交点坐标，若没有请说明理由． 【答案】（1）16；（2）；（3）不存在，理由见解析；（4）没有交点，理由见解析 【分析】（1）先求出点坐标代入解析式可求解； （2）由（1）得到反比例函数表达式，可得点M坐标，根据MN∥x轴得到点N坐标，结合点M坐标得到MN； （3）先求出点坐标代入解析式，可求的值，与题意相矛盾； （4）求出点A坐标，判断出点A在双曲线的上方，即可求解． 【详解】解：（1）一次函数的图象过点， ， 点， 反比例函数过点， ； （2）由（1）可知：反比例函数的解析式为， 点， 轴， 点，， ； （3）不存在， 理由如下：若是以为底的等腰三角形， 点在的垂直平分线上， 点， 点在直线上， ， ∴， ， 不合题意舍去， 不存在点，使是以为底的等腰三角形； （4）没有交点， 理由如下：四边形是正方形， ，， 点，， 当时，， ， ， 点在双曲线的上方， 与反比例函数图象没有交点． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 59．（2026·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D， (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F， ①请求出点F的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）① ；②存在，或 【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函数的表达式为y=，把B（3，n）代入y=即可得到结论； （2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y=-x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到结论； ②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2=m2+16，PF2=（4-m）2+（）2，FD2=16+（4-）2，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n）， ∴把A （1，3）代入y得，3， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为y， 把B（3，n）代入y得，n1； （2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4， 当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4， ∴点C （4，0），点D（0，4）， ∴OC＝OD＝4， ∴△COD是等腰直角三角形， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∵将△OCD沿直线AB翻折， ∴四边形OCED是正方形， ∴DE＝CE＝4， ∴E（4，4）， 把x＝4代入y中得，y， ∴F（4，）； ②存在， 理由：设点P（m，0）， ∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4）2， ∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形， ∴DP2+PF2＝FD2， 即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2，       解得：m＝1或m＝3， 故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，此时点P的坐标为 （1，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 60．（25-26八年级下·北京·期中）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M，N两点，过点M作轴于点C，且，过点N作轴于点D，且，已知点P是x轴（除原点O外）上一点． (1)直接写出点M、N的坐标及k的值； (2)将线段绕点P按逆时针旋转得到线段，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点Q的坐标；如果不能，请说明理由； (3)当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)存在，点S的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得M点的横坐标为1，代入一次函数计算可得纵坐标，进而可得M点的坐标，已知N点的纵坐标，代入一次函数可得N点的横坐标，进而可得N点的坐标； （2）设，构建一线三垂直模型得到Q点的坐标，再代入反比例函数，即可求得x，从而可得Q点的坐标; （3）根据P点的坐标，将四边形其余各点都表示出来，再代入反比例函数看是否有解，有解则说明此点存在，无解说明不存在，进而可得S点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， 将点代入得； （2）解：作轴于点， 若逆时针旋转，点Q在双曲线上， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则， ，即， ， ； （3）解：设， ∵，， 当为平行四边形的一条边时，则或（不在第一象限，舍去）， ∵点S在函数的图象上， ∴，解得， ∴点S的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，对角线的中点坐标为， ∴， ∵点S在函数的图象上， ∴，解得， ∴点S的坐标为； ∴存在，点S的坐标为或． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】设点坐标，结合、平行四边形性质求出、坐标，再逐个推导验证四个结论的正误，最后选出正确结论对应的选项． 【详解】解：设．∵，且 在 轴上， ∴点在的垂直平分线上， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ 点可以由 点向右平移得到，即． 对于①，先取得到点 ，再取得到点 ，再作 与平行且相等，得到点 ，此时为菱形，故①正确； 对于②，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，， ∴ 的中点横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴ 的中点不在上，即点 不可能是 的中点，故③错误； 对于④，设直线的解析式为，代入、， ∵ ， ∴ 解得， ∴ 直线的解析式为． 联立直线与反比例函数， ∵ ， ∴ 整理得， 解得，（不符合，舍去）， ∴ 点的坐标为． 当时，为直角三角形，由勾股定理得． ∵ ， ， ， 代入勾股定理等式并整理： ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴ 点的纵坐标为， ∴ 此时点的坐标为． ∴一定存在，即可能是直角三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 62．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点都在反比例函数（）的图象上，且．给出下面四个结论：①若A、O、B三点共线，则；②若，则A、O、B三点共线；③线段长度的最小值是；④当、、构成三角形时，三角形不可能是直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，结合坐标系内两点距离公式、完全平方公式、勾股定理逐一判断结论． 【详解】解：已知点在上，则有，， ∵， ∴分别位于第一、第三象限， ①若三点共线，设直线为，联立消去得：， 方程两根满足，可得， ，， ①正确； ②若，则，代入整理得， 当时，由得，例如，，满足，但不共线， ②错误； ③，由完全平方公式得，展开得，因此，即最小值为， ③正确； ④若为直角三角形，且，由勾股定理得，则有： ，整理得， 代入得：，分子恒为正，等式不成立； 若时，由勾股定理得，则有： ，整理得， ∵，， ∴， ∴，与已知矛盾； 同理可得当时，可得，与已知矛盾， 综上所述：不可能是直角三角形， ④正确； 综上，正确结论为①③④． 63．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)函数的“最优值”为3； (3) ①证明：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②的值为或； ③的值为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可； （2）根据“最优值”的定义计算即可； （3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为． （2）解：函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优值”为3； （3）解：①略 ②∵， ∴当时，有最大值5， 当时，， 解得或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值， ∵当时，， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 65．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 【答案】（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或． 【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断； （2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围； （3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3； （2）中，随的增大而减小， 当时，，故． 当时，， 根据题意可得：， ； （3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故． 当时，，即过， 当时，，即过， 将，都向下平移个单位，得到，， 根据题意可得：或， 或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质． 66．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或； （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $