2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中学情自测（第一章～第四章）

2026-2027北师大版数学九年级上册期中学情自测 第一章第四章 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中正确的是()》 A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是正方形 C.邻边相等的四边形是菱形 D.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 2.下列方程中，是一元二次方程的是() A.X2+1=1 B.x2+xy+2=0 C.x+y-4=0 D.x-2x+3=0 3.某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展， 本年度当地旅游业收入估计为40万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年） 每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于 投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x,则下列方程正确的是() A.400(1+x)=1900 B.400(1+x)2=1900 C.400(1+x)+400(1+x2=1900 D.400+400(1+x)+400(1+x2=1900 D 4.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH, 若对角线AC=BD,则四边形EFGH的对角线满足()关系. A.互相平分 B.相等且互相平分 C.互相垂直平分 D.互相垂直 5.如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C,D分别落 D 在C',D'位置上，D'E与AB的交点为M.若∠EFC=114°，则 M ∠D'MB的大小是() B A.24B.42C.48D.52° 6.如图，△ABC经过一定的变换得到△A'B'C',若 y本 B △ABC上一点M的坐标为m,n),那么M点的对应点 M'的坐标为) A 0 A.（m+4,n-2) B.(m-4,n-2 C.（m+4,n+2) D.（m-4,n+2 7.如图，∠1=∠2，从下列条件“①∠B=∠D;②∠C=∠E: ③AC-BC.④AB-AC AE DE: ADA花”中选择一个作为添加条件，使 △ABC∽△ADE.这个条件可能是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 8.如图给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形 25° ABCD为平行四边形，还需要添加的条件可以是() 25 A.BC=3 B.CD=2 C.BD=5 D.BD=3 9.同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间 的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6m 时，所成的像A'B的高度为) A.0.8cm B.2.4cm C.3.2cm D.4.8cm 10.根据表格中的信息，估计一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的 一个解x的范围为() 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ax2+bx+c -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 C.0.6<x<0.7 D.0.7<x<0.8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根，则a应满足 12.如图，直线1/1l2/1L,直线AC分别交l、12、l于点A、B、C: A/D B 直线DF分别交l1、12、1于点D、E、F.若AB=3,BC=4,DE=2, 则线段DF的长为一· 13.如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位似中心， 将△COD的面积扩大为原来的4倍，得到△AOB,若点C的 坐标为-3，-2)，则点A的坐标是一· 14.如图，在Rt△ABC中， A ∠ACB=90°，BC=3,点D为斜边 AB上的一点，连接CD,将△BCD D 沿CD翻折，使点B落在点E处， 点F为直角边AC上一点，连接DF, B 将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合若DG-,则AF=一· 15.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O,H为AB延长线上的一点，且 1=m,连接D,分别交C,C于点上，R,连接，则下列结论：@供停： ②沿-3-1；®E平分CBD:@2Ar=DEDH.其中正确结论是 0 A B 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 16.本小题10分)解方程： (1)(x-32+2x(x-3)=0 (2)3x2+2x-2=0 17.本小题8分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）. (1)将。ABC向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B,C,请 在网格内画出△AB,C: (2)以点B,为位似中心，将△A,B,C放大至原来的3倍，得到△A2B,C,请在网格内 画出△A2B1C2; (3)直接写出△ABC的面积与四边形A,C,C,A,的面积之比为 18.(本小题8分) 如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别在线段AC上， 且AE=EF=CF,连接BF并延长交CD于点H,连接DE,BE, DF· (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若BC=35,求FH的长. 19.（本小题8分) 某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为0元/盏.试销售 一段时间后发现，按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯的售价 在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏. (1)若每盏台灯的售价为46元，则每周的销售利润是多少？ (2)如果要实现每周的销售利润为10000元的目标，求每盏台灯的售价， 20.本小题8分) 我们己经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x+6x-1最小值. 解：x2+6x-1=x2+2×3x+32-32-1=(x+32-10 无论x取何实数，总有(x+3P≥0 ∴.（x+3}2-10≥-10 即x2+6x-1的最小值是-10， 即无论x取何实数，x+6x-1的值总是不小于-10实数. 问题： (1)己知y=-5(x-3P+4,则y有 最大或最小值为 知识迁移： (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=6m,BC=4cm,点P在边AC上，从点A向 点C以3cm/s的速度移动，点Q在CB边上以2cm/s的速度从点C向点B移动若点P, Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为 Scm2,运动时间为秒，求s的最大值. 21.本小题8分) 根据以下材料，完成探究任务. 利用相似三角形测高 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测 高”的综合实践活动如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房 发 前有一堵围墙AB,同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 现、 提出 问题 D B 0 E 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操 作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时， 分析 问题 测得OF=5m;②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点 时，测得0E=0.8m.此外，还测得：窗高CD=1.5m,窗户距地面的高度 0D=1m 解决 问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度， 22.本小题12分) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点D出发向点A运动，运动到 点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速 度都是2cm/s连接PQ、AQ、CP,设点P、Q运动 的时间为ts, (1)求当t为何值时，四边形ABQP是矩形 (2)求当t为何值时，四边形AQCP是菱形 (3)在运动过程中，沿着AQ把AABQ翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点 B恰好落在PO边上 23.(本小题13分) 在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,现将纸片折叠，点D的对应点记为点P,折痕为 EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原. 初步思考 D D C(F) E 图① 图② 图③ (1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①· 当点P与点A重合时，CF=一；当点E与点A重合时，CF=一； 深入探究 (2)当点E在AB上，点F在DC上时（如图②， ①求证：四边形DEPF为菱形； ②当AP=7时，求四边形DEPF的面积； 拓展延伸 (3)若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M(如图③).在折叠过 程中，当线段AM与线段DE的长度相等时，直接写出线段AE的长度 1.D2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.C10.C 11.a≤1且a≠0 12号 13.(6,4) 14.7 8 15.①③④ 16.(1)原方程分解因式可得： (x-3)[(x-3)+2x]=0, .(x-3)(3x-3)=0, .x-3=0或3x-3=0, ..X1=3,X2=1 (2)Q=3,b=2,c=-2, .4=22-4×3×(-2)=28, x=-2±v28-2±27-1t7 2×3 6 3 ,=1+7, x,=-1-5 心 17.（1) 解：如图，△ABC即为所求作： (2)如图，△A2BC2即为所求作； B B (3) 18.(1证明：，四边形ABCD是正方形， .∴.AC⊥BD,AO=OC,BO=OD, AE=CF, .∴.OA-AE=OC-CF. 即EO=OF, :.四边形BEDF是平行四边形， 又EF⊥BD, .BEDF是菱形； (2)解：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB/CH,∠DCB=90°，AB=BC=3V5 ∴.∠BAF=∠DCF,∠ABF=∠CHF, ∴.△ABF~△CHF, ·AB=AF-BF ·CH CF HF '.AE=EF=CF, A5=2, ·CF 贺器2， FH=号丽 .AB=3V5) :ca-25 在Rt△BCH中，BH=BC2+CH, 明-35f+号5-克， .FH 3 19.(1) 解：(46-30×600-46,40×20=16×540=8640（元： 答：若每盏台灯的售价为46元，则每周的销售利润是8640元. (2)解：设每盏台灯的售价为x元.根据题意，得 x-30 600-X-40×20 =10000’ 2 解得x=50,x,=80(不合题意，舍去). 答：每盏台灯的售价为50元. 20.最大；43 21解：连接CD, D B O E 由题意得：AB⊥BF,DO⊥BF, ∴.∠AB0=∠DOE=90°， ,∠BEA=∠OED, ∴.△ABE~△DOE, ·AB_BE OD OE' 即-on02, AB=50B+1, 4 .∠CFO=∠AFB. ∴.△ABF~△COF, .AB_BF ·C0OF, ABOB+5 即1+1.5 5 AB=OB+点 2 0n+1-0n+3 2, 解得：OB=2, AB-0B+1-×2+1=3m, ·围墙AB的高度为2m. 22.(1)点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向 点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是2cm/s.设点P、Q运动的时间为 ts, .∴.BQ=DP=2tcm’AP=CQ=（12-2t)cm, 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC,AD=BC, 当BQ=AP时，四边形ABQP是矩形， 依题意得：2t=12-2t, 解得：t=3, :.当t=3时，四边形ABQP是矩形 (2).AD//BC,AP=CQ=(12-2t)cm, .四边形AQCP是平行四边形， .当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形， 根据勾股定理得：AQ=AB+BQ=62+(2t)2, 则6+(2t2=(12-2t2, 解得：是 ∴当=是时，四边形AQCP是菱形 (3)如图2， D ·沿着AQ把△ABQ翻折，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ边上， :∠AQB=∠AQB',AB'=AB=6cm,BQ=B'Q=2tcm,∠AB'Q=∠B=90°， 在矩形ABCD中，AD/IBC, ∴.∠AQB=∠PAQ, ∴.∠AQB'=∠PAQ, .PA=PQ=（12-2t)cm, .B'P=12-2t-2t=(12-4t)cm, .∠AB'P=180°-90°=90°， 在Rt△AB'P中，由勾股定理得：AB2+BP=PA2, ∴.62+(12-4t2=(12-2t2, 整理得：t-4t+3=0, 解得：t1=1,t2=3, 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ边上 23.(1)3；2 (2)①当点E在AB上，点F在DC上时，如图， C 0 E 图② :EF是PD的垂直平分线， ∴.DO=PO,EF⊥PD ,四边形ABCD是矩形， ∴.DC//AB, .∠FDO=∠EPO, 在△DOF与△POE中， ∠FDO=∠EPO OD=OP ∠DOF=∠EOP ∴.△DOF≌△POE(ASA), ∴.DF=PE, DF//PE, .四边形DEPF是平行四边形， .EF⊥PD .e DEPF为菱形， ②当AP=7时，设菱形的边长为x,则AE=7-x,DE=x, :∠A=90°， ∴.AD2+AE2=DE2, 62+(7-x2=x2, 解得：X距 ∴一菱形的面积为=EP×AD=85×6=255 14 7 3)存在，AE的长为或器。 情况一：如图，连接EM, D C(F) M P 图③ 在Rt△EAM与Rt△MPE中， EP=AM EM=ME' ∴.Rt△EAM≌Rt△MPE(HL), 设AE=X,则AM=DE=6-X,BM=X+2, 'MP=EA=x,CP=CD=8, ∴.MC=8-x, .(x+22+62=(8-x2, 6 解得：x=5: 情况二，如图， C(F) A B 在Rt△GAM与Rt△GPE中， AM=PE MG=EG ∴.Rt△GAM≌Rt△GPE(HL), 设AE=X,则DE=6-X,AM=PE=DE=6-X,MP=AE=X, MC=MP+PC=x+8,BC=6,BM=14-x, .(14-x)2+62=(x+82, 解得：*品。 综上所述，A5的长为或号