专题01 期中复习压轴22类题型归纳2026-2027学年九年级数学上册苏科版

专题01 期中复习压轴22类题型归纳（复习讲义) (考试范围：第1章一元二次方程第3章圆) 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 【选填压轴】 题型归纳 【题型1由根与系数的关系求代数式的值】 0.,....。......1011111111111110,2 【题型2一元二次方程中的含参问题】 【题型3反比例与几何图形综合计算】6 【题型4反比例函数比例系数的几何意义综合】 10 【题型5圆周角求值问题】 14 【题型6圆内折叠角度长度计算】 .17 【题型7点到圆距离问题】… ....21 【题型8直线与圆位置关系含参】… .24 【题型9扇形阴影面积计算】. 27 【题型10正多边形圆内角度计算】 ..31 【解答压轴】 【题型11 一元二次方程实际应用题】 33 【题型12一元二次方程与几何图形综合】 i 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】41 【题型14反比例函数几何综合大题】 44 【题型15反比例函数的应用】 .48 【题型16圆周角综合证明计算题】51 【题型17圆内折叠几何综合大题】 55 【题型18圆动点线段探究题】.60 【题型19直线与圆相切证明计算】 ..64 【题型20圆与几何图形综合求值】 68 【题型21 弧长或面积综合应用】… .72 【题型22圆中动点存在性探究题】75 HAHAMEMOAAMAMEMHMMMMMMMMMMc.........a.a..aa.a.a..a.aaaaaaa.aaaa.aaaa..a.a..a.aa.a..............................n.a..a..aa y 【选填压轴】 【题型1由根与系数的关系求代数式的值】 【方法提示】先求两根的和与积；对称式先整体改写，含分母时先核验非零，不急于写根式。 【例1】（改编自2024无锡江南10月月考公开重排版第12题）设，b是方程2x2-5x-3=0的两个实数 根，不求出两根，求(a-b)。 2401 【答案】16 【分析】围绕“根差高次幂的对称化”组织等式，关键是：先求根差平方，再整体平方；不要把四次方误 算成平方差。 【详解】 a+b5 a-b=a+b}-4ab=25+6=49 2. 2。所以 4 4。 a-b=49= 2401 因 16。 【易错提醒】先求根差平方，再整体平方：不要把四次方误算成平方差。 【变式1-1】（改编自2024泰州民兴首次月考公开重排版第12题）a,b是方程x+2x-1=0的两个实数 根，则(a+2b+2)= 【答案】-1 【分析】围绕“根的平移积”组织等式，关键是：平移积须包含两个交叉一次项。 【详解】由a+b=-2,ab=-1,得（a+2b+2)=ab+2(a+b)+4=-1-4+4=-1。 【易错提醒】平移积须包含两个交叉一次项。 【变式1-2】（改编自2024无锡江南10月月考公开重排版第25题）a,b为方程2x+4x-3=0的两根，求 (a-b)2 (a+)(b+1),并说明该式有意义。 【答案】-4 【分析】围绕“根差平方与平移积的组合”组织等式，关键是：需要核验整个分母非零；商的符号由分母 决定。 【详解】 +h=-2h= 2。分母 b+a+b+1=-3 0,所以式子有意义， 10 54 分子(a-b=(a+b)-4ab=4+6=10。故所求值为 【易错提醒】需要核验整个分母非零；商的符号由分母决定。 【变式1-3】（改编自2024南京金陵仙林第一周周练公开重排版第16题）方程x2-4x+m=0的两个实数 根为a,b。若a-b=2,则a2+b2+a2b2= 【答案】19 【分析】围绕“根差已知时反求积及复合对称式”组织等式，关键是：根差给出的信息要平方后与和积联 系。 【详解】由a+b=4及(a-b}=4,得ab=3。故a2+b=16-6=10,a2b=9,和为19。 【易错提醒】根差给出的信息要平方后与和积联系。 3 【题型2一元二次方程中的含参问题】 【方法提示】参数题先确认方程类型：利用实数根条件和根的符号、区间约束取交集，必要时由平移后的 新根判断位置。 【例2】（改编自2024泰州民兴首次月考公开重排版第26题）已知关于x的方程r+(2m+)x+m-1=0 。若两根一正一负，求m的取值范围，并证明范围内的每个m都满足要求。 【答案】-1<m<1 【分析】围绕“根符号条件的必要充分性”组织等式，关键是：根积负已经保证判别式正，但须把逻辑说 清楚。 【详解】一正一负时根积m2-1<0,所以-1<m<1。 反过来，-1<m<1时，m2-1<0,从而△=2m+少-4(m-小>0，两根存在且积为负，所以确为一正 负，范围充分。 【易错提醒】根积负已经保证判别式正，但须把逻辑说清楚。 【变式2-1】（改编自2024常州河海10月月考公开重排版第20题）关于x的方程×-(m+2)x+m-1=0 有一个根为-1。若另一个根为b,则m+b= 【答案】1 【分析】围绕“指定根确定参数与另根”组织等式，关键是：参数与未知数是不同对象，代入己知根后求 的是m。 【详解】代入-1得2m+2=0,所以m=-1;方程化为x2-x-2=0,另一根b=2,故m+b=1。 【易错提醒】参数与未知数是不同对象，代入已知根后求的是m。 4 【变式2-2】（改编自2024无锡江南10月月考公开重排版第23题）方程x-3x-k=0的两个实数根为 a<b。求使a<1<b成立的所有实数k。 【答案】k>-2 【分析】围绕“平移根后用积判断分居位置”组织等式，关键是：只判断原根异号不足以说明根分居1两 侧。 【详解】令4=a-lv=b-l,有u+v=1,w=ab-(a+b)+1=-k-2 a<1<b等价于u<0<v,必要条件为w<0,即k>-2。 当k>-2时，原判别式9+4k>1>0,两实数根存在：w<0保证一根在1左侧、一根在1右侧，条件充分。 【易错提醒】只判断原根异号不足以说明根分居两侧。 【变式2-3】研究方程r-(m+)x+1=0,m为实数。 (1)当m=0时求解。 1 (2)求使原方程恰好有两个不相等且都大于2的实数根的m范围。 【答案】(1)x=1;(2)0<m<2且m≠1。 【分析】围绕“参数降次与两个严格条件”组织等式，关键是：先分m等于零，倒数不等式不能直接跨越 m的正负。 【详解】m=0时为-x+1=0,故x=1。 1. m≠0时可分解为(x-1(m-)=0,两根为m。 1.1 1> 两根不等要求m≠1。因2，另一根需m2;若m<0不可能，若m>0则m<2。故0<m<2且m≠1。 【易错提醒】先分m等于零，倒数不等式不能直接跨越m的正负。 5 【题型3反比例与几何图形综合计算】 【方法提示】先依据平行、垂直、等长关系表示坐标，再把图象条件写成横纵坐标乘积相等：示意图不能 代替位置条件。 18 【例3】如图，矩形O1BC的0为原点，4=(a0)、C=(06),其中ab>0。B在'=上。E,F分别为 OA,OC中点，CE与AF交于P。过P的反比例函数表达式为一。 B E A 【分析】用矩形两边中点确定两条直线，交点坐标都缩为原来的三分之一。 -0.r-.为- bb 【详解】B=(a,b),故ab=18, V= a,直线AF为22a a b P= ab=2 y=2 联立得 33 坐标乘积为9，所以过P的反比例函数为x。 【易错提醒】两个坐标各缩为/3，乘积缩为1/9。 6 【陵式】路-象限店r=ex一.段0-（后刘.心-）定CmcD,素unen的 面积。 y D C 【答案】5 【分析】在矩形中剪去三块直角三角形，全部面积只含ab。 【详解】围出矩形顶点0=(0,0)、X=(a,0)、P=(a,b)、Y=(0,)。面积为ab=18。 -ab ab 矩形外于△PCD的三块直角三角形面积分别为 3。 S.nco=ab-ab_ab_ab=Sab=5 所以 183318,。 【易错提醒】投影点C、D距原点是边长1/3，靠P的余段是2/3。 7 【变式3-2】（改编自2024宜兴树人第二次月考公开重排版第25题）如图，A=(2,0)、B在y轴正半 轴。C在A右侧的x轴上，D在第一象限，DC⊥x轴。已知AO=CD=2、AB=AD=V5,E为CD中 点。 (1)证明△AOB≌△DCA: (2)求过E的反比例函数。 y B 3 【答案】△AOB≌aDCA:y= 【分析】先确定两个直角三角形的斜边与一边，再由指定C在A右侧确定坐标。 【详解】(1)∠AOB=∠DCA=90,AB=DA、AO=DC,所以△AOB≌aDCA(斜边、直角边)。 (2)C42=AD2-CD2=5-4=1,所以C4=1。由C在A右侧，得C=(3,0)、D=(3,2)。E是CD中点， 3 y= 故E=(3,)。过E的反比例函数为x。 【易错提醒】必须利用C在4右侧的条件，不能只凭长度确定C横坐标为或3。 8 【变式3-3】等腰直角三角形的三个顶点为0=(0,0)、A=(-5,0)、B=(0,5)。将整个三角形向右平移a、 6 y=- 向下平移b个单位，己知a>5、b>5,并且A,B都落在x上。求a,b。 B A B 【答案】a=b=6。 【分析】把两个平移后顶点乘积相等，先得到平移两个分量相等。 6 【详解】=(a-5-),=(a,5-b)。由两点均在’=上，得ba-列=a6-b)=6. 比较前两式得5b=5a,所以a=b。于是a(a-5)=6,即(a-6)(a+l)=0。 因a>5,故a=6、b=6。此时=(L,6)、B'=(6,-),均在第四象限并满足乘积6。 【易错提醒】平移时两个点都加同一位移，且两个横坐标非零的限制须保留。 9 【题型4反比例函数比例系数的几何意义综合】 【方法提示】把坐标乘积转换为轴平行矩形面积，再利用差、并、交或三角形剪补：先写清底和对应的 高。 6 【例4】在x的第一象限分支上取RRR。,横坐标依次为124,2”。对每个1=110，以 x=2、x=2、y=0和经过？的水平线围成一个矩形。求这10个矩形面积之和。 P P3 【答案】30 【分析】每个矩形的宽与其右端横坐标的比为二分之一。 6 〔详解】第i个矩形的宽为2一2只=2，高为2。所以每个面积为2×23 共有10个矩形，面积和为10×3=30。 【易错提醒】高度取右端点P的纵坐标，不能误用左端点。 10 【变式4-1】第一象限内 4-6-(.c-)铜上.0>0，老 S。Bc=3,求k。 A H 【答案】18 【分析】作过B的竖线与AC交于H，把三角形分为两块共竖底的小三角形。 k H=2t, 2k 【详解】过B作竖直线x=21交AC于H。直线4C的斜率为3，故(3)。所以 BH=2kk、k 3t2t6t。 以BH为底，A,C到该竖线的水平距离均为+，故 c=Sm+S.am=号BHx1+58H×1 6。 k 3 由6得k=18。 【易错提醒】B不在AC上；必须求出线曲间竖直高度差。 11 变式4-2】P=一a,b)在第二象限，且位于y=一x上，其中a,b,k>0。取=（一2a,0)、R=(0,3b), △PQR的面积为5，求k。 【答案】10 【分析】比较三角形OOR与OPO、OPR三块面积，先确认P在OQR内部。 3b 3b 0<b< 【详解】由xp=-a是O0横向中点，直线QR在该横坐标处的纵坐标为2，而 2,故P在aO0R 内部。 5.w(2a)(36)-3ab 5.oro-ab 5.orab .o3ab-ab 3 2 。故 36 k =5 因-a)b=-k,得ab=k,所以23，k=10。 【易错提醒】比例系数写作一k时，矩形面积为正，不能得到负面积。 12 【变武4-3】同-双曲线(>0x>0)上的两点为4=a,).82a, 。分别过两点向坐标轴作 垂线，得到两个包含原点的矩形。若两矩形并集面积为24，求k及交集面积。 B 【答案】k=16,交集面积8。 【分析】两个矩形各面积相同，交集的边长由共同较小的横纵范围决定。 【详解】由A在图象上，ab=k。第一个矩形为0≤x≤a,0≤y≤b,第二个 为0≤xs2a,0sys 2。 b 0≤x≤a,0≤y k k+k-套-2k=24 两矩形各面积为k，,交集是 2,面积为2。所以并集面积为22 ,得k=16 k≥8 交集面积为2。 【易错提醒】并集面积不是两个面积直接相加，重叠部分只应计一次。 13 【题型5圆周角求值问题】 【方法提示】先明确圆周角所对的是哪段不含顶点的弧，再结合直径、等弧或三角形角和：交点角可拆到 三角形中计算。 【例5】（改编自2024无锡梁溪金桥零模公开重排版第15题）四边形ABCD依次内接于圆O,AB是直 径，∠BCD=110°。连接OD,则∠ADO=。 O ⊙ 【答案】70 【分析】先用圆内接四边形求角，再用半径相等。 【详解】∠BAD=180°-110°=70°。 因O在线段AB上，∠OAD=70;OA=OD,所以∠AD0=70°。 【易错提醒】不要把所求角直接当作圆心角。 14 【变式5-1】圆上四点A,B,C,D按此顺序排列，四段弧AB,BC,CD,DA的度数之比为1：2：3：4。弦AC与 BD交于E,则∠AEB=。 D 【答案】72 【分析】先求弧的份额，再把交点角放进三角形。 【详解】四段弧依次为36,72,108,144。 在△ABE中，∠BAE=∠BAC=36°，∠ABE=∠ABD=72,故∠AEB=72°。 【易错提醒】交点角与一段弧的圆周角不同，不能直接除以二。 【变式5-2】圆O内接三角形ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°。点D是优弧AB的中点(D与C可在 同一段弧上)，则较小的∠AOD= 【答案】110 【分析】先由三角形角和确定劣弧，再平分指定的优弧。 【详解】∠ACB=70°，不含C的劣弧AB度数为140°。 优弧AB为220°，其一半为110°；因此较小的∠AOD=110°。 【易错提醒】弧中点必须辨别优弧或劣弧；两个中点对应的角度不同。 15 【变式5-3】圆内接四边形ABCD按顺序排列，AB=BC,AD=DC,∠BAC=32°。较小的∠AOD= (0为圆心)。 D 【答案】116 【分析】等弦对应等弧，两组等弧合起来占整圆。 【详解】弧BC(不含A)为64，故弧AB也为64°。 另外两段相等的弧4D,DC各为360-128)产2=116，所以较小的∠A0D=116。 【易错提醒】不能将四段弧都当成相等。 16 【题型6圆内折叠角度长度计算】 【方法提示】折痕上的点到原像、像距离相等。先标出对应关系，再利用圆心到弦的垂线或直径的轴对称 性质。 【例6】AB为圆O的直径，C在上半圆，∠CAB=25°。将点C沿直线AB翻折至D,连接BC,BD,则较 小的∠CBD= ○ D 【答案】130 【分析】直径所对的角为直角，再利用镜面对称。 【详解】∠ACB=90°，故∠CBA=65°。 翻折后∠ABD=65°，两角位于BA两侧，故较小的∠CBD=130°。 【易错提醒】这里是两个底角相加，不是将已知的25直接加倍。 17 【变式6-1】圆形纸片半径为5，弦AB长8，M为AB的中点。将圆心O沿AB翻折为O',则O0= 一；点0在原圆一（填“内”“上”或“外”）。 O B 【答案】6；外 【分析】先算圆心到弦的距离，再算原像间距离。 【详解】OM⊥AB,AM=4,故0M=V52-4=3。 M平分00，所以00=6>5,0在原圆外。 【易错提醒】折叠距离是到折痕距离的两倍。 18 【变式6-2】半径为5的圆O中，弦AB到圆心的距离为3。M是劣弧AB的中点，沿AB翻折M得N。设 直线OM与AB交于H,则ON=,HN=一。 H M B 【答案】1,2 【分析】弧中点、圆心和弦中点共线，翻折将有向距离改变符号。 【详解】O,H,M依次共线，OH=3,OM=5,故HM=2。 HN=HM=2,N位于线段OH上，因此ON=OH-HN=1。 【易错提醒】不要机械用半径减两倍弦心距后忽略绝对值或点的顺序。 19 【变式6-3】圆O中，AB是直径，C为圆上一点且∠BAC=35。把△ABC沿弦AC翻折，B的像为D,则 ∠BCD= 0 D 【答案】180 【分析】翻折轴为直角三角形的一条直角边，另一条边的像在其反向射线上。 【详解】因AB是直径，∠BCA=90°。 翻折后∠ACD=90,且B,D在AC两侧，故CB,CD是互为反向的射线，∠BCD=180°。 【易错提醒】折叠图中不能默认像点仍在原圆上；先判断对应直角。 20 【题型7点到圆距离问题】 【方法提示】用圆心距与半径建立距离界，先核对取等点是否在给定轨迹上：平方和可先展开化成一个动 点坐标。 【例7】在平面直角坐标系中，以点M(,0)为圆心、【-2为半径作圆(t≠2)。已知点A(,2)在圆外， 点B(0,0)在圆内，则t的取值范围为一。 <t<1 【答案】 2 【分析】把两个点圆位置关系分别转化为距离平方的不等式，再取交集。 1 【详解】由4M1>1-2,平方得-+4>-2，即21+1>0，所以>-2。 1 <t<1 由MB<-2,平方得<-2，所以1<1。合并得2；该区间内半径非零，端点因严格内外条 件均排除。 【易错提醒】圆心在移动，半径也随参数变化：两个点的内外条件必须同时满足。 21 【变式7-1】平面内圆O的圆心为原点、半径为2。P在线段AB上运动，其中A,4),B(7,4):在圆0 上任意运动。则P的最小值为一。 B 【答案】V7-2 【分析】圆心到承载直线的垂足不在线段上，应先求圆心到线段的最近点。 【详解】设P(x,4),1≤x≤7，则OP=V+16≥7，等号在P=A时成立。 由PO≥0P-00≥7-2；令0在射线OA上即可取等。 【易错提醒】不能使用直线'=4到圆的距离2作为线段范围内的答案。 22 【变式7-2】圆O半径为2，固定点A满足OA=6。点P在圆上运动，点M在线段AP上且AM=2MP。 则OM的取值范围为 D sOM≤ 【答案】3 3 【分析】将固定比例分点的轨迹转为一个小圆。 KM=20P=4 4 【详解1取线段40上的点K使狐专40.则O水=2。由三角形相包 3 3。 4 M在以K为圆心、3为半径的圆上运动，故OK-KM≤OM≤OK+KM,得所求区间：共线位置均可取 到。 2 【易错提醒】比例4M:MP=2:1表示从A出发走全长的3。 【变式7-3】圆0以坐标原点为圆心、半径为2，点P在圆上运动，A(4,0),B(2,0)。则P?+PB的最 小值为 最大值为。 【答案】20,36 【分析】平方和展开后只含一个坐标，再用圆的横坐标范围。 【详解】设P(工)，则PA+PB=(c+4)+y2+(x-2+y2=28+4x。 因-2≤x≤2，最小值为20，最大值为36：端点(-2,0)，(2,0)分别取等。 【易错提醒】求的是平方和，不能先分别求两段长度的极值再相加。 23 【题型8直线与圆位置关系含参】 【方法提示】先找圆心到载线的距离，再核对对象是直线、射线还是线段：端点相遇与垂足相遇可能形成 不同临界值。 【例8】圆C的圆心为(2，m),半径为3。圆C与直线y=1相离时，实数m的取值范围为。 【答案】m<-2或m>4 【分析】圆心到水平直线的距离是纵坐标差的绝对值。 【详解】圆心到直线的距离为m-1。相离要求m->3,解得m<-2或m>4。 【易错提醒】相离用严格大于：等号对应相切。 【变式8-1】点O到直线AH的垂足为H,OH=5,AH=12。以O为圆心、r>0为半径作圆。射线AH 与该圆恰有两个公共点时，”的取值范围是 (射线包含端点A)。 H 【答案】5<r≤13 【分析】垂足位于射线内部，公共点减少的另一个临界位置是端点。 【详解】0A=V53+12=13。r=5时只在H相切：5<r<13时两个交点均在射线上：r=13时一个交点为 A,另一个在H前方。 r>13时靠近A一侧的交点越过端点，不属于射线，所以恰有两个公共点当且仅当5<r≤13。 【易错提醒】射线包含端点，因此”=13仍有两个公共点。 24 【变式8-2】圆C同时与两坐标轴相切，圆心在第一象限，圆心横坐标为a。该圆与直线x+y=6相交于两 个不同点时，a的取值范围为一。 C 6 【答案】6-3W2<a<6+3√2 【分析】两轴相切确定圆心和半径，再通过等腰直角三角形求到斜线的距离。 【详解】圆心C(a,a),半径为a>0。直线与y=x交于H(3,3),且CH垂直于x+y=6,故d=V2a-3到 0 相交要求d<a,即2(a-3)<a2,整理得(a-6)}<18,故得到所求区间。 【易错提醒】两轴相切不意味着直线与圆只有一种相对位置。 25 【变式8-3】直角三角形OAB中，OA⊥OB,OA+OB=6。以O为圆心、2为半径作圆，直线AB与该圆 相切，则OA×OB= _。 【答案】410-4 【分析】用面积求斜边上的高，再以两直角边的和与积降次。 【详解】设OA=a,OB=b,则高OH=2。面积关系给出ab=2Va+b。 设p=ab>0,由a+b=6得Q2+b=36-2p,故p=4(36-2p）。解得p=4±4V0,取正值 p=4W10-4。 该值小于9，所以存在正数，b使和为6、积为此值，条件可以实现。 【易错提醒】平方后应舍去负积，并检查正边长是否存在。 26 【题型9扇形阴影面积计算】 【方法提示】明确每块区域的边界：弧段面积常转为扇形减三角形：公共区域按两个扇形剪补，避免把整 圆面积误加。 【例9】（改编自2025·准安涟水模拟公开重排版第15题）扇形AOB半径为6，面积等于底面半径1、母线 长3的圆锥侧面积。连接AB,弧AB与弦AB围成的弓形面积为一。 A 【答案】3π-9 【分析】先从相等面积反求圆心角，再扣除对应三角形。 【详解】圆锥侧面积为π×1×3=3π，所以扇形圆心角为30°。 1 SH0B=7×6×6×7=9 2 2,故弓形面积为3π-9。 【易错提醒】扇形面积与弓形面积并不相同。 27 【变式9-1】（改编自2025宿迁沭阳三模公开重排版第13题）两个半径为3、圆心角均为120°的扇形有共 同圆心O。第二个扇形由第一个绕O旋转60°得到。两个扇形覆盖区域的并集面积为一。 B D O A 9π 【答案】2 【分析】两个扇形覆盖的总角度应扣去重叠的角度。 【详解】两扇形交叠部分圆心角为60°，并集对应角度为120°+120°-60°=180°。 180 并集面积为36 0元x329 【易错提醒】相加两扇形面积会重复计算公共扇形。 28 【变式92】正方形边长为6。设其外接圆内、正方形外的面积为S,正方形内、内切圆外的面积为， 则S-S,= 【答案】27π-72 【分析】先分别确定外接半径和内切半径，再保持差的顺序。 【详解】正方形面积为36，外接圆半径3√2，内切圆半径3。 S=18π-36，S,=36-9r,故S-S,=27π-72。 【易错提醒】两圆之间的环形面积是两块面积的和，不是本题所求的差。 29 【变式9-3】两个半径均为2的圆，圆心分别为A,B,AB=2,交点为C,D。两圆公共区域的面积为 8m-2W5 【答案】 【分析】以公共弦分开公共区域，两个弓形分别用扇形减三角形。 【详解】AC=BC=AB=2,故△ABC为等边三角形；同理△ABD等边，∠CAD=∠CBD=120°。 120 公共弦CD=2V5,圆心A到弦CD的距离为1，所以S4cn=V3。每个弓形面积为360 πx22-5=4怀-5 3 8m-25 公共区域为两个这样的弓形，面积为3 【易错提醒】公共区域要计算两个弓形，不能只取一个。 30 【题型10正多边形圆内角度计算】 【方法提示】把正多边形边数转换为等弧份额，再按顶点所在弧选择圆周角：含交点时优先用三角形角 和。 【例10】（改编自2025南京联合体零模公开重排版第3题）正n边形(n≥4)内接于圆。AB是其中一 边，P,0分别位于劣弧AB和优弧AB上且不与端点重合，若∠APB=4∠AOB,则n=。 【答案】5 【分析】同一弦两侧圆周角互补，先解两角再确定边数。 【详解】设∠A0B=a,则∠APB=180°-a。由题得180°-a=4a,故a=36°。 该边对应劣弧为72°，所以n=360÷72=5。 【易错提醒】同弦的圆周角不总相等，项点在弦两侧时互补。 【变式10-1】正十边形A4…4内接于圆，弦A4与44交于X。则∠AX4,= 10 A A A A4 A6 A5 【答案】90 【分析】用等弧确定三角形的两个角，不把交弦角误当圆周角。 【详解】每一小段弧为36。在△4,4X中，∠X44=∠444，=36°。 ∠X4,4=∠44,4=54，故∠4X4,=90。 【易错提醒】弧4,4取不经过4的三段短弧。 31 【变式10-2】正八边形ABCDEFGH内接于圆，连接AC,CF,FA。三角形ACF的最大内角为。 135 【答案】2 【分析】按圆上间隔的边数计算三段不含顶点的弧。 【详解】每段小弧为45°，弧AC为90°，不含A的弧CF为135°，不含C的弧FA也为135°。 135°135 135 .45 三角形三个角依次为2’2 ,所以最大为2。 【易错提醒】使用的弧须避开所求圆周角的项点。 【变式10-3】正n边形ABCDE-·(n之5)内接于圆0，若∠BAD=60,则n=,该多边形外接圆 半径与内切圆半径之比为 2W3 【答案】6,3 【分析】先数弧BD中的两段，再求正六边形的半径关系。 ∠BAD=360=60 【详解】不含A的弧BD由两段边对应的弧组成，故 n ,得n=6。 2√5 -R 设外接圆半径为R,正六边形每边也为R,其内切圆半径为2，所求比为3。 【易错提醒】∠BAD跨两小段弧，与相邻三角形底角不同。 32 【解答压轴】 【题型11一元二次方程实际应用题】 【方法提示】确定变动的基数、次数与约束；先建立数量关系，再求解并检验百分率、人数及容量的实际 范围。 【例11】（改编自2024南京金陵仙林第一周周练公开重排版第14题）某项业务第一年收入为2.5亿元， 第三年收入为4亿元，两次年增长率相同且为非负数。 (1)求第二年的收入（保留根式）。 (2)第三年比第二年多收入多少亿元？ (3)若第一年至第三年的这三次年度收入相加，是否超过10亿元？说明理由。 【答案】(1)0亿元：(2)4-0亿元：(3)未超过。 【分析】围绕“等比连续变化中间量与累计量”组织等式，关键是：累计收入包括三个年度，不能只加首 尾；增长率相同不代表差相同。 E 【详解】设相邻两年收入的倍数为1≥1，有2.52=4，所以V5。第二年收入2.51=10亿元。 第三年比第二年多4-V10亿元。 三年总收入为6.5+10。因为10<3.52=12.25，所以V10<3.5,总和小于10亿元。 【易错提醒】累计收入包括三个年度，不能只加首尾；增长率相同不代表差相同。 33 【变式11-1】一个兴趣营原有30人，每人收费160元。若再招收x人，组织方将对全体参加者每人减收2x 元，且收费应为正。 (1)若总收费恰为6000元，能否实现整人招收？ (2)在x为非负整数的条件下，求总收费的最大值。 【答案】(1)能，x=20或x=30；(2)6050元。 【分析】围绕“人数价格同时变化与整数最值”组织等式，关键是：减收适用于全体，不只对新增的人生 效。 【详解】总收费R=(30+x160-2x)=4800+100x-2xr,要求0≤x<80。令R=6000,得 x2-50x+600=0,即(x-20)(x-30)=0,所以x=20或x=30,均满足范围。 R=-2(x-25)}+6050。当整数x=25时等号成立，且收费110元为正，所以最大总收费为6050元。 【易错提醒】减收适用于全体，不只对新增的人生效。 【变式11-2】某设备原来每运行1小时耗电30千瓦时。改造分两步：第一步减少x的比例，第二步在第一 步基础上再减少相同比例，同时增加一个固定每小时耗电3千瓦时的监测模块。最终每运行1小时总耗电 22.2千瓦时。 (1)求每一步的降低率x。 (2)若设备每天运行8小时、电价每千瓦时08元，求一天节省的电费。 【答案】(1)20%；(2)49.92元。 【分析】围绕“连续降耗与固定新增量”组织等式，关键是：先剔除新增模块的耗电再求降低率，不能以 22.2直接作两次降耗后的原设备能耗。 【详解】由题意，301-x+3=22.2,其中0≤x<1。所以0-x2=0.64,故1-x=0.8,x=20%。 每小时节省30-22.2=7.8千瓦时，每天节省电量7.8×8=62.4千瓦时，电费62.4×0.8=49.92元。 【易错提醒】先剔除新增模块的耗电再求降低率，不能以22.2直接作两次降耗后的原设备能耗。 34 【变式11-3】某馆日预约上限为1320人。第一阶段实际预约人数比基准1000人的增长率为x；第二阶段在 第一阶段基础上增长率比第一阶段多10个百分点，结果刚好达到日预约上限。 (1)列出关于x的方程并求非负解。 (2)第二阶段比第一阶段增加了多少人？ 【答案】(1)1000(1+x1.1+)=1320,x=10%:(2)220人. 【分析】围绕“两次增长率不同的模型”组织等式，关键是：百分点差与把增长率乘1.1不同：注意两个阶 段的基数。 【详解】“多10个百分点”指第二次增长率为x+0.1,所以1000(1+x1.1+x)=1320。 化简为2+2.1x-0.22=0,因式分解x-0.1(x+2.2)=0,非负解x=0.1。 第一阶段1100人，第二阶段1320人，增加220人。 【易错提醒】百分点差与把增长率乘1.1不同：注意两个阶段的基数。 35 【题型12一元二次方程与几何图形综合】 【方法提示】把图形条件写成明确长度，再列面积或勾股等式；先说明边长和运动时刻范围，根的舍取应 由原图形决定。 【例12】一块边长10厘米的正方形纸板，四周留宽度相同的边框，内侧保留一个面积为64平方厘米的正 方形。 (1)求边框宽度。 (2)若把边框宽度增加05厘米，内侧面积减少多少平方厘米？ o 【答案】(1)1厘米：(2)15平方厘米。 【分析】围绕“内边框与边长正性”组织等式，关键是：四周边框使边长减少两倍宽度；开平方负分支不 合图形。 【详解】设边框宽x厘米，0<x<5。内正方形边长为10-2x,故10-2x)}=64。由10-2x>0得 10-2x=8,所以x=1。 增加0.5厘米后，内正方形边长为10-2×1.5=7厘米，面积49平方厘米，减少64-49=15平方厘米。 【易错提醒】四周边框使边长减少两倍宽度；开平方负分支不合图形。 36 【变式12-1】两个正方形的边长分别为4，b厘米，a>b>0。已知a+b=11,且两个正方形面积之和为61 平方厘米。 (1)求两边长。 (2)将边长较小的正方形放在较大的正方形内部同一角上，使它的两条边分别贴在大正方形的两条相邻 边上，求剩余“L”形部分的面积与周长。 【答案】(1)a=6,b=5:(2)面积11平方厘米，周长24厘米。 【分析】围绕“正方形和积信息与凹形周长”组织等式，关键是：凹形周长应沿全部边界计算，不能以面 积差估计周长。 【详解】由a2+b=61和(a+b)=121,得ab=30。故a,b是-11+30=0的两根，得到a=6,b=5。 剩余面积a2-b2=36-25=11平方厘米。 在大正方形一角去掉小正方形后，外边界少掉两段长b的边，同时添上两段长b的内边，所以周长仍为 4a=24厘米。 【易错提醒】凹形周长应沿全部边界计算，不能以面积差估计周长。 37 【变式12-2】（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第23题）矩形ABCD中，AB=6厘米，AD=2 厘米。P从A沿AB以2厘米/秒前进，Q同时从C沿CD以1厘米秒前进。一点到达终点即同时停止。 (1)设t秒后P,Q距离为d厘米，写出d2与t关系及范围。 (2)求PQ最短时刻及最短长度。 A 6 【答案】(1)=(6-3)+4,0≤1≤3；(2)1=2秒，最短为2厘米。 【分析】围绕“平行边反向运动与平方配方”组织等式，关键是：水平间隔可能变号，距离平方仍取其平 方；不能用水平间隔直接减去高。 【详解】取4(0,0)，B(6,0),C(6,2),D(0,2)。运动时P(24,0),(6-4,2),第一点3秒到B,故0≤1≤3。 由勾股定理，d=(6-1-2)2+2=(6-3)2+4≥4 当6-3t=0即t=2秒时可达等号，且在范围内，故最短长度2厘米。 【易错提醒】水平间隔可能变号，距离平方仍取其平方：不能用水平间隔直接减去高。 38 【变式12-3】（改编自2024南京金陵仙林第一周周练公开重排版第19题）三角形两边4B,AC的长度分别 是方程r-(2k+3)x++3张+2=0的两个实数根，第三边BC=5。 (1)求构成非退化三角形时k的范围。 (2)若三角形周长为18，求k及三角形面积。 B 5 【答案】(1)k>1:(2)k=5,面积6W6。 【分析】围绕“三边正性不等式及两次勾股求高”组织等式，关键是：三角形存在范围包含边正与严格三 边不等式，退化等号要排除。 【详解】两根为k+山，k+2,为正需k>-1。其差恒为1，小于5；两边之和大于5要求2k+3>5,所以 k>1。 周长为(k+)+(k+2+5=2k+8=18,得k=5,两边为6、7。 39 作m1C,投朗=.白n=6-分=-6-，得105=12.-号。于是” 。3612√6 4AH=V36- 5=5 1 6×5x ,面积25=6V6 B H 【易错提醒】三角形存在范围包含边正与严格三边不等式，退化等号要排除。 40 【题型13一元二次方程中的新定义问题】 【方法提示】先将新定义逐条写为等式或不等式，再化为已学方程：新增名称不改变根的实际存在性、符 号与退化边界。 【例13】（改编自2024常州河海10月月考公开重排版第21题）定义：若一个矩形的周长和面积分别为 另一个矩形的周长、面积的一半，就称它为后一个矩形的“半量矩形”。 (1)长12、宽2的矩形是否存在半量矩形？若有，求边长。 (2)长L、宽W的矩形(L≥W>0)存在半量矩形时，证明L-6LW+W≥0。 (3)当L=W时，是否存在半量矩形？说明理由。 【答案】(1)存在，边长3,4：(2)见详解：(3)不存在。 【分析】围绕“新定义周长面积双缩放与判别式”组织等式，关键是：边长减半使面积变为四分之一，不 能直接把两边都减半。 【详解】设半量矩形两边为4，b>0,有 a+b2字7b222 、 2 ,所以a,b为2-71+12=0的 根，得到3、4。 a+b=L+W 一般情况下， 2,6=Lm (+W)-2LW20 2。因为(a-b≥0，所以4 ,即2-6LW+W2≥0。 当L=W>0时，左边为4L<0,违反必要条件，因此不存在。 【易错提醒】边长减半使面积变为四分之一，不能直接把两边都减半。 【变式13-1】定义：一个一元二次方程若有两个正实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，就称它为 “倍积方程”。 (1)判断x2-9x+18=0是否为倍积方程。 (2)求x-x+2t=0成为倍积方程的全部实数t。 【答案】(1)是：(2)t≥8。 【分析】围绕“定义中的实根、正性与比例关系”组织等式，关键是：不能仅核验积为和的两倍，实根及 正性缺一不可。 【详解】第一式根为3、6，均正，积18等于和9的2倍，所以是。 41 第二式两根和t、积21，比例关系自动满足。还要两个正实数根：△=-81≥0，且t>0。 由-8)≥0和1>0，得1≥8。当1≥8时两根确为实数，和、积均正，故两根都正；t=8的两个相等正根 允许。 【易错提醒】不能仅核验积为和的两倍，实根及正性缺一不可。 【变式13-2】定义运算F(,)=M+v-w。设a<b为方程x2-7x+8=0的两个实数根。 (1)求F(a,b)。 (2)不直接求出a,b,求F(a+l,b-1)。 【答案】(1)25：(2)28-317。 【分析】围绕“新运算展开与有序根差”组织等式，关键是：展开乘积（α+(b-)时，交叉项的正负易 错。 【详解】由a+b=7,ab=8,得F(a,b)=(a+b)2-3ab=49-24=25 F(a+1,b-1)=a2+b2-ab+3a-3b+3=28-3(b-a) 由6-a=(a+b}-4b=49-32=17且b>a,得b-a=7,所以结果为28-37。 【易错提醒】展开乘积(@+1)b-)时，交叉项的正负易错。 42 【变式13-3】定义：若实数点P(,)满足u2-v=2且2-u=2,称P为“互算点”。 (1)验证点(2,2)为互算点。 (2)求全部互算点的坐标。 -1+5-1-5 -1-5-1+5 【答案】(2,2)、(-1，-) 22 2,2 【分析】围绕“二元新定义通过作差降为两个二次分支”组织等式，关键是：坐标有顺序，交换不相等坐 标得到另一个点：两个因式为零的分支均不能漏。 【详解】22-2=2，所以(2,2)满足两式。 两式相减，得2-v2+u-v=0,即(u-(u+v+1)=0。 若4=v,则u2-4-2=0,得4=2或-1，得到(2,2)，(-1，-1)。 4=l±⑤ 若u+v=-1,代入w2-v=2得2+4-1=0，故“2，v取另一值。两点分别代回第二式也成立， 故共四点。 【易错提醒】坐标有顺序，交换不相等坐标得到另一个点：两个因式为零的分支均不能漏。 43 【题型14反比例函数几何综合大题】 【方法提示】用坐标把图形中不变与变化的量分开，先确定分段范围与非退化条件，再用方程或配方解决 存在性和最值。 【例14】（改编自2025南京六十六中一模练习公开重排版第21题）如图，木板边界依次经过A=(4,0) 4 、B=(4)、C=(-2,4)、D=L4)、E=(4,)、F=(4,0)。其中BC是线段，DE是=x的一段曲线， 其余相邻边为线段。现截取矩形MNGH,下边在AF上，上边两个端点H,G分别在BC,DE上，矩形高为 h,1≤h≤4。 (1)用h表示H,G坐标和矩形面积S: (2)求S的最大值及此时的高： 25 (3)若要求面积为2，能否实现？说明理由。 2 A M 13h 7 【答案】 3；最大值6， 2:不能实现。 【分析】水平截线两端分别由直线与双曲线给出，面积化二次式后在给定区间内配方。 【】D直线c为7.皮”= 3 2h-14 G= 42h-14 3,h 曲线给出 h’钜形宽为h3,所 S=42h-14 =4-2+14n 以（h3 3 F3。 44 5=732 h-)2s3 7 7 (2)3=63 (h- h= 6。”2属于，4，故最大值可取，最优高为2。 2575、73 (3)266，超过最大值，故不能实现。 【易错提醒】限制在1到4使两个端点确实位于给定边段，不可只解二次式后忽略几何范围。 6 P=t, 【变式14-1】点 （t)位于第一象限。过P作斜率为-1的直线，分别交X,y轴于A,B。 (1)用t表示AB坐标： (2)求△OAB面积的最小值； (3)若该面积为27，求t的全部值。 B x A A=0B=0+6 3v6+√303√6-√30 t= 【答案】 最小面积12： 2或2。 【分析】两个正截距相等，面积由坐标和决定：先确定正号再解目标面积。 6 y=-x+t+ 【详解】(1)直线为 t,故两截点如答案。 ,当且仅当t=V6时取等号。 6=36 3W6±√30 )因>0,32等价于7 t+ t+ t= 0。所以P-3V61+6=0,解得2。 两个根均为正，故均满足定义域；代回即可得到S=27。 【易错提醒】由平方等式开方时应利用正截距排除负号，两个正「都不能漏。 45 4 【变式142】固定点1=(-14)在第二象限双曲线=x上，动点P也在该分支上。若AP的中点M在另 25 V= 一双曲线4x上，求所有符合条件的P,并判断是否可能有P=A。 M OT≥x :不可能P=A。 【分析】将P写为(6,4/)，把中点的乘积条件化为t与其倒数的和。 4 【详解】设 其中t>0。则 t). 其坐标乘积为 0-2+ 125 117 2+1+-= 由M在第二条曲线上，得 t,4,即14。化为4-171+4=0，得=4或4，故P=(41) -1) 或 25 若P=A,则M=A,坐标乘积为-4而不是4，故不可能；两个求得点也均不同于A。 【易错提醒】中点不能用函数值平均代替横纵坐标各自平均：P固定点重合情形要单独检查。 46 【变式143】第一象限内4=(a,4)、B=(4,)在同-双曲线'-k上，a>0。点D在y轴上，且 ∠ADB=90°。 (1)用a表示k: (2)求存在这样的点D时k的全部范围： (3)当k=2时，求D的全部坐标。 2 D B 1 0 5+5 D 15-5 【答案】k=4a;0<k≤3： 2 或 【分析】用勾股定理写直角条件得到D纵坐标的二次方程，再用判别式判断是否与'轴相交。 【详解】(1)k=a×4=4a。 (2)设D=(0,d)。由DP+DB2=AB,展开并化简得d2-5d+4+42=0。该方程有实根的条件为 25-44+4a2)=9-16a2≥0 3 0<a≤ 因a>0,故 4,即0<k≤3。每个实根d都给一个y轴上的D,且A/B横坐标均正，所以D不与 A/B重合，勾股逆定理可反向保证直角。 1 5±V5 Q= d= (3)飞=2时2，方程为d-5d+5=0,所以“2，得到两个点。 【易错提醒】判别式允许等于0，表示恰有一个D,而不是没有直角点。 47 【题型15反比例函数的应用】 【方法提示】模型先写实际定义域：检查数据的乘积是否恒定。改变条件时需区分纯反比例部分与固定费 用、准备时间等附加项。 y= 【例15】（改编自2025南京联合体零模公开重排版第14题）实验室用关系x描述镜片度数y(度) 与焦距x(m),x>0。已知一枚标准镜片的焦距为0.2m、度数为500度。工作人员记录四枚镜片的数据 如下：(0.16,625)、(0.20,500）、(0.25,450）、(0.50,200) (1)检查哪组记录不符合模型，并在焦距可信的前提下更正度数： (2)若一枚镜片的度数记录为250度，焦距应为多少？ (3)能否断言“焦距每增加0.05m,度数都减少100度”？用两组符合模型的数据说明。 【答案】第3组错误，应为0.25,40)：焦距0.4m:不能断言。 【分析】标定后统一用坐标乘积检查数据，再用反例检验线性增量说法。 100 y= 【详解】(1)k=0.2×500=100,模型为x。第1、2、4组乘积均为100，第3组乘积为112.5，不 符。焦距为0.25时度数应为100÷0.25=400度。 250=100 (2) x,得x=0.4m。 (3)不能。焦距由0.20增至0.25时，度数由500降至400，减少100度；由0.25增至0.30时，度数由400 1000 200 降至3，减少3度，不是100度。 【易错提醒】反比例函数并不具有固定自变量增量对应固定函数值增量的特征。 48 【变式15-1】一辆实验运输车需行驶120km,行驶速度为km/h,全程保持匀速，并安排固定0.5h的中途 检查。限速为30≤v≤60 (1)求总耗时T关于V的关系式，并判断T是否为的反比例函数： (2)任务要求总耗时不超过3.5h且不短于2.5h,求速度可行范围； (3)若把检查时间增加到h,沿用第(2)问的总耗时要求，速度范围如何变化？ 7=1201 【答案】 y2,不是反比例：40≤v≤60；改后48≤v≤60。 【分析】先分开纯行驶时间和固定检查时间，再结合限速取区间交集。 7=120.1 【详解】(1)总耗时y2。因多了非零常数项，T不具有kv形式，故不是反比例函数；纯行驶时 间是反比例函数。 120+1<7 120+1≥5 (2)v22给v240,v22给v≤60，与限速交集为40≤v≤60。 7 T= 0.2得8sv≤80，再530vs0相交，得8s60 (3)改后 【易错提醒】总时间有固定检查项，不能将当作常数。 【变式15-2】一批订单有240件产品，每名工人每小时完成8件。安排x名工人合作，x为不超过12的正 整数，正式加工前每人还需参加1小时统一准备，准备期间不生产。 (1)求正式加工时间t及含准备的总时间T; (2)若总时间不超过6小时，求x的全部可行整数值： (3)每人每小时人工费用为5元，准备与加工均计费，在第(2)问条件下安排多少人使总人工费用最 少？最少多少元？ 30 t=- T=1+ 【答案】x, x;x=6,7,8,9,10,1,12:安排6人，最少180元。 【分析】先区分固定工作量的反比例加工时间与统一准备的额外时间，再将总人工成本化简。 240_30T=1+ 30 t= 【详解】(1)8xx, 1*0 ≤6 (2)”x且x>0,得x≥6。结合正整数及上限12，可行值为6,7,8,9,10,1,12。 49 C=5xT=5x1+ 30 150+5x (3)费用 ,在可行整数中随x增大而增大，最少在x=6时取到，为180 元。此时T=6小时，符合时限。 【易错提醒】工人更多使加工更快，但所有工人的准备时工资也增加，总人工成本未必下降。 【变式15-3】展览馆投影画面面积固定为l8m,矩形画面的宽为m、高为m。要求画面宽高比不小于 3 2且不大于2，同时画面高度不超过3m。 (1)写出V关于x的关系式： (2)求画面宽度的全部范围： (3)若画面四周需安装边框，求边框最短总长度，并核验取值满足全部限制。 18 y= 【答案】x(x>0);只有x=6;最短边框总长18m。 【分析】先把宽高比转为x平方的区间，再在长边大于高的区间比较周长。 18 y 【详解】(1)y=18,故x,x>0。 x_x2 3x2 183 2广i8.由21852，得27≤≤36，所以35≤x≤6。高度条件S3婴求x之6，因此合并后实 际只有x=6。 (3)当x=6时y=3,边框为2(6+3列=18m。宽高比为2且高度为3，均满足，因可行宽度只有此一值， 最短总长度即l8m。 【易错提醒】分别得到的条件必须全部合并：高度约束可使一个看似连续的可行区间缩成单点。 50 【题型16圆周角综合证明计算题】 【方法提示】先写清点所在的弧与射线次序，再在直角、等腰或相交弦三角形中转角。 【例16】（改编自2024泰州姜堰期中，公开重排版第20题）AB是上半圆直径，C、D在半圆上， ODI BC,OD交AC于E。 (1)若∠ABC=70,求∠CAD: (2)若AB=4,AC=3,求DE。 D A 2、V分 【答案】(1)35°：(2)2。 【分析】平行半径、弧中点与圆周角。D在劣弧AC内，∠ADC所对的是优弧AC,不能取另一侧的70 【详解】(1)AB是直径，AC⊥BC,故OD⊥AC,所以D为劣弧AC中点。 严谨地：∠AOD=∠DOC,且D在劣弧AC上。∠AOC=2∠ABC=140°，所以∠DOC=70°。圆周角 ∠C4AD=5<CoD=35】 9√7 OE= /4- (2)OE⊥AC,所以 E=CE=3 。半径2，得 42。E在OD内， DE=2- 2。 【易错提醒】D在劣弧4C内，∠ADC所对的是优弧4C,不能取另一侧的70°。 51 【变式16-1】圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于E。若EA=ED,证明： (1)EB=EC; (2)AB=CD且AC=BD。 E D 【答案】两问均成立。 【分析】相交弦的相似、全等与线段和。不能仅用EA=ED就判两个三角形全等，另一组角与对应关系不 可缺。 EA EB 【详解】(I)由同弧圆周角及对顶角，△EAB△EDC,所以EDEC。EA=ED且不为O,故EB=EC (2)相似比为I,故两三角形全等，AB=CD。又AC=EA+EC,BD=EB+ED,由两组相等线段相加 得AC=BD 【易错提醒】不能仅用EA=ED就判两个三角形全等，另一组角与对应关系不可缺。 52 【变式16-2】（改编自2024无锡新吴适应性，公开重排版第10题）圆上四点A、B、C、D依次排列， AC、BD交于P。证明∠APB=∠ADB+∠CAD,并说明该等式不能把∠APB替换为相邻的∠APD。 B D 【答案】等式成立；相邻角应为其补角。 【分析】相交弦角与外角定理。同一个交点上的邻角互补，对顶角才相等。 【详解】在三角形APD中，∠PAD=∠CAD,∠ADP=∠ADB。因为PB、PD是相反射线，∠APB是三 角形APD在P处的外角，所以等于两个不相邻内角之和。 相邻的∠APD=180°-∠APB,一般不等于同一内角和；仅当该内角和恰为90°时才巧合相等。 【易错提醒】同一个交点上的邻角互补，对顶角才相等。 53 【变式16-3】圆外一点P引出两条割线，点序分别为P一A一B与P一C一D,两条射线夹角小于90。 小弧AC和不含A、C的弧BD的度数分别为a,B,其中0<a<B<I80°。证明2 PC=B-a =2。 B A 0· C 【答案】见证明。 【分析】两割线外角的弧差公式推导。外点两割线角对应弧差的一半，不是弧和；必须按射线点序选角。 【详解】连接AD。在三角形PAD中，PD与PC同射线，所以∠APD=∠APC。∠BAD是三角形PAD在 A处的外角，故∠APC=∠BAD-∠ADP。 B 圆周角∠BAD所对不含A的弧BD为P,所以等于2；∠ADP=∠ADC,所对不含D的小弧AC为C,所 0 以等于2。相减即得结论。 【易错提醒】外点两割线角对应弧差的一半，不是弧和：必须按射线点序选角。 54 【题型17圆内折叠几何综合大题】 【方法提示】先找折痕的垂直平分关系，区分点是否仍在原圆上。需要坐标时用距离相等列式，并检查像 点的范围。 【例17】圆形纸片的圆心为O,直径AB=10。沿一条弦CD翻折，使点A恰好落在O,点B的像记为B' (I)设CD与AB交于H,求AH与CD; (2)判断B在原圆内、圆上还是圆外： (3)求aCDB的面积。 A H B D AH=5 75W5 【答案】(1) =2,CD=55:(2)圆外：(3)4。 【分析】折痕是AO的垂直平分线，原像各自到折痕距离相等。 H=H0= 55 【详解】(1)A0=5,所以 2,且CD⊥AB。垂径定理得 2，故 CD=53。 (2)以O为原点、OB方向为正， A=-5,B=5,H=-5 2。反射得B'=-10,故0B=10>5,在圆外。 55 (3) 2,于是5-55x55 BH=- 1 24。 C B A 功 O B D 【易错提醒】A落到圆心不表示整个纸片的圆心保持不动。 【变式17-1】圆O半径为6，AB是直径，点C在上半圆且∠BAC=30°。沿直线I翻折纸片，使点B落在 C,I与劣弧BC交于D。 (1)说明1必经过0： (2)求劣弧CD的长度： (3)求aCOD的面积与弦CD的长度。 【答案】(2)元：(3)面积9，弦长3(6-) 【分析】圆心等距于两个对应点，因此在折痕上：折痕平分圆心角。 【详解】(1)折痕I是BC的垂直平分线，因OB=OC,O必在I上。 30 ×2π×6=π (2)劣弧BC度数为60°，OD平分∠BOC,故∠COD=30°，弧CD长360 56 1 Sco加=5×6×6×5=9 (3) 2 。作CE⊥OD,则CE=3,OE=3V5,ED=6-35 CD=CE+ED2=72-365,所以CD=36-2)】 【易错提醒】作图时D是劣弧中点，不能误取同一直线的另一个交点。 【变式17-2】圆O的直径为AB,点C在圆上，AC=6,BC=8。将点C沿直线AB翻折到D,CD交AB 于H。 (1)说明D仍在原圆上，并求AB: (2)求AH与CD: (3)求四边形ACBD的面积和周长。 H 0 B 0 【答案】1)4B=10:2》4二5-5 5:(3)面积48，周长28。 【分析】直径所在直线经过圆心，翻折保持到圆心距离：直角三角形用面积求高。 【详解】(1)OD=0C,故D在原圆上。∠ACB=90°，AB=V6+82=10。 CH=ACxBC 24 (2) AB 5 4H=8=5,CD=2CH-48 5。 3)A4DB与AACB全等，在B两侧，故四边形面积为2×。X6x8三8 °：周长为2(6+8)=28 【易错提醒】四边形边序为4-C-B-D,不是按四字母默认顺序连成自交图形。 57 【变式17-3】圆O半径为4，取互相垂直的两条半径OA,OB。点M在线段OB内部运动，记OM=t。沿 直线AM翻折，点O的像为N。 (1)当t=2时，求ON并判断N与原圆的位置关系： (2)用含t的式子表示ON: (3)求N在原圆内部时t的取值范围。 B M Ow=&5 ON=_ 8t 6+2；(3) 0<< 45 【答案】(1) 5,圆内：(2) 3。 【分析】用直角三角形面积求圆心到折痕的距离，像距等于其两倍。 4t OH= 【详解】设OH L AM于H。由面积关系，OH×AM=OA×OM,且AM=V16+F,故V6+P。 8t ON =20H=- OW=I16-85 <4 由折叠得 16+。当1=2， N=√205，所以N在圆内。 58 <4 45 圆内要求6+i:因1>0可平方，得64<166+)，即3r2<16。结合0<1<4，得0<1<3。 0<t< B 【易错提醒】只在>0且两边非负时按平方后的不等式判断。 59 【题型18圆动点线段探究题】 【方法提示】由恒定直角找轨迹圆：变弦先用弦心距，最值须检查限制弧与等号点。 【例18】（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第2题）上半圆直径AB=10,D在半圆上且 AD=5V5。C从B出发，沿不含A的弧BD运动到D,过D作DH⊥AC于H。 (1)证明H在一个固定圆上，指出圆心、半径： (2)求H经过的路径长。 D H C ○ 53 5V5π 【答案】(1)以AD中点M为圆心、2为半径的圆：(2)6。 【分析】垂足轨迹圆与弧长。轨迹圆半径不是原半圆半径；终点D对应退化直角按极限位置计入。 AD 5V3 【详解】(1)∠AHD=90°，故H在以AD为直径的圆上。其圆心为AD中点M,半径22。 H=D的终点按连续运动计入。 (2)由原半圆∠ADB=90,得BD=5,∠DAB=30°。初始H为D在AB上的垂足H,终止H=D;在 60π5V35V3元 轨迹圆内，∠H,4D=30,所以H经过的小弧H,D圆心角为60°，路径长为1802=6。 【易错提醒】轨迹圆半径不是原半圆半径；终点D对应退化直角按极限位置计入。 60 【变式18-1】（改编自2024扬州树人期中，公开重排版第3题）圆O半径为5，圆内点P满足OP=3。两 条互相垂直的弦AB、CD都经过P。 (1)证明AB2+CD为定值并求值； (2)求乘积AB×CD的最大值，并说明何时取得。 B 0 【答案】(1)164；(2)82，圆心到两弦距离相等时取得。 【分析】过定点正交弦的平方和与乘积最值。圆心到弦的距离不是OP本身，两条垂线段平方和才等于OP 平方。 【详解】从O分别向AB、CD作垂线，垂足M、N。四边形OMPN为矩形（当P在某条直径上时用退化 直角关系仍成立)，所以OM2+ON2=OP2=9。 由垂径定理，B=4(25-0M）,CD2=4(25-0N),相加为200-36=164。 由(4B-CD)'≥0，得2AB×CD≤AB+CD2=164,故乘积不超过82。取OP与两弦都成45°，可使 OM=ON,两弦长度相等，乘积恰为82。 【易错提醒】圆心到弦的距离不是OP本身，两条垂线段平方和才等于OP平方。 61 【变式18-2】（改编自2024扬州梅岭期中，公开重排版第17题）圆0半径为5，弦AB=8,P在优弧 AB上且不与A、B重合。 (1)求PA+PB的最大值及取得位置： (2)它是否有最小值？说明理由。 0. 【答案】(1)8W5,P为优弧AB中点：(2)没有最小值，其下界为8。 【分析】圆上两段距离和的最值与不取到的下界。最大值两个不等式的等号必须能同时达到：下界不一定 是最小值。 【详解】取O(0,0,4(4,3),B(4,3)。设P(x,),则+y=25。有P+PB=100-12y≤160。又 (PA-PB2≥0，故(PA+PB)≤2(PA+PB2)s320 当且仅当y=-5且PA=PB时两次等号同时成立，即P=(0,-5)为优弧中点，最大值为8V5。 P不在弦AB上，三角形不等式给出PA+PB>AB=8。当P沿优弧任意接近A或B时，和可任意接近8； 端点被排除，不能等于8，所以没有最小值。 【易错提醒】最大值两个不等式的等号必须能同时达到；下界不一定是最小值。 62 【变式18-3】（改编自2024扬州树人期中，公开重排版第3题）圆O中固定一点P,0<OP<r。经过P 作变弦AB,M为AB中点。 (1)证明M的轨迹为以OP为直径的圆； (2)说明这条轨迹圆上的每一点（包括O、P)都能取到： (3)取r=5、OP=3,求AM的最小值。 M A 【答案】(1)(2)见证明：(3)4。 【分析】定点弦中点轨迹的充分必要与端点。只证明M在某圆上还没有证明整个圆均能取到，O、P两点 应单独构造。 【详解】(1)M为弦中点，OM垂直AB,所以当M与O、P不重合时∠OMP=90°，M在以OP为直 径的圆上。AB是经过P的直径时M=O；AB垂直OP时M=P,这两个端点也属于该圆。 (2)反过来，取轨迹圆上一点M,若M不同于O、P,则OM⊥PM:直线PM经过圆内点P,必截原 圆成一条弦，且M为该弦中点。M=O时取直径OP,M=P时取过P且垂直OP的弦即可。 (3)AM=r2-OM2。轨迹上OM最大为OP=3,所以AM最小为V25-9=4,当M=P时取到。 【易错提醒】只证明M在某圆上还没有证明整个圆均能取到，O、P两点应单独构造。 63 【题型19直线与圆相切证明计算】 【方法提示】切线判定最终落到切点半径垂直：可以用角相减、等面积距离或勾股逆定理补出该垂直。 【例19】（改编自2024无锡新吴适应性，公开重排版第26题）圆O的切线AD切于A,弦BC平行AD, 过C作CD平行AB交AD于D。AO交BC于M;过C作CP,使P在射线AO上且位于M外侧， ∠BCP=∠ACD。设AB=a,BC=b,且2a2>b2. (1)证明CP是圆的切线： ba2 （2》证明CP2a-P,并解释20=b时为什么没有这样的有限点P。 0 4 M C D 【答案】(1)见证明：(2)公式成立，临界时CP与A0平行。 【分析】平行弦与切线一般公式、临界几何解释。参数分母为0对应平行无交点，不可把它机械称为线段 无限长。 【详解】(1)OM垂直BC,BM=CM,所以AB=AC。设∠OAB=0,则∠ACD=∠BAC=20。圆内 半径等腰关系给出∠OCB=90°-20，故∠OCP=90,为切线。 =AM=a (2)令 4、r=0A,m=OM。题设2a2>b2对应M在0的反A一侧，有r+m=h, r2-m2= 2a2-b2 4。解得2h,m= CP=CMxr ba 4h。由直角三角形相似， m2a2-b2。 64 当2a2=b时m=0,BC是过O且垂直AO的直径。其端点C的切线平行A0,故没有有限交点P,公式的 分母也恰为0。 【易错提醒】参数分母为·对应平行无交点，不可把它机械称为线段无限长。 【变式19-1】（改编自2024泰州姜堰期中，公开重排版第26题）不寻找圆心，只用三角板画圆在已知点 A处的切线。小明提出： ①在圆上取C,令三角板直角顶点位于C,使两直角边分别通过A和另一圆上点B: ②连接AB,再在A处画AB的垂线I。 请判断该方法是否正确，并证明。指出选C时应避免什么退化情况。 B 【答案】正确：须使C、A、B互不重合、三角形非退化。 【分析】圆周角逆定理与无圆心切线作法。三角板另一边可能在C处相切而没有第二交点，作法需排除该 退化。 【详解】由三角板得到∠ACB=90°，所以AB是所给圆的直径。过直径端点A作AB的垂线，便垂直过A 的半径，因此为切线。 C不能与A重合；另一条直角边应真正与圆交于异于C的B。若CA已是直径，则过C的垂线为切线，只 有C一个交点，不能得到另一点B,该C也应避免。 【易错提醒】三角板另一边可能在C处相切而没有第二交点，作法需排除该退化。 65 【变式19-2】从圆外点P引割线，点序为P一A一B,PA=3,PB=12。圆上另有点C,PC=6,且PC与 割线不重合。证明PC是该圆的切线。 M B 【答案】见证明。 【分析】割线两段与圆幂、勾股逆判切线。满足某个乘积等式不能直接代替证明，需推出切点半径垂直。 【详解】作圆心O到AB的垂线，垂足M,半径为”。垂径定理得 M=BM=12-39 22, PM=12+315 2 2。 由两组勾股关系， Op--PwAm-停-=6.又rC=360c=r,所以oP=pC+oC ,由勾股逆定理知OC上PC,因此为切线。 【易错提醒】满足某个乘积等式不能直接代替证明，需推出切点半径垂直。 66 【变式19-3】等腰梯形ABCD中，AB‖CD,AB=10,CD=4,AD=BC=7。O为两底中点连线的中点。以O 为圆心、√0为半径作圆。证明它同时与梯形四条边相切。 B 【答案】见证明。 【分析】等腰梯形、等面积求距离与内切圆。不能仅证明与两底相切就认定它是内切圆，另两腰距离也须 相等。 【详解】两底长差的一半为3，所以梯形高为V-32=20.0到两底的距离均为V0,圆与两底相 切。 梯形面积为2 10+4)×210=14W10 。三角形OAB面积5V10,OCD面积2√10，剩余的三角形OAD、 7W10 OBC由轴对称面积相等，均为2。 2×7W10/2 因此O到腰AD,BC的距离均为 7 。设到AD的垂足为H,由O4=35,OD2=14得 AH2=35-10=25,DH=14-10=4,所以AH=5,DH=2。因AH+DH=AD=7,垂足H在线段AD 上；另一腰同理。故该圆与四条边均相切。 【易错提醒】不能仅证明与两底相切就认定它是内切圆，另两腰距离也须相等。 67 【题型20圆与几何图形综合求值】 【方法提示】先识别圆中直径或直角，再把圆与矩形、梯形、正多边形的固定量连接，必要时作坐标。 【例20】（改编自2024泰州姜堰期中，公开重排版第22题）两个边长均为a的正方形，一个的顶点O恰 在另一个的中心；第二个正方形可以绕O旋转，且两条过O的邻边射线之间的90°区域落在第一个正方形 内的一部分为重叠区域。证明：无论如何旋转，重叠面积与第一个正方形剩余面积之比恒为：3。 】 B 【答案】恒为1：3。 【分析】正方形外接圆界限与旋转对称面积。90°对称只确定无限角区域的面积，还应排除另两条有限边 的裁切。 【详解】固定正方形绕中心0旋转90°与自身重合。两条过0的互相垂直射线把它分成4个绕0旋转90°可 a2 相互重合的区域，因此每块面积均为4。 a 还衢确认第二个正方形的另外两条边不裁去该0区城：第一个正方形内任一点到0的距离不超过万<口 ，它沿第二正方形两邻边方向的投影也均小于4，所以这块区域完整落在第二正方形内。 68 12 3a2 于是重叠为4，剩余为4”，比为1：3。 【易错提醒】90对称只确定无限角区域的面积，还应排除另两条有限边的裁切。 【变式20-1】矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E为AB中点。直线CE与矩形外接圆的另一交点为F，点 序为C一E一F。 (1)求外接圆半径： (2)证明EC×EF=EA×EB: (3)求EF。 0. E B F 9√73 【答案】(1)5；(2)见证明：(3)73。 【分析】矩形外接圆、相交弦与根式长度。E在圆内，相交的两条弦是AB与CF,点序应为C一E一F。 【详解】(1)矩形对角线AC=10,外接圆以AC为直径，半径为5。 EA EC (2)同弧圆周角及对顶角给出△EAC∽aEFB,因此EFEB,即EC×EF-EA×EB。 EF=9=973 (3)EA=EB=3,EC=V32+8=√73，故√7373。 【易错提醒】E在圆内，相交的两条弦是AB与CF,点序应为C一E一F。 69 【变式20-2】等腰梯形ABCD中，AB‖CD,AB=8,CD=2,两底间距离为3。 (1)证明四点共圆； (2)求外接圆圆心到AB所在直线的距离及圆半径，说明圆心在梯形内还是外。 A B 0. 【答案】(1)见证明：(2)距离1，半径V7,圆心在梯形外。 【分析】等腰梯形共圆与外心位置。等腰梯形的外心未必在梯形内部，不能凭图先限定k为正。 【详解】(1)等腰梯形两底角相等，同旁内角互补，所以一组对角互补，四点共圆。 (2)取4(-4,0)、B(4,0)、D(-1,3)、C(L,3)。圆心在对称轴y轴上，设为O(0,)。由0=0C2,得 16+=1+B-),解得k=-1。圆心在AB下方，为梯形外部，到AB距离1：半径V④+P=7。 【易错提醒】等腰梯形的外心未必在梯形内部，不能凭图先限定K为正。 70 【变式20-3】（改编自2024扬州江都一模，公开重排版第17题）边长为12的等边三角形ABC纸片上， 以A为圆心、AB和AC的方向为两条半径，剪出一个完整的60°扇形，且扇形不得越出三角形。 (1)求这个扇形的最大半径： (2)求取到最大半径时余下纸片的面积： (3)说明为何把半径取成12不可行。 B M 【答案】(1)6V3,(2)36V3-18m:(3)弧中部越过BC。 【分析】等边三角形高与圆弧最大可容半径。半径的限制来自圆弧中部到对边的距离，而非只来自两条边 长。 【详解】(1)以A为圆心的扇形完全在三角形内，半径最多为A到BC的距离：等边三角形高为 V12-6=6N5。当圆弧与BC中点相切时能够达到，所以最大半径为6V5 ×12×6√5=36√3 60 元(6V3)2=18 (2)三角形面积为2 ,扇形面积为360 。余料面积为36√5-18元。 (3)若半径12，沿角平分线方向圆弧点距A为12，大于该方向上到BC的高6N3,将越出纸片。因此不 能只凭AB、AC长12取最大半径。 【易错提醒】半径的限制来自圆弧中部到对边的距离，而非只来自两条边长。 71 【题型21孤长或面积综合应用】 【方法提示】圆锥展开保持弧长等于底面周长；材料问题先算每件所需圆心角，再分清可用整圆与实际剩 余区域。 【例21】（改编自2024扬州梅岭期中公开重排版第12题）用半径为24cm的扇形纸片围成圆锥帽，底面 半径为l0cm,忽略接缝。 (1)求每顶帽子所需扇形的圆心角及面积： (2)从半径24cm的整圆纸片中切出两块这样的扇形，剩余面积是多少？ (3)要求每块扇形与整圆纸片同心、半径等于整圆半径，且扇形之间互不重叠。若想从一张整圆纸片切 出三块相同扇形，围成底面半径仍为l0cm的帽子，整圆纸片半径至少多大？ B 【答案】(1)150°，240mcm:(2)96πcm2:(3)30cm。 【分析】每项帽子的弧长固定为底面周长：三块扇形共享一个整圆的角度预算。 0=20m.×360=150 1 ×24×20π=240m 【详解】(1)扇形弧长为20π，所以2π×24 面积为2 (2)剩余面积为π×24-2×240m=96πcm2。 3600° 3600 3× ≤360 (3)若新半径为L，每块扇形圆心角为L。三块不重叠要求L ，即L≥30；L=30时三块 各120，可以实现。 【易错提醒】帽子底面不计入纸片，整圆半径等于帽子母线长。 72 【变式21-1】（改编自2024无锡梁溪金桥零模公开重排版第11题）圆锥模型的底面半径为4cm,高为 3cm,沿一条母线剪开侧面。 (1)求展开扇形的半径及圆心角： (2)求展开扇形的周长： (3)从恰好能容纳该扇形、与扇形同心的整圆纸片中剪去扇形，余料面积为多少？仅从面积看，余料是 否足够另做一个半径4cm的圆形底面？ 【答案】(1)5cm,288:(2)(10+8m)em:(3)5πcm2,不够。 【分析】母线用勾股定理，弧长保持为底面周长；面积不足可直接排除裁出底面。 【详解】(1)母线1=V4+32=5,扇形弧长为8元，所以圆心角为10元 8m×360°=288° (2)扇形周长为两条半径加弧长，等于5+5+8π=10+8πcm。 (3)整圆面积25π，扇形面积π×4×5=20π，余料为5πcm。圆形底面面积为16πcm,余料总面积尚不 足，故不可能剪出。 【易错提醒】展开扇形的周长需加上两条母线：面积够大只是裁剪可能性的必要条件。 【变式21-2】（改编自2025·苏州吴中吴江相城二模公开重排版第14题)一个圆锥侧面积为8πCm,侧面 展开扇形圆心角为45°。 (1)求该圆锥的母线及底面半径： (2)将两块这样的展开扇形沿一条半径无缝拼成一个90°扇形，再围成一个新圆锥， 求新圆锥的底面半径与高： (3)求新旧圆锥底面周长之比，并说明为何不等于母线长之比。 【答案】(1)母线8cm,底面半径1cm;(2)半径2cm,高2W15cm:(3)2:1。 【分析】先由扇形面积逆求母线，再利用拼接后弧长加倍而半径不变。 452=8m 【详解】(1)360 ,得=8。由l=8π，得r=1。 (2)拼接后扇形半径仍为8、圆心角为90，弧长为4红，所以新底面半径R=2:高h=V82-2=2。 73 (3)新旧底面周长比为2：1，母线长之比为1：1。底面周长由展开弧长决定；拼接使弧长加倍，却未改变 扇形半径。 【易错提醒】把两块扇形拼接时加倍的是圆心角和弧长，不是母线。 【变式21-3】（改编自2024-2025学年.泰州兴化九上期末公开重排版第13题）一块扇形标牌的半径为 36cm,外侧弧长为4πcm。沿与外弧同心、半径为30cm的圆弧裁去内侧部分，保留一条弯曲边框。 (1)求标牌的圆心角： (2)求保留边框的面积； (3)若沿边框的全部边界粘贴饰条，至少需要多长饰条（忽略损耗）？ D 22元 12+ cm 【答案】(1)20°；(2)22cm;(3) 3 【分析】环形扇区用同角两扇形面积相减，边界包括内外弧及两条径向短边。 4π= ×2π×36 【详解】(1)由360 得0=20°。 20 π362-302)=22πcm2 (2)边框面积为36 3010元 22π 4π× 4π cm (3)内弧长为363，两条径向短边共12，饰条总长为 10m+12=12+ 3 【易错提醒】饰条长度不能只算外弧，也不能把两条短边写成完整半径。 74 【题型22圆中动点存在性探究题】 【方法提示】把存在性化为坐标或距离方程，逐一检查三种等腰条件、切点条件、象限和端点。 【例22】圆0以原点为圆心、半径为5，A(-3,0),B(3,0) (1)圆上是否存在P,使PA=2PB?若存在，求所有P的坐标： (2)若PA=kPB,求存在圆上点P时正数k的范围，并说明边界的P位置。 A B 【答案】(1) 5 1≤k≤4 (2)4 边界分别在(5,0、5,0)。 【分析】圆上距离比的存在范围与全部坐标。平方后因距离均为正可以还原比例，但仍需检验x落在圆投 影范围内。 【详解】(1)设P(x,),由+y=25,PP=34+6x,PB2=34-6x。条件给出34+6x=4(34-6), 17 4V21 x= y=土 解得5，进而 5,两点均在圆上且满足原条件。 k2-34+6x 116 (2)34-6x,其中-5≤x≤5，分母至少4>0。这个分式随x增大严格增大，其两端值为16。所 1 ≤k≤4 以 。对任一范围内的k可反解一个x∈[5,5]并取圆上相应P,故充分。 【易错提醒】平方后因距离均为正可以还原比例，但仍需检验x落在圆投影范围内。 75 【变式22-1】圆O以原点为圆心、半径为5。P在直线y=4上，从P向圆引两条切线PA、PB。是否存在 P使两切线互相垂直？若存在，求全部P的坐标，并求三角形PAB面积。 25 【答案】存在，P54,4刊或P34,4,面积2。 【分析】两切线角、圆心距与线上点的存在性。不能把四边形OAPB的正方形面积当成三角形PAB面积。 【详解】若两切线互相垂直，则∠APB=90°。切线长相等，OP平分该角，直角三角形OPA中 ∠AP0=45°，所以0P=52。设P(x4),得x2+16=50,所以x=±V34。 反过来，这两个点都在圆外，切线三角形OPA满足OP=5V2,OA=5,故PA=5且∠AP0=45。对称另一 IPAxPB=25 切线给∠APB=90°，所以条件充分。面积2 2。 【易错提醒】不能把四边形OAPB的正方形面积当成三角形PAB面积。 76 【变式222】是否存在经过4(-2,0)，B(2,0),并与直线y=x+3相切的圆？若存在，求全部圆心坐标与半 径。 0 A 【答案】存在两个，圆心(0，-3+而)、(0，-3-0)，对应半径3反-5、32+5。 【分析】定弦与斜切线的两个圆、绝对值与二次方程。圆心位置有两个，不能只保留圆心在弦一侧的一个 根。 【详解】圆心在AB的垂直平分线y轴上，设为O(0,),半径平方为4+2。到直线y=x+3的距离为 k-3引 k-3=4+k2 V2。相切要求2 ,即k2+6k-1=0。 解得k=-3±0。对应r=V4+2=V23年6N0=32年V5。两个半径均正，圆均经过A、B,圆心到给 定直线距离等于半径，因此两解都存在且已穷尽。 【易错提醒】圆心位置有两个，不能只保留圆心在弦一侧的一个根。 77 【变式223】圆0以原点为圆心、半径为5，固定点1(6,0)。点P在圆上运动。 (1)是否存在P使三角形OAP为等腰三角形？求全部P坐标： (2)是否存在P使该三角形为等腰直角三角形？说明理由。 25.5V119 【答案】(1)P(3,4)或 (1212 (2)不存在。 【分析】等腰三角形三类边相等与直角顶点分类。一组边相等找到解并不代表己求全：等腰直角还需判断 哪条边为斜边。 【详解】(1)0P=5、0A=6,故0P=0A不可能。若PA=0P=5,由-6}+y=25及x2+y=25相 减得x=3,y=4。若PA=0A=6,同理得x=25/12,y=51912。这四点都在圆上且与0、A不 共线，因此全部有效。 (2)若等腰直角的两条腰为OP和OA,需5=6，不可能。若腰为OP和PA,则斜边OA应为5√2，与6 不符；若腰为OA和PA,则斜边OP应为6N2,与5不符。三种顶点位置全不可能。 【易错提醒】一组边相等找到解并不代表已求全；等腰直角还需判断哪条边为斜边。 78 专题01 期中复习压轴22类题型归纳（复习讲义） （考试范围：第1章 一元二次方程~第3章 圆） 【新教材苏科版】 题型归纳 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 2 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 6 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 10 【题型4 反比例函数比例系数的几何意义综合】 14 【题型5 圆周角求值问题】 18 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 20 【题型7 点到圆距离问题】 22 【题型8 直线与圆位置关系含参】 24 【题型9 扇形阴影面积计算】 26 【题型10 正多边形圆内角度计算】 28 【解答压轴】 【题型11 一元二次方程实际应用题】 30 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 34 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 38 【题型14 反比例函数几何综合大题】 42 【题型15 反比例函数的应用】 46 【题型16 圆周角综合证明计算题】 50 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 54 【题型18 圆动点线段探究题】 58 【题型19 直线与圆相切证明计算】 62 【题型20 圆与几何图形综合求值】 66 【题型21 弧长或面积综合应用】 70 【题型22 圆中动点存在性探究题】 74 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第12题）设是方程的两个实数根，不求出两根，求。 【变式1-1】（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第12题）是方程的两个实数根，则________。 【变式1-2】（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第25题）为方程的两根，求，并说明该式有意义。 【变式1-3】（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第16题）方程的两个实数根为。若，则________。 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 【例2】（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第26题）已知关于的方程。若两根一正一负，求的取值范围，并证明范围内的每个都满足要求。 【变式2-1】（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第20题）关于的方程有一个根为。若另一个根为，则________。 【变式2-2】（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第23题）方程的两个实数根为。求使成立的所有实数。 【变式2-3】研究方程，为实数。 （1）当时求解。 （2）求使原方程恰好有两个不相等且都大于的实数根的范围。 【题型3 反比例与几何图形综合计算】 【例3】如图，矩形的为原点，、，其中。在上。分别为中点，与交于。过的反比例函数表达式为________。 【变式3-1】第一象限点在上。取、，连接。求的面积。 【变式3-2】（改编自2024·宜兴树人第二次月考公开重排版第25题）如图，、在轴正半轴。在右侧的轴上，在第一象限，轴。已知、，为中点。 （1）证明； （2）求过的反比例函数。 【变式3-3】等腰直角三角形的三个顶点为、、。将整个三角形向右平移、向下平移个单位，已知、，并且都落在上。求。 【题型4 反比例函数比例系数的几何意义综合】 【例4】在的第一象限分支上取，横坐标依次为。对每个，以、、和经过的水平线围成一个矩形。求这个矩形面积之和。 【变式4-1】第一象限内的、、在同一双曲线上，。若，求。 【变式4-2】在第二象限，且位于上，其中。取、，若的面积为，求。 【变式4-3】同一双曲线（）上的两点为、。分别过两点向坐标轴作垂线，得到两个包含原点的矩形。若两矩形并集面积为，求及交集面积。 【题型5 圆周角求值问题】 【例5】（改编自2024·无锡梁溪金桥零模公开重排版第15题）四边形依次内接于圆，是直径，。连接，则______。 【变式5-1】圆上四点按此顺序排列，四段弧的度数之比为。弦与交于，则______。 【变式5-2】圆内接三角形中，，。点是优弧的中点（与可在同一段弧上），则较小的______。 【变式5-3】圆内接四边形按顺序排列，，，。较小的______（为圆心）。 【题型6 圆内折叠角度长度计算】 【例6】为圆的直径，在上半圆，。将点沿直线翻折至，连接，则较小的______。 【变式6-1】圆形纸片半径为，弦长，为的中点。将圆心沿翻折为，则______；点在原圆______（填“内”“上”或“外”）。 【变式6-2】半径为的圆中，弦到圆心的距离为。是劣弧的中点，沿翻折得。设直线与交于，则______，______。 【变式6-3】圆中，是直径，为圆上一点且。把沿弦翻折，的像为，则______。 【题型7 点到圆距离问题】 【例7】在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径作圆（）。已知点在圆外，点在圆内，则的取值范围为______。 【变式7-1】平面内圆的圆心为原点、半径为。在线段上运动，其中，；在圆上任意运动。则的最小值为______。 【变式7-2】圆半径为，固定点满足。点在圆上运动，点在线段上且。则的取值范围为______。 【变式7-3】圆以坐标原点为圆心、半径为，点在圆上运动，，。则的最小值为______，最大值为______。 【题型8 直线与圆位置关系含参】 【例8】圆的圆心为，半径为。圆与直线相离时，实数的取值范围为______。 【变式8-1】点到直线的垂足为，，。以为圆心、为半径作圆。射线与该圆恰有两个公共点时，的取值范围是______（射线包含端点）。 【变式8-2】圆同时与两坐标轴相切，圆心在第一象限，圆心横坐标为。该圆与直线相交于两个不同点时，的取值范围为______。 【变式8-3】直角三角形中，，。以为圆心、为半径作圆，直线与该圆相切，则______。 【题型9 扇形阴影面积计算】 【例9】（改编自2025·淮安涟水模拟公开重排版第15题）扇形半径为，面积等于底面半径、母线长的圆锥侧面积。连接，弧与弦围成的弓形面积为______。 【变式9-1】（改编自2025·宿迁沭阳三模公开重排版第13题）两个半径为、圆心角均为的扇形有共同圆心。第二个扇形由第一个绕旋转得到。两个扇形覆盖区域的并集面积为______。 【变式9-2】正方形边长为。设其外接圆内、正方形外的面积为，正方形内、内切圆外的面积为，则______。 【变式9-3】两个半径均为的圆，圆心分别为，，交点为。两圆公共区域的面积为______。 【题型10 正多边形圆内角度计算】 【例10】（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第3题）正边形（）内接于圆。是其中一边，分别位于劣弧和优弧上且不与端点重合，若，则______。 【变式10-1】正十边形内接于圆，弦与交于。则______。 【变式10-2】正八边形内接于圆，连接。三角形的最大内角为______。 【变式10-3】正边形（）内接于圆，若，则______，该多边形外接圆半径与内切圆半径之比为______。 【解答压轴】 【题型11 一元二次方程实际应用题】 【例11】（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第14题）某项业务第一年收入为亿元，第三年收入为亿元，两次年增长率相同且为非负数。 （1）求第二年的收入（保留根式）。 （2）第三年比第二年多收入多少亿元？ （3）若第一年至第三年的这三次年度收入相加，是否超过亿元？说明理由。 【变式11-1】一个兴趣营原有人，每人收费元。若再招收人，组织方将对全体参加者每人减收元，且收费应为正。 （1）若总收费恰为元，能否实现整人招收？ （2）在为非负整数的条件下，求总收费的最大值。 【变式11-2】某设备原来每运行小时耗电千瓦时。改造分两步：第一步减少的比例，第二步在第一步基础上再减少相同比例，同时增加一个固定每小时耗电千瓦时的监测模块。最终每运行小时总耗电千瓦时。 （1）求每一步的降低率。 （2）若设备每天运行小时、电价每千瓦时元，求一天节省的电费。 【变式11-3】某馆日预约上限为人。第一阶段实际预约人数比基准人的增长率为；第二阶段在第一阶段基础上增长率比第一阶段多个百分点，结果刚好达到日预约上限。 （1）列出关于的方程并求非负解。 （2）第二阶段比第一阶段增加了多少人？ 【题型12 一元二次方程与几何图形综合】 【例12】一块边长厘米的正方形纸板，四周留宽度相同的边框，内侧保留一个面积为平方厘米的正方形。 （1）求边框宽度。 （2）若把边框宽度增加厘米，内侧面积减少多少平方厘米？ 【变式12-1】两个正方形的边长分别为厘米，。已知，且两个正方形面积之和为平方厘米。 （1）求两边长。 （2）将边长较小的正方形放在较大的正方形内部同一角上，使它的两条边分别贴在大正方形的两条相邻边上，求剩余“”形部分的面积与周长。 【变式12-2】（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第23题）矩形中，厘米，厘米。从沿以厘米/秒前进，同时从沿以厘米/秒前进。一点到达终点即同时停止。 （1）设秒后距离为厘米，写出与关系及范围。 （2）求最短时刻及最短长度。 【变式12-3】（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第19题）三角形两边的长度分别是方程的两个实数根，第三边。 （1）求构成非退化三角形时的范围。 （2）若三角形周长为，求及三角形面积。 【题型13 一元二次方程中的新定义问题】 【例13】（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第21题）定义：若一个矩形的周长和面积分别为另一个矩形的周长、面积的一半，就称它为后一个矩形的“半量矩形”。 （1）长、宽的矩形是否存在半量矩形？若有，求边长。 （2）长、宽的矩形（）存在半量矩形时，证明。 （3）当时，是否存在半量矩形？说明理由。 【变式13-1】定义：一个一元二次方程若有两个正实数根，且两根之积等于两根之和的倍，就称它为“倍积方程”。 （1）判断是否为倍积方程。 （2）求成为倍积方程的全部实数。 【变式13-2】定义运算。设为方程的两个实数根。 （1）求。 （2）不直接求出，求。 【变式13-3】定义：若实数点满足且，称为“互算点”。 （1）验证点为互算点。 （2）求全部互算点的坐标。 【题型14 反比例函数几何综合大题】 【例14】（改编自2025·南京六十六中一模练习公开重排版第21题）如图，木板边界依次经过、、、、、。其中是线段，是的一段曲线，其余相邻边为线段。现截取矩形，下边在上，上边两个端点分别在上，矩形高为，。 （1）用表示坐标和矩形面积； （2）求的最大值及此时的高； （3）若要求面积为，能否实现？说明理由。 【变式14-1】点位于第一象限。过作斜率为的直线，分别交轴于。 （1）用表示坐标； （2）求面积的最小值； （3）若该面积为，求的全部值。 【变式14-2】固定点在第二象限双曲线上，动点也在该分支上。若的中点在另一双曲线上，求所有符合条件的，并判断是否可能有。 【变式14-3】第一象限内、在同一双曲线上，。点在轴上，且。 （1）用表示； （2）求存在这样的点时的全部范围； （3）当时，求的全部坐标。 【题型15 反比例函数的应用】 【例15】（改编自2025·南京联合体零模公开重排版第14题）实验室用关系描述镜片度数（度）与焦距（），。已知一枚标准镜片的焦距为、度数为度。工作人员记录四枚镜片的数据如下：、、、。 （1）检查哪组记录不符合模型，并在焦距可信的前提下更正度数； （2）若一枚镜片的度数记录为度，焦距应为多少？ （3）能否断言“焦距每增加，度数都减少度”？用两组符合模型的数据说明。 【变式15-1】一辆实验运输车需行驶，行驶速度为，全程保持匀速，并安排固定的中途检查。限速为。 （1）求总耗时关于的关系式，并判断是否为的反比例函数； （2）任务要求总耗时不超过且不短于，求速度可行范围； （3）若把检查时间增加到，沿用第（2）问的总耗时要求，速度范围如何变化？ 【变式15-2】一批订单有件产品，每名工人每小时完成件。安排名工人合作，为不超过的正整数，正式加工前每人还需参加小时统一准备，准备期间不生产。 （1）求正式加工时间及含准备的总时间； （2）若总时间不超过小时，求的全部可行整数值； （3）每人每小时人工费用为元，准备与加工均计费，在第（2）问条件下安排多少人使总人工费用最少？最少多少元？ 【变式15-3】展览馆投影画面面积固定为，矩形画面的宽为、高为。要求画面宽高比不小于且不大于，同时画面高度不超过。 （1）写出关于的关系式； （2）求画面宽度的全部范围； （3）若画面四周需安装边框，求边框最短总长度，并核验取值满足全部限制。 【题型16 圆周角综合证明计算题】 【例16】（改编自2024·泰州姜堰期中，公开重排版第20题）是上半圆直径，、在半圆上，，交于。 （1）若，求； （2）若，求。 【变式16-1】圆内接四边形的对角线、交于。若，证明： （1）； （2）且。 【变式16-2】（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第10题）圆上四点、、、依次排列，、交于。证明，并说明该等式不能把替换为相邻的。 【变式16-3】圆外一点引出两条割线，点序分别为——与——，两条射线夹角小于。小弧和不含、的弧的度数分别为，其中。证明。 【题型17 圆内折叠几何综合大题】 【例17】圆形纸片的圆心为，直径。沿一条弦翻折，使点恰好落在，点的像记为。 （1）设与交于，求与； （2）判断在原圆内、圆上还是圆外； （3）求的面积。 【变式17-1】圆半径为，是直径，点在上半圆且。沿直线翻折纸片，使点落在，与劣弧交于。 （1）说明必经过； （2）求劣弧的长度； （3）求的面积与弦的长度。 【变式17-2】圆的直径为，点在圆上，，。将点沿直线翻折到，交于。 （1）说明仍在原圆上，并求； （2）求与； （3）求四边形的面积和周长。 【变式17-3】圆半径为，取互相垂直的两条半径。点在线段内部运动，记。沿直线翻折，点的像为。 （1）当时，求并判断与原圆的位置关系； （2）用含的式子表示； （3）求在原圆内部时的取值范围。 【题型18 圆动点线段探究题】 【例18】（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第2题）上半圆直径，在半圆上且。从出发，沿不含的弧运动到，过作于。 （1）证明在一个固定圆上，指出圆心、半径； （2）求经过的路径长。 【变式18-1】（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）圆半径为，圆内点满足。两条互相垂直的弦、都经过。 （1）证明为定值并求值； （2）求乘积的最大值，并说明何时取得。 【变式18-2】（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第17题）圆半径为，弦，在优弧上且不与、重合。 （1）求的最大值及取得位置； （2）它是否有最小值？说明理由。 【变式18-3】（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）圆中固定一点，。经过作变弦，为中点。 （1）证明的轨迹为以为直径的圆； （2）说明这条轨迹圆上的每一点（包括、）都能取到； （3）取、，求的最小值。 【题型19 直线与圆相切证明计算】 【例19】（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第26题）圆的切线切于，弦平行，过作平行交于。交于；过作，使在射线上且位于外侧，。设，且。 （1）证明是圆的切线； （2）证明，并解释时为什么没有这样的有限点。 【变式19-1】（改编自2024·泰州姜堰期中，公开重排版第26题）不寻找圆心，只用三角板画圆在已知点处的切线。小明提出： ①在圆上取，令三角板直角顶点位于，使两直角边分别通过和另一圆上点； ②连接，再在处画的垂线。 请判断该方法是否正确，并证明。指出选时应避免什么退化情况。 【变式19-2】从圆外点引割线，点序为——，。圆上另有点，，且与割线不重合。证明是该圆的切线。 【变式19-3】等腰梯形中，。为两底中点连线的中点。以为圆心、为半径作圆。证明它同时与梯形四条边相切。 【题型20 圆与几何图形综合求值】 【例20】（改编自2024·泰州姜堰期中，公开重排版第22题）两个边长均为的正方形，一个的顶点恰在另一个的中心；第二个正方形可以绕旋转，且两条过的邻边射线之间的区域落在第一个正方形内的一部分为重叠区域。证明：无论如何旋转，重叠面积与第一个正方形剩余面积之比恒为。 【变式20-1】矩形中，，为中点。直线与矩形外接圆的另一交点为，点序为——。 （1）求外接圆半径； （2）证明； （3）求。 【变式20-2】等腰梯形中，，两底间距离为。 （1）证明四点共圆； （2）求外接圆圆心到所在直线的距离及圆半径，说明圆心在梯形内还是外。 【变式20-3】（改编自2024·扬州江都一模，公开重排版第17题）边长为的等边三角形纸片上，以为圆心、和的方向为两条半径，剪出一个完整的扇形，且扇形不得越出三角形。 （1）求这个扇形的最大半径； （2）求取到最大半径时余下纸片的面积； （3）说明为何把半径取成不可行。 【题型21 弧长或面积综合应用】 【例21】（改编自2024·扬州梅岭期中公开重排版第12题）用半径为的扇形纸片围成圆锥帽，底面半径为，忽略接缝。 （1）求每顶帽子所需扇形的圆心角及面积； （2）从半径的整圆纸片中切出两块这样的扇形，剩余面积是多少？ （3）要求每块扇形与整圆纸片同心、半径等于整圆半径，且扇形之间互不重叠。若想从一张整圆纸片切出三块相同扇形，围成底面半径仍为的帽子，整圆纸片半径至少多大？ 【变式21-1】（改编自2024·无锡梁溪金桥零模公开重排版第11题）圆锥模型的底面半径为，高为，沿一条母线剪开侧面。 （1）求展开扇形的半径及圆心角； （2）求展开扇形的周长； （3）从恰好能容纳该扇形、与扇形同心的整圆纸片中剪去扇形，余料面积为多少？仅从面积看，余料是否足够另做一个半径的圆形底面？ 【变式21-2】（改编自2025·苏州吴中吴江相城二模公开重排版第14题）一个圆锥侧面积为，侧面展开扇形圆心角为。 （1）求该圆锥的母线及底面半径； （2）将两块这样的展开扇形沿一条半径无缝拼成一个扇形，再围成一个新圆锥， 求新圆锥的底面半径与高； （3）求新旧圆锥底面周长之比，并说明为何不等于母线长之比。 【变式21-3】（改编自2024-2025学年·泰州兴化九上期末公开重排版第13题）一块扇形标牌的半径为，外侧弧长为。沿与外弧同心、半径为的圆弧裁去内侧部分，保留一条弯曲边框。 （1）求标牌的圆心角； （2）求保留边框的面积； （3）若沿边框的全部边界粘贴饰条，至少需要多长饰条（忽略损耗）？ 【题型22 圆中动点存在性探究题】 【例22】圆以原点为圆心、半径为，。 （1）圆上是否存在，使？若存在，求所有的坐标； （2）若，求存在圆上点时正数的范围，并说明边界的位置。 【变式22-1】圆以原点为圆心、半径为。在直线上，从向圆引两条切线、。是否存在使两切线互相垂直？若存在，求全部的坐标，并求三角形面积。 【变式22-2】是否存在经过，并与直线相切的圆？若存在，求全部圆心坐标与半径。 【变式22-3】圆以原点为圆心、半径为，固定点。点在圆上运动。 （1）是否存在使三角形为等腰三角形？求全部坐标； （2）是否存在使该三角形为等腰直角三角形？说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $