江苏南京市2026-2027学年苏科版九年级上学期期中考试数学模拟卷

2026-2027学年南京市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 一、选择题：本大题有6个小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是（ A.(x+6)=28 B.(x-6)=28 C.(x-3)2=-1 D.(x-3)2=1 2.已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，若OP=8,则经过点P的弦长可能是() A.11 B.9 C.18 D.21 3.若反比例函数y=◆的图象经过A3,-4),B(a-1-6)两点，则a的值为() A.-3 B.3 C.2 D.-6 4。关于函数)=3的说法错误的是〈 ) 10x A.它是反比例函数 B.它的图象位于第二、第四象限 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.的图家桥过点得 5.如图，A,B,C是OO上的点，且∠ABC=130°.现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度 的直尺无法画出的是( A.50° B.40° C.100° D.130° 第5题 第6题 6.如图，半圆O的直径AB=8,弦CD=4,弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D 与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为 () A.4V2元 B.4π C.4v3π D.4V5π 第1页，共7页 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分 7.关于x的一元二次方程x2+3x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围为一 8.为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动.一件原价700元的 服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打 折 9.若点A(-1,H)和点B(2)在反比例函数y=3-k (k为常数，且k≠3)的图象上，且 男<马，则k的值可能是·（写出一个符合题意的数即可） 10.若m、n是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，多项式-n+3m的值是 11.已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度 数 12.在平面直角坐标系中，函数y=x-3与y=-(x>0)的图象交于点P(a,b).代数式a2+b2的值 为 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知OO的半径为4，∠BCD=120°，则BD=_ 第13题 第14题 14.如图，一次函数片=kx+b的图象与反比例函数巧=点的图象相交于点A(a3),B(9,1)两 点，当乃>y2时，x的取值范围是 15.已知关于x的两个一元二次方程x2-x+m+4=0和2x2-x+m=0有且只有一个公共根，则 m的值为 16.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=13,AC=12,D是弧BC上的一个动 点，连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值等于 第16题 第2页，共7页 三、解答题：本大题有11个小题，共88分，写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题6分)解方程： (1)x2+2x-4=0 (2)x(x-3)=3-x 18.(本题8分)学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩 形ABCD),该实验田两面靠墙(AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米)，另 外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一 个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米. A EF D HG C (1)AD的长为 米（用含x的式子表示）： (2)若实验田（矩形ABCD)的面积为180平方米，求x的值： 19.(本题8分)如图，点A、B、C、D在OO上，且AB=DC, (1)求证：AC=BD: (②)若AB的度数为70°，设AC与BD的交点为P,求：∠APD的大小. P D .0 第3页，共7页 20.(本题8分)如图，AB是OO的一条弦，OD⊥AB于点C,交OO于点D,点E在OO上，连 接DE. (1)若点B是DE的中点，求证：AB=DE: (2)若CD=4,AB=16,求⊙0的半径r. E D 21.（本题8分)在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问 题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决.他随即抛出了两个问题，邀 请同学们一起探究， (1)若实数a,b满足a-5a+1=0,6-5b+1=0,且a≠b,求2+2的值： a b @若实数，g满足2-2p=m,女-g=方，且P*,求(g+(2p+1:m)的取值范图。 1 22.(本题8分)如图，在△ABC中，AC<BC C (1)实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作OO,⊙O恰好过A,C两点，并与线段BC交 于另一点D:小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示.请你用尺规作图：作出 点O与点D,并补全OO. (②)在(1)的条件下，若2∠C+∠B=90°.求证：直线AB是⊙O的切线. 第4页，共7页 23.(本题8分)如图，在一个7×7的正方形网格中，格点A、B、C均在圆上，请按要求画图，仅 用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹， 图① 图② 图③ (1)在图①中作图，画出直径CP: (②)在图②中作图，在AC上找一点D,使AC=BD: (3)在图③中作图，在AC上找一点E,使CE=BC. 24.(本题8分)如图，在矩形ABCD中AD=8,以BC为直径作半圆O,切线AE的延长线交CD 于点F,E为切点，对角线BD恰好过E点. (1)求证：F为CD中点： (2)求AB的长. 25.(本题8分)如图，一次函数y=2x+2的图象与反比例函数y=(k为常数，k≠0，x>0) 的图象交于点A(1,a),与x轴交于点B. (1)求反比例函数的解析式： ②)点P是线段AB上的点，过点P作x轴的平行线交反比例函数y=(x>0)的图象于点Q,若点 P的坐标为(u,1),求线段PQ的长. B/O 第5页，共7页 26.(本题8分)【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比 另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但 实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的步长之差x之间有如下表的关 系： x/cm 1 2 5 7 y/cm 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出y与x之间的函数关系式. (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5c时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为 cm (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD,一次游戏要求同学们闭眼从AB边的 中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边CD.这是为什么呢？经测量，在矩 形ABCD中，BC=170m,AM=BM=40m. D A M B ①要想抵达草坪的对面CD,走偏最多的弧线为弧MC,求弧MC所在圆的半径R. ②有研究显示，健康人群的步长之差约为0.33cm,请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走 到草坪对面. 第6页，共7页 27.(本题10分)【材料的疏水性】 “微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶 具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质， 空气（气相） →气-液界线 ,水滴（液相） 固-液界线 材料（固相） 图① 图② 图③ 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经 过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点）所作的气-液界线 的切线与固-液界线的夹角，图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角.材料的疏水性随着接触角的 变大而变强 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角（保留 作图痕迹)： (2)实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC 的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图③）.请探索图③中接触角∠CAD与∠BAC之间的数 量关系（用等式表示），并说明理由： (3)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请 你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化. 第7页，共7页 2026-2027学年南京市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有6个小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项后，方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 3．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 4．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴该函数是反比例函数，比例系数，故A正确，不符合题意； ∵，∴函数图象位于第二、第四象限，故B正确，不符合题意； 当时，图象在第二象限，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 将代入，得，故D错误，符合题意； 故答案为D． 5．如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点E，连接、，    ∵A、B、C是上的点，且， ， ∵四边形内接于， ， ， ∵为的直径， ， ， ∴仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，，和． 6．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分. 7．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式非负，代入方程系数列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 即， 解得：． 8．为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 【答案】八 【详解】设该服装每次平均打折，根据原售价及实际售价，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该服装每次平均打折， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该服装每次平均打八折． 9．若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 10．若、是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和积以及根的定义得到、、，再变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、，即， ∴． 11．已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 【答案】/120度 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 圆锥底面圆半径为，可得圆锥底面圆周长为 ， 圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线长，即， 由圆锥底面周长等于扇形弧长，根据扇形弧长公式得 ， 解得． ∴该扇形的圆心角的度数为． 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．代数式的值为________ 【答案】 【分析】点是两个函数图象的交点，坐标满足两个函数解析式，变形后利用完全平方公式即可计算出结果． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， 整理得， ∴． 13．如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】首先利用点的坐标求出反比例函数解析式，进而求出点的横坐标，然后观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为， 点 在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为， 当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， 由图象可知， 的取值范围是或． 15．已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 【答案】或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 三、解答题：本大题有11个小题，共88分.写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程 中， ， ， ； 即. （2）解：， ， ， 或； 解得. 18．（本题8分）学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米. (1)的长为________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米， 故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； 19．（本题8分）如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本题8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ ； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 21．（本题8分）在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数a，b满足，，且，求的值； (2)若实数p，q满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）实数a，b可以看作关于的一元二次方程的两个实数根，则由根与系数的关系可得，再把所求式子通分并利用整体代入法求解即可； （2）根据题意可得，；可以看作关于的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴实数a，b可以看作关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 又∵，且 ∴可以看作关于的一元二次方程的两个实数根， 把方程化为一般式得 ∴由根与系数的关系可得， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（本题8分）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，与交于点，则点，点与为所求； （2）连接，利用圆周角定理得到，则可证明，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【详解】（1） （2）证明：如下图所示，连接， 则， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． 23．（本题8分）如图，在一个的正方形网格中，格点A、B、C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图①中作图，画出直径； (2)在图②中作图，在上找一点D，使； (3)在图③中作图，在上找一点E，使． 【分析】（1）在圆上取点P，使，连接，即为所求直径． （2）在圆上取点D使，连接，点D即为所求． （3）在延长线上取点I，使，连接交圆于点．点E即为所求． 【详解】(1)如图①，在圆上取点P，使，连接，即为所求直径．原理：∵，，∴，∴是直角三角形，，∴是直径． (2)如图②，在圆上取点D使，连接，点D即为所求． 原理：∵，∴，∴，即． (3)如图③，在延长线上取点I，使，连接交圆于点．点E即为所求．原理：∵垂直平分，∴，∴∠，∴． 24．（本题8分）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 25．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，得出，把代入，求出，即可得出答案； （2）把代入求出，把代入求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是线段上的点，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点纵坐标为， ∵反比例函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∴． 26．（本题8分）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为____________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【分析】（1）由题意设反比例函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可得到答案； （3）①设，可得，进一步结合勾股定理求解即可；②把代入反比例函数解析式，进一步比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设反比例函数解析式为， 由表格可知，反比例函数过点， ∴， ∴，经检验符合题意． （2）解：当时，． （3）解：①∵在矩形中，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：， ∴弧所在圆的半径为； ②当时，， 27．（本题10分）【材料的疏水性】 “微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图①中的就是水滴的一个接触角．材料的疏水性随着接触角的变大而变强． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角（保留作图痕迹）； (2)实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径（），求出的度数，进而求出接触角的度数（如图③）．请探索图③中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； (3)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【详解】(1)即为所求: (2)解：，理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) ∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（（答案不唯一）． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年南京市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有6个小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（  ） A． B．9 C． D． 3．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（  ） A． B．3 C．2 D． 4．关于函数的说法错误的是（   ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 5．如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（   ）   A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分. 7．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 8．为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 9．若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 10．若、是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________． 11．已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．代数式的值为________ 13．如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则__． 第13题 第14题 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 15．已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 第16题 三、解答题：本大题有11个小题，共88分.写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题6分）解方程： (1) (2) 18．（本题8分）学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米. (1)的长为________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； 19．（本题8分）如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 20．（本题8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 21．（本题8分）在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数a，b满足，，且，求的值； (2)若实数p，q满足，，且，求的取值范围． 22．（本题8分）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 23．（本题8分）如图，在一个的正方形网格中，格点A、B、C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图①中作图，画出直径； (2)在图②中作图，在上找一点D，使； (3)在图③中作图，在上找一点E，使． 24．（本题8分）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 25．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 26．（本题8分）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为____________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 27．（本题10分）【材料的疏水性】 “微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图①中的就是水滴的一个接触角．材料的疏水性随着接触角的变大而变强． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角（保留作图痕迹）； (2)实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径（），求出的度数，进而求出接触角的度数（如图③）．请探索图③中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； (3)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $