3.2双曲线测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线测试卷 一、单选题 1.(25:26高三下-江西赣州期中)设m为实数，若方程 =1表示焦点在y轴上的双曲线，则 m-3m+2 实数m的取值范围是() 1 A.-2<m<3 B.m>3 m<3 C. D.-2<m<} 2.(25-26商二上浙江杭州期中)若双曲线父-上=1的一个焦点坐标为F3,0,则m的值为《) m 4 A.V/5 B.5 c.±V5 D.±5 2水5商二上上场的行)吸-”足“方两2产1装示汉商数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（25-26高二上广东惠州阶段检测)动圆M过定点A(-4,0与定圆B:x-4P+y=16外切，则动 圆圆心M的轨迹方程为() B.42 X-y=1x≤-2 c.42 D. -y=1x≤-2 124 5.(25-26高二下湖南郴州期中)已知双曲线C:X-上=1(>0，b>0)的一条渐近线与直线1：x 十2y=0垂直，且C的焦点到1的距离为5，则C的标准方程为() A￥-y2=1 B.x-Y=1 4 D.= 205 520 626高下D是数暖C。-第内的点，色AR买险 右顶点，且AB=4,过点B作与直线PB倾斜角互补的直线与直线PA交于点Q,若点Q在椭圆 斧+苦-1上.则楼双自线的离心率为《》 试卷第1页（共3页） 2V3 V7 A.3 B.2 C.2 7.(25-26高二下广东广州期中)过双曲线C:-号=1a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线， 垂足为A,若点F关于点A的对称点B恰好落在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的方程为() A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±V5x 8。(25-26高二下-河南新乡期中)已知双曲线C:×- -=1,过原点O作直线与双曲线C交于P,Q两 43 点，设双曲线C的左石焦点分别为F,E,若∠PFQ=”,则△PFF的面积为() A.4V3 B.3V3 c.3V2 D.2V2 二、多选题 9.(25-26高二上广东东莞期中)已知曲线c的方程为2-m×2+my=m2-m(其中m为参数)， 则() A.若曲线C表示圆，则m=1 B.若曲线C表示椭圆，则0<m<2 C.若曲线C表示双曲线，则m>2 D.若曲线C表示x轴，则m=2 10.(25-26高二上·重庆·期中)下列有关双曲线 916 =1的命题中，叙述正确的是() A.双曲线的虚轴长为4 B.双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C.双曲线的焦点到渐近线的距离为4 D.经过焦点的最短弦长为6 1.(25.26高二下-江西赣州期中)已知F,F,分别是双曲线C:-云-1的左、右焦点，4是双曲 1612 线C左支上一点，B为AF,的中点，若OA=OF,O为坐标原点，则（） A.双曲线C的离心率为7 B.BF2)-BO=4 C.AFAF2)=12 6V7 D.点A到x轴的距离为 7 三、填空题 试卷第2页（共3页） 12.（25-26高二上江苏连云港：期中)若方程，X十》=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值 4-mm-2 范围为 3.（25:26高三下湖南邵阳期中)已知双曲线义卫三m≥0店直线y=x+1相交于相异两点，设 m 3 正数k为双曲线一条渐近线的斜率，则k的取值范围为 14.(25-26高二上·福建三明·期中)己知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2,设椭圆和双曲线的离心率 分别为e,'e,点p为两曲线的一个公共点，且P京，-P京，=2PO1〈o为坐标原点)，若 V25, e1∈ 则e,的取值范围是 2’3 四、解答题 15. 6帝上浙打宁夜期)已知双生骏C与双生线苦-首1有相同的寄近战，且经过点 P2V2,-1 (1)求双曲线C的方程： (2)过点M1,1的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且M为AB的中点，求直线的方程. 16.(25-26高二上广东期中)已知F,-3,0?F,3,0动点p满足PF,-PF,=4:点p的轨迹为 C (1)求C的方程： (2)若点M在C上，且MF1⊥MF2,求△MF1F2的面积 17.(25-26高二上安徽期中)设A,B两点的坐标分别为-3,0，R3,0?直线AM,BM相交于点 M,且直线AM,BM的斜率之积是2. (1)求动点M的轨迹方程C: (②直线y=3 x-3与曲线C交于D.E两点，求DE的值 226上州期中）已知双践E:×于1a≥0的左石焦点分别为下上P 试卷第3页（共3页） 上一点，当PF,⊥x轴时，PF=3 (1)求E的方程： 2若P京·P,=1'求△PE,F,的面积 19.(25-26商二下河南期中)已知F是离心率为23的双曲线E:￥-少=1a>0,b>0的左焦点， a2 b2 C,D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，DF,-CF=23: (1)求E的方程. (2)过点0,2作斜率为k的动直线1与E的左、右两支分别交于点M,N,在y轴上存在点Q,使得直线 QM与QW的斜率之和为0. (i)求点Q的坐标： (ii)求△QMN面积的最小值. 试卷第4页（共3页） 双曲线测试卷 一、单选题 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 3．（25-26高二上·上海闵行·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程表示双曲线，即，解不等式即可判断. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 因为 或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 5．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以 ， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 6．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上点到顶点、的斜率之积为，结合直线与倾斜角互补的条件，即可求出，进而求得离心率. 【详解】由双曲线，左右顶点为，则， 因为，所以，得，即. 设，满足，所以， 所以， 设，满足，所以， 所以， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以， 又因为，所以，即，所以， 所以. 7．（25-26高二下·广东广州·期中）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知双曲线，其右焦点为，其中， 不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为，其中为线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为， 又因为点在双曲线上，则，结合，化简得，即， 因此双曲线的渐近线为，故B正确. 8．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程以及直线方程列式求解判断即得. 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 10．（25-26高二上·重庆·期中）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【分析】根据双曲线的性质即可判断ABD，利用点到直线的距离即可判断C. 【详解】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 11．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，为坐标原点，则（   ） A．双曲线C的离心率为 B． C． D．点A到x轴的距离为 【答案】BD 【分析】由双曲线的方程，求出可得离心率，判断A；根据中位线定理及双曲线的定义求得，判断B；由，得，从而得到，由勾股定理结合双曲线的定义求得，判断C；根据等面积法，求得点A到x轴的距离，判断D. 【详解】设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为，则， 所以， 所以，所以. 所以双曲线的离心率为. 所以A错误； 因为B为的中点，为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以. 所以B正确； 因为，所以. 所以，所以. 所以. 所以， 所以，所以C错误. 由C知，，且. 设点A到x轴的距离为，则的面积为， 所以，所以D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 14．（25-26高二上·福建三明·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法结合分类讨论求解双曲线方程； （2）利用点差法结合中点坐标公式求解直线方程. 【详解】（1）对于双曲线，其渐近线方程为， 设双曲线的方程为，由题意可得， 消化简得，此方程无解； 设双曲线的方程为，由题意可得， 解得所以双曲线的方程为. （2）设，因为两点在双曲线上，， 两式相减得， 因为为的中点，所以，则， 因此直线的斜率． 直线的方程为，即． 经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 16．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 17．（25-26高二上·安徽·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，；    （2）设， 联立得， 由韦达定理得， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 18．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 19．（25-26高二下·河南·期中）已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求解结果； （2）（i）设，，l：，与双曲线联立方程，得到根与系数关系，设，由化简即可得到点Q的坐标； （ii）利用弦长公式得到，利用点到直线的距离公式得到到直线的距离，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点为，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴， ∵离心率，∴半焦距， ∴， ∴E的方程为； （2）（i）设，，l：， 代入，整理得， ∴，解得， ∴，， 设，则 ， ∴ ， 即， 要使上式在时恒成立，则，， ∴； （ii）由（i）知， ， 点到直线l的距离为， ∴， 设，∵，∴，， ∴； 设，由对勾函数的性质知，单调递增， ∴， ∴，， ∴， 故面积的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $