3.2.2双曲线的简单几何性质常见的十种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质常见的十种题型 题型一　双曲线的焦点与顶点 题型二　双曲线的渐近线 题型三　双曲线的离心率 题型四　焦距、实轴与虚轴 题型五　双曲线的标准方程 题型六　焦点三角形与距离、周长、面积 题型七　双曲线与椭圆的综合 题型八　等轴双曲线 题型九　概念辨析与命题判断 题型十　实际应用与综合解答 题型一　双曲线的焦点与顶点 【解题技巧】双曲线的焦点在实轴上：实轴为x轴时，顶点为，焦点为；实轴为y轴时，顶点为，焦点为。焦点、顶点由 a、b、c 确定，且满足 1．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二　双曲线的渐近线 【解题技巧】由标准方程直接写出渐近线：的渐近线为；已知离心率 e 时，可用求渐近线斜率，再结合倾斜角、垂直等条件。 1．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，则它的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 9．若O为坐标原点，直线y＝2b与双曲线(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，直线OA的斜率为－1，则该双曲线的渐近线的方程为________. 10．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 题型三　双曲线的离心率 【解题技巧】离心率恒大于1，，且。由焦点三角形、渐近线斜率、点到焦点的距离等条件均可求出离心率。 1．已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 3．已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（   ） A． B． C． D．2 6．已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．或 7．若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 8．设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C．4 D．2 10．双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 11．双曲线的离心率为，则___________. 题型四　焦距、实轴与虚轴 【解题技巧】焦距为，实轴长为，虚轴长为，三者满足。结合渐近线与离心率可求基本量。 1．已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 2．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________. 4．双曲线的虚轴长为__________. 题型五　双曲线的标准方程 【解题技巧】设用待定系数法求方程，由判断焦点所在轴；与已知双曲线共渐近线时，设乘以参数 λ 求解。 1．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________. 6．与椭圆有公共焦点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程为______. 7．已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是__________. 8．已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为______． 9．经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是________. 10．与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为______． 11．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________． 题型六　焦点三角形与距离、周长、面积 【解题技巧】双曲线定义：，且；焦点到渐近线的距离为 b；焦点三角形面积。据此求周长、距离与面积。 1．已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（    ） A．3 B． C． D． 4．已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的离心率为，则其右焦点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 7．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为（    ） A．9 B．24 C．36 D．72 8．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为5 9．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________． 10．双曲线的顶点到其渐近线的距离为__________． 11．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是______. ①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为； ③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，． （1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程； （2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积． 题型七　双曲线与椭圆的综合 【解题技巧】共焦点即焦距相等（c 相同）；椭圆中，双曲线中，先求公共焦点再设方程。 1．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（    ） A．1 B． C．1或 D．2 3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 5．设，若双曲线：的离心率为，则椭圆：的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线与椭圆共焦点，他们的离心率之和为，求双曲线的标准方程. 8．椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 题型八　等轴双曲线 【解题技巧】等轴双曲线即 a=b，渐近线为，离心率。设方程为求解。 1．若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 2．过点的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 题型九　概念辨析与命题判断 【解题技巧】逐项验证 a、b、c 及，明确焦点所在轴；核对实轴长、虚轴长、焦距、离心率与渐近线是否吻合。 1．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 2．下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 3．已知曲线，，则（   ） A．的长轴长为8 B．的渐近线方程为 C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同 4．已知双曲线的两个焦点分别为，，则（   ） A． B．，在轴上 C．的离心率为 D．直线与没有公共点 5．已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的焦距为10 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为 6．下列关于双曲线的结论中，正确的是（    ） A．离心率为 B．焦距为 C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1 7．关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 8．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为 9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）. A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 10．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（    ） A． B．直线的斜率之积等于定值 C．使为等腰三角形的点有且仅有4个 D．焦点到渐近线的距离等于b 11．下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 12．下列说法错误的有（    ） A．椭圆C：的焦点坐标为 B．双曲线C：的虚轴长是6 C．椭圆C:的焦点的周长为16 D．圆和圆的公共弦所在直线方程为 13．已知双曲线，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 14．已知双曲线，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为 C．的虚轴长为 D．的离心率为 15．已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 16．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 17．以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 题型十　实际应用与综合解答 【解题技巧】综合题要结合图形，灵活运用定义与几何性质（光学性质：反射光线的反向延长线经过另一焦点），再列式计算。 1．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）    A． B．24 C．32 D． 2．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 4．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 6．求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程 7．已知双曲线的两个焦点分别是，，点是双曲线左支上的一点，. (1)求双曲线的标准方程； (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程. 8．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 9．已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 10．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)经过点和； (2)已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程. 11．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 12．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； (2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 13．（1）求经过点且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔ （2）求与双曲线有公共的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 14．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 参考答案 题型一　双曲线的焦点与顶点 1．B 【详解】的焦点在轴上，且则， 故焦点为， 故选：B. 2．B 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 题型二　双曲线的渐近线 1．B 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，即，， 所以其渐近线方程为. 2．A 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3．B 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 4．A 【详解】双曲线，则它的渐近线方程为. 故选：A 5．C 【详解】由题意可得：，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为. 故选：C. 6．C 【详解】，所以，得渐近线为， 因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得． 故选：C 7．B 【详解】，，， 渐近线方程为，渐近线方程为． 故选：B． 8．B 【详解】由于双曲线的渐近线为， 且注意到双曲线的离心率为， 又在双曲线中有平方关系：， 所以离心率为， 又由题意， 所以有，解得， 即双曲线的渐近线的斜率为， 由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或. 故选：B. 9．y＝±x 【详解】易知直线方程为， 由解得，代入得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为： 10． 【详解】解：由题可知，离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 题型三　双曲线的离心率 1．D 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 2．C 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 3．D 【详解】如图，    设与轴交于点， 由对称性的且， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．C 【详解】因为双曲线的渐近线为，且经过点， 所以，又， 则该双曲线的离心率为， 故选：C. 5．B 【详解】由题意渐近线方程为，即，不妨取， 顶点坐标为，不妨取， 则顶点到渐近线的距离为， 所以，则，解得， 所以离心率. 故选：B 6．C 【详解】设双曲线的方程为，将点代入方程得，①. 因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得， 则，所以离心率； 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得，无解. 综上所述，的离心率为. 故选：C. 7．D 【详解】由题意知，所以， 所以离心率． 故选：D． 8．C 【详解】如图所示：      设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 9．C 【详解】由双曲线方程可得，焦点在轴上， 则， 所以离心率为， 故选：C. 10． 【详解】由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 11．4 【详解】由已知，，所以，解得. 故答案为：. 题型四　焦距、实轴与虚轴 1．D 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 2．A 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 3． 【详解】双曲线的渐近线为，由题干条件可知：， 所以，所以的焦距为. 故答案为： 4． 【详解】由得，， 所以双曲线的虚轴长为. 故答案为：. 题型五　双曲线的标准方程 1．A 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 2．A 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 3．D 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 4．A 【详解】因为双曲线实轴的长度为， 所以，因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确. 故选：A 5． 【详解】设双曲线的方程是， 双曲线的渐近线方程是，①． 由椭圆的方程知右焦点,则双曲线的右顶点坐标为 双曲线方程中的②． 解①②得：，，所求双曲线的标准方程为． 故答案为：. 6． 【详解】由题知，焦点落在轴， 又渐近线方程为，则，所以， 又，解得，故双曲线的方程为. 故答案为：. 7． 【详解】依题意可设双曲线方程为，； 由渐近线方程为可得， 将点代入可得，解得， 所以双曲线标准方程为. 故答案为： 8． 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为， 将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为． 故答案为：. 9． 【详解】设所求双曲线方程为λ(λ≠0)，又双曲线过点M(2，2)， 所以，所以双曲线方程为． 故答案为：． 10． 【详解】由题意可设所求双曲线方程为，， 代入点可得， 所以所求双曲线方程为，即. 故答案为：. 11． 【详解】由题意设所求双曲线的方程为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴所求的双曲线方程为，即． 答案： 题型六　焦点三角形与距离、周长、面积 1．A 【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离. 故选：A 2．B 【详解】由已知得，则左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为， 因为焦点到两条渐近线的距离相等， 所以左焦点到其中一条渐近线的距离为， 故选：. 3．C 【详解】设，，， 由双曲线的定义知：， ∴，a=m， ∴有，解得， ∵在和中，， ∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为． 故选：C. 4．C 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 5．B 【详解】因为在双曲线中，因为， 所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 6．C 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 因为双曲线的离心率，可得， 则右焦点为，渐近线为，即为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C. 7．C 【详解】由题知，设双曲线的焦距为，则，解得， ∴双曲线，，． 将代入，解得，∴， ∴的面积为． 故选：C． 8．AB 【详解】对于A，由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，渐近线方程为，故C错误； 对于D，渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D错误．. 故选：AB． 9．/ 【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为， 圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 且恰为双曲线的左焦点，， 又点是双曲线右支上的一点，则， 所以， 当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号. 故答案为： 10．/ 【详解】解：根据题意得双曲线的顶点为，渐近线方程为， 根据对称性，不妨取顶点，渐近线方程为， 所以顶点到渐近线方程为的距离为 双曲线的顶点到其渐近线的距离为 故答案为： 11．①③ 【详解】由题意知，即， 因为，所以，解得， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为， 对于①：到渐近线的距离为，故①正确； 对于②：因为，所以双曲线的离心率为，故②错误； 对于③：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故③正确； 对于④：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故④错误. 故选：①③. 12．（1）；（2）. 【详解】（1）因为所求双曲线与共渐近线， 所以设该双曲线方程为， 又该双曲线过点， 所以，解得k=-2， 所以所求双曲线方程为： （2）不妨设P在C的右支上，则，， 在中，， 解得， 所以的面积 题型七　双曲线与椭圆的综合 1．D 【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：， 两式平方相加得：，于是有， 所以的值为. 故选：D 2．A 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以椭圆的焦点在轴上， 依题意得， 解得. 故选：A. 3．D 【详解】双曲线化为标准方程得， 焦点坐标为，顶点为， 则所求椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以， 所以所求椭圆的方程为. 故选：D. 4．A 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 5．B 【详解】由题意，，所以椭圆的离心率为 故选：B． 6．B 【详解】椭圆的焦点为． 因为所求双曲线的离心率， 所以其实半轴长为2，虚半轴长为， 故所求双曲线的方程为． 故选：B 7． 【详解】依题意可知，椭圆方程焦点在轴上， 其中，，所以， 得出椭圆焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦点为，离心率为2， 设双曲线方程为：， 从而双曲线中， 求得，，． 所以，所求双曲线方程为:. 8．(1) (2) 证明：设点，则 因为点M在双曲线上，所以，代入上式得 故的乘积为定值1. 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标分别为 从而椭圆的焦距，得 又椭圆上一点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以椭圆的长轴，即 从而得 故椭圆的方程为： （2）略 题型八　等轴双曲线 1．D 【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 故选：. 2．A 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 3． 【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为， 将代入可得，即， 故方程为，化为标准方程为. 故答案为：. 题型九　概念辨析与命题判断 1．D 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误； 对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误； 对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为 ，则C错误； 对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确. 故选D. 2．CD 【详解】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 3．ABC 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 4．ACD 【详解】双曲线中，故A正确； 在轴上，故B错误； 离心率，故C正确； 是的渐近线，与没有公共点,故D正确． 5．BC 【详解】由， 所以双曲线的实轴长为；双曲线的焦距为； 双曲线的离心率为；因为双曲线的焦点在纵轴上， 所以双曲线的渐近线方程为， 因此B，C正确，A，D错误， 故选：BC 6．ACD 【详解】双曲线，可得，，， 则双曲线的离线率为，故A正确； 焦距，故B错误； 渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确； 焦点到渐近线的距离为，故D正确； 故选：ACD. 7．ABD 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 8．BC 【详解】双曲线，则， 双曲线的实轴长为，故A错误； 双曲线的焦距为，故B正确； 双曲线的离心率，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：BC． 9．CD 【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误； 双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误； 双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确； 双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确. 故选：CD． 10．BD 【详解】A. 因为，故错误； B.设，则，所以，故正确； C.若点P在第一象限，若，为等腰三角形；若，为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点有且仅有8个，故错误； D.不妨设焦点坐标为： ，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确； 故选：BD 11．ACD 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C，双曲线的实轴长为，C对； 对于D，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 12．ABC 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在轴上，A错误； 对于B，双曲线C：的虚半轴长，虚轴长，B错误； 对于C，椭圆C：的实半轴长，半焦距， 因此焦点的周长，C错误； 对于D，的圆心，半径，圆 的圆心，半径，，因此圆与圆相交， 将两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程，D正确. 故选：ABC 13．ABD 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴， 所以， 所以渐近线方程为，故A正确， 焦点坐标为，故B正确， 离心率为：，故C错误， 实轴长为：，故D正确， 故选：ABD. 14．CD 【详解】因为双曲线，则 则焦点坐标为，故A错误； 焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 双曲线虚轴长为，故C正确； 离心率为，故D正确. 故选:CD. 15．AC 【详解】根据题意可得，，所以， 所以双曲线的实轴长为，故A正确； 双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误； 双曲线的离心率为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故D错误. 故选：AC. 16．BC 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 17．BD 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 题型十　实际应用与综合解答 1．D 【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，      所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 2．D 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 3．B 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 4．A 【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 在图②中，的周长为， 所以，，可得， 在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得， ，则， 即， 由题意可知，的周长为，即， 所以，. 因此，与的离心率之比为. 故选：A. （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 5．(1)或 (2) 【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为, ①当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为,即 ②当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为或 （2）设P点的坐标为，则满足， . 则当时，有最小值为. 6． 【详解】因为双曲线的标准方程为，所以其焦点在x轴，且有，所以焦点坐标为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为. 7．(1) (2)由（1）可知：该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为、渐近线方程为. 【详解】（1）由题意可得：，则， 且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. （2）略 8．(1)，； (2)1. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 9．(1)； (2)或. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 而在双曲线上，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并整理得， 当，即时，方程只有一个根， 此时直线与双曲线只有一个交点，因此，直线的方程为； 当时，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或.    10．(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的方程为， ∵点P，Q在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线的标准方程为. （2）由题意，渐近线方程为，令， 又在双曲线上， ∴，即. 11．(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 12．(1) (2) 【详解】（1）已知双曲线C的焦点在y轴上， 所以可设C的标准方程为， 又C的渐近线方程为，所以，即， 由C的两顶点之间的距离为4，得，所以. 故双曲线C的标准方程为. （2）因为E与双曲线有共同的渐近线， 所以可设E为， 因为E过点，则，解得， 故双曲线E的标准方程为. 13．（1）；（2）. 【详解】解:（1）依题意，设椭圆的方程为且)， 因为椭圆过两点， 所以 解得 因此，该椭圆的标准方程为. 设所求双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 14．(1)； (2) 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． (3) 由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $