3.3.2 直线与抛物线的位置关系（知识清单，知识点+五大易错点+十一大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 直线与抛物线的位置关系 内容概览 1 🔷知识点一　直线与抛物线的位置关系及判定 1 🔷知识点二　弦长公式 2 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 2 🔷知识点四　焦点弦问题 3 3 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 3 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 4 易错点3：忽略直线斜率不存在的情况 5 易错点4：焦点弦长公式记错变量 5 易错点5：过定点的直线问题，遗漏平行或重合于对称轴的情况 5 6 题型1：讨论抛物线与直线的位置关系 6 题型2：根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围 7 题型3：求抛物线的切线方程 8 题型4：抛物线中的弦长问题 8 题型5：抛物线的焦半径与焦点弦问题 9 题型6：抛物线的中点弦 10 题型7：抛物线中的参数范围及最值 11 题型8：抛物线中三角形（四边形）的面积 12 题型9：抛物线中的定点问题 13 题型10：抛物线中的定值问题 14 题型11：抛物线中的定直线问题 15 🔷知识点一　直线与抛物线的位置关系及判定 1. 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 2. 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． (1) 时，直线与抛物线只有一个交点（直线与抛物线的对称轴平行或重合）． (2) 时， ⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． ⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． ⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． ⚠ 特别提醒 · 与椭圆核心区别：椭圆一个公共点必为相切；抛物线一个公共点不一定是相切，可能是平行或重合于对称轴的相交。 · 直线与抛物线相交的两个交点可在对称轴同侧或两侧，通过韦达定理或的符号判断。 🔷知识点二　弦长公式 1. 设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则：或=． 2. 抛物线的通径 （1）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于，线段叫作抛物线的通径. （2）若抛物线的方程为，则通径的长为. ⚠ 特别提醒 · 弦长公式基于韦达定理，体现"设而不求"思想，前提是二次项系数不为0且； · 对于开口向右/向左的抛物线，消去后关于的方程计算方便；开口向上/向下的抛物线，消去后关于的方程计算方便。 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 已知抛物线内一点，求以该点为中点的弦所在直线方程，核心方法为点差法。 以开口向右的抛物线为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在抛物线上，代入抛物线方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 联立直线与抛物线方程，得到一元二次方程，验证判别式 。 ⚠ 特别提醒 · 抛物线点差法求出直线后，必须联立抛物线方程验证，确认直线与抛物线有两个交点。 🔷知识点四　焦点弦问题 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，线段称为焦点弦。 以开口向右的抛物线为例，焦点，设、： 1. 焦点弦长公式： 2. 核心结论： (1) (2) 3. 焦点弦最值：当弦垂直于对称轴（即通径）时最短，最小值为。 4. 直线与对称轴的夹角为时：。 ⚠ 特别提醒 · 开口向上的抛物线，焦点弦长公式对应为。 · 抛物线只有一条对称轴，焦点弦必过唯一焦点，不存在椭圆、双曲线"同支/异支"的区分。 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 【易错点】 直线与抛物线联立消元后，直接计算判别式，忽略二次项系数可能为0；误将平行或重合于对称轴的单交点情况判定为相切。 【易错消除】 联立消元后先整理方程，先看二次项系数是否为0： 1. 系数为0：直线平行或重合于对称轴，仅1个交点，属于相交，不是相切。 2. 系数不为0：再用判别式判定位置关系。 【易错例题】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 【易错点】 类比椭圆的结论，认为直线与抛物线只有一个公共点就是相切，忽略平行于对称轴的特殊情况。 【易错消除】 明确核心结论： 1. 椭圆：一个公共点 相切； 2. 抛物线：一个公共点 相切，可能是相切，也可能是平行或重合于对称轴的相交；相切一定是一个公共点，但一个公共点不一定是相切。 【易错例题】（题型分类归纳）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为最终结果，忘记验证直线与抛物线是否有两个交点。 【易错消除】 点差法求出直线方程后，必须联立抛物线方程验证。 【易错例题】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 易错点3：忽略直线斜率不存在的情况 【易错点】 默认直线斜率存在，直接设斜截式方程，漏掉直线垂直于轴（斜率不存在）的情况，造成漏解。 【易错消除】 题目未说明直线斜率存在时，分斜率存在、斜率不存在两类讨论。 【易错例题】（2026高三·全国·专题练习）设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． 易错点4：焦点弦长公式记错变量 【易错点】 开口向上的抛物线，误将焦点弦长公式写为，变量用错。 【易错消除】 焦点弦长本质是两段焦半径之和： 1. 开口向右：焦半径含，弦长为。 2. 开口向上：焦半径含，弦长为。 开口沿哪条轴，就用哪条轴的坐标。 【易错例题】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 易错点5：过定点的直线问题，遗漏平行或重合于对称轴的情况 【易错点】 过定点的直线问题，漏掉平行或重合于对称轴的直线，造成漏解。 【易错消除】 题目未说明直线不能平行或重合于对称轴时，要分情况讨论。 【易错例题】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 题型1：讨论抛物线与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与抛物线方程，消去一个变量，得到一元二次方程（或一元一次方程）。 2. 若二次项系数为0，直线与抛物线对称轴平行或重合，与抛物线仅有一个交点，属于相交而非相切。 3. 若二次项系数不为0，计算判别式：时相交（2个交点）；时相切；时相离。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的直线，防止漏解。 【例题1.1】（题型分类归纳）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【例题1.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1.1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 题型2：根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与抛物线方程，消元得到一元方程。 2. 当方程为一元二次方程时，根据相交、相切、相离条件，写出对应的等式或不等式。 3. 注意二次项系数为0，是直线与对称轴平行或重合的特殊情况。 4. 斜率不存在时单独验证，最终取所有情况的并集。 【例题2.1】（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【例题2.2】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【变式2.2】（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点，均在上．下列结论不正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 题型3：求抛物线的切线方程 方法技巧 1. 点在抛物线上的切点式切线方程： (1) ：切线方程为。 (2) ：切线方程为。 2. 点在抛物线外，设切线斜率为，联立方程令求解，可得到切线。 3. 已知斜率为的切线方程： (1) ：。 (2) ：。 4. 验证斜率不存在的直线是否为切线，避免漏解。 【例题3.1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【例题3.2】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3.1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025·福建福州·模拟预测）写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程_______________ 题型4：抛物线中的弦长问题 方法技巧 1. 联立直线与抛物线方程，设交点，由韦达定理得。 2. 弦长公式：。 3. 消去保留时，弦长公式为。 4. 计算前需保证，确保直线与抛物线确实相交。 【例题4.1】（2026·安徽合肥·二模）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【例题4.2】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式4.1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【变式4.2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 题型5：抛物线的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径（）：抛物线上点，；其他开口方向类似，本质是求点到准线的距离。 2. 焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交所得弦，弦长（型）。 3. 直线与对称轴的夹角为时，焦点弦长二级结论：。 4. 当直线垂直于对称轴时为通径，长度为，是过焦点的最短弦。 【例题5.1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例题5.2】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式5.1】（3.3.2抛物线的简单几何性质【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 题型6：抛物线的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入抛物线方程作差，构造中点与斜率的关系。 2. 点差法结论： (1) 点差法结论：（前提：）。若 ，则直线方程为。 (2) 点差法结论：（前提：）。若 ，则直线方程为。 3. 存在性验证：求出直线方程后，必须代回抛物线验证，中点弦可能不存在。 4. 备用解法：也可联立方程，利用韦达定理（或）求解。 【例题6.1】（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题6.2】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【变式6.2】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 题型7：抛物线中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线与抛物线，用韦达定理构造目标函数，结合求值域。 2. 定义法：涉及焦点距离时，用抛物线定义转化为到准线的距离，简化表达式。 3. 几何法：利用抛物线定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 4. 注意抛物线的定义域限制（如中），不能忽略边界约束。 【例题7.1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【例题7.2】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7.1】（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 【变式7.2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 题型8：抛物线中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 通用公式：底高，以弦长为底，点到直线距离为高。 2. （焦点弦对应的三角形）：（型）。 3. 四边形常沿对角线拆分为两个三角形，分别计算面积再求和。 【例题8.1】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题8.2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【变式8.2】（26-27高三上·安徽马鞍山·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)求的面积的最小值； (3)若直线平分，求直线的斜率． 题型9：抛物线中的定点问题 方法技巧 1. 设参联立：设含参数的直线方程，联立抛物线，写出韦达定理结果。 2. 目标代换：根据题干条件列等式，代入韦达定理化简，消去参数。 3. 整理恒等式：得到不受参数影响的定点坐标，注意验证直线与抛物线相交的前提。 4. 特殊探路：可先用参数的两个特殊值求出交点，再验证该点恒满足条件。 【例题9.1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）是抛物线上两点，且. (1)求AB直线过定点． (2)过原点O作于，求点的轨迹方程． 【例题9.2】（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【变式9.1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的方程为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)设直线和抛物线交于两点（其中异于原点），且， （i）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求的最小值. 【变式9.2】（25-26高三·全国·三轮复习）已知平面直角坐标系内动点到定点的距离比到轴的距离大1，且点P不在轴左侧，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线E的方程； (2)已知点Q在直线上，过点Q作曲线E的两条切线，切点分别为点A，B，求直线的斜率； (3)在（2）的条件下，设点，试判断抛物线上是否存在点M，A，B，使得M到点A，B，C的距离均相等，请说明理由. 题型10：抛物线中的定值问题 方法技巧 1. 设参联立：引入合适参数，设点或设直线，联立抛物线得到韦达定理。 2. 目标代换：将题目要求证明的目标表达式（如斜率之积/和、向量数量积、面积等）用韦达定理的结果代换，展开化简。 3. 消参得定：参数全部抵消，得到固定常数即为定值。 4. 特殊探路：可先取特殊位置（如对称轴、通径、过原点）猜出定值，再进行一般性证明。 【例题10.1】（第七单元抛物线A卷�名校好题基础达标卷）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【例题10.2】（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【变式10.1】（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【变式10.2】（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 题型11：抛物线中的定直线问题 方法技巧 1. 设参联立：引入参数，设点、设直线，联立抛物线，写出韦达定理。 2. 目标代换：利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 判定形态：得到与参数无关的直线方程，即为定直线。 4. 特殊探路：特殊位置先预判定直线，再做一般情况证明，可降低难度。 【例题11.1】（25-26高二下·浙江·期中）已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． (1)证明：点在一条定直线上； (2)记的面积分别为，求的最小值． 【例题11.2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【变式11.1】（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【变式11.2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求的值； (2)若，，为上异于点的两点，直线的斜率为． ①证明：的重心在定直线上运动； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．求点的轨迹方程． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 直线与抛物线的位置关系 内容概览 1 🔷知识点一　直线与抛物线的位置关系及判定 1 🔷知识点二　弦长公式 2 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 2 🔷知识点四　焦点弦问题 3 3 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 3 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 4 易错点3：忽略直线斜率不存在的情况 6 易错点4：焦点弦长公式记错变量 7 易错点5：过定点的直线问题，遗漏平行或重合于对称轴的情况 7 9 题型1：讨论抛物线与直线的位置关系 9 题型2：根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围 11 题型3：求抛物线的切线方程 15 题型4：抛物线中的弦长问题 19 题型5：抛物线的焦半径与焦点弦问题 21 题型6：抛物线的中点弦 24 题型7：抛物线中的参数范围及最值 27 题型8：抛物线中三角形（四边形）的面积 31 题型9：抛物线中的定点问题 34 题型10：抛物线中的定值问题 41 题型11：抛物线中的定直线问题 48 🔷知识点一　直线与抛物线的位置关系及判定 1. 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 2. 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． (1) 时，直线与抛物线只有一个交点（直线与抛物线的对称轴平行或重合）． (2) 时， ⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． ⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． ⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． ⚠ 特别提醒 · 与椭圆核心区别：椭圆一个公共点必为相切；抛物线一个公共点不一定是相切，可能是平行或重合于对称轴的相交。 · 直线与抛物线相交的两个交点可在对称轴同侧或两侧，通过韦达定理或的符号判断。 🔷知识点二　弦长公式 1. 设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则：或=． 2. 抛物线的通径 （1）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于，线段叫作抛物线的通径. （2）若抛物线的方程为，则通径的长为. ⚠ 特别提醒 · 弦长公式基于韦达定理，体现"设而不求"思想，前提是二次项系数不为0且； · 对于开口向右/向左的抛物线，消去后关于的方程计算方便；开口向上/向下的抛物线，消去后关于的方程计算方便。 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 已知抛物线内一点，求以该点为中点的弦所在直线方程，核心方法为点差法。 以开口向右的抛物线为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在抛物线上，代入抛物线方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 联立直线与抛物线方程，得到一元二次方程，验证判别式 。 ⚠ 特别提醒 · 抛物线点差法求出直线后，必须联立抛物线方程验证，确认直线与抛物线有两个交点。 🔷知识点四　焦点弦问题 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，线段称为焦点弦。 以开口向右的抛物线为例，焦点，设、： 1. 焦点弦长公式： 2. 核心结论： (1) (2) 3. 焦点弦最值：当弦垂直于对称轴（即通径）时最短，最小值为。 4. 直线与对称轴的夹角为时：。 ⚠ 特别提醒 · 开口向上的抛物线，焦点弦长公式对应为。 · 抛物线只有一条对称轴，焦点弦必过唯一焦点，不存在椭圆、双曲线"同支/异支"的区分。 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 【易错点】 直线与抛物线联立消元后，直接计算判别式，忽略二次项系数可能为0；误将平行或重合于对称轴的单交点情况判定为相切。 【易错消除】 联立消元后先整理方程，先看二次项系数是否为0： 1. 系数为0：直线平行或重合于对称轴，仅1个交点，属于相交，不是相切。 2. 系数不为0：再用判别式判定位置关系。 【易错例题】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 【易错点】 类比椭圆的结论，认为直线与抛物线只有一个公共点就是相切，忽略平行于对称轴的特殊情况。 【易错消除】 明确核心结论： 1. 椭圆：一个公共点 相切； 2. 抛物线：一个公共点 相切，可能是相切，也可能是平行或重合于对称轴的相交；相切一定是一个公共点，但一个公共点不一定是相切。 【易错例题】（题型分类归纳）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为最终结果，忘记验证直线与抛物线是否有两个交点。 【易错消除】 点差法求出直线方程后，必须联立抛物线方程验证。 【易错例题】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程. 【详解】设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件. 故选：C 易错点3：忽略直线斜率不存在的情况 【易错点】 默认直线斜率存在，直接设斜截式方程，漏掉直线垂直于轴（斜率不存在）的情况，造成漏解。 【易错消除】 题目未说明直线斜率存在时，分斜率存在、斜率不存在两类讨论。 【易错例题】（2026高三·全国·专题练习）设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． 【答案】(1) (2)证明：由可知四边形为平行四边形，要证其为矩形，只需证即可，即证. 设， 当轴时，， ，即； 当不与轴垂直时， 设的斜率为，易知，且方程为，② 将②代入轨迹的方程得：. 由根与系数关系得，， 所以， 所以，所以，故得证． 【分析】(1)先计算向量和的模长，因为，所以对模长平方后化简，得到的关系式，即为轨迹的方程. (2)设直线的方程，分斜率存在和不存在两种情况，将直线方程与曲线的方程联立，得到关于或的一元二次方程，利用韦达定理得到交点坐标的和与积.计算向量，如果，那么，结合可知四边形是平行四边形，即可证明其为矩形. 【详解】（1）由已知，即， 整理得. （2）略 易错点4：焦点弦长公式记错变量 【易错点】 开口向上的抛物线，误将焦点弦长公式写为，变量用错。 【易错消除】 焦点弦长本质是两段焦半径之和： 1. 开口向右：焦半径含，弦长为。 2. 开口向上：焦半径含，弦长为。 开口沿哪条轴，就用哪条轴的坐标。 【易错例题】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 易错点5：过定点的直线问题，遗漏平行或重合于对称轴的情况 【易错点】 过定点的直线问题，漏掉平行或重合于对称轴的直线，造成漏解。 【易错消除】 题目未说明直线不能平行或重合于对称轴时，要分情况讨论。 【易错例题】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出，即可求得抛物线的方程. （2）可设，代入 得 ，设，，则 ，，由得即，从而求得，再证明直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）略，定点为 . 题型1：讨论抛物线与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与抛物线方程，消去一个变量，得到一元二次方程（或一元一次方程）。 2. 若二次项系数为0，直线与抛物线对称轴平行或重合，与抛物线仅有一个交点，属于相交而非相切。 3. 若二次项系数不为0，计算判别式：时相交（2个交点）；时相切；时相离。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的直线，防止漏解。 【例题1.1】（题型分类归纳）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 【例题1.2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 【变式1.1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂直平分线性质和抛物线定义，从而求出交点坐标. 【详解】如图所示： 由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上， 设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知， ，则，可得，所以交点. 【变式1.2】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 【答案】BCD 【分析】利用题目条件解出抛物线方程后逐一分析选项. 【详解】将点代入抛物线方程，得： ， 解得，因此抛物线的方程为， 根据抛物线的性质：焦点为，准线为，焦点到准线的距离为， A选项：抛物线的准线为，不是，A错误； B选项：求直线方程：，斜率，直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， ，直线与抛物线只有一个交点，因此直线与相切，B正确； C选项：抛物线的焦点为，C正确； D选项：焦点到准线的距离为，D正确. 题型2：根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与抛物线方程，消元得到一元方程。 2. 当方程为一元二次方程时，根据相交、相切、相离条件，写出对应的等式或不等式。 3. 注意二次项系数为0，是直线与对称轴平行或重合的特殊情况。 4. 斜率不存在时单独验证，最终取所有情况的并集。 【例题2.1】（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 【例题2.2】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，设点的横坐标为，利用抛物线的性质可得，，结合是等腰直角三角形解出即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为, 过点作轴于点， 设点的横坐标为，则，由抛物线的性质得， 因为直线的斜率为1，所以，是等腰直角三角形， 所以，即，解得， 故选：B 【变式2.1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 【变式2.2】（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点，均在上．下列结论不正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】C 【分析】对于A，由抛物线方程得到准线与焦点；对于B，联立直线抛物线，利用判别式判断无交点的的取值范围；对于C，相切求出切点，验证焦点在上时无法满足；对于D，利用抛物线上点到直线距离公式求距离最小值，结合等边三角形面积公式算出面积最小值，判断各选项正误． 【详解】对于A，由，得，所以E的准线方程为，A正确； 对于B，设直线的方程为，联立，得， 若与没有公共点，则，解得或， 又，所以，B正确； 对于C，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切，则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，，， 根据倾斜角的定义，， 而，此时， 即，这与为等边三角形矛盾，C错误； 对于D，当时，直线的方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D正确． 题型3：求抛物线的切线方程 方法技巧 1. 点在抛物线上的切点式切线方程： (1) ：切线方程为。 (2) ：切线方程为。 2. 点在抛物线外，设切线斜率为，联立方程令求解，可得到切线。 3. 已知斜率为的切线方程： (1) ：。 (2) ：。 4. 验证斜率不存在的直线是否为切线，避免漏解。 【例题3.1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【答案】 【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 【例题3.2】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立方程组，消元，然后由判别式等于0求得，得切线方程. 【详解】设切线方程为， 由得， 所以，解得或， 所以切线方程为或，即或. 【变式3.1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：可设切点位于第一象限，根据导数以及直线与圆的相切列式求解可得，结合几何性质求长度；解法二：设直线方程为，联立方程根据判别式可得，求交点坐标即可得长度. 【详解】解法一：由题意知曲线为焦点在轴上的抛物线，是以原点为圆心，为半径的圆． 由曲线的对称性不妨设切点位于第一象限，且满足， 此时由可得函数，则， 可得曲线在点处的切线为，即， 又因为与圆相切，则， 整理可得，解得或， 可得点，故，所以； 解法二：由题意可知直线的斜率不为0，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，解得，所以直线方程为， 根据对称性不妨取直线方程为， 由，解得，即， 由，解得，即， 所以． 【变式3.2】（2025·福建福州·模拟预测）写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程_______________ 【答案】（或）（答案不唯一，写出其中一个即可） 【分析】设出切线方程，根据圆心到直线距离等与半径得出等量关系，再联立直线和抛物线方程利用判别式解方程组计算即可. 【详解】依题意可知，切线方程一定存在， 不妨设直线的方程为， 易知圆的圆心为，半径为， 由直线和圆方程相切可得， 联立抛物线与直线方程可得， 因此，解得； 所以，解得，即或； 可得； 此时切线方程为或. 故答案为：（或） 题型4：抛物线中的弦长问题 方法技巧 1. 联立直线与抛物线方程，设交点，由韦达定理得。 2. 弦长公式：。 3. 消去保留时，弦长公式为。 4. 计算前需保证，确保直线与抛物线确实相交。 【例题4.1】（2026·安徽合肥·二模）直线与抛物线交于，两点，则（   ）. A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】联立直线方程与抛物线方程，可求出两交点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得. 【详解】，解得或， 则. 【例题4.2】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 【变式4.1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 【变式4.2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 题型5：抛物线的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径（）：抛物线上点，；其他开口方向类似，本质是求点到准线的距离。 2. 焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交所得弦，弦长（型）。 3. 直线与对称轴的夹角为时，焦点弦长二级结论：。 4. 当直线垂直于对称轴时为通径，长度为，是过焦点的最短弦。 【例题5.1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 【例题5.2】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出，最后再利用焦半径公式求值即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D 【变式5.1】（3.3.2抛物线的简单几何性质【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程. 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 【变式5.2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 题型6：抛物线的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入抛物线方程作差，构造中点与斜率的关系。 2. 点差法结论： (1) 点差法结论：（前提：）。若 ，则直线方程为。 (2) 点差法结论：（前提：）。若 ，则直线方程为。 3. 存在性验证：求出直线方程后，必须代回抛物线验证，中点弦可能不存在。 4. 备用解法：也可联立方程，利用韦达定理（或）求解。 【例题6.1】（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 【例题6.2】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 【变式6.2】（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 题型7：抛物线中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线与抛物线，用韦达定理构造目标函数，结合求值域。 2. 定义法：涉及焦点距离时，用抛物线定义转化为到准线的距离，简化表达式。 3. 几何法：利用抛物线定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 4. 注意抛物线的定义域限制（如中），不能忽略边界约束。 【例题7.1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，以及直线的斜率，利用基本不等式求最值. 【详解】由已知，，设（由抛物线的对称性及斜率最大，则），则， 于是直线的斜率为， 当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为1. 【例题7.2】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】通过抛物线定义将点到轴的距离转化为点到焦点的距离，结合圆的性质对进行放缩，再利用两点间线段最短求的最小值，最终得到的最小值. 【详解】抛物线中，，得，焦点，准线方程为. 设点的横坐标为，则点到轴的距离. 由抛物线定义，，故. 圆的圆心为，半径， 对圆上动点，有（当且仅当在线段上时取等号）. 因此. 由两点间线段最短，， 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号. ，故， 且等号可同时成立，即的最小值为.    【变式7.1】（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 【答案】A 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则. 因为切线长等于， 所以当切线长最小时，最小. ， 当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为. 所以切线长的最小值为. 【变式7.2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 由抛物线的定义可知，， ， 即为定值. (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出韦达定理，代入焦点弦长公式即可求解； （2）利用焦半径公式来表示和计算即可求证； （3）由直线AO和BO的直线方程求出，再结合（1）中韦达定理求出，接着令进行换元得到关于k的表达式，利用一元二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，. 显然直线不与轴垂直，故设直线， 由得，，则，. ， 解得. （2）略 （3）由题意知点、在直线上. 由上面的过程可知. ，的方程为，由得. 同理的方程为，由得. ， 设，，则， ， ∴当，即，也即时，取得最小值为. 题型8：抛物线中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 通用公式：底高，以弦长为底，点到直线距离为高。 2. （焦点弦对应的三角形）：（型）。 3. 四边形常沿对角线拆分为两个三角形，分别计算面积再求和。 【例题8.1】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 【例题8.2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 【变式8.1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    【变式8.2】（26-27高三上·安徽马鞍山·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)求的面积的最小值； (3)若直线平分，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式，结合点坐标求出，得标准方程； （2）设直线联立抛物线，用韦达定理求纵坐标之差，结合面积公式构造函数求最值； （3）由角平分线条件转化为向量夹角余弦相等，代入焦半径公式化简等式，结合韦达定理求得参数，最后求直线斜率. 【详解】（1），解得，所以抛物线的标准方程为：． （2）设．显然直线斜率不为，设的方程为． 与抛物线方程联立得：．由韦达定理，，． 面积为． 故，即的方程为时，面积取得最小值，最小值为． （3）由题意：，则，即． ，，，，， 代入得． 即，整理得． 又因为，，代入化简得：． ，故，直线的斜率为． 题型9：抛物线中的定点问题 方法技巧 1. 设参联立：设含参数的直线方程，联立抛物线，写出韦达定理结果。 2. 目标代换：根据题干条件列等式，代入韦达定理化简，消去参数。 3. 整理恒等式：得到不受参数影响的定点坐标，注意验证直线与抛物线相交的前提。 4. 特殊探路：可先用参数的两个特殊值求出交点，再验证该点恒满足条件。 【例题9.1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）是抛物线上两点，且. (1)求AB直线过定点． (2)过原点O作于，求点的轨迹方程． 【答案】(1)定点 (2)， 【分析】（1）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和，可求解直线过定点； （2）利用圆的几何意义得到圆的方程，并注意充要性. 【详解】（1） 设直线方程为：，与抛物线联立可得： ， 设交点， 则，由于 所以， 因为，所以，解得或， 当时，直线过原点，不满足题意，故， 则直线方程为，此时可得直线过定点. （2） 由原点O作于，根据（1）可知直线过定点， 所以，即点在以为直径的圆上， 该圆的方程为：， 因为点不过原点，所以点的轨迹方程为，. 【例题9.2】（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用抛物线定义结合距离条件求解参数得到抛物线方程； (2)通过导数推导切线方程，确定切点弦的表达式，联立抛物线得到韦达定理，借助向量点积为零完成垂直证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由抛物线定义，点到焦点的距离为. 点到直线的距离为. 由题设距离关系，得， 解得，. 因此，抛物线的方程为. （2）由(1)得抛物线方程为，即，求导得. 设切点，，则抛物线在处的切线方程为，整理得. 结合，切线方程可化为. 切线过点，代入得，即. 同理可得. 因此，直线的方程为. 联立，消去得, 可得，，，， 以线段为直径的圆过点，等价于. ，， 则 ， 因此，，即以线段为直径的圆过点.    【变式9.1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的方程为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)设直线和抛物线交于两点（其中异于原点），且， （i）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）当直线l斜率不存在时，它和抛物线的图象只有一个交点，不符合题意； 所以直线l斜率存在，设其方程为，设，， 由可得（*）， 由韦达定理得：，，且， 由， 整理得：， 代入韦达定理得：， 因为A，B异于原点O，所以，所以， 此时（*）的判别式恒成立， 所以直线l的方程为，过定点. （ii） 【分析】（1）先配方，再根据的焦点坐标可求题设中抛物线的焦点坐标； （2）（ⅰ）设其方程为，设，，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理化简可得定点；（ⅱ）结合（ⅰ）定点可求O到AB的距离的最大值，从而可求的最小值. 【详解】（1）配方得，由于的焦点坐标为， 将的图象右移一个单位，再下移一个单位可得的图象， 所以的焦点坐标为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由已知，故为直角三角形，设O到AB的距离为h， 则， 注意到：， 所以当h取得最大值时取得最小值. 由（ⅰ）可知AB过定点，所以， 取等条件：当时，因，则，， 此时（*）式子的，故可取等号，所以的最小值为. 【变式9.2】（25-26高三·全国·三轮复习）已知平面直角坐标系内动点到定点的距离比到轴的距离大1，且点P不在轴左侧，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线E的方程； (2)已知点Q在直线上，过点Q作曲线E的两条切线，切点分别为点A，B，求直线的斜率； (3)在（2）的条件下，设点，试判断抛物线上是否存在点M，A，B，使得M到点A，B，C的距离均相等，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在 【分析】（1）根据题意可知点到定点的距离与定直线的距离相等，结合抛物线的定义即可求解； （2）设曲线在点处的切线方程为，联立，再利用相切可得，继而可得切线方程为，同理可得在点处的切线方程为，结合点可得，再计算斜率即可； （3）设直线的方程为，进而得到的中垂线为，再设，得到，利用，得到点在双曲线上，最后联立判断即可． 【详解】（1）已知动点到定点的距离比到轴的距离大1，且点不在轴左侧， 点到定点的距离与定直线的距离相等， 故点的轨迹为抛物线，且焦点为， 因此，曲线的方程为； （2）设点，，， 设曲线在点处的切线方程为， 联立得， ，解得， 则切线为，即， 同理可得在点处的切线方程为， ，解得， 又切线过点，，即， 直线的斜率； （3）设直线的方程为， 联立，可得， 则有，可得， 且，则， 所以线段的中点，则的中垂线为， 设，则， 又，则 根据弦长公式得， 代入②式得， 化简得， 根据①③可得，化简得， 故点在双曲线上， 联立， 则，方程无解， 故不存在这样的点到点的距离均相等． 题型10：抛物线中的定值问题 方法技巧 1. 设参联立：引入合适参数，设点或设直线，联立抛物线得到韦达定理。 2. 目标代换：将题目要求证明的目标表达式（如斜率之积/和、向量数量积、面积等）用韦达定理的结果代换，展开化简。 3. 消参得定：参数全部抵消，得到固定常数即为定值。 4. 特殊探路：可先取特殊位置（如对称轴、通径、过原点）猜出定值，再进行一般性证明。 【例题10.1】（第七单元抛物线A卷�名校好题基础达标卷）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值－12． 【分析】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的一样，可得，在抛物线上，从而在椭圆上，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由根与系数的关系可判断是否为定值． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 【例题10.2】（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形. 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【详解】（1）由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. （2）略 【变式10.1】（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【答案】(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 【变式10.2】（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，                根据韦达定理，，，                   则，     点到直线的距离，   所以的面积． （3）略 题型11：抛物线中的定直线问题 方法技巧 1. 设参联立：引入参数，设点、设直线，联立抛物线，写出韦达定理。 2. 目标代换：利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 判定形态：得到与参数无关的直线方程，即为定直线。 4. 特殊探路：特殊位置先预判定直线，再做一般情况证明，可降低难度。 【例题11.1】（25-26高二下·浙江·期中）已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． (1)证明：点在一条定直线上； (2)记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) 如图所示： 代入，得：， 设，则； 导函数为，所以在点处的切线方程为， 化简得，同理得， 所以两直线交点为，所以， 故点在定直线上． (2) 【分析】（1）将代入得到，再由求导，得到两条切线方程，求交点即可； （2）由（1）得到，从而得到垂线方程，代入椭圆方程，求得点M，N的坐标，从而得到点M，N到直线的距离，表示求解． 【详解】（1）略 （2）， 由（1）得，所以垂线，即，代入椭圆， 得：，因为点在点上方，所以； 到直线的距离； 同理可得到直线的距离． ． 当，即时，． ，所以； 当时，， 所以，设， 设； ，所以在上单调递增； 所以，故，当且仅当，即时取到“”， 显然，所以的最小值为． 【例题11.2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以 ，则，， 显然点在直线，即上，得证. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）略 【变式11.1】（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 【变式11.2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求的值； (2)若，，为上异于点的两点，直线的斜率为． ①证明：的重心在定直线上运动； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)①设，， 则的重心为， 由于直线的斜率，则， 所以，，故的重心在直线上运动．得证； ② 【分析】（1）由抛物线焦半径公式求得，再结合抛物线方程求得，即可求解； （2）①由斜率公式，结合重心坐标公式即可证明；②先设弦端点坐标，借助重心条件求出两点纵坐标和为定值，从而证明直线的斜率为定值；再由定斜率设出直线方程，与抛物线联立并结合韦达定理求出中点坐标，证明相关辅助直线恒过定点，最后由垂足所成直角推出轨迹为定圆. 【详解】（1）根据抛物线焦半径公式， ，所以， 代入抛物线方程得 ，故 ． （2）①略； ②设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以， 设为的中点，则：，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得． 则直线经过定点． 因为，于点， 所以点在以为直径的定圆上，所以点在定圆上， 又， 所以点的轨迹方程为． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $