3.3.1 抛物线及其标准方程和简单的几何性质（知识清单，知识点+五大易错点+十三大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程和简单的几何性质 内容概览 1 🔷知识点一　抛物线的定义 2 🔷知识点二　抛物线的标准方程 2 🔷知识点三　抛物线的几何性质 3 4 易错点1：抛物线定义与椭圆、双曲线定义混淆 4 易错点2：四种标准方程与焦点、准线对应混淆 4 易错点3：把一次项系数直接当作 5 易错点4：开口方向不确定时漏解 5 易错点5：焦半径公式符号用错 5 6 题型1：抛物线定义的理解 6 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 7 题型3：求抛物线的标准方程 7 题型4：抛物线方程的四种形式与位置特征 8 题型5：抛物线的焦半径公式 9 题型6：根据抛物线的方程求参数 10 题型7：抛物线上点到定点距离的最值 10 题型8：抛物线上点到定点距离的和、差最值 11 题型9：抛物线的轨迹问题 12 题型10：抛物线的开口问题 13 题型11：抛物线的范围问题 14 题型12：抛物线的对称性问题 15 题型13：抛物线的实际应用 16 🔷知识点一　抛物线的定义 定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的集合（或轨迹）叫作抛物线 焦点 定点叫作抛物线的焦点 准线 定直线 叫作抛物线的准线 集合 表示 {，d为点M到准线l的距离 ⚠️特别提醒 · 定义核心条件：定点不在定直线上；若在上，轨迹是过且垂直于的一条直线，不是抛物线。 · 抛物线离心率，区别于椭圆（）和双曲线（）。 · 凡涉及"到焦点距离"，优先用定义转化为"到准线距离"，可简化计算。 🔷知识点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程                           ⚠ 特别提醒 · 一次项决定对称轴：一次项是，焦点在轴；一次项是，焦点在轴。 · 符号决定开口方向：一次项系数为正，开口朝坐标轴正方向；为负，朝负方向。 · 是焦点到准线的距离，恒成立；标准方程中一次项系数是，不是。 · 开口方向不确定时，可设或，的正负自动决定开口方向，避免分类讨论。 🔷知识点三　抛物线的几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 1 准线方程 范围 ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中） ⚠ 特别提醒 · 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心，不是中心对称图形。 · 离心率是抛物线的固有属性，固定不变。 · 焦半径公式本质是点到准线的距离，距离必为正，开口向左/向下时坐标前需加负号。 · 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为，是过焦点的所有弦中最短的弦。 · 焦半径最小值为，在顶点处取得。 易错点1：抛物线定义与椭圆、双曲线定义混淆 【易错点】 混淆三种圆锥曲线的定义条件，把抛物线"到定点与定直线距离相等"与椭圆"距离和为定值"、双曲线"距离差的绝对值为定值"混用。 【易错消除】 对比记忆： 1. 椭圆：到两定点距离之和为定值（）； 2. 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为定值（）； 3. 抛物线：到一定点与一定直线距离相等（）。 【易错例题】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 易错点2：四种标准方程与焦点、准线对应混淆 【易错点】 四种标准方程与焦点、准线对应混淆。 【易错消除】 记忆规律： 1. 一次项是，焦点在轴；一次项是，焦点在轴。 2. 一次项系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 3. 准线与焦点分居顶点两侧，焦点坐标中常数项取反号即得准线。 【易错例题】（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 易错点3：把一次项系数直接当作 【易错点】 把一次项系数直接当作，混淆与。 【易错消除】 标准方程中一次项系数是不是。 【易错例题】（25-26高二下·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 易错点4：开口方向不确定时漏解 【易错点】 已知抛物线对称轴为轴且过某点，默认开口向右，漏掉开口向左的情况。 【易错消除】 开口方向不确定时，抛物线对称轴为轴，设方程为，代入点坐标求出的正负，自动确定开口方向，避免分类讨论漏解。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 易错点5：焦半径公式符号用错 【易错点】 开口向左的抛物线，焦半径误写为，未加负号，导致距离为负或结果偏大。 【易错消除】 焦半径本质是点到准线的距离，距离必为正： (1) 开口向右：准线在左侧，。 (2) 开口向左：准线在右侧，。 遇到焦半径问题，直接由"到准线距离"推导，不依赖记忆。 【易错例题】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 题型1：抛物线定义的理解 方法技巧 1. 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为焦点，定直线为准线。 2. 若定点在定直线上，轨迹为过该点且垂直于定直线的一条直线，不是抛物线。 3. 解题核心应用：将抛物线上点到焦点的距离，等价转化为该点到准线的距离，简化计算。 4. 定义是焦半径公式、焦点弦性质的推导依据。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【例题1.2】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1.1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1.2】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，一次项对应的坐标轴为对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。 2. ：焦点，准线；：焦点，准线。 3. ：焦点，准线；：焦点，准线。 4. 的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正数。 【例题2.1】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2.2】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 【变式2.2】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型3：求抛物线的标准方程 方法技巧 1. 先根据开口方向与对称轴，设对应标准方程；开口方向不确定时，分类讨论或设一般式。 2. 利用已知条件建立关于的方程，求解的值，代入标准方程。 3. 对称轴为轴，可统一设为；对称轴为轴，可统一设为，避免分类。 4. 顶点在原点、对称轴为坐标轴是标准方程的前提。 【例题3.1】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3.2】（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【变式3.1】（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3.2】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 题型4：抛物线方程的四种形式与位置特征 方法技巧 1. 四种标准形式：（开口向右）、（开口向左）、（开口向上）、（开口向下），其中。 2. 共同特征：顶点均为坐标原点，均为轴对称图形，焦点在开口一侧的对称轴上，准线在开口另一侧。 3. 一次项变量对应对称轴，一次项系数为正开口向正方向，系数为负开口向负方向。 4. 越大，抛物线开口越开阔；越小，开口越狭窄。 【例题4.1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 【例题4.2】（3.3.1抛物线及其标准方程）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式4.1】（25-26高二上·湖北黄石·期末）（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【变式4.2】  （26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 题型5：抛物线的焦半径公式 方法技巧 1. 焦半径：抛物线上一点到焦点的距离，可由定义转化为到准线的距离。 2. 上点，焦半径；上点，焦半径。 3. 上点，焦半径；上点，焦半径。 4. 焦半径最小值为，对应抛物线顶点处。 【例题5.1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式5.1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【变式5.2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型6：根据抛物线的方程求参数 方法技巧 1. 将给定方程化为标准形式，对比标准方程系数，建立参数关系式。 2. 结合焦点坐标、准线方程、焦半径长度等条件，列方程求解参数。 3. 参数的正负对应抛物线开口方向，求解后注意验证符号是否匹配。 4. 若方程含多个参数，需结合多个几何条件联立方程组求解。 【例题6.1】（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【例题6.2】（25-26高二上·北京平谷·期末）已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 【变式6.1】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【变式6.2】（2025·北京·三模）设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到准线的距离为_____. 题型7：抛物线上点到定点距离的最值 方法技巧 1. 代数法：设抛物线上点的坐标，利用抛物线方程消元，转化为单变量二次函数，结合定义域求最值。 2. 几何法：定点在抛物线对称轴上时，可结合图形分析。 3. 注意抛物线的定义域限制，如中，二次函数最值需在定义域内取得。 4. 距离平方的最值与距离最值等价，优先计算距离平方可避免开根号。 【例题7.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【变式7.1】（25-26高二下·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 【变式7.2】（25-26高二下·上海·期中）两条相互垂直的道路和在点交汇，道路上且距点0.5公里处有一车站.一段铁路以点为起点单向铺设，铁路上任意点到车站与其到道路的距离之差均为公里.已知铁路不为直线，且沿曲线方向无限延伸，道路与铁路的宽度均忽略不计.    (1)试建立合适的平面直角坐标系，并写出铁路所在曲线的方程； (2)在道路上､距点公里处有一仓库（为常数，）.若仓库与车站位于道路同侧，讨论从仓库搬运一件物品至铁路旁的最短距离（单位：公里）. 题型8：抛物线上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 和的最值：利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，转化为点到直线的垂线段最短求解。 2. 差的最值：利用三角形三边关系，当三点共线时取得最值，注意判断点在抛物线的内侧还是外侧。 3. 求出最值后，验证对应点是否在抛物线上，确保几何上可实现。 【例题8.1】（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例题8.2】（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8.1】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【变式8.2】（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 题型9：抛物线的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：分析动点满足的条件，符合抛物线定义，直接确定焦点、准线，写出标准方程（注意排除定点在定直线上的退化情况）。 2. 直接法：设动点坐标，根据题意列出距离等式，化简整理为轨迹方程。 3. 相关点法（代入法）：已知一动点在某已知曲线上，求另一动点轨迹。利用坐标代换关系（如中点公式、向量关系），将已知点的坐标用未知点坐标表示并代入已知曲线方程。 4. 检验与剔除：求出方程后，必须结合题目隐含条件（如几何意义、斜率存在性等）进行查漏补缺，保证轨迹的纯粹性和完备性。 【例题9.1】（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【例题9.2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式9.2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型10：抛物线的开口问题 方法技巧 1. 一次项对应对称轴，一次项系数正负决定开口方向：正号向正方向，负号向负方向。 2. 的大小决定开口宽窄：越大，焦点到准线距离越远，抛物线开口越开阔。 3. 已知开口方向可快速设出标准方程形式，减少分类讨论。 4. 抛物线只有一个开口方向，与双曲线两支、椭圆封闭图形有本质区别。 【例题10.1】（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【例题10.2】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（2025·江西·二模）（多选）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 题型11：抛物线的范围问题 方法技巧 1. ：，；：，。 2. ：，；：，。 3. 抛物线向开口方向无限延伸，无边界，非封闭曲线。 4. 求取值范围、函数最值时，必须考虑抛物线的定义域约束。 【例题11.1】（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例题11.2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式11.1】（25-26高三上·新疆·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【变式11.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型12：抛物线的对称性问题 方法技巧 1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为一次项对应的坐标轴，不是中心对称图形。 2. 点在抛物线上，则关于对称轴对称的点也在抛物线上。 3. 利用对称性可简化计算，已知一半图形可直接得到对称部分。 4. 抛物线的顶点是对称轴与抛物线的唯一交点。 【例题12.1】（21-22高二上·浙江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【例题12.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【变式12.1】（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【变式12.2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 题型13：抛物线的实际应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题抽象为抛物线模型，通常以顶点为原点、对称轴为坐标轴建系。 2. 从实际场景中提取已知点坐标，代入标准方程求出，得到抛物线方程。 3. 利用抛物线方程和性质求解实际问题，如拱桥高度、车灯反射、抛物面天线等。 4. 注意单位统一，结合实际意义检验结果是否合理。 【例题13.1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【例题13.2】（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【变式13.1】（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【变式11.2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程和简单的几何性质 内容概览 1 🔷知识点一　抛物线的定义 2 🔷知识点二　抛物线的标准方程 2 🔷知识点三　抛物线的几何性质 3 4 易错点1：抛物线定义与椭圆、双曲线定义混淆 4 易错点2：四种标准方程与焦点、准线对应混淆 5 易错点3：把一次项系数直接当作 5 易错点4：开口方向不确定时漏解 6 易错点5：焦半径公式符号用错 6 7 题型1：抛物线定义的理解 7 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 9 题型3：求抛物线的标准方程 10 题型4：抛物线方程的四种形式与位置特征 13 题型5：抛物线的焦半径公式 15 题型6：根据抛物线的方程求参数 16 题型7：抛物线上点到定点距离的最值 18 题型8：抛物线上点到定点距离的和、差最值 22 题型9：抛物线的轨迹问题 25 题型10：抛物线的开口问题 27 题型11：抛物线的范围问题 29 题型12：抛物线的对称性问题 32 题型13：抛物线的实际应用 35 🔷知识点一　抛物线的定义 定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的集合（或轨迹）叫作抛物线 焦点 定点叫作抛物线的焦点 准线 定直线 叫作抛物线的准线 集合 表示 {，d为点M到准线l的距离 ⚠️特别提醒 · 定义核心条件：定点不在定直线上；若在上，轨迹是过且垂直于的一条直线，不是抛物线。 · 抛物线离心率，区别于椭圆（）和双曲线（）。 · 凡涉及"到焦点距离"，优先用定义转化为"到准线距离"，可简化计算。 🔷知识点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程                           ⚠ 特别提醒 · 一次项决定对称轴：一次项是，焦点在轴；一次项是，焦点在轴。 · 符号决定开口方向：一次项系数为正，开口朝坐标轴正方向；为负，朝负方向。 · 是焦点到准线的距离，恒成立；标准方程中一次项系数是，不是。 · 开口方向不确定时，可设或，的正负自动决定开口方向，避免分类讨论。 🔷知识点三　抛物线的几何性质 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 1 准线方程 范围 ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中） ⚠ 特别提醒 · 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心，不是中心对称图形。 · 离心率是抛物线的固有属性，固定不变。 · 焦半径公式本质是点到准线的距离，距离必为正，开口向左/向下时坐标前需加负号。 · 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为，是过焦点的所有弦中最短的弦。 · 焦半径最小值为，在顶点处取得。 易错点1：抛物线定义与椭圆、双曲线定义混淆 【易错点】 混淆三种圆锥曲线的定义条件，把抛物线"到定点与定直线距离相等"与椭圆"距离和为定值"、双曲线"距离差的绝对值为定值"混用。 【易错消除】 对比记忆： 1. 椭圆：到两定点距离之和为定值（）； 2. 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为定值（）； 3. 抛物线：到一定点与一定直线距离相等（）。 【易错例题】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 易错点2：四种标准方程与焦点、准线对应混淆 【易错点】 四种标准方程与焦点、准线对应混淆。 【易错消除】 记忆规律： 1. 一次项是，焦点在轴；一次项是，焦点在轴。 2. 一次项系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 3. 准线与焦点分居顶点两侧，焦点坐标中常数项取反号即得准线。 【易错例题】（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 易错点3：把一次项系数直接当作 【易错点】 把一次项系数直接当作，混淆与。 【易错消除】 标准方程中一次项系数是不是。 【易错例题】（25-26高二下·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 易错点4：开口方向不确定时漏解 【易错点】 已知抛物线对称轴为轴且过某点，默认开口向右，漏掉开口向左的情况。 【易错消除】 开口方向不确定时，抛物线对称轴为轴，设方程为，代入点坐标求出的正负，自动确定开口方向，避免分类讨论漏解。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 易错点5：焦半径公式符号用错 【易错点】 开口向左的抛物线，焦半径误写为，未加负号，导致距离为负或结果偏大。 【易错消除】 焦半径本质是点到准线的距离，距离必为正： (1) 开口向右：准线在左侧，。 (2) 开口向左：准线在右侧，。 遇到焦半径问题，直接由"到准线距离"推导，不依赖记忆。 【易错例题】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点的纵坐标为，由题意知， 借助焦半径公式可得，故， 所以点的纵坐标为. 题型1：抛物线定义的理解 方法技巧 1. 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为焦点，定直线为准线。 2. 若定点在定直线上，轨迹为过该点且垂直于定直线的一条直线，不是抛物线。 3. 解题核心应用：将抛物线上点到焦点的距离，等价转化为该点到准线的距离，简化计算。 4. 定义是焦半径公式、焦点弦性质的推导依据。 【例题1.1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【分析】根据抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 【例题1.2】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 【变式1.1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则， 由于，故. 【变式1.2】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，一次项对应的坐标轴为对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。 2. ：焦点，准线；：焦点，准线。 3. ：焦点，准线；：焦点，准线。 4. 的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正数。 【例题2.1】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 【例题2.2】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 【答案】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，确定焦点位置和参数的值，再代入对应准线公式求解 【详解】原抛物线标准形式为：，则，故， 故该抛物线的准线方程为. 【变式2.2】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程、顶点坐标以及抛物线的焦点知识计算即可. 【详解】将椭圆方程变换为标准方程得，，因为，所以. 所以该椭圆的焦点在轴上，顶点坐标为. 将抛物线变形得，所以其焦点在轴正半轴上，坐标为. 因为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合， 所以，化简得，解得或（舍去）. 题型3：求抛物线的标准方程 方法技巧 1. 先根据开口方向与对称轴，设对应标准方程；开口方向不确定时，分类讨论或设一般式。 2. 利用已知条件建立关于的方程，求解的值，代入标准方程。 3. 对称轴为轴，可统一设为；对称轴为轴，可统一设为，避免分类。 4. 顶点在原点、对称轴为坐标轴是标准方程的前提。 【例题3.1】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 【例题3.2】（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案. 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8， 因为点A到y轴的距离为6，所以，即. 故答案为： 【变式3.1】（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 【变式3.2】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 题型4：抛物线方程的四种形式与位置特征 方法技巧 1. 四种标准形式：（开口向右）、（开口向左）、（开口向上）、（开口向下），其中。 2. 共同特征：顶点均为坐标原点，均为轴对称图形，焦点在开口一侧的对称轴上，准线在开口另一侧。 3. 一次项变量对应对称轴，一次项系数为正开口向正方向，系数为负开口向负方向。 4. 越大，抛物线开口越开阔；越小，开口越狭窄。 【例题4.1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 【答案】 【分析】考察抛物线中的基本概念，结合抛物线的基本知识即可得出答案. 【详解】由抛物线的基本知识可知，焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为，准线方程为. 故答案为：；；. 【例题4.2】（3.3.1抛物线及其标准方程）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可. 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 【变式4.1】（25-26高二上·湖北黄石·期末）（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BCD 【分析】根据的不同取值情况，结合椭圆、双曲线、直线、抛物线的标准方程特征，判断方程表示的曲线类型. 【详解】当时，与同号，将方程化为. 当且时，该方程表示椭圆，当且时，该方程表示圆. 当时，方程表示的轨迹不存在，故A选项错误. 当时，与异号，当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，故B选项正确. 当或时，该方程表示两条直线，C选项正确. 因抛物线方程中只存在一个二次项，故中有一个为0，而中有一个为0时，此时无一次项，方程就不可能表示抛物线，故D选项正确. 故选：BCD 【变式4.2】  （26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2)当时，焦点坐标为，准线方程为 【分析】（1）根据抛物线的焦点与准线的定义求解即可； （2）按与分类，根据抛物线的焦点与准线的定义求解即可. 【详解】（1）抛物线的标准方程为，所以， 抛物线开口向左，所以焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的标准方程为，所以． ①当时，，抛物线开口向右，所以焦点坐标是，准线方程是； ②当时，，抛物线开口向左，所以焦点坐标是，准线方程是． 综上所述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 题型5：抛物线的焦半径公式 方法技巧 1. 焦半径：抛物线上一点到焦点的距离，可由定义转化为到准线的距离。 2. 上点，焦半径；上点，焦半径。 3. 上点，焦半径；上点，焦半径。 4. 焦半径最小值为，对应抛物线顶点处。 【例题5.1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线方程求出点坐标和准线方程，根据抛物线焦半径公式即可求得结果. 【详解】由题知，令，代入，得， 则，又抛物线的准线为， 所以点到焦点的距离为. 【例题5.2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 【变式5.1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程， 得，解得. 所以抛物线的方程为，即， 其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 【变式5.2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 题型6：根据抛物线的方程求参数 方法技巧 1. 将给定方程化为标准形式，对比标准方程系数，建立参数关系式。 2. 结合焦点坐标、准线方程、焦半径长度等条件，列方程求解参数。 3. 参数的正负对应抛物线开口方向，求解后注意验证符号是否匹配。 4. 若方程含多个参数，需结合多个几何条件联立方程组求解。 【例题6.1】（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 【例题6.2】（25-26高二上·北京平谷·期末）已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，设点的坐标为，由条件列方程求，再求，利用两点距离公式求结论即可. 【详解】抛物线的准线为，设点的坐标为， 由抛物线上的点到准线的距离为，可得，解得. 由， 所以， 所以，即， 故答案为： 【变式6.1】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义及三角形相似得到比例关系，即可得. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点， 由抛物线的定义得，且， ，即，得. 【变式6.2】（2025·北京·三模）设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到准线的距离为_____. 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标可求出的值，可得出抛物线的标准方程，再将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，即可求得点到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，所以，可得， 故抛物线的方程为， 将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，即点， 故点到准线的距离为. 故答案为：. 题型7：抛物线上点到定点距离的最值 方法技巧 1. 代数法：设抛物线上点的坐标，利用抛物线方程消元，转化为单变量二次函数，结合定义域求最值。 2. 几何法：定点在抛物线对称轴上时，可结合图形分析。 3. 注意抛物线的定义域限制，如中，二次函数最值需在定义域内取得。 4. 距离平方的最值与距离最值等价，优先计算距离平方可避免开根号。 【例题7.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 【例题7.2】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 【变式7.1】（25-26高二下·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【详解】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，，； 当，即时，，. 综上所述，. 【变式7.2】（25-26高二下·上海·期中）两条相互垂直的道路和在点交汇，道路上且距点0.5公里处有一车站.一段铁路以点为起点单向铺设，铁路上任意点到车站与其到道路的距离之差均为公里.已知铁路不为直线，且沿曲线方向无限延伸，道路与铁路的宽度均忽略不计.    (1)试建立合适的平面直角坐标系，并写出铁路所在曲线的方程； (2)在道路上､距点公里处有一仓库（为常数，）.若仓库与车站位于道路同侧，讨论从仓库搬运一件物品至铁路旁的最短距离（单位：公里）. 【答案】(1) (2)当时，； 当时，. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论求对应距离最小值. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建立坐标系，则，为铁路上任意一点，由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义，曲线的方程为.    （2）由题意，为铁路上任意一点，其到点的距离为. 令， 则 当，即时，； 当，即时，. 题型8：抛物线上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 和的最值：利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，转化为点到直线的垂线段最短求解。 2. 差的最值：利用三角形三边关系，当三点共线时取得最值，注意判断点在抛物线的内侧还是外侧。 3. 求出最值后，验证对应点是否在抛物线上，确保几何上可实现。 【例题8.1】（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 【例题8.2】（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 【变式8.1】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 【变式8.2】（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 题型9：抛物线的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：分析动点满足的条件，符合抛物线定义，直接确定焦点、准线，写出标准方程（注意排除定点在定直线上的退化情况）。 2. 直接法：设动点坐标，根据题意列出距离等式，化简整理为轨迹方程。 3. 相关点法（代入法）：已知一动点在某已知曲线上，求另一动点轨迹。利用坐标代换关系（如中点公式、向量关系），将已知点的坐标用未知点坐标表示并代入已知曲线方程。 4. 检验与剔除：求出方程后，必须结合题目隐含条件（如几何意义、斜率存在性等）进行查漏补缺，保证轨迹的纯粹性和完备性。 【例题9.1】（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 【例题9.2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 【变式9.1】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 【变式9.2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 题型10：抛物线的开口问题 方法技巧 1. 一次项对应对称轴，一次项系数正负决定开口方向：正号向正方向，负号向负方向。 2. 的大小决定开口宽窄：越大，焦点到准线距离越远，抛物线开口越开阔。 3. 已知开口方向可快速设出标准方程形式，减少分类讨论。 4. 抛物线只有一个开口方向，与双曲线两支、椭圆封闭图形有本质区别。 【例题10.1】（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 【例题10.2】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，将化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 【变式10.1】（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 【变式10.2】（2025·江西·二模）（多选）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD 题型11：抛物线的范围问题 方法技巧 1. ：，；：，。 2. ：，；：，。 3. 抛物线向开口方向无限延伸，无边界，非封闭曲线。 4. 求取值范围、函数最值时，必须考虑抛物线的定义域约束。 【例题11.1】（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 【例题11.2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 【变式11.1】（25-26高三上·新疆·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 【变式11.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 题型12：抛物线的对称性问题 方法技巧 1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为一次项对应的坐标轴，不是中心对称图形。 2. 点在抛物线上，则关于对称轴对称的点也在抛物线上。 3. 利用对称性可简化计算，已知一半图形可直接得到对称部分。 4. 抛物线的顶点是对称轴与抛物线的唯一交点。 【例题12.1】（21-22高二上·浙江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 【例题12.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 【变式12.1】（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 【变式12.2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    题型13：抛物线的实际应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题抽象为抛物线模型，通常以顶点为原点、对称轴为坐标轴建系。 2. 从实际场景中提取已知点坐标，代入标准方程求出，得到抛物线方程。 3. 利用抛物线方程和性质求解实际问题，如拱桥高度、车灯反射、抛物面天线等。 4. 注意单位统一，结合实际意义检验结果是否合理。 【例题13.1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 【例题13.2】（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 【变式13.1】（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 【变式11.2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $