第三章 再练一课(范围：§3.1～§3.3) 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 再练一课(范围：§3.1～§3.3) 一、单项选择题 1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 答案　C 解析　设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6. 2．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝x的距离为，则p为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　B 解析　依题意得，F， 因为F到直线y＝x的距离为， 所以＝， 所以|p|＝4，因为p>0，所以p＝4. 3．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由题意，得 解得a＝2，b＝2.易知双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8.则C的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　因为△ABF2的周长为8， 所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8⇒|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8⇒(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8， 由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以2a＋2a＝8⇒a＝2， 由题意可得abπ＝2π， 解得b＝， 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以C的标准方程为＋＝1. 5．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星．第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，R，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，以运行轨道的中心为原点， 长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 令地心F2为椭圆的右焦点， 设标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2. 由题意，得a－c＝R＋R，a＋c＝R＋R， 解得2a＝R,2c＝R，所以e＝＝. 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　双曲线的一条渐近线方程为y＝x， 即bx－ay＝0， x2＋y2－6x＋5＝0变形为(x－3)2＋y2＝4， ∴圆心为(3,0)，r＝2， ∴＝2， ∴3b＝2c，∴9(c2－a2)＝4c2， ∵c＝3，∴a2＝5，b2＝4， ∴双曲线方程为－＝1. 二、多项选择题 7．设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点(xA<xB)，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6,12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 答案　ACD 解析　设椭圆的左焦点为F′， 则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6， |AB|的取值范围是(0,6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误； 将y＝与椭圆方程联立， 可解得A，B，又∵F(，0)， ∴·＝＋2＝0， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确． 8．下列判断正确的是(　　) A．抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0仅有一个公共点 B．双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点 C．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则<t<4 D．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 答案　BD 解析　对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－＝0联立，消去x，可得y2＋y－＝0，Δ＝1＋4>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0有两个公共点，故A错误； 对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点，故B正确； 对