第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷（2）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

▣景▣互薄 第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷(2) 题断 一、单选题 1.(25-26高一上河北唐山期中)当x=()时，函数y=x2+ 2取得最小值. A.1 B.-1 C.1 D.2 2.(26-27高一上山东济南·开学考试)下列命题为真命题的是() A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a>b,则1< a b C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若a>b>0,则ac2>bc2 3。（26-27商一上：全国期中)不等式X-2X-3≤0的解集为() A.-1,1 B.-3,3 C.-0,-1Uj1,+0 D.-o0,-3lU13,+∞ 4.(25-26高一浙江·期中)已知a>0>b,则下列不等式一定正确的是() A.1 a b B.a<b C.a>b D. b<b+1 aa+l 5.(25-26高一上江苏南通期中)已知x>0,y>0,且4+1=1，则2x+y+2X的最小值为《) x y A.12 B.13 C.17 D.19 6.(25-26高一上·湖南邵阳·期中)汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次 出差需要加油两次，两次加油单价不同现有两种方案，第一种方案：第一次加油200元，第二次加油200 元：第二种方案：第一次加油30升，第二次加油30升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠( A.第一种 B.第二种 C.不确定 D.一样实惠 7.(26-27高一上江苏南通阶段检测)命题p:“X+ ≤0”是命题q:“x-1≤2”的() X-3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.(26-27高一上·广东汕头·阶段检测)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为 试卷第1页（共3页） (-0,1]u[2,+o则不等式cX2+b+a>0的解集为（） A(-0,-1)u(-2+ 0(-o,2u(1,+mj 传 二、多选题 9.(26-27高一上全国·期中)若a>b>c,a+b+c=0,则() A.11 a-c b-c B.a-c>2b C.aa>bb D.ab+bc>0 10.(26-27高一上广东惠州期中)若a>0,b>0,且2a+b=1,则下列结论正确的是() A.ab的最小值为。 R.4+b的最小值为号 C吕后的限为6 D.a+b+ab的最大值为1 11.(25-26高一上福建莆田期中)已知关于x的不等式(2a+3m)x2-(b-3m)x-1>0a>0' b>0)的解集为-0，-1)U(分+0，则下列结论正确的是（） A.2a+b=1 B.2ab的最大值为日 、。±的最小但为9D.子+的饭水治为8 a b 三、填空题 12.（2526商-上安微餐州期中)已知西数y=X-4+X97,X-1,当x=时，y取得最小b。则 a+b=_ 13。(26-27高一上广东惠州期中)若不等式3×+2X+2>m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范 x2+x+1 围为 14.(26-27高一上·河北邯郸阶段检测)已知-4≤x+y≤-3,1≤3x-2y≤3，t=4x-3y,则实数t 的取值范围为 试卷第2页（共3页） 四、解答题 15.(26-27高一上·河南周口·阶段检测)比较下列各题中两个代数式值的大小. @x+1)与x+X+1 (2)a2-b2与a-b a2+b2 a+b a>b>02 16.(25-26高一上·全国期中)解关于x的不等式X+c+2x+2c≥0 X 17.(25-26高一上河北邯郸期中)(1)已知x>0,求y= 2+2x+4的最大值： (2)已知x>0,y>0,且2+=2，求8x+y的最小值： x y (3)已知x>0,y>0,且x+1川y+2=8,求2x+y的最小值. 18.(26-27高一上河北那台阶段检测)已知关于x的不等式。X+2b-1x-3<0的解集为 (1)求实数a,b的值； (②若不等式kX-2k+1x+a>0对任意的-1≤k≤1恒成立，求实数x的取值范围： (3)若ms0'求关于x的不等式bmX-m+bx+1≤0的解集. 19.(26-27高一上·河北邯郸·阶段检测)某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图 如图所示)，已知污水处理池长为xm,宽为ym(y<x),深为3m,四周池壁的建造成本为800元/m, 中间隔墙的建造成本为400元m2,池底的建造成本为1200元/m2. vm -xm (1)若池底的面积为54m2,求污水处理池的最低建造成本： (2)若污水处理池的建造成本预算为67200元，且预算恰好用完， (i)求y关于x的表达式： 试卷第3页（共3页） (ⅱ)当X为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积.（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不 计) 试卷第4页（共3页） 第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷（2） 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 2．（26-27高一上·山东济南·开学考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】通过举反例验证假命题来判断A B D，通过不等式证明真命题来判断C. 【详解】对于A：取，此时，故A错误 ； 对于B：取，此时，故B错误； 对于C：，则，故C正确； 对于D：，取，则，故D错误. 3．（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，其中， 所以，可得，故不等式的解集为. 4．（25-26高一·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 7．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 8．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过不等式的解集计算的关系式，再消元求解. 【详解】由题意知，且1和2是方程的两个根， 根据韦达定理得，解得， 不等式，即，化简得，解得或， 则不等式的解集为：. 二、多选题 9．（26-27高一上·全国·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】用不等式的性质与作差比较法逐一判断即可． 【详解】对于A，由可得，则，故A错误； 对于B，由得，所以等价于 ，整理得， 因为且，故，所以，故B正确； 对于C，由，，得，即， 当时，，由，易得，即； 当时，，显然有，故C正确； 对于D，由得，则 ，故D错误． 10．（26-27高一上·广东惠州·期中）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】BC 【分析】选项A直接利用基本不等式求解即可，选项B利用重要不等式求解即可，选项C利用基本不等式中的常数代换求解即可，选项D把双变量换成单变量的二次函数形式求解即可，注意二次函数的定义域. 【详解】对于A选项：所以， 当且仅当，即，时取得，与，相符，即的最大值为，故A错； 对于B选项：， 当且仅当，即，时取得，与，相符，故B对； 对于C选项：， 当且仅当即，时取得，与，相符，故C对； 对于D选项：，又因为，可得， 是开口向下的二次函数，在时取最大值，但与不符，因此，故D错. 11．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 【答案】ACD 【分析】A选项，根据不等式的解集和韦达定理求出，，联立可得；B选项，由基本不等式直接求解即可；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】A选项，由题意得为方程的两个根，且， 由韦达定理得，， 故，，所以， 其中与联立可得，A正确； B选项，，，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项，，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，当时，取得最小值，则________. 【答案】3 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时，等号成立， 此时， 则， 故答案为： 13．（26-27高一上·广东惠州·期中）若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】分母恒正，直接移项整理成二次不等式，利用二次式恒大于0的条件，且判别式小于0，求解参数范围. 【详解】因为， 不等式 可化为， 整理得， 所以对任意实数恒成立， ①若，即，不等式化为，即，不是对所有实数成立，舍去； ②若 ，则必须同时满足， 解不等式得， 由 ，即， 解不等式得或， 综上，实数的取值范围为. 14．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设目标表达式为已知两个式子的线性组合，得到，分别算出两部分取值范围后同向相加得到t的范围． 【详解】设，则，解得， 故， 由，得， 由，得， 故，即实数的取值范围为． 四、解答题 15．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1) 与 ; (2) 与 (). 【答案】(1) （当 时取等号）. (2). 【分析】（1）利用作差法，由配方法判断其符号即可； （2）利用作差法，分解因式判断其符号即可； 【详解】（1）作差：. 因为 恒成立，所以 （当 时取等号）. （2）作差：. 因为 ，所以 ，，，. 因此 ，所以 . 16．（25-26高一上·全国·期中）解关于x的不等式． 【答案】当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【分析】首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可. 【详解】不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 17．（25-26高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）最小值为4. 【分析】（1）分子分母同时除以，然后结合基本不等式即可求解最大值； （2）利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解最小值； （3）利用配凑法结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）因为，所以， 又由，当且仅当，即时取等号. 有，可得的最大值为. （2）由，有. 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为. （3）由， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为4. 18．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 19．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】(1)元 (2)（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. （2）（ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $