第二章　一元二次函数、方程和不等式章末模拟测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2026浙江温州高一期中)不等式(x-1)(x+1)<0的解集为(　　) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,1) D.[-1,1] 2.已知a>0,b>0,且满足=1,则ab的最大值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 3.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为(　　) A. B. C. D. 4.不等式<2的解集为(　　) A.{x|x≠-2} B.R C.⌀ D.{x|x<-2或x>2} 5.某物流公司为了提高运输效率,计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C(单位:万元)与仓储中心到机场的距离s(单位:km)之间满足的关系为C=+2s+2 000,则当C最小时,s的值为(　　) A.2 080 B.40 020 C.20 D.20 6.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为(　　) A.{k|1<k<19} B.{k|1≤k≤19} C.{k|1<k≤19} D.{k|1≤k<19} 7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 8.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是(　　) A.{9x-y|-7≤9x-y≤26} B.{9x-y|-1≤9x-y≤20} C.{9x-y|4≤9x-y≤15} D.{9x-y|1≤9x-y≤15} 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设a>b>1,c<0,下列四个结论正确的有(　　) A. B.ac<bc C.a(b-c)>b(a-c) D. 10.已知a>0,b>0,若a+2b=1,则下列选项正确的有(　　) A.b的取值范围是{b|0<b<} B.ab的最大值为 C.a-的最大值为1-2 D.的最小值为8 11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2},则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.ax+c>0的解集为{x|x<2} C.cx2+bx+a<0的解集为{x|-1<x<} D.a+b+c<0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设a,b为实数,比较两式的值的大小:a2+b2　　　　　2a-2b-2(用符号“>”“≥”“<”“≤”或“=”填空).  13.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示),则每辆客车营运　　　　　年时,年平均利润最大.  14.(2026浙江金华高一月考)若a<0,a+b=1,则-的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>2或x<1}. (1)求b和c的值; (2)求不等式cx2+bx+1≤0的解集. 16.(15分)(1)已知x>1,求4x+的最小值; (2)解关于x的不等式x2-(a+3)x+3a<0,a∈R. 17.(15分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)当m=0时,求不等式y>0的解集; (2)若不等式y>0的解集为⌀,求实数m的取值范围; (3)对任意的x∈[-],不等式y≥-x恒成立,求实数m的取值范围. 18.(17分)某服装厂拟在今年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)m(单位:万件)与年促销费用x(0≤x≤10)(单位:万元)满足m=3-.已知去年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将去年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数; (2)该服装厂去年的促销费用投入多少万元时,利润最大? 19.(17分)已知x,y都是正数. (1)若2x+3y=3,求xy的最大值; (2)若=2,且x>y,求x+y的最小值. 附加题: 勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》某章有云:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”这个问题(图1)已知直角三角形两条直角边长,要求一个与直角三角形ABC有公共直角的正方形GFEB的边长(即“勾股容方”).记|BC|=a,|BA|=b. 图1 图2 (1)若a=5,正方形GFEB的边长不小于d,求b的取值范围; (2)图1中直角三角形ABC斜边上的中线记为BM,比较线段BM与BF长度的大小,并证明你的结论; (3)事实上,直角三角形ABC还有另一个内接正方形D'G'F'E'(图2),该正方形的一边与直角三角形ABC斜边AC部分重合,即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢?请求出正方形GFEB与正方形D'G'F'E'的面积,并比较它们的大小. 参考答案 1.C　因为(x-1)(x+1)<0,所以-1<x<1, 故不等式(x-1)(x+1)<0的解集为(-1,1). 故选C. 2.B　因为a>0,b>0,且满足=1, 所以1≥2,化为ab≤3,当且仅当a=,b=2时,等号成立,则ab的最大值是3.故选B. 3.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<4}, ∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0. ∴ 解得 ∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0. 又a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0. 整理,得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0, 解得x>1或x<-.故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为.故选B. 4.A　因为x2+x+1=>0,所以原不等式等价于x2-2x-2<2x2+2x+2,即x2+4x+4>0,即(x+2)2>0,所以x≠-2.故选A. 5.D　因为C=+2s+2 000≥2+2 000=2 080,当且仅当=2s,即s=20时,等号成立, 所以当C最小时,s的值为20.故选D. 6.D　因为y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方, ①当k2+4k-5=0时,解得k=-5或k=1, 当k=-5时,函数y=24x+3为一次函数,不满足条件; 当k=1时,函数y=3满足条件;故k=1; ②当k2+4k-5≠0时,函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3为二次函数, 则 解得1<k<19. 综上,实数k的取值范围为{k|1≤k<19}. 故选D. 7.B　由已知得=4++1=5+2()≥5+2×2=9,当且仅当a=b=时,等号成立.又≥m恒成立,∴m≤9,即m的最大值等于9.故选B. 8.B　令m=x-y,n=4x-y,则 则z=9x-y=n-m, ∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤, 又-1≤n≤5,∴-n≤, ∴-1≤z=9x-y=n-m≤20.故选B. 9.ABC　∵a>b>1,c<0,∴>0,∴,A正确; ∵a>b,c<0,∴ac<bc,B正确; ∵a>b>1,c<0,∴a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-ab+bc=-c(a-b)>0,∴a(b-c)>b(a-c),C正确; ,又a-b>0,c<0,∴<0,即,D错误.故选ABC. 10.ABD　由题设a=1-2b>0,则b<.又b>0,故b的取值范围是{b|0<b<},故A正确; 由ab=b(1-2b)=-2,且0<b<,故ab的最大值为,故B正确; 由a-=1-(2b+)≤1-2=1-2,当且仅当b=时,等号成立, 而0<b<,所以a-取不到1-2,故C错误; 由=()(a+2b)=4+≥4+2=8, 当且仅当a=,b=时,等号成立,故的最小值为8,故D正确.故选ABD. 11.BC　因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥2}, 所以a<0,可得 则ax+c>0,即ax-2a>0,得x-2<0,x<2. 又cx2+bx+a<0化为-2ax2-ax+a<0, 可得2x2+x-1<0,解得-1<x<. 因为a+b+c=a-a-2a=-2a>0, 故A错误,B正确,C正确,D错误.故选BC. 12.≥　因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥0,a=1,b=-1时,等号成立, 所以a2+b2≥2a-2b-2. 13.5　二次函数图象的顶点为(6,11). 设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a≠0), 代入点(4,7),解得a=-1.所以y=-x2+12x-25, 年平均利润为=-(x+)+12≤-2+12=2, 当且仅当x=,即x=5时,等号成立. 14.-1　∵a+b=1, ∴b=1-a>1, ∴-=-=--1. ∵a<0,b>0, ∴->0,->0,∴-=(-)+(-)-1≥2-1=-1, 当且仅当-=-,即b=-a时,等号成立, 当b=-a时,∴a+b=a-a=1, ∴当a==-1-,b=2+时,-的最小值为-1. 15.解 (1)因为不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>2或x<1}, 则1,2是方程x2+bx+c=0的两个根, 于是得 解得b=-3,c=2, 所以b和c的值分别为b=-3,c=2. (2)由(1)知,不等式cx2+bx+1≤0为2x2-3x+1≤0, 解得≤x≤1, 所以cx2+bx+1≤0的解集为{x}. 16.解 (1)x>1,4x+=4(x-1)++4≥2+4=8, 当且仅当4x-4=,即x=时,等号成立,上式取得最小值8. (2)x2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a); 当a<3时,由x2-(a+3)x+3a<0,得a<x<3; 当a=3时,不等式x2-(a+3)x+3a<0无解; 当a>3时,由x2-(a+3)x+3a<0,得3<x<a. 综上,当a<3时,不等式解集为{x|a<x<3};当a=3时,不等式解集为⌀;当a>3时,不等式解集为{x|3<x<a}. 17.解 (1)当m=0时,y=x2-1, 由y>0得x2-1>0,解集为{x|x<-1或x>1}. (2)当m=-1时,由y>0,得到x-2>0,所以x>2,不合题意, 当m≠-1时,不等式y>0的解集为⌀, 得解得m≤-, 所以实数m的取值范围为{m|m≤-}. (3)由不等式y≥-x,得m(x2-x+1)≥-x2-x+1, 因为x2-x+1=>0恒成立, 所以m≥=-1+. 设1-x=t,x∈[-],则t∈[],x=1-t, 所以. 因为t+≥2=2,当且仅当t=1,即x=0时,等号成立,所以当x=0时,=1, 所以m≥1.故实数m的取值范围为{m|m≥1}. 18.解 (1)由题意知每件产品的销售价格为2×, ∴y=m·2×-(8+16m+x)=8+16m-x=56--x,即y=56--x(0≤x≤10). (2)由y=56--x=57-[+(x+1)]≤57-2=49, 当且仅当=x+1,即x=3时取等号. 故该服装厂去年的促销费用投入3万元时,利润最大为49万元. 19.解 (1)因为x,y都是正数, 则2x+3y≥2=2,即2≤3, 解得xy≤,当且仅当2x=3y,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为. (2)由x,y都是正数,且x>y,由=2可得x+y=x-y+2y=(x-y+2y)()=(2+)≥×(2+2)=2, 当且仅当,即x=,y=时,等号成立, 所以x+y的最小值为2. 附加题 解 (1)设正方形GFEB的边长为x,则x≥d, 由题意可知,△AGF与△FEC相似, 所以有,解得x=. 因为a=5,x≥d,显然0<d<5, 所以≥d,得b≥. 故实数b的取值范围为{b|b≥,0<d<5}. (2)BM≥BF,理由如下, 由题可知BM=AC=, 由(1)可知,BF=BE=, 由基本不等式可知,BM=, BF=, 故BM==BF,当且仅当a=b时,等号成立,所以BM≥BF. (3)比较正方形面积的大小,只需要比较其边长的大小即可. 由(1)可知正方形GFEB的边长为BE=, 所以正方形GFEB的面积为. 设正方形D'G'F'E'的边长为y,∠A=α,易知∠BD'E'=∠CE'F'=∠A=α, 所以有a=BE'+CE'=ysin α+, 即y=. 显然sin α=,cos α=, 所以y=, 所以正方形D'G'F'E'面积为. 因为a2b2>0, 所以(a+b)4-2ab(a+b)2+a2b2>(a+b)4-2ab(a+b)2 ⇒>(a+b)2[(a+b)2-2ab] ⇒>(a+b)2(a2+b2) ⇒a2+b2+ab>(a+b) ⇒ ⇒, 所以BE>y, 所以正方形GFEB的面积大于正方形D'G'F'E'的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $