第三十一章 相似（单元自测）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【解析】∵， ∴， ∴．故选A． 2．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【解析】∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选A． 3．下列命题： ①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相似三角形判定定理，菱形、正方形、矩形的判定定理逐项判断即可． 【解析】①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，是真命题； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法是假命题； ③一个角为90°且邻边相等的平行四边形是正方形，故原说法是假命题； ④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题， 故真命题有①④，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查命题与定理，掌握相似三角形判定，菱形、正方形、矩形的判定是解题的关键． 4．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选D． 5．如图，，与相交于点G，若，，，则等于（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴．故选C． 6．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则的长为（ ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可得到答案． 【解析】， ， ，，， ， ， ．故选D． 7．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】∵， ， ∴， 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的周长比为．故选A． 8．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【解析】A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C．故选C． 9．如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比），根据相似比计算即可． 【解析】∵和是以原点为位似中心的位似图形，，， ∴，， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴．故选B． 10．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【解析】， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为________． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【解析】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，在正方形网格上，若使，则点P应在________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的条件的相关知识．由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断． 【解析】由图知：一定是钝角； ∵， ，， ， ， ， ， 只有点符合这样的要求， 故P点应该在处， 故答案为． 13．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为________． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【解析】根据题意，点从点到点的时间为；点从点到点的时间为， 如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当与对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，符合题意， 故答案为或． 14．位似图形的性质 （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于________． （2）位似图形________相似图形，但相似图形________位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或________． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________． 【答案】 一点 是 不一定是 共线 相似比 【分析】根据位似图形的性质直接作答即可． 【解析】根据位似图形的性质： （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点． （2）位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或共线． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 故答案为一点，是，不一定是，共线，相似比． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 15．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为________. 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【解析】∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 16．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【解析】以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ．故答案为$35$． 17．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．若点和点的坐标分别为，，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据点和点的坐标求出位似比，利用位似图形对应边成比例计算即可． 【解析】∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 以原点为位似中心放大后得到， ， ， ， ， ．故答案为4． 18．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方,求出三角形的相似比即可解题. 【解析】∵与是位似图形， ∴与的相似比为=2:3, ∴与的面积比为4：9, ∵， ∴=. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积之间的关系,属于简单题,理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）故答案为$\frac{81}{4}$． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为________； （2）若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，点． （2） 【分析】（1）根据要求画出图形即可，再根据作图后的写出点的对应点即可； （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵与关于原点异侧位似，相似比为，点， ∴点．故答案为（1）． 20．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到(点，，分别对应点，，)，且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 【答案】（1）画图见详解； （2）； （3） 【分析】本题考查位似变换的性质，核心是掌握位似中心在原点时，位似图形对应点的坐标与相似比的关系． （1）先确定各顶点的坐标，根据位似中心在原点、相似比及在第一象限内的要求，计算出各顶点的坐标，再描点连线画出图形； （2）利用位似变换的坐标规律，将点的坐标乘以相似比的，得到点的坐标； （3）根据原点为位似中心的位似变换坐标规律，直接推导线段上任意点变换后的坐标． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，， ∴点的坐标为， 故答案为； （3）解：∵以原点为位似中心，位似变换的缩放比例为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为； 故答案为． 21．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； （3）和关于点位似，直接写出点的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得．故答案为（1）． 22．（8分）如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【解析】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，．故答案为（1）如图，即为所求．． 23．（8分）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【解析】∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，与网格上的直线相交于点M． （1）填空： ， ； （2）求的度数和的值； （3）判断和是否相似？并说明理由． 【答案】(1)， (2)， （3） 相似，理由如下： ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数，相似三角形的判定；能熟练利用勾股定理及其逆定理，正切函数，相似三角形的判定进行求解是解题的关键． （1）用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理得，，，由勾股定理逆定理和正切函数即可求解； （3）由勾股定理求出各边的长，计算得，即可求解． 【解析】（1）解：， ， 故答案为，； （2）解：， ， ， ， 是直角三角形， ， 由图得，， ． （3）解：略． 25．（9分）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴．故答案为（1）证明：∵，． 26．（9分）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解，② 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）①由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出； ②由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴； （2）证明：①∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解：②∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．故答案为（1）见详解． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A．6 B．3 C．5 D．9 3．下列命题： ①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，，与相交于点G，若，，，则等于（ ） A． B． C． D．1 6．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则的长为（ ） A． B．6 C． D．3 7．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为________． 12．如图，在正方形网格上，若使，则点P应在________． 13．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为________． 14．位似图形的性质 （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于________． （2）位似图形________相似图形，但相似图形________位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或________． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________． 15．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为________. 16．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则________． 17．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．若点和点的坐标分别为，，，则的长为________． 18．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为________； （2）若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 20．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到(点，，分别对应点，，)，且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 21．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； （3）和关于点位似，直接写出点的坐标为________． 22．（8分）如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 23．（8分）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 24．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，与网格上的直线相交于点M． （1）填空： ， ； （2）求的度数和的值； （3）判断和是否相似？并说明理由． 25．（9分）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 26．（9分）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为菱形，且，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $