第22章 图形的相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 图形的相似·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 3．如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 4．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 6．如图，在纸片中，，裁出了两个边长分别为3和2的正方形M和N，则边的长为（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 7．如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，和分别是对应边上的中线，且，则________． 12．如图，在中，点在上，，交于点，，则___________． 13．如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 14．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 15．如图，在边长为的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，与交于点且，与交于点，与交于点．则的长度为______，的面积为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 17．（8分）如图，已知，直线与相交于点O，点C、D分别在线段、上，且，，． (1)求的长； (2)若，，求的长． 18．（8分）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 19．（9分）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 20．（9分）如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 21．（10分）如图，在中，，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点方向运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点方向运动，点到达点后，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)求点停止运动时，的长． (2)在，两点运动过程中，是点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22．（11分）综合实践 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） (1)【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． ①求证：； ②若，，为的中点，求的长； (2)【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为________． 23．（12分）如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下面矩形中，和矩形ABCD相似的是() B 4 C 10 B 3 C. 6 D. 2.如图，直线l1l2‖L3分别交直线l4,l5于点A,B,C,D,B,P,己知AB=2,BC=4,DE=3,则 EF的长是() B E A.3 B.4 c.4.5 D.6 3.如图，已知△ABC与△A1BC1是位似图形，位似中心是O,若△ABC与△A1BC1的周长比为2：1， B,C,=4则BC的值为() 117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.2 B.4 C.8 D.10 4.如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A,B, E在x轴上，若OA=1,则点F的坐标为() A A.3,6 B.6,3 c.9,6 D.6,9 5.若△ABC的三边长分别为1，V2,5,△兽的三边长分别为V2,2,V10,则△ABC与△警就 () A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.一定全等 6.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ABC=90°，裁出了两个边长分别为3和2的正方形M和N,则边BC 的长为() D 3 M A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 7.如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知BF为△ABC的角平分线，DM为△ADE的 角平分线，则BF:DM的值为() 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A A.1:4 B.1:V2 C.2:1 D.1:2 8.如图，DE是△ABC的中位线，DE是△ABC的中位线，连接AA、BB、CC.已知 BC=4,20A=0A,20B=0B,20C=0C·则DE的长度为(）. A.2 B.4 c.6 D.8 9.如图，在口ABCD中，AB=3,AO=1,CO=2,则下列各对三角形中相似的有()个 ①△AOE与△COB ②△AOB与△ABC ③△AOE与△CBA ④△BAE与△COB A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm,AC=10cm,动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向 点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2Cm/s的速度向点A运动，当以A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似时，运动时间约是() E←二C A.2.2s或4.5s B.4.2s C.3s D.2.2s或4.2s 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） SAABC 1L,若△ABC一△C,AM和DN分别是对应边上的中线，且S=C DN 12.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE‖BC交AC于点E,SAADE=1,则SAABC= 13.如图，AB与CD交于点O,若使得△OAC一△OBD,则可以添加的一组条件为 14.如图的提琴模型中，点P是AB的黄金分制点，即满足BP=A AP AB ,若AB=4,则AP的长为 B 15.如图，在边长为82的正方形ABCD中，点E是对角线CA延长线上一点，连接BE,将BE绕点B逆时 针荒转90得到BC,连按CR、FD,EF与AD交于点G且AG=吉AB,BF与CD交于点M,BF与CE交 于点H.则AE的长度为 △CMH的面积为一· D G M B 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，已知△ABC一△ABC,B), ,CD与CD分别是△ABC与△ABC的中线， BM与BM分别是△ABC与△ABC的角平分线，CD=8Cm,BM=4cm,求CD,BM的长. D B 17.(8分)如图，已知AB‖CD‖EF,直线AF与BE相交于点O,点C、D分别在线段OE、OF上， 且AF=9,BC=3,CE=4. B D E (1)求DF的长： (2)若AB=3,EF=10,求CD的长. 18.(8分)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1,BD=2,AC=V3, B (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若CD=5,求BC的长. 19.(9分)如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F, AB BC AC AD DE AE 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠BAD=∠CAE; (2)若AE=3,BC=5,△AEF的周长等于8，求△BCF的周长. 20.(9分)如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,交EA的延 长线于点F,且AF·CD=BC·AD A B E (1)求证：AE⊥BC: (2)如果BE=CE,求证：BC=2BD·AC 21.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点P以每秒1个单位长度的速度从 点A向点C方向运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点A方向运动，点Q到达点A后，点P 也停止运动，设点P,Q运动的时间为t. B A→P (1)求点P停止运动时，BP的长. (2)在P,Q两点运动过程中，E是点Q关于直线AC的对称点，是否存在某一时刻，使四边形PQCE为菱形？ 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由， 22.（11分)综合实践 D E 图① 图② 图③ 【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.易 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证：△AED一△BFE.(不需要证明) (I)【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F」 ①求证：△AED一△BFE: ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长： (2)【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A, B重合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°，交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 23.(12分)如图，等边三角形ABC,点D为边AC上一动点，连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转 120°得到线段DE,连接BE交直线AC于点F. E A H D C B 图1 图2 图3 (①)如图1，若∠FDE=45°，BF=32,求AF的长度： (2)如图2，当B,A,E三点共线时，连接CE,点G为BD中点，连接AG,过点G作GH⊥CE于点H,请 猜想AG,EH的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，连接AE,点D在边AC上运动时，点P为线段AB上一点，点Q为线段BD上一点，连接 CP,CQ,且AP=BQ,当AE以及CQ+CP均最小时，连接CE,若AB=6,直接写出当AE以及 CQ+CP均最小时对应△CPE的面积.。 7/7可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 7 8 9 10 A A A D B C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 12.9 13.∠A=∠B或∠C=∠D或AC‖BD或BO-DO A0=C0 (答案不唯一) 14.25-2 32 15.4 15 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：：△ABC-△ABC,A9=号 AB 2 .△ABC与△ABC的相似比为1：2，(3分) ,CD与CD分别是△ABC与△ABC的中线，BM与BM分别是△ABC与△ABC的角平分线， CD 1 BM 1 CD2'BM2,(5分) .CD=8cm,BM=4cm. ∴.CD=16cm,BM=8cm.(8分) 17.(8分) 【详解】(1)解：ABCD‖EF, BC AD CE DF 设DF=x,则AD=AF-DF=9-x, 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3_9-x 解得：x=36 (3分) 经检验，X= 36 是原方程的解， ..DF= 3 7:(4分) (2)解：设OC=m, .BC=3,CE=4. ..OB=BC-OC=3-m,OE=OC+CE=m+4 AB‖CD, ∴.△OAB~△ODC, :A迟OB CD OC AB=3, 3=3-m CD m .CD EF, ∴.△OCD一△OEF,(6分) CD OC EF OE .EF=10, CD=_m ”10m+4 【33-m 由CD m 解得：CD= 18.(8分) CD =m 7 10m+4 18.(8分) 【答案】(1)证明：：AD=1,BD=2, ∴.AB=AD+BD=3, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AC=3, a8最版，a分) ·AD 福船 又∠A=∠A, .△ACD一△ABC;(4分) (2)解：由(1)得△ACD一△ABC, AC=3 AD BC=AC=3,(6分) ·CDAD :CD=5, BC=V15.(8分) 19.(9分) 【答案】()证明：：AB=BC=AC AD DE AE ∴.△ABC~△ADE, .∠BAC=∠DAE,(2分) .∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, ∴.∠BAD=∠CAE;(4分) (2)解：由(1)得△ABC一△ADE, .∠C=∠E, 又，∠AFE=∠BFC, ∴.△AFE一△BFC,(6分) ·△AEF的周长与△BCF的周长的比=A二， BC .AE=3,BC=5, ∴△AEF的周长与△BCF的周长的比= (7分) 3 ,△AEF的周长等于8， “△BCF的周长为 40 (9分) 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(9分) 【答案】（①）证明：，CD上BD, ∴.∠ADF=∠CDB=90°， .∠FAD=90°-∠F=∠BCD, .AF·CD=BC·AD, ·AD=CD ·AFBC1 ∴.△ADF一△CDB,(2分) .∠F=∠B, .·∠FAD=∠EAB ∴.∠FDA=∠BEA=90°， ∴.AE⊥BC;(4分) (2)证明：.BE=CE,AE⊥BC, ∴.AB=AC, ∴.∠B=∠1， D 又∠BDC=∠AEC=90°， .△BCD一△CAE,(6分) ·BC-BD AC CE ∴.BC·CE=BD·AC, ∴.BC·2CE=2BD·AC,(7分) ‘BE=CE, ∴.BC=2CE, .BC=2BD·AC.(9分) 21.(10分) 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在Rt△ABC中， .∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=62+8=10'(2分) “点Q运动到点A时，t=10=5, 2 ∴.AP=5,PC=1, 在Rt△PBC中，PB=VP+8=65 （4分) (2)解：存在：(5分)连接QE交AC于点D, ,E是点Q关于直线AC的对称点， .QE⊥AC,DQ=DE, ∴.当PD=CD时，四边形PQCE是菱形，(6分) .AP=t,AC=6,BQ=2t,AB=10, .PC=6-t,AQ=10-2t, PD-CD-3- AD=t+3-号号3 .QE⊥AC,∠BCA=90°， .∠ADQ=∠BCA, 又：∠A=∠A, .△ADQ一△ACB,(8分) 船记 t+3 ·10-2t=20 106 9 ·当t=30 =17s时，四边形PQCE是菱形. 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以 9, D (10分) 22.(11分) 【答案】(I)①证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90° .∠ADE+∠AED=90°， DE⊥EF, .∠g=90°， .∴.∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF.(3分) 又.∠A=∠B, ∴.△AED一△BFE;(4分) ②解：.E为AB的中点， .AE=BE=5,(5分) 由(1)知△AED~△BFE, ..AD-AE BE BF (7分) ·BF=25 :(8分) 22/2或2(1分) 23.(12分) 【详解】(1)解：过点F作FH⊥BC于点H, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD 120° DE H 图1 将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ∴.∠BDE=120°，BD=DE, .∠FDE=45°， ∴.∠BDA=120°-∠FDE=75°，∠DBE=∠DEB=30°， '△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC, ∴.∠CBD=∠FDB-∠C=15°， ∴.∠FBH=∠DBE+∠DBC=45°，(2分) 2BF=3, 在Rt△BFH中，FH=BH= 在Rt△CFH中，∠C=60°，FH=3, ∴.∠CFH=30 ∴.CF=2CH,FH=3CH=3, ∴.CH=V3,CF=23 ∴.BC=AC=3+3: ∴.AF=AC-CF=3-3;(4分) EH-3AG 证明：连接CG,延长CG至点Q使得GQ=CG,连接BQ,如图2， 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E BD G 图2 点G为 中点， ∴.BG=DG, 在△CDG和△QBG中， CG=QG ∠CGD=∠QGB DG=BG ∴.△CDG≌△QBG SAS, ∴.∠QBG=∠CDG,BQ=CD ‘将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE, .BD=DE,∠BDE=120°， B,A,E三点共线， .∠DBE=∠DEB=180°-1201=30°， ∠ABD=1 ∠ABC=∠CBD=30°， AB=BC, ∴.BD⊥AC,AD=CD, ∴.BD垂直平分AC, ∴.CG=AG,∠CDB=90°，AD=CD, ∴.∠QBD=∠CDG=90°， ∴.∠CBQ=∠CBD+∠QBD=120°， ∠BAC=60°， .∴.∠CAE=180°-∠BAC=120°， .∴.∠CAE=∠CBQ, .∠AED=30°， ∴.∠ADE=180°-120°-30°=30°， 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADE=∠AED, ∴.AD=AE, ∴.BQ=CD=AD=AE ∴.△CBQ≌△CAE|SAS,(6分) ∴.CE=CQ=2CG,∠ACE=∠BCQ, .∴.∠ACE+∠ACQ=∠BCQ+∠ACQ=∠BCA=60°， ∴.∠GCE=60°， .GH⊥CE, ∴.∠CGH=30°， Γ2 EBH=C-CH=20G-cG号0G-号AG:8分) (3)解：延长CA至点F,使AF=AC,则AF=AB,∠BAF=120°， E ∴.∠ABF=∠AFB=30° 图3 .∴.∠ABF=∠DBE=30°，∠BAF=∠BDE=120°， ∴.△BAF一△DBE, BD BE AB BF BD AB BE BF .'∠FBE=∠ABD=30°+∠EBA, .∴.△FBE一△ABD, ∴.∠BFE=∠BAD=60°， .∴.∠AFE=∠BFE-∠AFB=30°， 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点E在直线EF上运动， .当AE⊥EF时，AE最小， 此时∠FAE=60°」 ∴.∠BAF+∠FAE=180°， ∴.当AE最小时，点B,A,E三点共线，(10分) 由(2)可知，此时D为AC中点，AE=AD=号AC=3,∠CBQ=)∠ABC=30°， 如图4，将AB绕点A旋转30°，得到AH,连接PH,CH, 则AH=AB=BC=AC,∠PAH=30°=∠CBQ,∠CAH=∠BAC+∠BAH=90°， M H .∴.△AHC 图4 为等腰直角三角形， ∴.∠H=45°， 又.BQ=AP .△BCQ≌△AHPSAS, ∴.CQ=HP .∴.CQ+CP=HP+CP≥CH, ∴.当C,P,H三点共线时，CQ+CP有最小值， 过点P作PM⊥AH, .:∠H=45°，∠BAH=30°， ∴.PM=HM,AP=2PM, ∴.AM=V3PM, .'AH=MH+AM=PM+3 PM=6, ∴.PM=33-3, .AP=6V3-6. 如图5，当AE以及CQ+CP均最小时，P,E位置如图， 则PE=AE+PA=63-3, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A C 图5 过点C作CN⊥AB,则AN=号AB=3,CN=VAC2-AN=33, Sac=PECN-54-g3 2 (12分) 11/11命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下面矩形中，和矩形ABCD相似的是() B 4 10 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可. 详解】解：根据题意，得。-)四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定 义 2.如图，直线1‖12‖1分别交直线l4,l于点A,B,C,D,B,F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则 EF的长是() B A.3 B.4 C.4.5 D.6 【答案】D 1/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：以1213， .AB=DE BC EF .AB=2,BC=4,DE=3. .2.3 4EF' ∴.EF=6 3.如图，已知△ABC与△A1BC1是位似图形，位似中心是O,若△ABC与△A1B1C1的周长比为2：1， B,C,=4'则BC的值为() A.2 B.4 C.8 D.10 【答案】C 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入 已知线段长即可求出BC 【详解】解：.△ABC与△A1B1C1的周长比为2：1， .△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1， .BC:B1C1=2:1, .B1C1=4, ∴.BC=8 4.如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A,B, E在x轴上，若OA=1,则点F的坐标为() G 2/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3,6 B.6,3 c.9,6 D.6,9 【答案】C 【详解】解：，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3， ∴.AD:BG=1:3,ADBG, ∴.∠OAD=∠OBG,∠ODA=∠OGB, .△OAD~△OBG, OA_AD_1 OB BG 3 .OA=1, ∴.OB=3, ∴.AB=OB-OA=2 .四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=2, ∴.BG=3AD=6 “.四边形BEFG为正方形， ∴.BE=BG=6, ∴.OE=OB+BE=3+6=9, ∴.点F的坐标为9,6， 5.若△ABC的三边长分别为1,2，V5,△的三边长分别为/2,2，/10，则△ABC与△ () A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性. 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序. △ABC的=边长为1，V2,V5, △g就的三边长为/2,2，V10. ,1:V2=V2:2=V5:V10 ∴两三角形三边对应成比例，一定相似， 6.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ABC=90°，裁出了两个边长分别为3和2的正方形M和N,则边BC 的长为() 3/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F G 3 M Bh A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 【答案】A 【分析】利用正方形性质得平行线，构建相似三角形求解即可. 【详解】解：由正方形性质可得DE‖FG‖BC,DE=2,FG=3,DF=2,FB=3, DE‖FG, ∴.△ADE一△AFG, AD DE2 ·AFFG3 AF=AD+DF=AD+2, ·AD+231 解得AD=4, .AB=AD+DF+FB=4+2+3=9, DE BC, ∴.△ADE一△ABC, AD=DE AB BC' 42 BC ∴.BC=4.5 7.如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，己知BF为△ABC的角平分线，DM为△ADE的 角平分线，则BF:DM的值为() 4/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A M A.1:4 B.1:V2 c.2:1 D.1:2 【答案】D 【分析】利用相似三角形性质：相似三角形对应角平分线的长度比等于相似比，解答即可； 【详解】解：观察网格可得，AB‖DE,BC‖AD,点C、A、E共线， ∴.∠BAC=∠E,∠C=∠DAE, .△ABC一△ADE, AB=1,AD=2, .两个三角形的相似比为AB:AD=1:2, :BF、DM分别是两个相似三角形的对应角平分线， ∴.BF:DM=1:2 8.如图，DE是△ABC的中位线，DE是△ABC的中位线，连接AA、BB、CC.已知 BC=4,20A=0A,20B=0B,20C=0C则DE的长度为(）. B' A.2 B.4 c.6 D.8 【答案】B 【分析】通过中位线的性质得出DE=号BC=2,再证明△ABC一△ABC,得出相似比为 ,即可得 到DE=号DE,从而得出答案 【详解】解：，DE是△ABC的中位线，DE是△ABC的中位线， 5/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE-BC-2,DE-BG. .20A=OA,20B=OB,20C=OC, OA_OB_OC_1 0A0B0C2' ∴△ABC与△ABC位似，点O为位似中心， ∴△ABC一△ABC,且相似为) :.BC=IBC, 2 DE-DE. .DE=4 9.如图，在口ABCD中，AB=3,AO=1,CO=2,则下列各对三角形中相似的有()个 E 0 B ①△AOE与△COB ②△AOB与△ABC ③△AOE与△CBA ④△BAE与△COB A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质，可以得到AD‖BC,用两角分别相等的两个三角形相似得到 △AOE~△COB:利用A0=1,C0=2,AB=3,得到AS=A0 AC AB 用两边对应成比例，且夹角相等 证明△AOB一△ABC;用△AOB一△ABC得到∠ABO=∠ACB,两直线平行，内错角相等得到 ∠AEB=∠CBO,用两角分别相等的两个三角形相似得到△BAE一△COB 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC, ∴.∠EAO=∠BCO,∠AEO=∠CBO, ∴.△AOE~△COB: 6131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=3,AO=1,C0=2, ∴.AC=AO+OC=3, .AB 3 A0_13 ·AC-3,AB33’ AB AO ·ACAB 又∠BAO=∠CAB. ∴.△AOB一△ABC: ∴.∠ABO=∠ACB, 即∠ABE=∠OCB, AD BC, .∴.∠AEB=∠CBO, 又.'∠ABE=∠OCB, ∴.△BAE一△COB 10.如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm,AC=10cm,动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向 点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似时，运动时间约是() E←二C A.2.2s或4.5s B.4.2s C.3s D.2.2s或4.2s 【答案】D 【详解】解：设运动ts时，以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=tcm,CE=2tcm, ∴.AE=AC-CE=10-2tcm. ①当点D与点B对应时，有△ADE一△ABC, AB=4cm,AC=10cm, .'AD:AB=AE:AC, ∴.t:4=10-2t:10, :t=20 2.2 9 ②当点D与点C对应时，有△ADE一△ACB,AB=4cm,AC=10cm, 7131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD:AC=AE:AB, ∴.t:10=10-2t:4, t-2吾42 .当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间约是2.2s或4.2s. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） SA ABC 11.若△ABC一△乙，AM和DN分别是对应边上的中线， S兰L4 DN 【答案】 1-2 【分析】己知两个三角形相似，给出面积比，求对应中线的比，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】解：△ABC一△乙，AM和DN分别是对应边上的中线， ..SAABC AM SADEF DN (负值已舍去). 12.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE‖BC交AC于点E,SAADE=1,则SAABC B 【答案】 9 【分析】由BD=2AD得出AD与AB的比值，利用DE‖BC判定△ADE一△ABC,根据相似 三角形面积比等于相似比的平方求解. 【详解】解：，BD=2AD, .'AB=AD+BD=3AD. 8/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD_1 AB 3' .DE‖BC, ∴.△ADE一△ABC, SAADE AD 即1一 SAABC AB SAABC .S△ABc=9 13.如图，AB与CD交于点O,若使得△OAC一△OBD,则可以添加的一组条件为 A、 【路装1∠A=∠B成∠C=∠D或ACD改品号 (答案不唯一) 【分析】根据∠AOC=∠BOD,然后利用两角分别相等的两个三角形相似或两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似，添加条件即可. 【详解】解：：∠AOC=∠BOD,∠A=∠B, ∴△OAC一△OBD: 或：∠AOC=∠BOD,∠C=∠D, .△OAC-△OBD: 或，AC‖BD ∠A=∠B, 又，∠AOC=∠BOD, ∴.△OAC-△OBD: 或，∠AOC=∠BOD, AOCO BO DO ∴，△OAC△OBD: 综上可知答案不唯一， 故答案为∠A=∠B或∠C=∠D或ACBD或AD=C0 (答案不唯一) BO DO 9131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图的提琴模型中，点P是AB的黄金分割点，即满足 BPAP AP AB' 若AB=4,则AP的长为 【答案】 2V5-2 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式 BPAP AP AB' 可知AP为线段AB的较长部分，利用黄金比 9V5-1 2 进行计算即可. 【详解】解：：点P是AB的黄金分割点，且满足B=AP AP AB AP为较长线段，即AP=5-1 AB 2 .AB=4, ∴.AP=4× 5-1=25-2. 2 15.如图，在边长为82的正方形ABCD中，点E是对角线CA延长线上一点，连接BE,将BE绕点B逆时 针旋转90将到BK,选按CR、E,EF与AD交于点G且AG=名AB,BF与CD交于点M,BF与CE交 于点H.则AE的长度为 ,△CMH的面积为 D A B 32 【答案】 15 【分析】过E作EP⊥AD于P,过F作FQ⊥AD于Q,延长QF交BC于R,证明△PEG一△QFG,得 10/31 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 出PE=PG QF QG 根据正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质可得出AP=PE,设AP=a,则PE=a, 根据勾股定理求出AE=V2a,同理可得CP=V2CR=V2FR,证明△BCF≌△BAE(SAS,得出 CF=AE=V2a,则CR=FR=a,证明四边形CDQR是矩形，得出DQ=CR=a,QR=CD=8V2, CDRQ,则可求出FQ=82-a,G0=82-2=72+a,PG=2+a,代入6求出 a=22,即可求出AE:正明△BCM-△B,求出CM=号2，过H作S71AB于Z交CD于S, 根据矩形的判定与性质得出ST=BC=82,证明△CHM一△AHB,根据相似三角形的性质得出 SH 则可求出SH=42,然后根据三角形的面积公式求解即可。 3 82-SH 82 【详解】解：过E作EP⊥AD于P,过F作FQ⊥AD于Q,延长QF交BC于R E D G T P M 则EP‖FQ, ∴.△PEG一△QFG, 器器 :正方形ABCD的边长为8√2， .AB=BC=AD=CD=82,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，BC‖AD,AB‖CD, ∠CAD=∠ACB=45°， ,EP⊥AD,∠PAE=∠CAD=45°， ∴∠AEP=45°=∠PAE, ∴AP=PE, 设AP=a,则PE=a, 11/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE-AP+PE-82a ,BC‖AD,RQ⊥AD, RQ⊥BC, 同理可得CF=V2CR=V2FR, BE绕点B逆时针旋转90°得到BF, .BF=BE,∠FBE=90°， :.∠CBA=∠FBE, ∠CBF=∠ABE, 又BC=BA, ∴.△BCF≌△BAE|SAS, ∴CF=AE=V2a, ..CR=FR=a, ,RQ⊥AD,RQ⊥BC,∠CDQ=90°， ∴四边形CDQR是矩形， ..DQ=CR=a,QR=CD=82,CD RQ, ..FQ=8V2-a, :AG-台AB .AG=2, “GQ=8V2-/2=72+a,PG=V2+a, .PE=PG QF QG a 2+a ∴8V2-a7V2+a 解得a=22,经检验，符合题意， AE=2a=4: .CM‖FQ, ∴.△BCM~△BRF. 8服0 82 CM 即82+2222 12/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得CM=82. 5 过H作ST⊥AB于T,交CD于S, 7 O D G P M 则四边形BCST是矩形， ∴.ST=BC=8V2, :AB‖CD ∴ST⊥CD ..AB CM, .△CHM△AHB SH CM 滑浴 即SH 82 82-SH 8/2 解得SH=42, 3 ∴.S△CMH=1 ×号2×生恒-器 1 3215 三、解答题（共8小题，共75分） 8分)如图，已知△ABC一△ABCA片》CD与CD分别是△ABC与△ABC的中 BM与BM分别是△ABC与△ABC的角平分线，CD=8cm,BM=4cm,求CD',BM的长. B 【答案】CD=16cm,BM=8cm 13/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由相似三角形的性质计算即可得出结果， AB 1 【详解1解：：△ABC一△ABC,AB2 ∴△ABC与△ABC的相似比为1：2，(3分) :CD与CD分别是△ABC与△ABC的中线，BM与BM分别是△ABC与△ABC的角平分线， CD1 BM1 “CD2BM2 (5分) .CD=8cm,BM=4cm, ∴.CD=16cm,BM=8cm.(8分) 17.(8分)如图，已知AB‖CD‖EF,直线AF与BE相交于点O,点C、D分别在线段OE、OF上， 且AF=9,BC=3,CE=4. B C D E (1)求DF的长： (2)若AB=3,EF=10,求CD的长. 【答案】()DF=36 (2)CD=18 【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理列式求解即可； -3-m (2)设oC=m'分别证明△OAB-△ODC和△OCD一△OEP得方程组CD m 求解即可 CD m 10m+4 【详解】(1)解：AB‖CD‖EF, BC_AD CE DF 设DF=X,则AD=AF-DF=9-X, 14131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3=9-x 4 解得：X= 36 , (3分) 经检验，x= 36 7 是原方程的解， ∴DF= 36 7:(4分) (2)解：设OC=m, ,BC=3,CE=4. ..OB=BC-OC=3-m,OE=OC+CE=m+4 .AB CD. ∴.△OAB~△ODC, .ABOB CD OC AB=3, 3=3-m CD m .CD EF, ∴△OCD一△OEF,(6分) .CD OC ∴EFOE EF=10, .CD=_m 10m+4 3_3-m 由CD m 解得：CD= 8.(8分) CD m 7 10 m+4 18.(8分)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1,BD=2,AC=3, 15131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若CD=5,求BC的长. 【答案】(1)证明：：AD=1,BD=2, .AB=AD+BD=3, 又：AC=3, C-5,A83=3.2分) :.AD AC 3 ACAB AD-AC' 又∠A=∠A, ∴.△ACD一△ABC:(4分) (2)解：由(1)得△ACD一△ABC, AC=3 A BC=AC-3,(6分) ·CDAD :CD=5, :BC=V15.(8分) 【分析】(1)可证明AC=AB DAC结合∠A∠A,即可证明△ACD-△ABC (2)根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ACD一△ABC, AC=3 AD BC_AC=/3. :0m CD=5, ∴BC=V/15 16131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC AC 19.(9分)如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F, AD DE AE (1)求证：∠BAD=∠CAE: (2)若AE=3,BC=5,△AEF的周长等于8，求△BCF的周长. 【答案】0证明：8=BC=AC AD DE AE ∴.△ABC一△ADE, .∠BAC=∠DAE,(2分) ∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, ∴∠BAD=∠CAE:(4分) (2)解：由(1)得△ABC一△ADE, ∴∠C=∠E, 又，∠AFE=∠BFC, ∴.△AFE一△BFC,(6分) △AEF的周长与△BCF的周长的比=A, AE=3,BC=5, △AEF的周长与△BCF的周长的比=3 (7分) :△AEF的周长等于8， :△BCF的周长为 40 (9分) 【分析】(I)证明△ABC一△ADE,得到∠BAC=∠DAE,据此可证明∠BAD=∠CAE: (2)由相似三角形的性质得到∠C=∠E,则可证明△AFE一△BFC,再根据相似三角形的周长之比 等于相似比即可得到答案。 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABC△ADE, 17131 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠C=∠E, 又，∠AFE=∠BFC, ∴.△AFE△BFC, ÷△AEF的周长与△BCF的周长的比=A二 BC .AE=3,BC=5, ·△AEF的周长与△BCF的周长的比= 3 51 :△AEF的周长等于8， △C的周长为号 20.(9分)如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,交EA的延 长线于点F,且AF·CD=BC·AD, D B E (1)求证：AE⊥LBC: (2)如果BE=CE,求证：BC=2BD·AC. 【答案】(I)证明：.CD⊥BD, ∴∠ADF=∠CDB=90°， ∴.∠FAD=90°-∠F=∠BCD, .AF·CD=BC·AD, ADCD AF BC ∴.△ADF△CDB,(2分) ∴.∠F=∠B, .∠FAD=∠EAB, ∴.∠FDA=∠BEA=90°， 18131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE⊥BC:(4分) (2)证明：，'BE=CE,AE⊥BC, .∴.AB=AC, .∴.∠B=∠1， D 又∠BDC=∠AEC=90° .∴.△BCD~△CAE,(6分) BC BD AC CE' ∴.BC·CE=BD·AC, ∴.BC·2CE=2BD·AC,(7分) ,∵BE=CE, ∴.BC=2CE, .BC=2BD·AC.(9分) 【分析】(1)先证明△ADF一△CDB,再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得 证： (2)根据等腰三角形的三线合一即可得出∠B=∠1，再证明△BCD一△CAE,根据相似三角形的性质 得出BC·CE=BD·AC,根据等式的性质和等量代换即可得证. 【详解】(1)略 (2)略 21.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点P以每秒1个单位长度的速度从 点A向点C方向运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点A方向运动，点Q到达点A后，点P 也停止运动，设点P,Q运动的时间为t. 19131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A→P (1)求点P停止运动时，BP的长 (2)在P,Q两点运动过程中，E是点Q关于直线AC的对称点，是否存在某一时刻，使四边形PQCE为菱形？ 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)65 (2)存在，t 30 17s 【分析】(1)勾股定理求出AB的长，进而求出点Q运动到点A时所用的时间，求出AP,PC的长，再利 用勾股定理进行求解即可： (2)根据菱形性质得到相关线段关系，再利用相似三角形的性质列方程求解. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中， .∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=V62+82=10 (2分) ∴点Q运动到点A时，t=0=5, 2 .AP=5,PC=1, 在Rt△PBC中，PB=RP+8-65 (4分) (2)解：存在；(5分)连接QE交AC于点D, ,E是点Q关于直线AC的对称点， ∴.QE⊥AC,DQ=DE, ∴当PD=CD时，四边形PQCE是菱形，(6分) .AP=t,AC=6,BQ=2t,AB=10, .PC=6-t,AQ=10-2t, :.PD-CD=3- 20131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D-t+3-吃+3， ,QE⊥AC,∠BCA=90, .∠ADQ=∠BCA, 又∠A=∠A, ∴.△ADQ一△ACB,(8分) 器把 t+3 ÷10-2t=2 10 6 30 .t= 17 t=30 s时，四边形PQCE是菱形. 9 D E (10分) 22.（11分)综合实践 D F E B E B A E B 图① 图② 图③ 【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.易 证：△AED一△BFE.(不需要证明) (I)【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED一△BFE: 21131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长； (2)【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A, B重合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°，交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 【答案】(1)①证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°， ∴.∠ADE+∠AED=90°， .DE⊥EF, ∴.∠g=90°， ∴.∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF.(3分) 又·∠A=∠B, ∴.△AED一△BFE;(4分) ②解：，E为AB的中点， ∴.AE=BE=5,(5分) 由(1)知△AED一△BFE, ·AD-AE ··BEBF' 即65 5 BF' (7分) ·BF=25 6 (8分) 22/2或211分) 【分析】(1)①利用余角性质可推导出∠ADE=∠BEF,进而即可求证；②利用相似三角形的性质解 答即可求解 (2)分CE=EF,CF=EF和CE=CF三种情况解答即可求解. 【详解】(1)(1)①略： ②解：，E为AB的中点， .∴.AE=BE=5, 由(1)知△AED~△BFE, 22131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD_AE BE BE' g宗， ·BF=25 (2)解：分情况讨论：①若CE=CF,则∠CEF=∠CFE=45°，∠ECF=90°，此时点E与点A重合， 点F与点B重合，不符合题意： ②若CE=EF,则∠ECF=∠EFC=180°45°=67.5， 2 ∠EFC为△BEF的外角， ∴.∠EFC=∠B+∠BEF, ,∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠B=45°， ∴.∠BEF=∠EFC-∠B=67.5°-45°=22.5°，∠ACE=90°-∠ECF=90°-67.5°=22.5°， ∴.∠ACE=∠BEF, 又.'∠A=∠B,CE=EF, ∴.△AEC≌△BFE AAS, .'BE=AC, .∠ACB=90°，AC=BC,AB=4, AC=-2AB=22 2 .BE=22; ③若CF=EF,则∠CEF=∠ECF=45°， 在△BEC中，∠B=∠BCE=45°， ∴.∠BEC=90, ∴.CE⊥AB, 又.AC=BC, .∴.E为AB的中点， .BE=1AB=2: 综上，BE的长为22或2 23/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(12分)如图，等边三角形ABC,点D为边AC上一动点，连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转 120°得到线段DE,连接BE交直线AC于点F. Q G B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠FDE=45°，BF=3V2,求AF的长度； (2)如图2，当B,A,E三点共线时，连接CE,点G为BD中点，连接AG,过点G作GH⊥CE于点H,请 猜想AG,EH的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，连接AE,点D在边AC上运动时，点P为线段AB上一点，点Q为线段BD上一点，连接 CP,CQ,且AP=BQ,当AE以及CQ+CP均最小时，连接CE,若AB=6,直接写出当AE以及 CQ+CP均最小时对应△CPE的面积. 【答案】1)3-V3: @MH号4G: 证明：连接CG,延长CG至点Q使得GQ=CG,连接BQ,如图2， BD G C 图2 点G为中点， ∴.BG=DG, 在△CDG和△QBG中， CG=QG ∠CGD=∠QGB DG=BG ∴.△CDG≌△QBG SAS, 24131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠QBG=∠CDG,BQ=CD ,将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE, ∴.BD=DE,∠BDE=120°， B,A,E三点共线， ∠DBE=∠DEB=180°-120=30 :∠ABD- ∠ABC=∠CBD=30°， .AB=BC, ∴.BD⊥AC,AD=CD, ∴.BD垂直平分AC, ∴.CG=AG,∠CDB=90°，AD=CD ∴.∠QBD=∠CDG=90°， .∴.∠CBQ=∠CBD+∠QBD=120°， .∠BAC=60, ∴.∠CAE=180°-∠BAC=120°， ∴.∠CAE=∠CBQ, .∠AED=30, ∴.∠ADE=180°-120°-30°=30°， ∴∠ADE=∠AED, ∴.AD=AE, ∴.BQ=CD=AD=AE, .△CBQ≌△CAE SAS, ∴.CE=CQ=2CG,∠ACE=∠BCQ, ∴.∠ACE+∠ACQ=∠BCQ+∠ACQ=∠BCA=60°， ∴.∠GCE=60°， .GH⊥CE, ∴.∠CGH=30°， CH=ICG=AG, 25131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH=CE-CH=2CG-JCG-G=3 2 AG 3)54-93 2 【分析】(1)过点F作FH⊥BC于点H,根据旋转的性质及等边三角形的性质在Rt△BFH和 Rt△CFH中，解直角三角形，再利用线段的和差关系进行求解即可： (2)连接CG,延长CG至点Q使得GQ=CG,连接BQ,证明△CDG≌△QBG,旋转，结合等边对等 角，求出∠DBE=∠DEB=180-120=30°，三线合-得到BD垂直平分AC,进而得到 AG=CG,证明△CBQ≌△CAE,得到CE=2CG,△CGH为含30°角的直角三角形，进而求出 CHCG,线段的和装关系求H-CG号AG (3)延长CA至点F,使AF=AC,证明△BAF一△DBE,从而推出△FBE一△ABD,得到点E在直 线EF上运动，垂线段最短，得到AE⊥EF时AE最短，得到此时B,A,E三点共线，结合(2)中结论得 到AE=3,将AB绕点A旋转30°，得到AH,连接PH,CH,证明△BCQ≌△AHP,得到 CQ+CP=HP+CP≥CH,进而得到当C,P,H三点共线时，CQ+CP有最小值，求出AP的长，进而确 定△CPE的位置，利用面积公式进行计算即可. 【详解】(1)解：过点F作FH⊥BC于点H, BD 120° DE B H 图1 将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ∴.∠BDE=120°，BD=DE, .∠FDE=45°， ∴.∠BDA=120°-∠FDE=75°，∠DBE=∠DEB=30°， .'△ABC为等边三角形， .∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC, ∴.∠CBD=∠FDB-∠C=15°， 26131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FBH=∠DBE+∠DBC=45°，(2分) 在RL△BHH中，FH=BH=2BF=3, 在Rt△CFH中，∠C=60°，FH=3, .∠CFH=30°， ∴.CF=2CH,FH=3CH=3, ∴.CH=V3,CF=23, .BC=AC=3+3, .AF=AC-CF=3-3:(4分) @EH号AG 证明：连接CG,延长CG至点Q使得GQ=CG,连接BQ,如图2， BD B 图2 点G为中点， ∴.BG=DG, 在△CDG和△QBG中， CG=QG ∠CGD=ㄥQGB DG=BG ∴.△CDG≌△QBG SAS, .∠QBG=∠CDG,BQ=CD .将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE, ∴.BD=DE,∠BDE=120°， .B,A,E三点共线， ∴.∠DBE=∠DEB=180°-120=30°， 27131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=3∠ABC=∠CBD=30, AB=BC, ∴.BD⊥AC,AD=CD, ∴.BD垂直平分AC, ∴.CG=AG,∠CDB=90°，AD=CD, .∴.∠QBD=∠CDG=90°， ∴.∠CBQ=∠CBD+∠QBD=120°， :∠BAC=60°， ∴.∠CAE=180°-∠BAC=120°， .∴.∠CAE=∠CBQ, .∠AED=30°， .∠ADE=180°-120°-30°=30°， .∴.∠ADE=∠AED, ∴AD=AE, .∴.BQ=CD=AD=AE, ∴.△CBQ≌△CAE|SAS,(6分) ∴.CE=CQ=2CG,∠ACE=∠BCQ, ∴.∠ACE+∠ACQ=∠BCQ+∠ACQ=∠BCA=60°， ∴.∠GCE=60°， ,GH⊥CE, .∠CGH=30°， CH-CG-1AG. 2 BH=GE-CH=2G-CG=CG=号AG；8分) (3)解：延长CA至点F,使AF=AC,则AF=AB,∠BAF=120°， 28131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABF=∠AFB=30 图3 ∴.∠ABF=∠DBE=30°，∠BAF=∠BDE=120°， ∴.△BAF一△DBE, BDBE AB BE BD AB ·BEBF .∠FBE=∠ABD=30°+∠EBA, ∴.△FBE一△ABD, .∠BFE=∠BAD=60°， ∴.∠AFE=∠BFE-∠AFB=30°， ∴·点E在直线EF上运动， .当AE⊥EF时，AE最小， 此时∠FAE=60°， ∴.∠BAF+∠FAE=180°， .当AE最小时，点B,A,E三点共线，(10分) 由(2)可知，此时D为AC中点，AE=AD=号AC=3,∠CBQ=2∠ABC=30°， 如图4，将AB绕点A旋转30°，得到AH,连接PH,CH, 则AH=AB=BC=AC,∠PAH=30°=∠CBQ,∠CAH=∠BAC+∠BAH=90° 29131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D .△AHC 图4 为等腰直角三角形， ∴.∠H=45°， 又.BQ=AP, ∴.△BCQ≌△AHP SAS, ∴.CQ=HP, ∴.CQ+CP=HP+CP≥CH, .当C,P,H三点共线时，CQ+CP有最小值， 过点P作PM⊥AH, .∠H=45°，∠BAH=30°， .PM=HM,AP=2PM, ∴.AM=3PM, .AH=MH+AM=PM+3PM=6, ∴.PM=33-3, ∴.AP=63-6. 如图5，当AE以及CQ+CP均最小时，P,E位置如图， 则PE=AE+PA=6V3-3, E A 图5 过点C作CN⊥AB,则AN=号AB=3,CN=AC-AN-33, 30131 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ScCN54- 2 (12分) 31/31