专题31.2 相似三角形（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题31.2 相似三角形 教学目标 1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握与原三角形相似的预备定理，并能熟练运用其进行计算与证明。 2.掌握相似三角形的三个判定定理以及直角三角形的相似判定，掌握相似三角形对应线段成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质，并能灵活运用求值。 3.体会方程思想、分类讨论思想以及转化思想，解决综合几何中的相似探究问题。 教学重难点 1.重点 (1) 平行线分线段成比例的基本事实及推论，以及与原三角形相似的预备定理； (2) 相似三角形的判定定理与相似三角形的性质。 2.难点 (1) 探究并证明相似三角形判定定理的过程，通过作平行线平移线段构造的转化思想； (2) 在复杂的几何图形或实际生活场景中准确识别、构建相似模型，并进行综合计算与证明。 在相似多边形中，最简单的是相似三角形。如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似。全等三角形可以看作相似比为 的相似三角形。 如图，若=k，则与相似，记作 ，相似比为 。 知识点01 平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段 ，简称为平行线分线段成比例定理。如图：如果，则，，。 2．平行线分线段成比例的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段 。如图：如果EF//BC，则，，。 推论的逆定理：若或或，则有EF//BC。 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行。 3. 预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 。 【即学即练】 1．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 3．如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 知识点02 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 两角对应 ，两个三角形相似。 如图，如果，，则 判定定理2： 两边对应成比例且 相等，两个三角形相似。 如图，如果，，则 判定定理3： 三边对应 ，两个三角形相似。 如图，如果，则 直角三角形的相似判定： 一般地，如果两个直角三角形满足一个锐角 ，或两组直角边 ，那么这两个直角三角形相似。 HL 相似（斜边、直角边判定）：斜边和一直角边 的两个直角三角形相似。 【即学即练】 4．下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 5．能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 6．已知：如图，在和中，．求证：． 7．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 知识点03 相似三边形的性质 ①相似三角形的 相等 如图，，则有 。 ②相似三角形的对应边 如图，，则有 （k为相似比）。 ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于 。 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于 。 如图，∽，则有 ⑤相似三角形面积的比等于 如图，∽，则有 【即学即练】 8．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 题型01 平行线分线段成比例定理及其推论 【典例1】如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例3】已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． （1）考查方向：考查“A字型”和“8字型”基本图形中线段比例关系的计算，以及利用平行线推导对应线段成比例或证明三角形相似。 （2）核心方法：找准截线，严格按“上比下等于上比下”、“上比全等于上比全”计算；遇到平行条件，优先寻找或构造相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解。 【变式1】如图，两条直线，被三条平行线，，所截，交点分别是A，D，F和B，C，E．下列等式中，正确的是______．（填序号） ①；②；③； ④；⑤． 【变式2】如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，，则的值为______． 【中考链接1】如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 【中考链接2】小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【中考链接3】如图，，，，，则的长度是_______． 题型02 黄金分割与比例中项的综合计算 【典例1】两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． （1）考查方向：比例中项的概念辨析，黄金分割比的计算，以及黄金三角形（顶角 36∘36∘ 的等腰三角形）相关的求值问题。 （2）核心方法：熟记黄金分割比：较长线段与全长之比为；注意一条线段的黄金分割点通常有两个，若题干未明确哪一段较长（或点位于何处），需分类讨论。 【变式1】已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【变式2】如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_______． 【中考链接1】鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 【中考链接2】我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型03 相似三角形的判定与条件补充 【典例1】下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 【典例2】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 （1）考查方向：相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的灵活选择与应用，以及开放性补充条件的探索。 （2）核心方法：找“等角”是关键（公共角、对顶角、直角等）；已知两边成比例时，必须找两边的“夹角”相等（注意不能是“SSA”）；若已知条件未明确对应顶点，常需分类讨论。 【变式1】在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【变式2】如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【中考链接1】如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型04 相似三角形的性质应用 【典例1】如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【典例2】如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． （1）考查方向：相似三角形对应高、中线、角平分线的比，周长比、面积比与相似比的关系。 （2）核心方法：牢记“对应线段之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方”；在求解复杂图形面积比时，常利用“同高三角形面积比等于底边之比”进行转化。 【变式1】已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【中考链接1】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【中考链接2】如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（      ） A．45° B．50° C．55° D．60° 题型05 网格作图与坐标系中的相似 【典例1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1）考查方向：利用网格线结合勾股定理计算边长来判定相似，以及在平面直角坐标系中利用相似比求未知点的坐标。 （2）核心方法：网格题优先算三边长度，利用“三边对应成比例”来判定；坐标系中求相似点坐标时，通常结合平移、对称或旋转性质，必须根据对应关系（同位似或反向位似/对称）进行多解分类讨论。 【变式1】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 【中考链接】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型06 相似三角形中的动点问题 【典例1】如图，中，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ （1）考查方向：动态几何背景下（如线段上的点运动、图形的平移与折叠等），探究使两个三角形相似的时刻或点的位置，常伴随方程思想的考查。 （2）核心方法：设出运动时间（或速度），用含时间 tt 的代数式表示出相关线段的长度；根据相似三角形的对应关系列出比例式（方程）；特别注意点运动边界导致的不同情况，仔细分类讨论。 【变式】如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【中考链接】如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 题型07 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】如图，，，，且，，求的长． （1）考查方向：在四边形、圆或折叠等复杂图形中，综合运用相似三角形的判定与性质进行线段的求值、比例证明及面积计算。 （2）核心方法：从复杂图形中“剥离”出基本的相似模型（如双垂直模型、母子型、一线三等角模型等）；第一问通常利用角的关系证相似，第二问利用相似的性质建立方程；注重与方程思想、转化思想的结合。 【变式1】中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【中考链接】如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． A组·基础过关 1．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 9．如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 10．如图，已知，． (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． B组·能力提升 11．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 12．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（   ） A．20 B． C． D． 13．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 17．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 18．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 19．已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 20．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点P，使． C组·拓展延伸 21．如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 22．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 23．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 24．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证： (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 25．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.2 相似三角形 教学目标 1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握与原三角形相似的预备定理，并能熟练运用其进行计算与证明。 2.掌握相似三角形的三个判定定理以及直角三角形的相似判定，掌握相似三角形对应线段成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质，并能灵活运用求值。 3.体会方程思想、分类讨论思想以及转化思想，解决综合几何中的相似探究问题。 教学重难点 1.重点 (1) 平行线分线段成比例的基本事实及推论，以及与原三角形相似的预备定理； (2) 相似三角形的判定定理与相似三角形的性质。 2.难点 (1) 探究并证明相似三角形判定定理的过程，通过作平行线平移线段构造的转化思想； (2) 在复杂的几何图形或实际生活场景中准确识别、构建相似模型，并进行综合计算与证明。 在相似多边形中，最简单的是相似三角形。如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似。全等三角形可以看作相似比为1的相似三角形。 如图，若=k，则与相似，记作，相似比为k。 知识点01 平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理。如图：如果，则，，。 2．平行线分线段成比例的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图：如果EF//BC，则，，。 推论的逆定理：若或或，则有EF//BC。 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行。 3. 预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 【即学即练】 1．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 2．如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 故选：A． 3．如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 知识点02 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 两角对应相等，两个三角形相似。 如图，如果，，则 判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 如图，如果，，则 判定定理3： 三边对应成比例，两个三角形相似。 如图，如果，则 直角三角形的相似判定： 一般地，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 HL 相似（斜边、直角边判定）：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 【即学即练】 4．下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一验证，注意两边成比例时相等的角需为夹角． 【详解】解：A、，， ， ， ，不符合题意； B、，，， ， ，不符合题意； C、，， ， 又， ，不符合题意； D、，， ，但是与的夹角，是与的夹角，不是与的夹角，不能判定与相似，符合题意． 5．能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理解答即可． 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：∵ ∴， 有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意； 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意； 6．已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 7．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 知识点03 相似三边形的性质 ①相似三角形的对应角相等 如图，，则有 。 ②相似三角形的对应边成比例 如图，，则有 （k为相似比）。 ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比。 如图，∽，则有 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图，∽，则有 【即学即练】 8．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 9．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 【答案】2或 【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】解：设点P运动的时间为，则， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得． 综上所述，运动时间为或． 故答案为：2或． 题型01 平行线分线段成比例定理及其推论 【典例1】如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 【典例2】如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形中线段的对应关系进行判断． 【详解】解：在本题的图形中，若，则有． A选项，由图可得，即，符合题意； B选项，由图可得，即，不符合题意； C选项，由图可得，即，不符合题意； D选项，由图可得，即不符合题意． 【典例3】已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴． 【分析】分析题意，由“”，利用“同位角相等，两直线平行”可得到； 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证明结论． 【详解】证明：略 （1）考查方向：考查“A字型”和“8字型”基本图形中线段比例关系的计算，以及利用平行线推导对应线段成比例或证明三角形相似。 （2）核心方法：找准截线，严格按“上比下等于上比下”、“上比全等于上比全”计算；遇到平行条件，优先寻找或构造相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解。 【变式1】如图，两条直线，被三条平行线，，所截，交点分别是A，D，F和B，C，E．下列等式中，正确的是______．（填序号） ①；②；③； ④；⑤． 【答案】③⑤ 【分析】根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。即 ，， 等，利用比例的基本性质进行变形即可判断． 【详解】解： ∵ ∴ 根据平行线分线段成比例定理，可得，，， 对于①，，故①错误； 对于②，由可得，而选项中意味着，故②错误； 对于③，符合平行线分线段成比例定理的推论，故正确； 对于④，由变形可得，故④错误； 对于⑤，由利用比例的基本性质（交换内项）可得，即，故⑤正确 综上所述，正确的等式是③⑤． 【变式2】如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 【变式3】如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【中考链接1】如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 【答案】 【分析】过点A作交直线b于点E，交直线c于点F，则可得出，，利用平行线分线段成比例定理，即可得出，代入数值计算即可． 【详解】解：过点A作交直线b于点E，交直线c于点F， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【中考链接2】小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 【中考链接3】如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 题型02 黄金分割与比例中项的综合计算 【典例1】两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 【典例2】已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】根据黄金三角形的定义得到，，，证明，根据等角对等边即可得到答案． 【详解】解：∵是以为顶角的黄金三角形，， ∴，， ， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴． （1）考查方向：比例中项的概念辨析，黄金分割比的计算，以及黄金三角形（顶角 36∘36∘ 的等腰三角形）相关的求值问题。 （2）核心方法：熟记黄金分割比：较长线段与全长之比为；注意一条线段的黄金分割点通常有两个，若题干未明确哪一段较长（或点位于何处），需分类讨论。 【变式1】已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【答案】或 【分析】点为线段的黄金分割点，未指明与的大小关系，需分两种情况结合黄金分割的定义计算的长度． 【详解】解：当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ． 【变式2】如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_______． 【答案】 【分析】根据正方形和矩形的面积公式，分别写出、的表达式，为的平方，为与的乘积．利用题目给出的黄金分割的比例关系，通过比例的基本性质交叉相乘，得到线段乘积的等式．将得到的线段乘积等式与、的表达式对比，即可判断二者的大小关系． 【详解】 ， ， ， 【中考链接1】鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 【答案】 【分析】黄金分割点将线段分成两部分，较长部分与整条线段的比值等于黄金比． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵的长为8， ∴． 【中考链接2】我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 题型03 相似三角形的判定与条件补充 【典例1】下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 【答案】B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项． 【详解】解：A. 两个直角三角形，仅一组直角对应相等，其余角与边的对应关系不确定，不一定相似，∴不符合题意； B. 各有一个角是的两个等腰三角形，为钝角，只能为顶角，底角均为，三组角对应相等，一定相似，∴符合题意； C. 两个矩形，对应角均为直角相等，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，∴不符合题意； D. 有两边之比都等于的两个三角形，两边的夹角不一定相等，不一定相似，∴不符合题意． 【典例2】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． （1）考查方向：相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的灵活选择与应用，以及开放性补充条件的探索。 （2）核心方法：找“等角”是关键（公共角、对顶角、直角等）；已知两边成比例时，必须找两边的“夹角”相等（注意不能是“SSA”）；若已知条件未明确对应顶点，常需分类讨论。 【变式1】在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【答案】3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 【变式2】如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 【中考链接1】如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 【中考链接2】如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，结合线段比例关系与相似三角形判定来推导平行关系．关键是利用“两边对应成比例且夹角相等，则三角形相似”，进而推出同位角相等，判定两直线平行． 【详解】解：∵， ∴． ∵点、分别在、的反向延长线上， ∴． 已知，则，若要判定，还需满足边的关系是． 选项A中，不满足比例关系，不合题意； 选项B中∵， ∴， ∴，满足题意； 选项C中，推得，不合题意； 选项D中仅为线段长度比，无夹角相等条件，无法判定相似与平行． 故选：B． 题型04 相似三角形的性质应用 【典例1】如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【详解】（1）略（2）略 【典例2】如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． （1）考查方向：相似三角形对应高、中线、角平分线的比，周长比、面积比与相似比的关系。 （2）核心方法：牢记“对应线段之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方”；在求解复杂图形面积比时，常利用“同高三角形面积比等于底边之比”进行转化。 【变式1】已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 【变式2】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 【中考链接1】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 【中考链接2】如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（      ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB=∠APC=65°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB=∠APC=65°， ∵∠A=70°， ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°． 故选：A． 题型05 网格作图与坐标系中的相似 【典例1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可知，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． （1）考查方向：利用网格线结合勾股定理计算边长来判定相似，以及在平面直角坐标系中利用相似比求未知点的坐标。 （2）核心方法：网格题优先算三边长度，利用“三边对应成比例”来判定；坐标系中求相似点坐标时，通常结合平移、对称或旋转性质，必须根据对应关系（同位似或反向位似/对称）进行多解分类讨论。 【变式1】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 【答案】/0.5 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【中考链接】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：ABC的三边之比为， 如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况： 所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个， 故选：C． 题型06 相似三角形中的动点问题 【典例1】如图，中，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或3.5 【分析】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先根据含30度角的直角三角形的性质得，分两种情况讨论：①当时，，；②当时，，；分别求出的长，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时，，， ∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵动点以的速度从点出发， ∴； ②当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5． （1）考查方向：动态几何背景下（如线段上的点运动、图形的平移与折叠等），探究使两个三角形相似的时刻或点的位置，常伴随方程思想的考查。 （2）核心方法：设出运动时间（或速度），用含时间 tt 的代数式表示出相关线段的长度；根据相似三角形的对应关系列出比例式（方程）；特别注意点运动边界导致的不同情况，仔细分类讨论。 【变式】如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的分类讨论，根据题意列出线段的长是解题的关键． 首先设运动时间为t秒，得到，，再分为和两种情况进行讨论，分别求解不同的t值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ①当时， ∴，即，解得：； ②当时， ∴，即，解得：； ∴在或时，以A，D，E为顶点的三角形与相似 故答案为：或． 【中考链接】如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长； （2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴=5， ∴AC=AD+DC=5+3=8； （2）解：由（1）得AD=5， ∵AP=x， ∴PD=5-x， ∵过点P作的垂线，与相交于点Q， ∴， ∵， ∴即， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ ∵与重叠部分的面积为S ∴的面积为S 即， ∵点P不与点A，D，C重合， ∴， 即． 当在上运动时，如图，设交于点， 则 即 综上所述， 题型07 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】如图，，，，且，，求的长． 【答案】的长为 【分析】先证明可得，进而即可求解． 【详解】解：， ． 又， ． ． ． 又， ． （1）考查方向：在四边形、圆或折叠等复杂图形中，综合运用相似三角形的判定与性质进行线段的求值、比例证明及面积计算。 （2）核心方法：从复杂图形中“剥离”出基本的相似模型（如双垂直模型、母子型、一线三等角模型等）；第一问通常利用角的关系证相似，第二问利用相似的性质建立方程；注重与方程思想、转化思想的结合。 【变式1】中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 【中考链接】如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 【答案】 【分析】设则，求出，证明，，，利用相似的性质得到，对于定点，矩形唯一确定，则关于的方程有唯一的实数根，进一步求出答案即可． 【详解】解：在矩形中，，． 设则， 由题意可得，，即，解得， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设 ，则 ∴， ∴， 同理可得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∵对于定点，矩形唯一确定， ∴关于的方程有唯一的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， 即 A组·基础过关 1．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 2．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 3．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 4．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 6．如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 7．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、 ，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、 ，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，，无法判断和相似，故选项D符合题意； 故选：D． 8．如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 9．如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ， ∵． ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，因此，根据同角的余角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由得到，因此，即可求得．根据勾股定理求出，根据得到，即可求得，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 10．如图，已知，． (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． 【答案】(1) 证明： ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）可得，由两角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 解得：． B组·能力提升 11．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 12．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（   ） A．20 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．过点作于，交于，利用平行线分线段成比例定理，得到，再结合已知的和，求出的长度． 【详解】解：过点作于，交于， ∵， ∴， ∵木条等距且平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 13．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 14．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③ ，且夹角， ，故③符合题意； ④ ， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤ ，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 15．如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 16．如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 17．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 18．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 19．已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】(1)所作如图所示： (2)所作点P如图所示： 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）延长至，使得，同理作出，连接得到，即为所求； （2）取格点使得，由得，连接，交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 C组·拓展延伸 21．如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的面积为，边上的高为，由为的重心，则连接并延长交于点，则为的中点，且，证明，则，证明点D到的距离为，得到中边上的高等于点D到的距离，即为，据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：设的面积为，边上的高为， ∵为的重心， ∴连接并延长交于点，则为的中点，且， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴点D到的距离为， ∵，点在上， ∴中边上的高等于点D到的距离，即为， ∴， ∴． 22．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】需结合等腰三角形的几何特性，使用相似三角形的判定方法，并可能构造具体例子或代数推导来验证命题的真假． 【详解】解：猜想① 如图，若等腰三角形为钝角三角形，等腰三角形为锐角三角形， 设等腰中，，腰上的高为； 等腰中，，腰上的高为，且， 但此时两个三角形的形状不同，即两个三角形不相似， ∴猜想① 错误 分析猜想② 设等腰中，底边，底边高； 等腰中，底边，底边高，且 ∵等腰三角形底边高平分底边， ∴，， 则 又∵， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴ ，等腰中，等腰中， 故， ∴ （两角对应相等，两三角形相似） ∴ 猜想② 正确 综上，① 错误② 正确． 23．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 24．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证： (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）证明，得到，则可证明，得到，证明，推出，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $