第三十一章 相似专题讲义 2026-2027学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦人教版九年级下册“相似”全章，以“图形的相似—相似三角形—相似三角形的应用—位似”为主线，系统梳理相似图形概念、相似三角形判定与性质、影长法等实际应用及位似图形知识，构建递进式学习支架帮助学生逐步掌握。 该资料依据新课标素养导向，融入湛江本地情境（如海湾大桥测高、湖光岩观景塔测量），设“概念-典例-变式-易错-探究”五板块。通过合作探究（校园实测旗杆、方格纸位似作图）培养几何直观、模型意识和应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合能力。

第三十一章 相 似 （人教版九年级下册 · 全章教辅 · 教师版（含解析与答案）） 使用说明：本章围绕“图形的相似—相似三角形—相似三角形的应用—位似”四条主线展开，每节均设“概念梳理—典例精讲—变式训练—易错辨析—合作探究”五个板块；题目均依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》素养导向自主命制，融入湛江本地真实情境，对接2027年中考几何综合命题方向。【】内为教师参考的解析与答案。 【全章知识结构一览】 小节 核心内容 关键结论 / 方法 中考高频题型 31.1 图形的相似 相似图形、相似比、相似多边形 对应角相等、对应边成比例；周长比=相似比，面积比=相似比的平方 判断相似、比例求边长 31.2 相似三角形 判定定理与性质 AA、两边成比例且夹角相等、三边成比例 证明与计算、基本模型 31.3 相似三角形的应用 实际测量问题 影长法、镜面法、不可达距离 情境建模、综合应用 31.4 位似 位似图形、坐标位似 对应点连线过位似中心；坐标比=位似比（含异侧负比） 作图、坐标系变换 31.1 图形的相似 一、概念梳理 概念 定义要点 说明 相似图形 形状完全相同、大小可以不同的图形 全等是相似的特例（相似比=1） 相似比(k) 相似图形中对应边的比 k>1为放大，0<k<1为缩小 相似多边形 对应角相等，且对应边成比例 两个条件缺一不可 重要性质 周长比=k，面积比=k² 由对应边成比例推得 判断两多边形是否相似，必须同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”。二者独立：只有角相等（如一般矩形之间）或只有边成比例（如菱形之间）都不能判定相似。 图 31-1　网格中将直角三角形按相似比 2 放大 二、典例精讲 例1　某奶茶店把一张长 8 cm、宽 5 cm 的矩形招牌图案，按相似放大后重新喷绘，放大后图案的长为 20 cm，求放大后图案的宽及放大前后面积之比。 【思路分析】相似图形对应边成比例，相似比 k=放大后长/原长=20/8=2.5，宽按同一比放大；面积比=k²。 【规范解答】相似比 k=20÷8=2.5，故宽=5×2.5=12.5(cm)。面积比=k²=2.5²=6.25，即 25∶4。 【答案】宽为 12.5 cm；面积比为 25∶4。 变式1-1　已知六边形甲与六边形乙相似，甲的周长为 48 cm，甲与乙的相似比为 3∶5，若甲的面积为 54 cm²，求乙的周长与面积。 【解析】周长比=相似比=3∶5，乙周长=48×5/3=80(cm)；面积比=9∶25，乙面积=54×25/9=150(cm²)。 【答案】周长 80 cm，面积 150 cm²。 变式1-2　下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个矩形　　B. 任意两个菱形　　C. 任意两个正方形　　D. 任意两个等腰梯形 【答案与辨析】选 C。正方形四角均为直角且四边相等，对应角、对应边恒满足，故必相似；矩形角虽相等但邻边比不定，菱形边虽成比例但角不定，等腰三角形/等腰梯形形状不固定。 三、易错辨析 判断正误并说明理由： （1）所有的正方形都相似。 （2）对应角相等的两个多边形一定相似。 （3）对应边成比例的两个多边形一定相似。 【判断与纠错】（1）对；（2）错——还需对应边成比例，如任意两个矩形角都相等却不一定相似；（3）错——还需对应角相等，如两个菱形对应边都成比例但内角可不同。判定相似“角、边”两条缺一不可。 四、合作探究 活动1（校园实测）：用硬纸板剪出两个大小不同的相似三角形，验证“对应角相等、对应边成比例”，再分别量出它们的周长与面积，检验“周长比=k、面积比=k²”。 【设计意图】通过动手测量建立“相似比—周长比—面积比”的直观感受，为性质证明积累活动经验。 31.2 相似三角形 一、判定与性质一览 方法 条件（可简记） 图形/符号语言 判定1（平行） 平行于一边的直线截另两边所成三角形与原三角形相似 DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC 判定2（两角） 两角分别相等（AA） ∠A=∠A′, ∠B=∠B′ 判定3（夹角） 两边成比例且夹角相等（SAS 型） AB/A′B′=AC/A′C′ 且 ∠A=∠A′ 判定4（三边） 三边成比例（SSS 型） AB/A′B′=BC/B′C′=CA/C′A′ 性质 对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线之比与周长比均=k；面积比=k² — 常见基本模型：A 字型、X（8）字型、母子型（直角三角形斜边上的高），是证明与计算的高频载体。 图 31-2　A 字型（DE∥BC） 图 31-3　X（8）字型（AB∥CD，交于 O） 图 31-4　母子型（∠BAC=90°，AD⊥BC） 二、典例精讲 例2　如图31-2，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，DE=5。求 EC 与 BC 的长。 【思路分析】平行⇒△ADE∽△ABC，得 AD/DB=AE/EC、AD/AB=DE/BC。 【规范解答】AD/DB=AE/EC ⇒ 4/6=3/EC ⇒ EC=4.5。AB=AD+DB=10，AD/AB=DE/BC ⇒ 4/10=5/BC ⇒ BC=12.5。 【答案】EC=4.5，BC=12.5。 变式2-1　如图31-3，AC 与 BD 相交于 O，AB∥CD，AO∶OC=2∶3，AB=6，求 CD 的长。 【解析】AB∥CD⇒△AOB∽△COD，AB/CD=AO/OC=2/3 ⇒ CD=6×3/2=9。答案：CD=9。 例3　如图31-4，在 Rt△ABC 中∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，BD=4，CD=9。求 AD、AB、AC。 【思路分析】母子型中 AD²=BD·CD（比例中项），AB²=BD·BC，AC²=CD·BC。 【规范解答】AD²=4×9=36⇒AD=6；BC=13，AB²=4×13=52⇒AB=2√13；AC²=9×13=117⇒AC=3√13。 【答案】AD=6，AB=2√13，AC=3√13。 变式2-2　在 Rt△ABC 中∠A=90°，AB=6，AC=8，AD 是斜边 BC 上的高，求 BC、AD、BD、CD。 【解析】BC=√(6²+8²)=10；AD=AB·AC/BC=6×8/10=4.8；BD=AB²/BC=36/10=3.6；CD=BC−BD=6.4。答案：BC=10，AD=4.8，BD=3.6，CD=6.4。 三、易错辨析 判断正误：（1）两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似。（2）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（3）有两边对应成比例的两个三角形相似。 【判断与纠错】（1）错——相等的角必须是这两边的夹角，否则可能有两解不相似；（2）对——另一直角相等，满足 AA；（3）错——既无角也无第三边条件，无法判定。 四、合作探究 活动2：在方格纸上分别画出满足“AA”“两边成比例且夹角相等”的两个三角形，用直尺量各边验证对应边是否成比例，体会“SSA”不能判定相似的原因。 【设计意图】通过作图反例突破“两边加一角”漏夹角这一高频错点。 31.3 相似三角形的应用 一、常见模型与方法 情境 构造相似的依据 基本等式 影长测高 同一时刻物高与影长成正比（两直角三角形相似） 树高/影长 = 标杆高/标杆影 镜面测高 入射角=反射角，两直角三角形相似 塔高/人高 = 塔到镜距离/人到镜距离 不可达距离 构造 A 字型或平行线分线段 对应边成比例反求 图 31-5　影长法测树高（太阳光线平行） 图 31-6　镜面法测塔高（入射角=反射角） 二、典例精讲 例4　某日同一时刻，校园一棵大树的影长为 8 m，小明量得一根竖直放置、长 1.6 m 的标杆影长为 2 m，求这棵大树的高度。 【思路分析】同一时刻两直角三角形相似，树高/树影=标杆高/标杆影。 【规范解答】设树高 x，x/8=1.6/2 ⇒ x=1.6×8÷2=6.4(m)。答案：6.4 m。 变式3-1　湛江海湾大桥桥塔在某时刻影长为 30 m，同时测得一根 2 m 立柱的影长为 1.5 m，求桥塔的高度（结果取整数）。 【解析】塔高=2×30÷1.5=40(m)。答案：40 m。 例5　测量湖光岩景区一观景塔 AB（底部 B 可到达，顶部不可达）。在地面镜 M 处后退，当人眼睛 C 恰能从镜中看到塔顶 A 时，测得 BM=20 m，人眼高 CD=1.7 m，DM=2.5 m，求塔高 AB。 【思路分析】入射角=反射角⇒Rt△ABM∽Rt△CDM，AB/CD=BM/DM。 【规范解答】AB/1.7=20/2.5 ⇒ AB=1.7×20÷2.5=13.6(m)。答案：13.6 m。 变式3-2　要测金沙湾海滨栈道两端 A、B 间距离（中间有海不可直达）。在岸上取点 O，使 OA、OB 均可量，在 OA、OB 上分别取中点 C、D，测得 CD=45 m，求 AB。 【解析】C、D 为中点⇒CD 为△OAB 中位线⇒AB=2CD=90(m)。答案：90 m。 三、合作探究 活动3：分组用影长法实测教学楼旗杆高度（记录时间、影长、参照物高），比较各小组数据，讨论误差来源。 【设计意图】把相似三角形性质迁移到真实测量，落实模型观念与应用意识。 31.4 位似 一、概念与坐标规律 要素 要点 位似图形 相似图形，且对应点连线相交于同一点（位似中心），对应边互相平行（或在同一直线） 位似比 等于相似比；位似中心到对应点的距离之比 = 位似比 坐标位似 以原点为位似中心，位似比为 k，则对应点坐标为原坐标的 k 倍（同侧 k>0，异侧 k<0） 图 31-7　以 O 为位似中心，同侧放大（k=2） 图 31-8　以 O 为位似中心，异侧放大（k=−2） 二、典例精讲 例6　△ABC 顶点 A(2,2)、B(6,2)、C(2,6)。以原点 O 为位似中心，相似比 1∶2 向第一象限缩小，写出缩小后对应点 A′、B′、C′ 的坐标。 【思路分析】同侧缩小，坐标同乘 1/2。 【规范解答】A′(1,1)、B′(3,1)、C′(1,3)。 变式4-1　以原点 O 为位似中心，把点 P(1,−2) 放大到位似比 3 且与 P 位于位似中心异侧，求对应点 P′ 的坐标。 【解析】异侧取 k=−3，P′=(1×(−3), −2×(−3))=(−3,6)。答案：P′(−3,6)。 三、易错辨析 判断正误：（1）位似图形的对应点连线都经过位似中心。（2）位似图形的对应边一定平行。（3）已知位似比，对应点只能落在位似中心的同侧。 【判断与纠错】（1）对；（2）对——对应边平行或在同一直线上；（3）错——同侧、异侧各有一种图形，坐标位似中对应 k>0 与 k<0，勿漏异侧解。 四、合作探究 活动4：在方格纸上给出一个三角形，分别以不同点为位似中心、按 2∶1 放大（同侧与异侧各画一次），体会位似中心的选取与位似方向。 【设计意图】强化“位似中心不唯一、同异侧两解”，突破坐标位似漏解。 本章总结与 2027 中考备考 一、核心方法与易错点 知识板块 核心方法 高频易错点 图形的相似 找对应角与对应边，用相似比列比例式 面积比误写成相似比（应为平方） 相似三角形 优先证 AA；母子型用比例中项 “两边+一角”漏“夹角”条件 实际应用 影长/镜面构造相似，列正比例式 未统一单位；把斜边当物高 位似 对应点连线过中心；坐标乘位似比 漏异侧解；位似比与相似比混淆 二、2027 中考命题趋势 ①情境化：以桥梁、景区、校园实测等真实场景设问，考查模型观念；②综合化：相似与二次函数、圆、三角函数综合，作为压轴多问；③探究化：给出操作或开放条件，考查推理与表达；④素养导向：强化几何直观、数学建模与运算能力，减少纯机械计算。 三、章末综合练习 （一）选择题 1. 两个相似三角形的相似比为 2∶3，则它们的面积比为（　　）A. 2∶3 B. 4∶9 C. 3∶2 D. 9∶4 2. 以原点为位似中心，将 A(−2,4) 缩小为原来的 1/2（同侧），对应点坐标为（　　）A. (−1,2) B. (1,−2) C. (−4,8) D. (1,2) （二）填空题 3. Rt△ABC 中∠A=90°，AD 为斜边上的高，BD=2，DC=8，则 AD=______。 4. 相似五边形周长之差为 12 cm，相似比为 3∶5，则两五边形周长分别为______。 （三）解答题 5. 如图 31-2，DE∥FG∥BC，AD=2，DF=3，FB=5，DE=4，求 FG 与 BC。 6. 同一时刻，测得旗杆影长 10 m，1.5 m 的竹竿影长 1.2 m，求旗杆高度。 1.【答案】B（面积比=相似比平方=4∶9）。 2.【答案】A（同侧缩小各坐标乘 1/2：(−1,2)）。 3.【答案】AD=√(BD·DC)=√16=4。 4.【答案】设周长 3x、5x，5x−3x=12⇒x=6，即 18 cm 与 30 cm。 5.【解析】AD∶AF∶AB=2∶5∶10，DE∶FG∶BC=2∶5∶10，由 DE=4 得比例每份 2，FG=10，BC=20。答案：FG=10，BC=20。 6.【解析】旗杆高=1.5×10÷1.2=12.5(m)。答案：12.5 m。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相 似 （人教版九年级下册 · 全章教辅 · 学生版） 使用说明：本章围绕“图形的相似—相似三角形—相似三角形的应用—位似”四条主线展开，每节均设“概念梳理—典例精讲—变式训练—易错辨析—合作探究”五个板块；题目均依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》素养导向自主命制，融入湛江本地真实情境，对接2027年中考几何综合命题方向。解答处留白，请在书上或练习本上完成。 【全章知识结构一览】 小节 核心内容 关键结论 / 方法 中考高频题型 31.1 图形的相似 相似图形、相似比、相似多边形 对应角相等、对应边成比例；周长比=相似比，面积比=相似比的平方 判断相似、比例求边长 31.2 相似三角形 判定定理与性质 AA、两边成比例且夹角相等、三边成比例 证明与计算、基本模型 31.3 相似三角形的应用 实际测量问题 影长法、镜面法、不可达距离 情境建模、综合应用 31.4 位似 位似图形、坐标位似 对应点连线过位似中心；坐标比=位似比（含异侧负比） 作图、坐标系变换 31.1 图形的相似 一、概念梳理 概念 定义要点 说明 相似图形 形状完全相同、大小可以不同的图形 全等是相似的特例（相似比=1） 相似比(k) 相似图形中对应边的比 k>1为放大，0<k<1为缩小 相似多边形 对应角相等，且对应边成比例 两个条件缺一不可 重要性质 周长比=k，面积比=k² 由对应边成比例推得 判断两多边形是否相似，必须同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”。二者独立：只有角相等（如一般矩形之间）或只有边成比例（如菱形之间）都不能判定相似。 图 31-1　网格中将直角三角形按相似比 2 放大 二、典例精讲 例1　某奶茶店把一张长 8 cm、宽 5 cm 的矩形招牌图案，按相似放大后重新喷绘，放大后图案的长为 20 cm，求放大后图案的宽及放大前后面积之比。 变式1-1　已知六边形甲与六边形乙相似，甲的周长为 48 cm，甲与乙的相似比为 3∶5，若甲的面积为 54 cm²，求乙的周长与面积。 变式1-2　下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个矩形　　B. 任意两个菱形　　C. 任意两个正方形　　D. 任意两个等腰梯形 三、易错辨析 判断正误并说明理由： （1）所有的正方形都相似。 （2）对应角相等的两个多边形一定相似。 （3）对应边成比例的两个多边形一定相似。 四、合作探究 活动1（校园实测）：用硬纸板剪出两个大小不同的相似三角形，验证“对应角相等、对应边成比例”，再分别量出它们的周长与面积，检验“周长比=k、面积比=k²”。 31.2 相似三角形 一、判定与性质一览 方法 条件（可简记） 图形/符号语言 判定1（平行） 平行于一边的直线截另两边所成三角形与原三角形相似 DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC 判定2（两角） 两角分别相等（AA） ∠A=∠A′, ∠B=∠B′ 判定3（夹角） 两边成比例且夹角相等（SAS 型） AB/A′B′=AC/A′C′ 且 ∠A=∠A′ 判定4（三边） 三边成比例（SSS 型） AB/A′B′=BC/B′C′=CA/C′A′ 性质 对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线之比与周长比均=k；面积比=k² — 常见基本模型：A 字型、X（8）字型、母子型（直角三角形斜边上的高），是证明与计算的高频载体。 图 31-2　A 字型（DE∥BC） 图 31-3　X（8）字型（AB∥CD，交于 O） 图 31-4　母子型（∠BAC=90°，AD⊥BC） 二、典例精讲 例2　如图31-2，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，DE=5。求 EC 与 BC 的长。 变式2-1　如图31-3，AC 与 BD 相交于 O，AB∥CD，AO∶OC=2∶3，AB=6，求 CD 的长。 例3　如图31-4，在 Rt△ABC 中∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，BD=4，CD=9。求 AD、AB、AC。 变式2-2　在 Rt△ABC 中∠A=90°，AB=6，AC=8，AD 是斜边 BC 上的高，求 BC、AD、BD、CD。 三、易错辨析 判断正误：（1）两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似。（2）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（3）有两边对应成比例的两个三角形相似。 四、合作探究 活动2：在方格纸上分别画出满足“AA”“两边成比例且夹角相等”的两个三角形，用直尺量各边验证对应边是否成比例，体会“SSA”不能判定相似的原因。 31.3 相似三角形的应用 一、常见模型与方法 情境 构造相似的依据 基本等式 影长测高 同一时刻物高与影长成正比（两直角三角形相似） 树高/影长 = 标杆高/标杆影 镜面测高 入射角=反射角，两直角三角形相似 塔高/人高 = 塔到镜距离/人到镜距离 不可达距离 构造 A 字型或平行线分线段 对应边成比例反求 图 31-5　影长法测树高（太阳光线平行） 图 31-6　镜面法测塔高（入射角=反射角） 二、典例精讲 例4　某日同一时刻，校园一棵大树的影长为 8 m，小明量得一根竖直放置、长 1.6 m 的标杆影长为 2 m，求这棵大树的高度。 变式3-1　湛江海湾大桥桥塔在某时刻影长为 30 m，同时测得一根 2 m 立柱的影长为 1.5 m，求桥塔的高度（结果取整数）。 例5　测量湖光岩景区一观景塔 AB（底部 B 可到达，顶部不可达）。在地面镜 M 处后退，当人眼睛 C 恰能从镜中看到塔顶 A 时，测得 BM=20 m，人眼高 CD=1.7 m，DM=2.5 m，求塔高 AB。 变式3-2　要测金沙湾海滨栈道两端 A、B 间距离（中间有海不可直达）。在岸上取点 O，使 OA、OB 均可量，在 OA、OB 上分别取中点 C、D，测得 CD=45 m，求 AB。 三、合作探究 活动3：分组用影长法实测教学楼旗杆高度（记录时间、影长、参照物高），比较各小组数据，讨论误差来源。 31.4 位似 一、概念与坐标规律 要素 要点 位似图形 相似图形，且对应点连线相交于同一点（位似中心），对应边互相平行（或在同一直线） 位似比 等于相似比；位似中心到对应点的距离之比 = 位似比 坐标位似 以原点为位似中心，位似比为 k，则对应点坐标为原坐标的 k 倍（同侧 k>0，异侧 k<0） 图 31-7　以 O 为位似中心，同侧放大（k=2） 图 31-8　以 O 为位似中心，异侧放大（k=−2） 二、典例精讲 例6　△ABC 顶点 A(2,2)、B(6,2)、C(2,6)。以原点 O 为位似中心，相似比 1∶2 向第一象限缩小，写出缩小后对应点 A′、B′、C′ 的坐标。 变式4-1　以原点 O 为位似中心，把点 P(1,−2) 放大到位似比 3 且与 P 位于位似中心异侧，求对应点 P′ 的坐标。 三、易错辨析 判断正误：（1）位似图形的对应点连线都经过位似中心。（2）位似图形的对应边一定平行。（3）已知位似比，对应点只能落在位似中心的同侧。 四、合作探究 活动4：在方格纸上给出一个三角形，分别以不同点为位似中心、按 2∶1 放大（同侧与异侧各画一次），体会位似中心的选取与位似方向。 本章总结与 2027 中考备考 一、核心方法与易错点 知识板块 核心方法 高频易错点 图形的相似 找对应角与对应边，用相似比列比例式 面积比误写成相似比（应为平方） 相似三角形 优先证 AA；母子型用比例中项 “两边+一角”漏“夹角”条件 实际应用 影长/镜面构造相似，列正比例式 未统一单位；把斜边当物高 位似 对应点连线过中心；坐标乘位似比 漏异侧解；位似比与相似比混淆 二、2027 中考命题趋势 ①情境化：以桥梁、景区、校园实测等真实场景设问，考查模型观念；②综合化：相似与二次函数、圆、三角函数综合，作为压轴多问；③探究化：给出操作或开放条件，考查推理与表达；④素养导向：强化几何直观、数学建模与运算能力，减少纯机械计算。 三、章末综合练习 （一）选择题 1. 两个相似三角形的相似比为 2∶3，则它们的面积比为（　　）A. 2∶3 B. 4∶9 C. 3∶2 D. 9∶4 2. 以原点为位似中心，将 A(−2,4) 缩小为原来的 1/2（同侧），对应点坐标为（　　）A. (−1,2) B. (1,−2) C. (−4,8) D. (1,2) （二）填空题 3. Rt△ABC 中∠A=90°，AD 为斜边上的高，BD=2，DC=8，则 AD=______。 4. 相似五边形周长之差为 12 cm，相似比为 3∶5，则两五边形周长分别为______。 （三）解答题 5. 如图 31-2，DE∥FG∥BC，AD=2，DF=3，FB=5，DE=4，求 FG 与 BC。 6. 同一时刻，测得旗杆影长 10 m，1.5 m 的竹竿影长 1.2 m，求旗杆高度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $