专题31.1 图形的相似（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题31.1 图形的相似 教学目标 1.理解相似图形及相似多边形的概念，掌握“对应角分别相等、对应边成比例”的判定条件并能够熟练辨析。 2.理解成比例线段、比例中项及黄金分割的概念，掌握比例的基本性质与相似多边形的性质，并能灵活运用求值。 3.体会方程思想与分类讨论思想，解决图形折叠、实际生活场景中的相似综合探究问题。 教学重难点 1.重点 (1) 相似多边形及成比例线段的概念，掌握判定条件； (2) 相似多边形的性质（对应角相等，对应边成比例）及比例基本性质的应用。 2.难点 (1) 矩形、菱形相似性的辨析，深刻理解“仅满足单一条件不能判定相似”； (2) 结合图形折叠、黄金分割或实际生活场景（如边框设计）构建相似模型，并准确进行分类讨论与方程求解。 知识点01 相似图形与相似多边形的基本概念 1.相似图形：形状相同的图形叫作相似图形。一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到。 2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，且对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 3.相似比与符号：相似多边形对应边的比叫作相似比；相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。（注意：若两个多边形的相似比为k，则反向的相似比为 1/k）。 【即学即练】 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 2．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 3．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 ①若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 ②四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） ③判断四条线段是否成比例： 1）将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2）分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 2.比例的重要性质 ①基本性质：若，则；反之，也成立。 ②和比性质：若，则； ③更比性质：若，则； ④反比性质：若，则； ⑤等比性质：若，则。 3.拓展： ①比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 ②把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【即学即练】 4．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 5．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：线段，，线段是和的比例中项， ， ， ， （舍去负值）， 故选：B． 6．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 7．已知，若，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 8．（1）已知，则的值为________． （2）已知，则的值为________． 【答案】 2023 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点是解此题的关键． （1）设，则，代入所求式子计算即可得解； （2）由题意可得，，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 9．计算黄金比． 【答案】≈0.618 【分析】根据成比例线段可得，设AB=1，AC=x，则BC=1-x，代入比例式，求解出x，故可求出黄金比． 【详解】根据成比例线段可得，∴ 设AB=1，AC=x，则BC=1-x， ∴ 解得x1=，x2=-（舍）， ∴黄金比． 知识点03 相似多边形的性质及拓展应用 1.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 2.特殊多边形的相似探究与拓展应用 ①两个边数相同的正多边形、所有的正方形一定相似（角相等且边成比例）。 ②矩形（角相等但边不一定成比例）、菱形（边成比例但角不一定相等）不一定相似。 ③仅满足“角分别相等”或仅满足“边成比例”的多边形不一定相似。 ④矩形对折问题：若将矩形沿较长边中点对折，得到的两个小矩形与原矩形都相似，则原矩形长与宽的比为。不断对折得到的矩形都相似。 ⑤环形小路问题：在矩形草坪外围增加等宽的环形小路，小路内外边缘形成的两个矩形不相似（因为长和宽增加的比例不同）；若要使其相似，需按长宽比例设计不同宽度的小路。 【即学即练】 10．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是________． 【答案】240 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为，由此即可解决问题． 【详解】解：长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为， 按放大后得到的图形的面积， 故答案为：240． 11．如图，矩形矩形，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，即， 整理得，， ， ∵， ∴， 故选：D． 12．如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为四边形四边形，则，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型01 相似图形的识别与多边形相似辨析 【典例1】下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：选项C中的图形是相似图形． 【典例2】下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，结合各选项图形的性质判断. 【详解】解：选项A：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴两个矩形不一定相似，A不符合要求； 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，对应角一定相等，且对应边一定成比例， ∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合要求； 选项C：∵的角，可能是等腰三角形的顶角（此时底角为），也可能是底角（此时顶角为），两个三角形对应角不一定相等， ∴两个三角形不一定相似，C不符合要求； 选项D： ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，D不符合要求. （1）考查方向：考查相似图形的识别与特殊多边形（正方形、矩形、菱形、正多边形等）的相似性辨析。 （2）核心方法：紧扣相似多边形的定义，必须同时满足“对应角分别相等”和“对应边成比例”两个条件。判断时需明确，所有的正方形和正多边形必相似；仅满足“角相等”（如矩形）或仅满足“边成比例”（如菱形）均不能判定相似。 【变式1】四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】首先确定两个相似四边形的对应最长边，因为相似多边形的对应边成比例，所以最长边是对应边．提取四边形ABCD的最长边，以及四边形的已知最长边．根据相似比的定义，即相似多边形对应边的比值，代入两条最长边的数值计算即可． 【详解】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 【变式2】一块长、宽的矩形黑板如图所示． (1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？ (2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？ 【答案】(1)不相似； 理由如下：由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为， 假设边框的内、外边缘所围成的两矩形相似，则， 解得，不符合题意，即边框的内、外边缘所围成的两矩形不相似． (2)横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似 【分析】（1）由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为，假设两矩形相似，求出d的值是否存在即可判断． （2）设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与，由两个矩形相似可求得的关系． 【详解】（1）解：不相似；理由略； （2）解：设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与， 则边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为， 由于边框的内、外边缘所围成的两矩形相似， 所以， 得， 即横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【中考链接1】“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 【中考链接2】宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 题型02 成比例线段的性质及求值 【典例1】下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 【典例2】已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． （1）考查方向：考查成比例线段的判定、比例性质的代数求值，以及比例中项与黄金分割的相关计算。 （2）核心方法：判断四条线段是否成比例，可将其按大小排序后验证“最小线段×最大线段=中间两线段之积”；处理连等式求值问题常设比例系数 k 代入化简；涉及黄金分割点或比例中项时，若位置或大小未定，需分情况讨论。 【变式1】如果，则___________． 【答案】 【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 将，，代入得． 【变式2】已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【答案】或 【分析】点是线段的黄金分割点，未说明与的大小关系，需分两种情况，根据黄金分割点的定义计算的长度． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 把代入得： 解得 第二种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 ，即 又， 整理得 分母有理化解得 综上，的长为或． 【中考链接1】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 【中考链接2】已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 题型03 相似多边形的性质 【典例1】如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 【答案】，， 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， 由图可得,， ∴，． 【典例2】四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最长边作为一组对应边，化简比值即可． 【详解】解：四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是. （1）考查方向：考查利用相似多边形的性质求未知角的度数、未知线段的长度或两个多边形的相似比。 （2）核心方法：直接运用相似多边形的性质，利用“对应角相等”求角度，利用“对应边成比例”列方程求线段长。解题时必须依据相似符号“∽”的字母排列顺序严格确定对应顶点与对应边，切忌仅凭直观图形主观臆断。 【变式1】现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】如果与它形状一样且比它大，长与宽都增加一倍，所以长变成2×2=4张，宽变成2张，一共使用了8张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最少，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是 （张）． 【变式2】古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为. 【中考链接1】敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 【中考链接2】如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 题型04 相似多边形的综合探究与拓展应用 【典例1】如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． 【典例2】如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】解：四边形与四边形相似．理由如下： ，，，， ， ，，，且 ， 四边形与四边形相似． 【分析】根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案． 【详解】略 （1）考查方向：考查矩形折叠中的相似探究、实际生活场景（如边框、小路宽度）中的图形相似计算，以及网格或坐标系中的综合应用。 （2）核心方法：折叠类问题需抓住折叠前后的图形全等（线段相等），用代数式表示对应边长后建立相似比例方程求解；解决实际生活问题时，需将文字信息准确转化为长、宽的代数表达式，再依据相似比建立方程（注意结合实际意义舍去不合题意的负根）。 【变式1】如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：A.两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例，故A不符合题意； B.两个正方形相似，四条边均相等，对应边成比例，故B不符合题意； C. 两个菱形相似，四条边均相等，对应边成比例，故C不符合题意； D.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，菱形的边长为，，菱形的边长为，，这两个菱形相似吗？试说明理由． 【答案】解：相似． 理由如下：四边形是菱形，， ，，， ∴， 同理可得 ，， ∴． 又， 这两个菱形相似． 【分析】根据多边形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：略． 【中考链接1】下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断． 【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【中考链接2】如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：为矩形， ， 矩形与矩形相似， ，即， 解得：， 故答案为：． A组·基础过关 1．下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．任意两个菱形 B．任意两个矩形 C．任意两个三角形 D．任意两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的定义．相似图形需对应角相等且对应边成比例，菱形的内角不一定相等, 矩形边不一定成比例，三角形不一定相似，而正方形所有角均为且所有边相等，故一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四边相等，但菱形的内角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，不符合题意； B、矩形的内角都是90度，但边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，不符合题意； C、任意两个三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故任意两个三角形不一定相似，不符合题意； D、正方形所有角均为且所有边相等，故任意两个正方形一定相似，符合题意； 故选：D 2．下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定义． 3．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 4．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 5．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段． 根据成比例线段的概念，对各组线段按从小到大排序，计算判断即可． 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 6．一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【详解】解：∵两个多边形相似， ∴对应边成比例， 原多边形边长分别为3、4、5、6、7，最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边． 故选：C． 7．已知 ，且，则________． 【答案】6 【分析】由已知的相等比例关系，可得分子的和与对应分母的和的比等于原比例，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：已知根据等比性质可得， 把代入得， 解得． 8．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 9．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解： ， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 10．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． B组·能力提升 11．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 12．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 13．如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知多个比值相等，可设参数k表示各量，代入各选项验证． 【详解】解：∵， ∴设，，，，，（均为正数）， ∵，，， ∴选项 A，B，C中结论均正确，不符合题意， ∵， ∴ 选项D中结论错误，符合题意． 14．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键． 根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①如果线段是线段的第四比例项，则有，①正确； ②如果点是线段的中点，则， 所以， 所以不是、的比例中项，，②错误； ③如果点是线段的黄金分割点，且， 则， 所以，即， 所以是与的比例中项，，③正确； ④如果点是线段的黄金分割点，，且， 则，即， 所以，④正确； 综上，正确的判断有①③④， 故选：C． 15．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 16．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 17．如果，那么k的值为______________． 【答案】或 【分析】利用等比性质，先把原式变形得到，三式相加，分和两种情况讨论，分别算出k的值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，，解得； 当时，，， 综上所述，k的值为或． 18．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 19．如图，六边形与六边形相似． 求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似， ∴ ，即相似比为； （2）解：根据相似多边形的对应角相等可得，; （3）解：根据相似多边形的对应边成比例得， ∴， 解得． 20．已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； （2）解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． C组·拓展延伸 21．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 22．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质；利用比例性质，将三个等式相加，分情况讨论是否为零，求解的值． 【详解】解：∵， ∴，，； 将三式相加： ， 即； ∴； 情况1：若 ，则 ， ∴ ； 情况2：若 ，则 ， 代入 ，同理可得 ； 综上， 的值为1或． 故选：D． 23．如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点， ∴，四边形是矩形， ∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似， ∴矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 又∵均为正数， ∴， 故选：D． 24．如图，矩形在矩形内，与，与 之间的距离都为，与 ，与 之间的距离都为，已知，，当______时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的判定，解题的关键是熟练掌握相似多边形对应角相等和对应边成比例． 先根据矩形和矩形的对应角相等，，，再根据相似多边形的定义得出，即可得到矩形矩形，求出x的值即可． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形和矩形中， ∴当时，矩形矩形， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.1 图形的相似 教学目标 1.理解相似图形及相似多边形的概念，掌握“对应角分别相等、对应边成比例”的判定条件并能够熟练辨析。 2.理解成比例线段、比例中项及黄金分割的概念，掌握比例的基本性质与相似多边形的性质，并能灵活运用求值。 3.体会方程思想与分类讨论思想，解决图形折叠、实际生活场景中的相似综合探究问题。 教学重难点 1.重点 (1) 相似多边形及成比例线段的概念，掌握判定条件； (2) 相似多边形的性质（对应角相等，对应边成比例）及比例基本性质的应用。 2.难点 (1) 矩形、菱形相似性的辨析，深刻理解“仅满足单一条件不能判定相似”； (2) 结合图形折叠、黄金分割或实际生活场景（如边框设计）构建相似模型，并准确进行分类讨论与方程求解。 知识点01 相似图形与相似多边形的基本概念 1.相似图形：形状相同的图形叫作 。一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到。 2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，且对应边 ，那么这两个多边形叫作相似多边形。 3.相似比与符号：相似多边形对应边的比叫作 ；相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。（注意：若两个多边形的相似比为k，则反向的相似比为 ）。 【即学即练】 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．   A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    知识点02 成比例线段 1.成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做 。 ①若四条线段、、、成比例，则记作 。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 ②四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） ③判断四条线段是否成比例： 1）将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2）分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 2.比例的重要性质 ①基本性质：若，则 ；反之，也成立。 ②和比性质：若，则 ； ③更比性质：若，则 ； ④反比性质：若，则 ； ⑤等比性质：若，则 。 3.拓展： ①比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的 。 ②把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的 。 【即学即练】 4．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 6．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则_________． 7．已知，若，且，则______． 8．（1）已知，则的值为________． （2）已知，则的值为________． 9．计算黄金比． 知识点03 相似多边形的性质及拓展应用 1.相似多边形的性质：相似多边形的对应角 ，对应边 。 2.特殊多边形的相似探究与拓展应用 ①两个边数相同的正多边形、所有的正方形一定 （角相等且边成比例）。 ②矩形（角相等但边不一定成比例）、菱形（边成比例但角不一定相等）不一定相似。 ③仅满足“角分别相等”或仅满足“边成比例”的多边形不一定相似。 ④矩形对折问题：若将矩形沿较长边中点对折，得到的两个小矩形与原矩形都相似，则原矩形长与宽的比为 。不断对折得到的矩形都相似。 ⑤环形小路问题：在矩形草坪外围增加等宽的环形小路，小路内外边缘形成的两个矩形不相似（因为长和宽增加的比例不同）；若要使其相似，需按长宽比例设计不同宽度的小路。 【即学即练】 10．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是________． 11．如图，矩形矩形，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 12．如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（    ） A． B． C． D． 题型01 相似图形的识别与多边形相似辨析 【典例1】下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 （1）考查方向：考查相似图形的识别与特殊多边形（正方形、矩形、菱形、正多边形等）的相似性辨析。 （2）核心方法：紧扣相似多边形的定义，必须同时满足“对应角分别相等”和“对应边成比例”两个条件。判断时需明确，所有的正方形和正多边形必相似；仅满足“角相等”（如矩形）或仅满足“边成比例”（如菱形）均不能判定相似。 【变式1】四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【变式2】一块长、宽的矩形黑板如图所示． (1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？ (2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？ 【中考链接1】“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【中考链接2】宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 题型02 成比例线段的性质及求值 【典例1】下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【典例2】已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm （1）考查方向：考查成比例线段的判定、比例性质的代数求值，以及比例中项与黄金分割的相关计算。 （2）核心方法：判断四条线段是否成比例，可将其按大小排序后验证“最小线段×最大线段=中间两线段之积”；处理连等式求值问题常设比例系数 k 代入化简；涉及黄金分割点或比例中项时，若位置或大小未定，需分情况讨论。 【变式1】如果，则___________． 【变式2】已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【中考链接1】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【中考链接2】已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型03 相似多边形的性质 【典例1】如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 【典例2】四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． （1）考查方向：考查利用相似多边形的性质求未知角的度数、未知线段的长度或两个多边形的相似比。 （2）核心方法：直接运用相似多边形的性质，利用“对应角相等”求角度，利用“对应边成比例”列方程求线段长。解题时必须依据相似符号“∽”的字母排列顺序严格确定对应顶点与对应边，切忌仅凭直观图形主观臆断。 【变式1】现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【变式2】古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 【中考链接1】敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型04 相似多边形的综合探究与拓展应用 【典例1】如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． （1）考查方向：考查矩形折叠中的相似探究、实际生活场景（如边框、小路宽度）中的图形相似计算，以及网格或坐标系中的综合应用。 （2）核心方法：折叠类问题需抓住折叠前后的图形全等（线段相等），用代数式表示对应边长后建立相似比例方程求解；解决实际生活问题时，需将文字信息准确转化为长、宽的代数表达式，再依据相似比建立方程（注意结合实际意义舍去不合题意的负根）。 【变式1】如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式2】如图，菱形的边长为，，菱形的边长为，，这两个菱形相似吗？试说明理由． 【中考链接1】下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【中考链接2】如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为________． A组·基础过关 1．下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．任意两个菱形 B．任意两个矩形 C．任意两个三角形 D．任意两个正方形 2．下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 5．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 7．已知 ，且，则________． 8．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 9．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 10．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． B组·能力提升 11．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 12．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 13．如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 14．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如果，那么k的值为______________． 18．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 19．如图，六边形与六边形相似． 求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 20．已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． C组·拓展延伸 21．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 22．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．或1 23．如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 24．如图，矩形在矩形内，与，与 之间的距离都为，与 ，与 之间的距离都为，已知，，当______时，矩形矩形． 25．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $