精品解析：广东清远市海德外国语高中学校2026-2027学年高二上学期10月调研数学试题

海德外国语高中学校高二数学10月调研 （时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 求值：（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. 事件，是相互对立事件 B. 若事件，，两两互斥，则为必然事件 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则事件，相互独立 7. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱柱中，，，D为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离是 D. 平面平面 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 10. 已知函数，则（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 直线是曲线的对称轴 C. 的图像可由的图像上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在上单调递减 11. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则异面直线与所成夹角的余弦值为_________. 13. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 四、解答题（15题13分；16、17每题各15分；18、19每题各17分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 17. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若平面，求四棱锥的体积. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海德外国语高中学校高二数学10月调研 （时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按升序排列可得5，6，6，7，7，8，8，10，12，12， 因为，所以上四分位数为第8位数10. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 3. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知圆锥底面半径，所以底面圆的周长 因为圆锥侧面展开图是一个半圆，这个半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长， 所以半圆的弧长为. 设圆锥的母线长，则半圆的弧长为，解得. 所以圆锥的高，解得. 所以圆锥的体积. 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对选项A：若，，则或，故A错误； 对选项B：若，，则与可能平行，也可能相交（如墙角处两两垂直的三个平面），故B错误； 对选项C：由，，根据线面垂直的性质可得； 又，由线面平行的性质可知，平面内存在直线满足，故， 结合，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确； 对选项D：若，，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，不一定垂直，故D错误. 5. 求值：（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式处理，，再分别对分子、分母应用两角差的正弦公式、二倍角正弦公式进行处理，代入原式后即可求解． 【详解】由诱导公式，可知，． 对于分子， ； 对于分母，． 由于，故． 6. 已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. 事件，是相互对立事件 B. 若事件，，两两互斥，则为必然事件 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则事件，相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】区分互斥、对立、独立：互斥仅无交集，对立事件需并集为必然，独立靠判定，逐一分析选项即可. 【详解】选项A，，所以A和B不是对立事件， A错误； 选项B，若两两互斥，则，概率为1的事件不一定是必然事件，仅由无法推出其为必然事件，B错误； 选项C，若相互独立，则 ， C正确； 选项D，若，则 ，而，所以和不相互独立，D错误. 7. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 8. 如图，在正三棱柱中，，，D为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离是 D. 平面平面 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算线面垂直、异面直线夹角、点到平面距离及面面垂直关系． 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点，所以， 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 对于选项A，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 因为与不平行，所以直线不垂直于平面，故A错误； 对于选项B，，， 设异面直线和所成角为， 则，故B正确； 对于选项C，， 点到平面的距离，故C错误； 对于选项D，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面与平面不垂直，故D错误． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 直线是曲线的对称轴 C. 的图像可由的图像上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数， 对于A，， 所以的图像关于点中心对称，所以A正确. 对于B，， 所以直线不是曲线的对称轴，所以B错误. 对于C，由的图像上所有点向左平移个单位长度得到， ， 所以C正确. 对于D，，时，， 所以在上单调递减，所以D正确. 11. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则异面直线与所成夹角的余弦值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，而，，故两两垂直. 如图：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 因为是的中点，，， 所以， 异面直线与所成夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律以及模长公式可表示的长，建立方程得到，进而求解面面夹角即可. 【详解】由条件知，，， 得到 可得，所以, 故. 故答案为： 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 四、解答题（15题13分；16、17每题各15分；18、19每题各17分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正切求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 16. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 17. 某校高一年级某次测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩．将成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计本次考试的平均分；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）已知样本成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求样本成绩在内的平均数与方差． （3）若采用分层抽样的方法，从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈交流，求这人成绩均在的概率． 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为，，，，，，记两组数据的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】（1）， （2）平均数为，方差为 （3） 【解析】 【分析】（1）由各组频率和为1以及平均数的定义即可求解； （2）由样本成绩在，的频率比求解样本成绩在内的平均数，再由方差公式求解即可； （3）由成绩在与的频率之比为，通过分层抽样随机抽取，求出总的样本空间即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质，得， 解得， 本次考试的平均分为 ． 【小问2详解】 由频率分布直方图，得样本成绩在，的频率比为， 则样本成绩在内的平均数为， 样本成绩在内的方差为． 【小问3详解】 由（2），得成绩在与的频率之比为， 所以人中有人成绩在，记为，，， 有人成绩在，记为，． 设事件“座谈交流的人成绩均在”， 样本空间，共有个等可能的样本点， 事件，共有个样本点， 所以这人成绩均在的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若平面，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 如图，取的中点为，连接. 因为分别是的中点，四边形是矩形， 所以，且， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 因为，的中点为， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为底面是矩形， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为由（1）知， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可证明，进而根据判定定理即可证明； （2）证明平面，再结合即可证明结论； （3）由题可求得，进而求得直角梯形ABCF的面积，然后利用棱锥的体积公式即求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为平面平面ABCD， 所以， 又，所以， 因为平面平面， 所以， 又E是PB的中点， 所以， 所以直角梯形的面积. 因为点到平面的距离， 所以. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． （2） （3）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． 【小问3详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $