2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷（测试范围：第一～三章）

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第一~三章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（     ） A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 2．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 5．如图，，若，，，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 6．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 7．如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，是方程的两个根，则的值为_____． 12．已知，则________． 13．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 14．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为______时，猪舍面积为． 15．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 16．如图，正方形的边长为，点，分别是，边上的动点，且．则的最小值为_____． 三、解答题 17．解方程：（本大题共8小题，每小题9分，共72分） (1)； (2)； (3)； (4) 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19．如图，将的边延长至点，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 20．如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 21．随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． (1)人行过道的宽是多少米？ (2)该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． 设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？（用含的代数式表示） 若在的基础上，为了尽可能让利于摊主，当为何值时，该夜市的月租金总收入为元？ 22．山清水秀的西樵镇已成为佛山地区最受欢迎的旅游地之一，其中“千古情”在2024年国庆假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年国庆假期，接待游客2.88万人次，附近一家樵园饼屋希望在国庆假期间获得好的收益，经测算知，该店生产的西樵大饼成本价为每个10元，借鉴以往经验，若每个卖15元，平均每天将销售120个，若价格每提高0.5元，平均每天少销售4个，每天饼屋所需其他各种费用为168元． (1)设年平均增长率为，列方程求出2024至2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率； (2)物价局规定每个西樵大饼涨价不得超过5元，则当每个涨价多少元时，才能实现每天净利润600元？ 23．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． (1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； (2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 24．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第一~三章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（     ） A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 【答案】C 【分析】将代入方程，即可求出的值，然后利用一元二次方程满足的条件即可求出的正确值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程，得， 解得或． 一元二次方程的二次项系数不为0， ，即， ． 2．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； ∴正确，错误， 故选：. 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，计算出判别式，判断符号即可判断方程根的情况. 【详解】解：根据一元二次方程得： 此方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴， ∴该方程没有实数根. 4．下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 5．如图，，若，，，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 6．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，当时，点运动到点，此时面积最大；当点运动到点时，面积为． 【详解】解：由图象可知，当时，取得最大值，此时点与点重合， ， ， ， 解得， 当点运动到点时，， ， 即， 解得， 四边形是矩形， ， ． 8．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 9．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 10．如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】根据动点的运动路径分两种情况讨论：在上运动和在上运动，分别表示出的底和高，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：由题意得，到达点所需时间为，到达点所需时间为， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴， 由题意得，点运动路程，则， 当时，在上，， ， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴， 当时，在上，此时到的距离为， ∴， 解得， 综上所述，或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴． 12．已知，则________． 【答案】 【分析】将看作整体，用换元法解一元二次方程，再根据方程是否存在实数根舍去不合题意的解，得到结果． 【详解】解：设，原方程可化为， ， 因式分解得， 解得，， 当时，方程为， 整理得， ∵， ∴该方程无实数根，舍去， 当时，方程， 整理得， ∵，该方程有实数根 ∴． 13．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 14．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为______时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出一元二次方程，解方程再结合住房墙的长，对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 所以当所围矩形猪舍垂直于墙的边的长度为时，猪舍面积为． 15．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 16．如图，正方形的边长为，点，分别是，边上的动点，且．则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，通过证明可得， 作点关于的对称点，连接，，，则，从而得到， 当、、在同一直线时，最小， 利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，，，则， ∴， ∴当、、在同一直线时，最小， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为． 三、解答题 17．解方程：（本大题共8小题，每小题9分，共72分） (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【分析】（1）对左边因式分解后求解； （2） 用配方法变形后开方求解； （3）整理方程后直接开平方求解； （4）用一元二次方程求根公式求解． 【详解】（1）解： 或， 解得； （2） 解得； （3） 解得； （4） 其中 解得． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根的条件，列判别式不等式求解m的取值范围； （2）利用方程根的定义代换，代入已知等式求解，结合（1）的范围取舍.． 【详解】（1） 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， 代入， ， ， 解得，， ∵， ∴ 不符合题意，舍去， ∴． 19．如图，将的边延长至点，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 20．如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求： (2)①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 21．随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． (1)人行过道的宽是多少米？ (2)该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． 设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？（用含的代数式表示） 若在的基础上，为了尽可能让利于摊主，当为何值时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】(1)人行过道的宽是米； (2)该夜市可以租出个摊位；，该夜市的月租金总收入为元． 【分析】设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程即可； 根据每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位，得出该夜市可以租出个摊位； 由题意得月租金为元，则总月租金为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 根据题意得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴不符合题意，舍去， 答：人行过道的宽是米； （2）解：∵每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位， ∴当每个摊位的月租金上涨元时，该夜市可以租出个摊位； 由题意得月租金为元，则总月租金为， ∴ 整理得， 解得，， ∵尽可能让利于摊主， ∴舍去， ∴，该夜市的月租金总收入为元． 22．山清水秀的西樵镇已成为佛山地区最受欢迎的旅游地之一，其中“千古情”在2024年国庆假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年国庆假期，接待游客2.88万人次，附近一家樵园饼屋希望在国庆假期间获得好的收益，经测算知，该店生产的西樵大饼成本价为每个10元，借鉴以往经验，若每个卖15元，平均每天将销售120个，若价格每提高0.5元，平均每天少销售4个，每天饼屋所需其他各种费用为168元． (1)设年平均增长率为，列方程求出2024至2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率； (2)物价局规定每个西樵大饼涨价不得超过5元，则当每个涨价多少元时，才能实现每天净利润600元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)每个涨价元时，能实现每天净利润元 【分析】（1）根据2024年与2026年游客人次的增长关系列一元二次方程求解； （2）根据净利润的等量关系列方程，结合涨价限制条件取舍解． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 由题意得：， 解得（负值已舍去）， 答：2024年与2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率为； （2）解：设每个西樵大饼涨价元，单个利润为元，即元，价格每提高元少销售个，故每天销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得，， ∵每个涨价不得超过元，即， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：当每个涨价元时，才能实现每天净利润元． 23．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． (1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； (2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1)证明：连接、、、，如下图所示， 设时间为t，则， 四边形是平行四边形， ，， ， 即， 又， 四边形是平行四边形． (2)当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 【分析】（1）平行四边形的对角线互相平分，得到，，结合已知条件得到，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）矩形的对角线相等，利用对角线相等的性质进行求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， 所以，当时，四边形为矩形， 第一种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 第二种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 综上所述，当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 24．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $