2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷（测试范围：第二十五～二十七章）

2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第二十五~二十七章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 3．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 4．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 5．在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 7．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 10．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是方程的一个根，则代数式的值为____________． 12．已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 13．已知二次函数的图像上有一点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则__________． 14．二次函数，自变量取值，该区间内函数最大值与最小值之差为___________． 15．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 16．已知抛物线经过点． （1）的值为__________； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是__________． 3、 解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17． 解答下列各小题： (1)； (2)． （3）．已知关于的一元二次方程． ①若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 18．在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 19．某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 20．2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 （米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度 （米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； (2)求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； (3)若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； (3)请直接写出不等式的解集__________________； 22．如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在这个反比例函数图像上，连接并延长交轴于点，且，连接，求的面积． 23．已知二次函数的图象如图所示． (1)该抛物线的顶点坐标是________； (2)当________时，的值随的增大而增大； (3)当，的取值范围是________； (4)若将该函数图象向下平移个单位后与坐标轴只有两个公共点，则的值为________． 24．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第二十五~二十七章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】将新运算方程转化为一元二次方程一般形式，利用判别式判断根的情况． 【详解】解：根据新运算定义，，方程整理为． ， 又， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 4．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 5．在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 6．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 7．如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 8．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为、判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ， ∴的取值范围是且． 10．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是方程的一个根，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】由是方程的根，可得，对三次代数式降次后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 12．已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式因式分解，再利用根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：一元二次方程的两个根是和， ，， 13．已知二次函数的图像上有一点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则__________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用平行于轴的直线上两点纵坐标相等，且两点关于抛物线对称轴对称，得到点的横坐标，再计算的长度． 【详解】解：二次函数中，， 即抛物线对称轴为直线． ∵ 平行于轴， ∴点关于抛物线对称轴对称的点为． ∴ ． 14．二次函数，自变量取值，该区间内函数最大值与最小值之差为___________． 【答案】 16 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，再比较顶点与区间端点的函数值，得到区间内的最大值和最小值，计算二者的差即可． 【详解】解：对二次函数配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵在自变量区间内， ∴函数在处取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 比较得函数在区间内的最大值为， ∴最大值与最小值之差为． 15．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴， 即的值为． 故答案为：． 16．已知抛物线经过点． （1）的值为__________； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，解方程即可得到的值； （2）先表示出点和点的坐标，得到长度关于的二次函数，根据二次函数的性质列出不等式求解的范围． 【详解】解：（1）将点代入抛物线得： 整理得，解得． （2）由得抛物线解析式为． ∵点在抛物线上， ∴的坐标为． ∵轴，交于点， ∴的坐标为． 如图，当在点上方时，长度随的增大而先减小后增大，不符合题意 ∴在点下方， ∴ 该二次函数二次项系数为，开口向下，因此在对称轴左侧随的增大而增大． 该二次函数的对称轴为， ∵当时，的长度随的增大而增大， ∴， 解得． 3、 解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17． 解答下列各小题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； （2）解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． （3）．已知关于的一元二次方程． ①若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) 的取值范围是 (2) 的值为 【分析】（1）由方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解； （2）通过根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后结合判别式范围验证． 【详解】（1）解：在一元二次方程中， ，，， 方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得； （2）解：方程有两个实数根，， ，即， 解得， 由根与系数的关系得： ，， ， ， ， 将，代入得： ， 解得， ，符合条件， 的值为． 18．在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)y的取值范围是 (3)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）利用二次函数增减性得出即可； （3）根据题意得出，联立方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得：． （2）解：这个函数关系式为， 对称轴为，在范围内， 当时，有最小值， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 当时，函数有最大值， ． （3）解：在的图象上， ， ， ， 解得， ， 点的坐标为． 19．某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 【答案】(1) 该专卖店核桃销售量的月增长率为. (2) 每千克核桃应降价元或元. 【分析】（1）根据月增长率相同，结合7月与9月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据“每千克利润日销售量日总利润”的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解： 设该专卖店核桃销售量的月增长率为， ∵7月份销售量为4000千克，从7月到9月销售量的月增长率相同，9月份销售量为5760千克， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：设每千克核桃应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价后售价需高于进价，即， 解得， ∴，均符合题意， 答：每千克核桃应降价元或元． 20．2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 （米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度 （米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； (2)求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； (3)若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 【答案】(1)篮球飞行竖直高度的最大值为米． (2) (3)有效；无效 【分析】（1）根据数据表，然后根据抛物线的对称性确定顶点坐标即可解答； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）结合数据表和挑战者的函数解析式，求得的函数值，再根据判断即可． 【详解】（1）解：根据表格数据知， ∵当和时，纵坐标都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为． ∴篮球飞行的竖直高度的最大值为米． （2）解：设， 将代入得，解得． 所以机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式． （3）解：机器人：时由数据表，满足，故机器人投篮有效； 挑战者：时，不满足，故挑战者投篮无效． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； (3)请直接写出不等式的解集__________________； 【答案】(1)，； (2)或； (3)或 【分析】（1）把点代入直线，把点代入，求出m，k的值，进而即可得到答案； （2）先求出的面积，再根据，列出方程，得到，进而即可求解； （3）观察函数图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时或，进而即可得到答案 【详解】（1）解：把点代入直线得：， ∴， ∴一次函数表达式为：， 把点代入得：，解得： ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：把代入，得， ∴C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由函数图象可知：当一次函数图象在反比例函数图象上方时：或， ∴不等式的解集为：或 22．如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在这个反比例函数图像上，连接并延长交轴于点，且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据已知，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，证四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数和一次函数的交点， 联立， 解得：或， ， ， ． 23．已知二次函数的图象如图所示． (1)该抛物线的顶点坐标是________； (2)当________时，的值随的增大而增大； (3)当，的取值范围是________； (4)若将该函数图象向下平移个单位后与坐标轴只有两个公共点，则的值为________． 【答案】(1) (2)（或小于1） (3) (4)４或５ 【分析】（1）因为二次函数顶点式为的顶点坐标是，所以直接对比给定解析式提取对应数值即可． （2）因为该二次函数开口向下，对称轴为顶点的横坐标，所以对称轴左侧的取值范围就是随增大而增大的区间． （3）先计算区间端点、对应的值，再结合抛物线顶点为最高点，即可确定． （4）首先写出平移后的函数解析式，因为函数与坐标轴有两个公共点，分两种情况讨论：第一种是抛物线顶点在轴上，此时与轴1个交点、与轴1个交点，共2个公共点；第二种是抛物线经过原点，此时与轴2个交点（其中一个是原点）、与轴交点也是原点，共2个公共点，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的顶点式为中， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线． ∴在对称轴左侧时，随的增大而增大． （3）解：已知对称轴为，且在范围 ∴顶点是抛物线最高点， ∴时，取最大值； 分别计算区间端点的函数值： 时，； 时，． ∵取不到，且抛物线开口向下，在区间内处取得区间最小值， ∴的取值范围是． （4）解：函数向下平移个单位后，解析式变为， 分两种情况满足“与坐标轴只有两个公共点”： ① 平移后抛物线顶点落在轴上： 此时顶点纵坐标为0， 即， 解得， 此时时，， ∴抛物线仅与轴切于点、过点，总共2个公共点； ② 平移后抛物线过原点，且保留原本与轴的1个交点、与轴正半轴的一个交点： 将代入平移后解析式，得，解得， 此时，，解得或， ∴抛物线与坐标轴交于和两个点． 综上，m的值为4或5． 24．如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴的面积不能等于； (3)当点、运动秒后，的面积最大，最大为 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （3）将三角形的面积转化为二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）略 （3）解：当点运动到点时，（秒）； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，最大为， 故当点、运动秒后，的面积最大，最大为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $