精品解析：四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试题

高2028届高二上期10月份定时练习 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 3. 参加科技知识决赛的选手成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计参加决赛的选手成绩的第85百分位数是（ ） A. 93 B. 90 C. 95 D. 85 4. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有（ ） A. B. 0 C. D. 10. 已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（ ） A. 的最小值为 B. 无最小值 C. 无最大值 D. 的最大值为 11. 已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（ ） A. 若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B. 若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C. 若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D. 点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则________． 13. 在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 14. 直线：，若满足条件的所有直线围成的封闭区域边界记为，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 16. 为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名学生成绩的中位数； （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，从这人中再随机选取人．求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 17. 在空间直角坐标系中，过点，且法向量为的平面方程为，将其整理为方程，其中． （1）若点，，，求平面的方程； （2）已知平行六面体中，平面经过点，，，平面的方程为，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，，E为棱的中点，F是棱AC上的异于端点的一个动点． （1）求证：； （2）记点A，C到平面的距离分别为，，求的最小值． 19. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二上期10月份定时练习 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 则， 所以. 2. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 3. 参加科技知识决赛的选手成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计参加决赛的选手成绩的第85百分位数是（ ） A. 93 B. 90 C. 95 D. 85 【答案】B 【解析】 【详解】由直方图得，从左到右的第一、二、三、四组的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30， 第一、二、三组的频率之和为， 所以第85百分位数处在第四组内，为． 4. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，，且，得在上的投影向量为. 5. 直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的方程为，当时，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 故，又，解得； 当时，此时直线的方程为，倾斜角为. 综上，直线的倾斜角范围是. 6. 已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】，为两个相互独立的随机事件，可知与，与，与也是相互独立的， 由得， 即，即， 所以. 7. 在平行六面体中，，，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量线性运算，可得，再利用数量积运算性质即可求解． 【详解】因为， 且，，，， 所以 ， 因此线段的长为． 8. 我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义，当为过与圆相切的切点时，计算余弦距离即可得解. 【详解】当时，曲线表示原点；当时，曲线的方程为， 此时曲线表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；同理，可在平面直角坐标系内作曲线的完整图形（如图）， 曲线上的点到原点距离的最大值为， 过点作直线与圆相切， 由图象可知，当为切点时，最大，此时有最大值. 由，则，， 则， 则余弦距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，则，解得即可得出答案. 【详解】解：，即方程方程表示圆的条件是，即．所以选项A，B，C能表示圆，选项D表示一个点，不能表示圆． 故选：ABC. 10. 已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（ ） A. 的最小值为 B. 无最小值 C. 无最大值 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据动直线求定点，再利用垂直关系确定点的轨迹方程，注意空心点，然后求解即可. 【详解】直线：化简得， 令得即直线过定点， 直线：化简得， 令得即直线过定点， 因为时，，，所以，即直线与直线垂直， 时，，不存在，即直线与直线垂直，所以交点在以为直径的圆上， 又因为直线无法表示直线，直线无法表示直线，所以点坐标不可能是， 故的轨迹方程为 ，圆心， 半径，所以直线方程为：且， 为圆上点，所以的最值一定在直线与圆的交点处取得， 联立直线直线与圆方程解得或即点坐标为时取最小值， 又因为坐标不可能是，所以无最小值，点坐标为时取最大值，最大值为. 11. 已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（ ） A. 若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B. 若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C. 若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D. 点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，为BC中点，证明截面为等腰梯形，求面积即可；B选项，直线与直线所成角为，求出，得到Q的轨迹，求出在内的长度即可；C选项，作M关于平面ABC的对称点 ，的最小值转化为求到平面QAC的最短距离；D选项，过点Q作平面，由已知条件求出点轨迹，由的取值范围求三棱锥体积的取值范围. 【详解】A选项，记为BC中点，连接， 由点为的中点，正方体中有，则截面为等腰梯形， ， 梯形的高为， 所以截面面积为，A选项正确； B选项，，直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 正方体中，平面，平面，则， 则直线与直线所成角为，，得， 故所求点Q的轨迹为以B为圆心，为半径的圆弧在内的部分， 点为的中点，则有，，， ，圆弧在内的两段，圆心角之和为， 所求弧长，B选项错误； C选项：为等边三角形且平面， 则点与重合或与关于平面ABC的对称点重合，由对称性不妨取点与重合， 因为平面， 且， 以B为原点，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，因为，得， 所以作M关于平面ABC的对称点 ，则，， 的最小值即求到平面QAC的最短距离. 平面QAC的一个法向量，由， 则有，令，则，法向量， ， 所以点到平面QAC的距离， 即的最小值为，C选项正确； D选项，过点Q作平面，连接， 若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为， 由题意知，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则有，设，由， 化简得， 则点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以， 得，D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，可知，， 而直线方向向量为，故，解得. 13. 在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】直线l: 平分角，即直线与直线关于直线l对称，求出点关于直线l的对称点坐标，点一定在直线上，结合点坐标求解即可. 【详解】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率， 点与点关于直线对称，即， 整理得化简得解得即点坐标， 因为直线平分角，所以点在直线上，可得， 结合有直线的方程为：， 化简得. 14. 直线：，若满足条件的所有直线围成的封闭区域边界记为，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先分析动直线围成的封闭区域边界为圆，再利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】将直线方程转化为：. 则，即， 所以满足条件的所有直线围成的封闭区域为圆及其外部， 所以封闭区域边界为圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，使得成立，所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以，所以， 即，所以线段全部落在以为圆心，半径为的圆内部或圆上. 故直线被以为圆心，半径的圆截得的弦长， 所以线段长度的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名学生成绩的中位数； （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，从这人中再随机选取人．求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 【答案】（1），分 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质直接计算. （2）先用分层抽样的思想算出每层抽取的人数，再结合古典概型计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，，解得， 设名学生成绩中位数的估计结果为． 记第组的频率为(按分数从低到高，，则由频率分布直方图可得： ，，，， 因为，，所以． 由比例关系，，解得(分)． 【小问2详解】 由(1)得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在，分数段内抽取人． 记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间为； ， 设事件“这人中恰有人的成绩落在内”，则， 所以． 17. 在空间直角坐标系中，过点，且法向量为的平面方程为，将其整理为方程，其中． （1）若点，，，求平面的方程； （2）已知平行六面体中，平面经过点，，，平面的方程为，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）通过法向量特征求得平面法向量，进而求得平面方程. （2）利用不同平面间向量的位置关系求解出平面与平面法向量，进而通过向量法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 ，，设是平面的一个法向量，则令，得，，所以． 设点是平面内任意一点，，由，得，所以平面的方程为． 【小问2详解】 由题意，平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 平面的方程为，所以平面的一个法向量为． 由已知得，， 设为平面的一个法向量，则． 令，得，，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，在直三棱柱中，，E为棱的中点，F是棱AC上的异于端点的一个动点． （1）求证：； （2）记点A，C到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】（1）取和的中点和，连接，，则， 因为，可得，在直三棱柱中，可得底面，且底面，所以，所以， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，，， 因为为的中点，所以，所以，， 可得，所以，所以． (几何证法也可：例如取中点，证明面，从而实现) （2）． 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法证明. （2）先设点的坐标，用点到平面的距离公式算出，然后利用基本不等式可以求出其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示； 因为是棱上的异于端点的一点，设点的坐标为，令，其中， 由，，可得，，， 所以点，即平面的三点为，，， 可得，，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 又由，， 则点到平面的距离为，则， 点到平面的距离为，则， 所以， ， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为． 19. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 【答案】（1）证明： 如图，当直线斜率不存在时，直线的斜率为0. 在方程中，令得，令得， ∴，∴. 当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，. 当直线斜率存在且不为0时，设，则， 由得，， 设，则， ∴，∴， ∴， ∴， 综上得，为定值，定值为. （2）， 【解析】 【分析】（1）计算特殊情况下的值，当直线斜率存在且不为0时，设，利用弦长公式表示，即可证明结论. （2）利用条件得到，为等腰直角三角形，，根据（1）可求出直线斜率，利用求出直线的斜率，联立直线与圆方程求点坐标即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由圆周角定理得，. 由得，， ∵，∴，为等腰直角三角形， ∴，∴. ∵，∴. 由（1）得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意. 取中点，连接，则，故三点共线， ∵，∴. 易知斜率大于0， 由得， 由得或， ∴. 方程为，即，方程为，即. 综上得，， 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用垂径定理和等腰直角三角形的性质得到，求得直线的斜率，根据（1）中的结论求出直线的斜率，即可得到点的坐标，进而计算出直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $