15.3等腰三角形 检测题 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

人教版八年级上册第15章（15.3等腰三角形)检测题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列选项中，不能判定△ABC是等边三角形的是() A∠A=∠B=∠C BAB=AC'∠B=60 C∠A=60'∠B=60° D.AB=AC'且∠B=∠C 2.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC,点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是() A B A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 3.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的 度数为() D B E A.35° B.40° C.45° D.50 第1页，共1页 4.如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,下列说法： ①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其正确的个数有)个 A E do B D A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点 E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为() B A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥AB交BC于点D,∠BAC=120°，AD=4,则BC的长为() B 第2页，共1页 A.8 B.10 C.11 D.12 7.如图，在△ABC中，AC=3,∠C=90°，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是 () 30 A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 8.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE/1OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2, 则OD的长为() -B A.2 B.2V3 C.4 D.4+2V3 9.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6,BD平分∠ABC交AC于点D,延长BC到点E,使CE=CD 则BE的长为() D A.7 B.8 C.9 D.10 10.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论： ①AD⊥BC:②EF=FD;③BE=BD 其中正确结论的个数为() 第3页，共1页 A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B= 12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为平面内一点，连接AD,BD,CD,已知AD=AB.若 ∠CAD=80°，则∠CBD的度数为一· B D 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°，点D在线段BC上运动点D不与点B,C重合)，连接AD 作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E.在点D运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数 第4页，共1页 为 E B D C 14.如图，在等边三角形ABC中，BC=6,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,且分别与 AB,AC相交于点M,N.若MN//BC,则MN=一. B 15.如图1，将一张直角三角形纸片ABC(已知∠ACB=90°，AC>BC)折叠，使得点A落在点B处，折 痕为DE.将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F.若△ADF是等腰三角 形，则∠A的度数可能是一.， B(A) B 0 D E A 图1 图2 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD/AB,DE⊥AC,垂足为E,且AB=CE,连接AD.求证： △ACD为等腰三角形. 第5页，共1页 E Bb C 17.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. D B (1)求∠ADB的度数； (2)过点A作AE/BC,交BD的延长线于点E,判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由. 18.(本小题8分】 如图，△ABC中，AB=AC,∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数. 第6页，共1页 D 19.(本小题8分】 如图，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分 别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. M B N C (1)求FAN的度数： (2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上 20.(本小题8分) 如图，在△ABC中，点D在线段BA的延长线上，AE平分∠DAC,F为AC的中点，连接EF并延长交 BC于点G,且AE/IBC. 第7页，共1页 D A E C (1)求证：△ABC是等腰三角形 (2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长. 21.（(本小题8分) 如图，在△ABC中. (1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交BC于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，在EC上取一点F,使得BE=EF,连结AF,若CF=AB,求证：△AFC为等 腰三角形 22.(本小题6分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF. 第8页，共1页 E F B D C (1)求证：AD平分∠BAC: (2)连接EF,求证：AD垂直平分EF 23.（本小题6分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E. A D E B C (1)求证：AE=2CE; (2)连接CD,判断△BCD的形状，并说明理由. 第9页，共1页 24.(本小题6分) 如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,△DAB=60°，过点C作CE//BA,交AD于E,交 BD于F,连接AC,交BD于H. (1)判断△乙的形状，并说明理由； (2)求证：AC平分∠DAB. 25.(本小题9分) 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)求证：AE+CE=BE; (3)请直接写出∠BEC的度数.、 第10页，共1页 答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判 和性质是解题的关键，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=)∠ABC ∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE,根据等腰三角形的性质得到AF=EF,求得AD=ED,得到 ∠DAF=∠g就，根据三角形的外角的性质即可得到结论. 【解答】 解：.BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD, ∴.∠ABF=∠EBF'∠AFB=∠EFB=90°' 在△ABF和△EBF中， ∠ABF=∠EBF BF=BF ∠AFB=∠EFB ∴.△ABF≌△EBF(ASA), ∴.AB=EB'AF=EF ∴.∠BAE=∠BEA' 在△ABD和△EBD中， AB=EB ∠ABD=∠EBD BD=BD 第11页，共1页 .∴.△ABD2△EBD(SAS)' ∴.DA=DE'∠DAE=∠DEA' ∴.∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠DEA' ∴.∠DEB=∠DAB=180°-35°-50°=95 .∠CDE=∠DEB-∠C=95°-50°=45 故选C 4.【答案】C 【解析】证明：.△ABC是等边三角形， E Q D C ∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， AB-CA BAE=∠ACD, AE=CD .∴.△ABE≌△CAD(SAS), 第12页，共1页 ..∠1=∠2， .∴.∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°， ∴.∠APE=∠C=60°，故①正确： .BQ⊥AD, ∴.∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°， ∴.BP=2PQ故③正确， AC=BC,AE=DC, ∴.BD=CE, .AE+BD=AE+EC=AC=AB,故④正确， 无法判断BQ=AQ,故②错误， 故选：C 5.【答案】C 【解析】【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注 意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.首先连接AM,AN,由AB的垂直平分线交BC于 点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,可得AM=BM,AN=CN,又由在 △ABC中，AB=AC,∠A=120°，易证得△AMN是等边三角形，继而可得BM=MN=CN,即可求 得答案。 【解答】 解：连接AM,AN, 第13页，共1页 'AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F, .∴.AM=BM,AN=CN, .∠BAM=∠B'∠CAN=∠C' .AB=AC'∠A=120 .∠B=∠C=30 .∴.∠AMN=∠ANM=60' ∴.△AMN是等边三角形， .∴.AM=MN=AN' ∴.BM=MN=CN' BC=6cm' .∴.MN=2cm 故选C 6.【答案】D 【解析】.'在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠C=∠B=30°.AD⊥AB交BC于点D, ∴.BD=2AD=8,∠CAD=30°=∠C,∴.CD=AD=4,∴.BC=BD+CD=8+4=12.故选D. 第14页，共1页 7.【答案】D 8.【答案】C 【解析】解：过点E作EH⊥OA于点H,如图所示： A H D B C .OE平分∠AOB,EC⊥OB, ∴.EH=EC, .∠AOE=15°，OE平分∠AOB, ∴.∠AOB=2∠AOE=30°， DE//OB, .∴.∠ADE=∠AOC=30°， ∴.DE=2HE=2EC, .EC=2, ∴.DE=4, .∠ADE=30°，∠AOE=15°， 第15页，共1页 .∴.∠DE0=15°， .∴.∠AOE=∠DEO, ∴.OD=DE=4, 故选：C. 过点E作EH⊥OA于点H,根据角平分线的性质可得EH=EC,再根据平行线的性质可得∠ADE的度数， 再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD=DE,即可求出OD的长 本题考查了角平分线的性质，含③0°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题 的关键。 9.【答案】C 10.【答案】A 【解析】【点拨】因为△ABC是等边三角形，AD是角平分线，所以AD⊥BC,∠BAD=30°，①正确： 因为△ADE是等边三角形，所以∠DAE=60°，AE=AD. 因为∠BAD=30°，所以∠BAE=30°，所以AB平分∠EAD,所以EF=FD,AB⊥ED,即AB垂直 平分ED,所以BE=BD,②③正确，所以正确结论的个数是3. 11.【答案】30 【解析】【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是 利用线段垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF 根据线段垂直平分线的性质得到BF=CF,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCF,再利用等边三角 形的性质得到∠AFC=60°，进而利用三角形外角的性质求出∠B. 【解答】 解：，EF垂直平分BC, ∴BF=CF' ∴.∠B=∠BCF' 第16页，共1页 ·△ACF为等边三角形， ∴.∠AFC=∠B+∠BCF=60° ∴.∠B=∠BCF=30° 故答案为：30. 12.【答案】40 13.【答案】108或72° 14.【答案】4 15.【答案】180或36 【解析】【分析】 本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关 键是掌握翻折的性质.由翻折可得AD=BD=B'D,∠BDC=∠B'DC,所以∠BDB'=4∠A,所以 ∠ADF=180°-4∠A,∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A,若△ADF是等腰三角形，有三种情况： ①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD,②当AD=DF时，∠AFD=∠A,③当DF=AF时， ∠ADF=∠A,然后分别列式计算即可解决问题， 【解答】 解：由翻折可知：AD=BD=B'D,∠BDC=∠B'DC, .∠ACB=90 .∴.CD=AD=BD=B'D ∴∠DCA=∠A' ∴.∠B'DC=∠BDC=2∠A' ∴.∠BDB'=4∠A' 第17页，共1页 ∴.∠ADF=180°-4∠A'∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A' 若△ADF是等腰三角形，有三种情况： ①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD: ..180°-4∠A=3∠A 解得ㄥA= 180 o; 7 ②当AD=DF时，∠AFD=∠A' .∴.3∠A=∠A ：∠A=0(不符合题意舍去： ③当DF=AF时，∠ADF=∠A' ..180°-4∠A=∠A 解得∠A=36°. 综上所述：∠A的度数可能是180或36 7 故答案为： 180.或36 7 16.【答案】证明：.CD/AB, ∴.∠BAC=∠ECD. .DE⊥AC, 第18页，共1页 .∴.∠DEC=90°=∠B. 'AB=CE, ∴.△ABC≌△CED(ASA). .∴.AC=CD ∴.△ACD是等腰三角形. 17.【答案】【小题1】 解：'AB=AC,∠BAC=36°， ∠ABG=G=X180-36)=72 :BD平分∠ABC ∠ABD=2∠ABC=36, .∴.∠ADB=180°-36°-36=108° 【小题2】 △ADE是等腰三角形.理由如下： AE//BC, ∴.∠DAE=∠C=72: ,∠ADB=108 .∠ADE=180°-108°=72 .∠ADE=∠DAE' ∴.△ADE是等腰三角形. 18.【答案】解：.∠A=50°，AB=AC, 第19页，共1页 :.∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=65 又.DE垂直且平分AB, .DB=AD, ∴.∠ABD=∠A=50, .∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，即∠DBC的度数是15°. 【解析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB,再由线段垂直平分线的性质可求出 ∠ABC=∠A,易求∠DBC 19.【答案】【小题1】 解：∠BAC=130, ∴.∠B+∠C=180°-130°=50 ,EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线， .∴.FA=FB,NA=NC, .∴.∠FAB=∠B'∠NAC=∠C' ∴.∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50, ∴.∠FAN=130°-50°=80 【小题2】 证明：如图，连接PA,PB,PC, 'EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线， 第20页，共1页 ∴.PB=PA=PC, :.点p在线段BC的垂直平分线上， 20.【答案】【小题1】 证明：.AE//BC, ∴.∠B=∠DAE'∠C=∠CAE .AE平分∠DAC, ∴.∠DAE=∠CAE' .∴.∠B=∠C, ∴AB=AC .△ABC是等腰三角形： 【小题2】 解：，F是AC的中点， ∴.AF=CF AE//BC' .∴.∠EAF=∠GCF 在△AFE和△CFG中， ∠EAF=∠GCF, AF=CF, ∠AFE=∠CFG, 第21页，共1页 .∴.△AFE≌△CFGASA' ∴.CG=AE=8' 'GC=2BG, .BG=4 ∴.BC=BG+CG=4+8=12' 由(1)可知，AC=AB=10, :.△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+12=32 21.【答案】【小题1】 解：如图所示 【小题2】 证明：如图.AE⊥BC, .∴.∠AEB=∠AEF=90°. 在△ABE与△AFE中， ,BE=FE'∠AEB=∠AEF'AE=AE' ∴.△ABE≌△AFE(SAS)' ∴.AB=AF 又'∵CF=AB, 第22页，共1页 ∴.CF=AF1 ∴.△AFC为等腰三角形. 22.【答案】【小题1】 证明：，D是BC的中点， ∴BD=CD 又.BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC, .∴.Rt△BDE≌Rt△CDF HL, ∴.DE=DF ∴.点D在∠BAC的平分线上， :AD平分∠BAC: 【小题2】 由(1)知Rt△BDE≌Rt△CDF, .∠B=∠C .'AB=AC' 'BE=CF, ∴.AB-BE=AC-CF1 ∴.AE=AF' 'DE=DF, AD垂直平分EF 第23页，共1页 23.【答案】【小题1】 证明：连接BE .DE是AB的垂直平分线，.∴.AE=BE ∴.∠ABE=∠A=30° .∠ACB=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=60 ∴.∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.∴.BE=2CE. ∴.AE=2CE 【小题2】 解：△BCD是等边三角形理由如下： DE是AB的垂直平分线， BD-AB. .∠ACB=90°，∠A=30°， BC-TAB. ∴.BC=BD」 又.·∠DBC=60°， ∴△BCD是等边三角形 24.【答案】【小题1】 解：△竺乙是等边三角形， 理由如下：AB=AD,∠DAB=60°， .△ABD是等边三角形，∴.∠ABD=∠ADB=60°， .CE//AB,∴.∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°， ∴.∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，∴.△兽乙是等边三角形； 第24页，共1页 【小题2】 证明：.AB=AD,CB=CD. ∴.AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD, .AB=AD,∴.AC平分∠DAB. 25.【答案】【小题1】 解：证明：，'△ABC和△ADE都是等边三角形， .∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°. ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. .∴.△ABD≌△ACE(SAS). 【小题2】 证明：.△ABD≌△ACE,∴.BD=CE .△ADE是等边三角形，.DE=AE. .DE+BD=BE,..AE+CE=BE. 【小题3】 ∠BEC=60°. 第25页，共1页