15.3 等腰三角形 同步训练（三）等边三角形（性质与判定·含30°直角性质） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3 等腰三角形　同步训练（三） 主题：等边三角形（性质与判定·含30°直角性质）　　（人教版数学八年级上册） 适用年级：八年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 命题人：______　审题人：______　使用日期：______ 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 注意事项 1．等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于 ，有 3 条对称轴，且“三线合一”更明显。 2．等边三角形判定：①三边都相等；②三个角都相等（都是 ）；③有一个角是 的等腰三角形；④有两个角是 的三角形。 3．含 角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 等边三角形每一个内角的度数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列三角形一定是等边三角形的是（　　） A. 有两个角是 的三角形 B. 有一个角是 的三角形 C. 两条边相等的三角形 D. 有一个角是 的等腰三角形以外的三角形 3. 如图， 是等边三角形，则下列结论错误的是（　　） 图1 A. B. C. 有 3 条对称轴 D. 底边上的高不是顶角平分线 4. 若等腰三角形中有一个角是 ，则这个三角形一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 无法判断 5. 如图，在等边 中， 于 ，则 的度数为（　　） 图2 A. B. C. D. 6. 在含有 角的直角三角形中，若斜边为 8，则 角所对的直角边长为（　　） A. 4 B. C. 8 D. 16 7. 等边三角形有（　　）条对称轴 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 8. 如图，在 中，，，则 是（　　） 图3 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 9. 如图，在 中，，，，则 的长为（　　） 图4 A. 3 B. 6 C. D. 9 10. 在 中，，且 。下面说法正确的是（　　） A. 一定是等边三角形 B. 一定是等腰但不等边 C. 一定是直角三角形 D. 以上都不对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 等边三角形的每一个内角都是      ；它有      条对称轴。 12. 如图，在等边 中， 于 ，则       ， 与 的关系是      。 图5 13. 在 中，，，斜边 ，则       。 14. 在 中，，，则 是      三角形；若其周长为 18，则每条边长为      。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）如图，等边 中， 于 。 图6 （1）求 、 的度数； （2）说明 且 平分 。 16.（14分）在 中，，，。 图7 （1）求 的长； （2）若 为 的中点，连接 ，求 的长，并说明理由。 17.（16分）如图， 是等边三角形，、 分别是 、 的中点，连接 。 图8 （1）说明 ； （2）求证： 是等边三角形。 18.（16分）如图，在 中，，， 于 。 图9 （1）求 的度数； （2）说明 与 的数量关系，并写出依据。 参考答案与评分标准（卷三） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（3分）C　【考点】等边三角形内角。 【步骤】三角相等且和为 ，每个为 。 【易错点】记成 或 。 2.（3分）A　【考点】等边三角形判定。 【步骤】两角 ⇒三角 ⇒等边；B、C 只能到等腰；D 表述为空。 【易错点】把“有一个角 的三角形”当成等边（须是等腰前提）。 3.（3分）D　【考点】等边三角形性质辨析。 【步骤】等边“三线合一”，底边上的高也是顶角平分线，故 D 错。 【易错点】误以为高与角平分线不同。 4.（3分）B　【考点】“含 的等腰⇒等边”。 【步骤】若 为顶角，底角 ；若为底角，顶角 ，均得三角 。 【易错点】只想到一种情况。 5.（3分）B　【考点】等边的高平分顶角。 【步骤】 是高也是顶角平分线，。 【易错点】误答 。 6.（3分）A　【考点】含 直角性质。 【步骤】 所对直角边 。 【易错点】误用勾股定理或取错边（本题应只用 30° 直角性质与角的和差）。 7.（3分）C　【考点】对称轴条数。 【步骤】等边有 3 条对称轴。 8.（3分）B　【考点】等腰+顶角 ⇒等边。 【步骤】 且 ，由“含 的等腰是等边”得等边。 9.（3分）B　【考点】含 直角求斜边。 【步骤】 所对直角边 ，则斜边 。 【易错点】把 当成斜边。 10.（3分）A　【考点】等腰+底角 ⇒等边。 【步骤】⇒，故三角均为 ，等边。 【易错点】认为仅顶角为 才能推等边。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11.（3分）60；3　【考点】内角与对称轴。 【步骤】每个内角 ，对称轴 3 条。 12.（3分）30；相等（）　【考点】等边三线合一。 【步骤】高平分顶角得 ，且平分底边 。 13.（3分）5　【考点】含 直角性质。 【步骤】 是 （）所对直角边 。 14.（3分）等边；6　【考点】判定与周长。 【步骤】含 的等腰⇒等边；周长 18÷3 = 6。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】等边性质与三线合一。 【步骤】（1）等边每个角 ， 是高也是顶角平分线，故 。（6分） （2）由三线合一， 平分底边，故 ；同时 平分 。（6分） 【易错点】只说“垂直”不写“平分”。 16.（14分）【考点】含 直角性质综合。 【步骤】（1）在 中， 所对直角边 。（7分） （2）因为 为 的中点，所以 。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，而 正是 斜边 上的中线，故 （从而 ）。（7分） 【易错点】忘记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，或误用勾股定理求边长。 17.（16分）【考点】中位线+等边判定。 【步骤】（1）、 为中点⇒，；等边 ⇒。（6分） （2） 等边⇒；又 ，所以 是“有一个角 的等腰”三角形，故为等边三角形。（10分） 【易错点】忘记用“”这一关键条件。 18.（16分）【考点】等腰顶角 与含 直角性质综合。 【步骤】（1）⇒； 且为顶角平分线，故 。（8分） （2）在 中，，它所对的直角边 等于斜边 的一半，即 。（8分） 【易错点】误把 当成 的 （错用直角三角形边长关系）；正确应依据 30° 直角性质与三线合一求解。 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择题 30 等边内角与对称轴；等边判定（含 60° 的等腰）；三线合一；含 30° 直角性质（ 30° 所对直角边 = 斜边一半）；等腰 +60° 推等边 了解 — 掌握 易 7 / 中 2 / 难 1 15 分钟 11—14 填空题 12 等边内角与对称轴；三线合一求角与线段关系；含 30° 直角求边；判定与周长 理解 — 掌握 易 2 / 中 1 / 难 1 10 分钟 15—18 解答题 58 等边三线合一应用；含 30° 直角综合求边；中位线 + 等边判定；顶角 120° 等腰与含 30° 性质综合 掌握 — 运用 易 1 / 中 2 / 难 1 25—30 分钟 难度预估：易约70%，中约20%，难约10%，全卷难度系数约 0.72。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $